בגרות במתמטיקה 35472 קיץ 2025, מועד ב׳

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — סדרות: פיקדונות לחיסכון

מיכל הפקידה בכל חודש כסף לחיסכון. גובה הפיקדון שהיא העבירה בכל חודש גדול במספר קבוע מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש שלפניו. סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל בחודש הראשון והשני הוא $2{,}100$ שקלים סך הכול. גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש החמישי גדול פי $3$ מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש הראשון.

תרגיל 1

א. מצאו את גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 840

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 + a_2 &= 2a_1 + d \\ &= 2100\end{aligned}

סדרה חשבונית: הפרש קבוע $d$

\begin{aligned}a_5 &= a_1 + 4d \\ &= 3a_1 \Rightarrow d \\ &= \frac{a_1}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}2a_1 + \frac{a_1}{2} &= 2100 \Rightarrow a_1 \\ &= 840 \\ \quad d &= 420\end{aligned}

הפיקדון בחודש הראשון: $840$ שקלים.

תרגיל 2

ב. מצאו לאחר כמה חודשים היה סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל $22{,}680$ שקלים סך הכול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}S_n &= \frac{n}{2}\left(2 \cdot 840 + (n - 1) \cdot 420\right) \\ &= 22680\end{aligned}

סכום של סדרה חשבונית

\begin{aligned}210n^2 + 630n &= 22680 \Rightarrow n^2 + 3n - 108 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}(n + 12)(n - 9) &= 0 \Rightarrow n \\ &= 9\end{aligned}

$n$ חיובי

לאחר $9$ חודשים.

תרגיל 3

בחודש ה־ $12$ , במקום להפקיד כסף לחיסכון, החליטה מיכל לקנות מקרר שמחירו שווה לגובה הפיקדון שהייתה אמורה להעביר בחודש זה. מיכל שילמה בעבור המקרר בארבעה תשלומים. כל תשלום גדול פי $3$ מן התשלום שלפניו. ג. מצאו את התשלום הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 136.5

הפתרון:

\begin{aligned}a_{12} &= 840 + 11 \cdot 420 \\ &= 5460\end{aligned}

מחיר המקרר

\begin{aligned}b_1 + 3b_1 + 9b_1 + 27b_1 &= 40b_1 \\ &= 5460\end{aligned}

התשלומים: סדרה הנדסית שמנתה $3$

b_1 = 136.5

התשלום הראשון: $136.5$ שקלים.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — פירמידה משולשת, וקטורים

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . נסמן: $\overrightarrow{AS} = \underline{w}$ , $\overrightarrow{AC} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{AB} = \underline{u}$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SB$ , והנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ . נתון: $\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{SC}$ , $\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{SB}$ .

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ את הווקטורים $\overrightarrow{SF}$ , $\overrightarrow{BC}$ ו־ $\overrightarrow{SE}$ .

א $\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} + \frac{3}{4}\underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{w}$
ב $\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}$
ג $\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{u} - \underline{v}$ , $\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}$
ד $\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{SC} &= \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} \\ &= -\underline{w} + \underline{v}\end{aligned}

מסלול דרך $A$

\begin{aligned}\overrightarrow{SF} &= \frac{3}{4}\overrightarrow{SC} \\ &= \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \\ &= -\underline{u} + \underline{v}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{SE} &= \frac{3}{4}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB}) \\ &= \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}\end{aligned}

$\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}$ .

תרגיל 2

ב (1). הביעו באמצעות $\underline{u}$ ו־ $\underline{v}$ את הווקטור $\overrightarrow{EF}$ .

$\overrightarrow{EF} =$ ____ $\underline{u} +$ ____ $\underline{v}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\overrightarrow{EF} =$ -0.75 $\underline{u} +$ 0.75 $\underline{v}$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \overrightarrow{ES} + \overrightarrow{SF} \\ &= -\overrightarrow{SE} + \overrightarrow{SF}\end{aligned}

= -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{w} + \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}

סעיף א

= -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}

$\overrightarrow{EF} = -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}$ .

תרגיל 3

ב (2). הסבירו מדוע $EF$ מקביל ל־ $BC$ .

$\overrightarrow{EF} = -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}$
$\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$
$E$ על $SB$ ו־ $F$ על $SC$ , ושתיהן שונות מ־ $B$ ומ־ $C$

$EF \parallel BC$

להציג את התשובה והפתרון

$\overrightarrow{EF} = \frac{3}{4}(\underline{v} - \underline{u})$ — הוצאת גורם משותף
$\overrightarrow{EF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ — סעיף א: $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$
$EF \parallel BC$ — וקטור שהוא כפולה של וקטור אחר מקביל לו, ו־ $E$ אינה על הישר $BC$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \frac{3}{4}(\underline{v} - \underline{u}) \\ &= \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\end{aligned}

הווקטור $\overrightarrow{EF}$ הוא כפולה של $\overrightarrow{BC}$ , ולכן $EF \parallel BC$ (הנקודה $E$ אינה על $BC$ , כך שהישרים אינם מתלכדים).

תרגיל 4

נתון: $C(13, 15, 3)$ , $B(1, -1, 3)$ . ג. מצאו את ההצגה האלגברית של הווקטור $\overrightarrow{BC}$ ושל הווקטור $\overrightarrow{EF}$ .

$\overrightarrow{BC} = ($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $\overrightarrow{EF} = ($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\overrightarrow{BC} = ($ 12 $,$ 16 $,$ 0 $)$ , $\overrightarrow{EF} = ($ 9 $,$ 12 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= C - B \\ &= (13 - 1, 15 + 1, 3 - 3) \\ &= (12, 16, 0)\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} \\ &= (9, 12, 0)\end{aligned}

סעיף ב

$\overrightarrow{BC} = (12, 16, 0)$ , $\overrightarrow{EF} = (9, 12, 0)$ .

תרגיל 5

נתון: $C(13, 15, 3)$ , $B(1, -1, 3)$ . נתון: $E(5, 1, 6)$ . ד. מצאו את שיעורי הנקודה $F$ .

$F($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $F($ 14 $,$ 13 $,$ 6 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}F &= E + \overrightarrow{EF} \\ &= (5 + 9, 1 + 12, 6 + 0)\end{aligned}

F = (14, 13, 6)

$F(14, 13, 6)$ .

תרגיל 6

נתון: $C(13, 15, 3)$ , $B(1, -1, 3)$ . נתון: $E(5, 1, 6)$ . נתון: $A(4, 12, 3)$ . ה (1). מצאו את גודל הזווית $EAF$ . (במעלות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 86.18

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= (1, -11, 3) \\ \quad \overrightarrow{AF} &= (10, 1, 3)\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} &= 10 - 11 + 9 \\ &= 8\end{aligned}

מכפלה סקלרית

\begin{aligned}|\overrightarrow{AE}| &= \sqrt{131} \\ \quad |\overrightarrow{AF}| &= \sqrt{110}\end{aligned}

\cos\angle EAF = \frac{8}{\sqrt{131} \cdot \sqrt{110}} \approx 0.0666 \Rightarrow \angle EAF \approx 86.18^\circ

$\angle EAF \approx 86.18^\circ$ .

תרגיל 7

נתון: $C(13, 15, 3)$ , $B(1, -1, 3)$ . נתון: $E(5, 1, 6)$ . נתון: $A(4, 12, 3)$ . ה (2). חשבו את שטח המשולש $EAF$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 59.89

הפתרון:

S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{131} \cdot \sqrt{110} \cdot \sin 86.18^\circ

שטח משולש: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

= \frac{1}{2}\sqrt{131 \cdot 110 - 8^2} = \frac{1}{2}\sqrt{14346} \approx 59.89

שטח המשולש $EAF$ : $\frac{3\sqrt{1594}}{2} \approx 59.89$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: האזנות לשני שירים

שני שירים $A$ ו־ $B$ הועלו ביום מסוים לאותה רשת חברתית. מספר ההאזנות לשיר $A$ גדל באחוז קבוע בכל יום. מספר ההאזנות לשיר $B$ גדל בכל יום באחוז הגדול פי $2$ מן האחוז שבו גדל בכל יום מספר ההאזנות לשיר $A$ . לפניכם שני גרפים $I$ – $II$ המתארים את מספר ההאזנות לכל שיר לפי הזמן, מיום העלאת השירים.

ציר אופקי: הזמן (בימים); ציר אנכי: מספר ההאזנות

תרגיל 1

א. מבין הגרפים $I$ – $II$ קבעו איזה גרף מתאים לשיר $A$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף I: האחוז של $B$ גדול יותר, וגרף II משיג את גרף I
בגרף II: הוא מתחיל נמוך יותר, כי האחוז של $A$ קטן יותר
גאי אפשר לדעת בלי לדעת את מספר ההאזנות ההתחלתי
דגרף I: הוא מתחיל גבוה יותר, ולכן הוא תמיד יהיה מעל

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף I: האחוז של $B$ גדול יותר, וגרף II משיג את גרף I

הפתרון:

\begin{aligned}N_A(t) &= N_A(0) \cdot q_A^t \\ \quad N_B(t) &= N_B(0) \cdot q_B^t \\ \quad q_B > q_A\end{aligned}

האחוז של $B$ גדול פי $2$

\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = \frac{N_B(0)}{N_A(0)} \cdot \left(\frac{q_B}{q_A}\right)^t

היחס גדל עם הזמן

גרף I מתאר את שיר $A$ : גרף II מתחיל נמוך יותר, אבל עולה מהר יותר ומשיג את גרף I, ולכן הוא מתאר את שיר $B$ , שאחוז הגדילה שלו גדול יותר.

תרגיל 2

נתון כי לאחר $5$ ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר $A$ היה $7{,}350$ . ב. מצאו בכמה אחוזים גדל מספר ההאזנות לשיר $A$ בכל יום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

5000 \cdot q^5 = 7350

גרף I מתחיל ב־ $5{,}000$ (סעיף א)

\begin{aligned}q^5 &= 1.47 \Rightarrow q \\ &= \sqrt[5]{1.47} \approx 1.08\end{aligned}

1.08 - 1 = 0.08

מספר ההאזנות לשיר $A$ גדל ב־ $8\%$ בכל יום.

תרגיל 3

נתון כי לאחר $5$ ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר $A$ היה $7{,}350$ . ג. מצאו בכמה היה גדול מספר ההאזנות לשיר $A$ ממספר ההאזנות לשיר $B$ , לאחר $5$ ימים מיום העלאת השירים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 981.76

הפתרון:

\begin{aligned}q_B &= 1 + 2 \cdot 0.08 \\ &= 1.16\end{aligned}

האחוז של $B$ : $16\%$

N_B(5) = 3032 \cdot 1.16^5 \approx 6368.24

גרף II מתחיל ב־ $3{,}032$

7350 - 6368.24 \approx 981.76

מספר ההאזנות לשיר $A$ היה גדול בכ־ $982$ (התשובה תלויה מעט בעיגול של האחוז).

תרגיל 4

נתון כי לאחר $5$ ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר $A$ היה $7{,}350$ . ד. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, היה מספר ההאזנות לשיר $A$ שווה למספר ההאזנות לשיר $B$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

5000 \cdot 1.08^t = 3032 \cdot 1.16^t

\left(\frac{1.16}{1.08}\right)^t = \frac{5000}{3032}

t = \frac{\log \frac{5000}{3032}}{\log \frac{1.16}{1.08}} \approx 7

לאחר $7$ ימים.

תרגיל 5

נתון כי לאחר $5$ ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר $A$ היה $7{,}350$ . כאשר מספר ההאזנות לשיר $A$ היה שווה למספר ההאזנות לשיר $B$ , החלה ירידה במספר ההאזנות לשיר $A$ . בכל יום קטן מספר ההאזנות לשיר $A$ באותו האחוז שבו הוא גדל לפני כן. ה. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר $A$ היה $2{,}450$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22.02

הפתרון:

N_A(7) = 5000 \cdot 1.08^7 \approx 8569.15

השיא, אחרי $7$ ימים (סעיף ד)

8569.15 \cdot 0.92^s = 2450

ירידה של $8\%$ בכל יום

s = \frac{\log \frac{2450}{8569.15}}{\log 0.92} \approx 15.02

7 + 15.02 = 22.02

לאחר כ־ $22.02$ ימים מיום העלאת השירים.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — פונקציה מעריכית ושבר

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^{2x}}{e^x - 4}$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . (התחום הוא $x \neq \ln k$ .)

$k =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 4

הפתרון:

e^x - 4 \neq 0

המכנה שונה מאפס

e^x \neq 4 \Rightarrow x \neq \ln 4

תחום ההגדרה: $x \neq \ln 4$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־ $x$ של הפונקציה $f(x)$ .

א $x = \ln 8$
ב $x = 4$
ג $x = e^4$
ד $x = \ln 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x = \ln 4$

הפתרון:

x \to \ln 4: \ e^x - 4 \to 0, \quad e^{2x} \to 16

המונה אינו מתאפס

האסימפטוטה המאונכת: $x = \ln 4$ .

תרגיל 3

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה).

א $\left(0, -\frac{1}{4}\right)$ בלבד
ב $\left(0, -\frac{1}{3}\right)$ ו־ $(\ln 4, 0)$
ג $\left(0, -\frac{1}{3}\right)$ בלבד
ד $\left(0, \frac{1}{3}\right)$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\left(0, -\frac{1}{3}\right)$ בלבד

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{e^0}{e^0 - 4} \\ &= \frac{1}{1 - 4} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה־ $y$

e^{2x} > 0 \Rightarrow f(x) \neq 0

אין חיתוך עם ציר ה־ $x$

נקודת חיתוך אחת בלבד: $\left(0, -\frac{1}{3}\right)$ .

תרגיל 4

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד – הנקודה $B$ . ג. מצאו את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $B$ . (השיעור הוא $x = \ln k$ .)

$k =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 8

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2e^{2x}(e^x - 4) - e^{2x} \cdot e^x}{(e^x - 4)^2} \\ &= \frac{e^{2x}(e^x - 8)}{(e^x - 4)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 8 \Rightarrow x \\ &= \ln 8\end{aligned}

$x_B = \ln 8 \approx 2.08$ .

תרגיל 5

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד – הנקודה $B$ . ד (1). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ .

איורדת ב־ $x < \ln 8$ , כולל ב־ $x = \ln 4$ ; עולה ב־ $x > \ln 8$
ביורדת ב־ $x < \ln 4$ וב־ $x > \ln 8$ ; עולה ב־ $\ln 4 < x < \ln 8$
געולה ב־ $x < \ln 4$ ; יורדת ב־ $\ln 4 < x < \ln 8$ ; עולה ב־ $x > \ln 8$
דיורדת ב־ $x < \ln 4$ וב־ $\ln 4 < x < \ln 8$ ; עולה ב־ $x > \ln 8$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יורדת ב־ $x < \ln 4$ וב־ $\ln 4 < x < \ln 8$ ; עולה ב־ $x > \ln 8$

הפתרון:

x < \ln 4: \ f'(x) < 0

הגרף של $f'$ מתחת לציר

\ln 4 < x < \ln 8: \ f'(x) < 0, \quad x > \ln 8: \ f'(x) > 0

$B$ היא נקודת החיתוך היחידה

\begin{aligned}f(\ln 8) &= \frac{64}{8 - 4} \\ &= 16\end{aligned}

מינימום

$f$ יורדת ב־ $x < \ln 4$ וב־ $\ln 4 < x < \ln 8$ , ועולה ב־ $x > \ln 8$ ; מינימום ב־ $(\ln 8, 16)$ .

תרגיל 6

הגרפים I–IV

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד – הנקודה $B$ . ד (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף III
בגרף I
גגרף II
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף II

הפתרון:

x \to -\infty: f \to 0^-, \quad x \to \ln 4^-: f \to -\infty

משמאל לאסימפטוטה המכנה שלילי

x \to \ln 4^+: f \to \infty, \quad \min(\ln 8, 16)

סעיף ד (1)

(0, -\tfrac{1}{3})

סעיף ב

גרף II: משמאל לאסימפטוטה $x = \ln 4$ הגרף שלילי, עובר ב־ $\left(0, -\frac{1}{3}\right)$ ויורד; מימין לה הוא יורד למינימום $(\ln 8, 16)$ ועולה. גרף I הוא $-f$ , גרף III הוא $|f|$ , וגרף IV הוא השיקוף של $f$ ביחס לציר ה־ $y$ .

תרגיל 7

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד – הנקודה $B$ . ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישר $x = \ln 12$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\ln 8 < x < \ln 12: \ f'(x) > 0

השטח בין $B$ לישר

\begin{aligned}S &= \int_{\ln 8}^{\ln 12} f'(x)\,dx \\ &= f(\ln 12) - f(\ln 8)\end{aligned}

$f$ קדומה ל־ $f'$

\begin{aligned}\frac{144}{12 - 4} - \frac{64}{8 - 4} &= 18 - 16 \\ &= 2\end{aligned}

השטח: $2$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 \cdot (-2 + \ln x)$ .

הגרפים I–IV (בסוף השאלה)

תרגיל 1

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

א $x > e^2$
בכל $x$
ג $x > 0$
ד $x \neq 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x > 0$

הפתרון:

\ln x: \ x > 0

תחום ההגדרה של הלוגריתם

תחום ההגדרה: $x > 0$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה). (הנקודה היא $(e^k, 0)$ .)

$k =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 2

הפתרון:

x = 0

מחוץ לתחום: אין חיתוך עם ציר ה־ $y$

\begin{aligned}x^2(-2 + \ln x) &= 0 \\ \ x > 0 \Rightarrow \ln x &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

נקודת חיתוך אחת: $(e^2, 0)$ , עם ציר ה־ $x$ .

תרגיל 3

ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (הנקודה היא $(e^k, y_0)$ ; כתבו את $y_0$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$k =$ ____ , $y_0 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 1.5 , $y_0 =$ -10.04

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2x(-2 + \ln x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} \\ &= x(2\ln x - 3)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \\ \ x > 0 \Rightarrow \ln x &= 1.5 \Rightarrow x \\ &= e^{1.5}\end{aligned}

0 < x < e^{1.5}: f' < 0, \quad x > e^{1.5}: f' > 0

מינימום

\begin{aligned}f(e^{1.5}) &= e^3(-2 + 1.5) \\ &= -\frac{e^3}{2} \approx -10.04\end{aligned}

מינימום ב־ $\left(e^{1.5}, -\frac{e^3}{2}\right) \approx (4.48, -10.04)$ .

תרגיל 4

ד. קבעו איזה מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף III
בגרף IV
גגרף II
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף I

הפתרון:

x \to 0^+: \ f(x) \to 0

הנקודה $(0, 0)$ אינה בתחום: עיגול ריק

\min\left(e^{1.5}, -10.04\right), \quad (e^2, 0)

סעיפים ב–ג

גרף I: יוצא מעיגול ריק בראשית, יורד למינימום מתחת לציר ה־ $x$ , וחותך את הציר ב־ $e^2$ . בגרף II ובגרף III הגרף אינו מתקרב לראשית, ובגרף IV יש מקסימום.

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $g(x) = a \cdot f(x)$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ־ $0$ . הפונקציות $g(x)$ ו־ $f(x)$ מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת הקיצון של הפונקציה $g(x)$ הוא $0.6 \cdot e^3$ . ה (1). מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.2

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= a \cdot f'(x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^{1.5}\end{aligned}

הקיצון של $g$ באותו $x$

\begin{aligned}g(e^{1.5}) &= a \cdot \left(-\frac{e^3}{2}\right) \\ &= 0.6e^3\end{aligned}

a = -1.2

$a = -1.2$ .

תרגיל 6

אמינימום: שיעור ה־ $y$ של הקיצון חיובי
במקסימום: $a < 0$ הופך את המינימום של $f$
גמקסימום: $a > 0$ מגדיל את ערכי $f$
דמינימום: ל־ $g$ ול־ $f$ יש קיצון באותו $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מקסימום: $a < 0$ הופך את המינימום של $f$

הפתרון:

g'(x) = -1.2 \cdot f'(x)

סימן הנגזרת מתהפך

0 < x < e^{1.5}: g' > 0, \quad x > e^{1.5}: g' < 0

מקסימום: $a = -1.2 < 0$ , ולכן $g$ עולה לפני $e^{1.5}$ ויורדת אחריו.

תרגיל 7

אגרף III
בגרף IV
גגרף II
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף IV

הפתרון:

g(x) = -1.2 \cdot f(x)

שיקוף של $f$ ביחס לציר ה־ $x$ ומתיחה

\max\left(e^{1.5}, 0.6e^3\right) \approx (4.48, 12.05), \quad (e^2, 0)

גרף IV: יוצא מעיגול ריק בראשית, עולה למקסימום וחותך את ציר ה־ $x$ ב־ $e^2$ . גרף II מתחיל רחוק מהראשית.

לפתור את השאלה באתר

בגרות במתמטיקה 35472, קיץ 2025, מועד ב׳ — פתרון מלא

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — סדרות: פיקדונות לחיסכון

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

שאלה 2 — פירמידה משולשת, וקטורים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: האזנות לשני שירים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 4 — פונקציה מעריכית ושבר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות