בגרות במתמטיקה 35472 קיץ 2026, מועד ב׳

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — סדרות: איסוף בקבוקים למסיבת סיום

תלמידי כיתה י״ב1 ותלמידי כיתה י״ב2 בבית ספר מסוים החליטו לערוך מסיבת סיום. כדי לממן את עלות המסיבה הם אספו במשך כמה שבועות בקבוקים ריקים, והעבירו אותם למִחזור תמורת כסף. תלמידי כיתה י״ב1 אספו בקבוקים במשך $5$ שבועות. מספר הבקבוקים שהם אספו בכל שבוע גדול פי $q$ ממספר הבקבוקים שהם אספו בשבוע שלפניו. מספר הבקבוקים שאספו תלמידי כיתה י״ב1 בשבוע הרביעי גדול פי $3.375$ ממספר הבקבוקים שהם אספו בשבוע הראשון.

תרגיל 1

א. מצאו את הערך של $q$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

a_4 = a_1 q^3

סדרה הנדסית: האיבר הרביעי

\begin{aligned}a_1 q^3 &= 3.375\,a_1 \Rightarrow q^3 \\ &= 3.375\end{aligned}

מחלקים ב־ $a_1 \neq 0$

\begin{aligned}q &= \sqrt[3]{3.375} \\ &= 1.5\end{aligned}

$q = 1.5$ .

תרגיל 2

מספר הבקבוקים סך הכול שאספו תלמידי כיתה י״ב1 בשבוע הראשון ובשבוע האחרון היה $2{,}425$ . ב. מצאו את מספר הבקבוקים שאספו תלמידי כיתה י״ב1 בשבוע הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 400

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 + a_5 &= a_1 + a_1 q^4 \\ &= a_1(1 + 1.5^4) \\ &= 6.0625\,a_1\end{aligned}

השבוע האחרון הוא החמישי

\begin{aligned}6.0625\,a_1 &= 2425 \Rightarrow a_1 \\ &= 400\end{aligned}

בשבוע הראשון נאספו $400$ בקבוקים.

תרגיל 3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

b_1 = 230 - d

סדרה חשבונית: $b_2 = b_1 + d$

\begin{aligned}S_{18} &= \frac{18}{2}\left(2b_1 + 17d\right) \\ &= 9\,(460 - 2d + 17d) \\ &= 9\,(460 + 15d)\end{aligned}

סכום סדרה חשבונית

\begin{aligned}9\,(460 + 15d) &= 6300 \Rightarrow 460 + 15d \\ &= 700 \Rightarrow d \\ &= 16\end{aligned}

$d = 16$ .

תרגיל 4

מספר הבקבוקים סך הכול שאספו תלמידי כיתה י״ב1 בשבוע הראשון ובשבוע האחרון היה $2{,}425$ . תלמידי כיתה י״ב2 אספו בקבוקים במשך $18$ שבועות. בכל שבוע הם אספו $d$ בקבוקים יותר מבשבוע שלפניו. בשבוע השני אספו תלמידי כיתה י״ב2 $230$ בקבוקים. תלמידי כיתה י״ב2 אספו $6{,}300$ בקבוקים סך הכול. בעבור כל בקבוק שהעבירו התלמידים למִחזור, הם קיבלו $0.3$ שקלים. העלות של מסיבת הסיום היא $3{,}400$ שקלים. ד. האם הסכום הכולל שקיבלו תלמידי שתי הכיתות ממִחזור כל הבקבוקים יספיק למימון עלות המסיבה? נמקו את תשובתכם.

אלא: נאספו $2{,}425 + 6{,}300 = 8{,}725$ בקבוקים, והם קיבלו $2{,}617.5$ שקלים
בלא: כיתה י״ב1 אספה רק $400 \cdot 5 = 2{,}000$ בקבוקים, והם קיבלו $2{,}490$ שקלים
גכן: נאספו $5{,}275 + 6{,}300 = 11{,}575$ בקבוקים, והם קיבלו $3{,}472.5$ שקלים, יותר מ־ $3{,}400$
דכן: כיתה י״ב2 לבדה קיבלה $6{,}300 \cdot 0.3 = 3{,}400$ שקלים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כן: נאספו $5{,}275 + 6{,}300 = 11{,}575$ בקבוקים, והם קיבלו $3{,}472.5$ שקלים, יותר מ־ $3{,}400$

הפתרון:

\begin{aligned}S_5 &= \frac{400\,(1.5^5 - 1)}{1.5 - 1} \\ &= 5275\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית: כל הבקבוקים של י״ב1

5275 + 6300 = 11575

כל הבקבוקים של שתי הכיתות

11575 \cdot 0.3 = 3472.5 > 3400

כן: הם קיבלו $3{,}472.5$ שקלים, והמסיבה עולה $3{,}400$ שקלים.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — תיבה שבסיסה ריבוע, וקטורים

בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על האלכסון $A'C'$ , כך שמתקיים $\overrightarrow{A'E} = \frac{3}{4}\overrightarrow{A'C'}$ . נסמן: $\overrightarrow{AA'} = \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{AB} = \underline{u}$ .

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ את הווקטורים $\overrightarrow{A'E}$ ו־ $\overrightarrow{FE}$ .

א $\overrightarrow{A'E} = \frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}$ , $\overrightarrow{FE} = -\frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} + \underline{w}$
ב $\overrightarrow{A'E} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{v}$ , $\overrightarrow{FE} = -\frac{1}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v} + \underline{w}$
ג $\overrightarrow{A'E} = \frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}$ , $\overrightarrow{FE} = \frac{1}{4}\underline{u} - \frac{1}{4}\underline{v} + \underline{w}$
ד $\overrightarrow{A'E} = \frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v} + \underline{w}$ , $\overrightarrow{FE} = -\frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\overrightarrow{A'E} = \frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}$ , $\overrightarrow{FE} = -\frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} + \underline{w}$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{A'C'} &= \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'C'} \\ &= \underline{u} + \underline{v}\end{aligned}

מקצועות מקבילים ושווים בתיבה

\overrightarrow{A'E} = \frac{3}{4}(\underline{u} + \underline{v})

\begin{aligned}\overrightarrow{FE} &= \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'E} \\ &= -\frac{1}{2}\underline{v} - \underline{u} + \underline{w} + \frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}\end{aligned}

$F$ אמצע $BC$

= -\frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} + \underline{w}

$\overrightarrow{A'E} = \frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}$ , $\overrightarrow{FE} = -\frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} + \underline{w}$ .

תרגיל 2

נתון כי אורך מקצוע הבסיס הוא $4$ . ב. חשבו את האורך של הווקטור $\overrightarrow{A'E}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.243

הפתרון:

\begin{aligned}|\underline{u}| &= |\underline{v}| \\ &= 4 \\ \quad \underline{u} \cdot \underline{v} &= 0\end{aligned}

בסיס ריבועי

\begin{aligned}|\underline{u} + \underline{v}| &= \sqrt{16 + 16} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

אלכסון הריבוע

\begin{aligned}\left|\overrightarrow{A'E}\right| &= \frac{3}{4} \cdot 4\sqrt{2} \\ &= 3\sqrt{2} \approx 4.243\end{aligned}

$\left|\overrightarrow{A'E}\right| = 3\sqrt{2} \approx 4.243$ .

תרגיל 3

נתון כי אורך מקצוע הבסיס הוא $4$ . נתון: $\left|\overrightarrow{A'E}\right| = \left|\overrightarrow{FE}\right|$ . ג. הראו כי התיבה היא קובייה.

$\overrightarrow{FE} = -\frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} + \underline{w}$
$|\underline{u}| = |\underline{v}| = 4$
$\left|\overrightarrow{A'E}\right| = \left|\overrightarrow{FE}\right| = 3\sqrt{2}$

התיבה היא קובייה

להציג את התשובה והפתרון

$\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ מאונכים זה לזה — מקצועות של תיבה
$\left|\overrightarrow{FE}\right|^2 = 1 + 1 + |\underline{w}|^2$ — ריבוע של צירוף וקטורים מאונכים: $\frac{16}{16} + \frac{16}{16} + |\underline{w}|^2$
$2 + |\underline{w}|^2 = 18$ — נתון: $\left|\overrightarrow{FE}\right| = 3\sqrt{2}$
$|\underline{w}| = 4$ — אורך חיובי
התיבה היא קובייה — כל המקצועות באורך $4$

הפתרון:

\begin{aligned}\left|\overrightarrow{FE}\right|^2 &= \left(\tfrac{1}{4}\right)^2 \cdot 16 + \left(\tfrac{1}{4}\right)^2 \cdot 16 + |\underline{w}|^2 \\ &= 2 + |\underline{w}|^2\end{aligned}

הווקטורים מאונכים: המכפלות המעורבות מתאפסות

\begin{aligned}2 + |\underline{w}|^2 &= (3\sqrt{2})^2 \\ &= 18 \Rightarrow |\underline{w}| \\ &= 4\end{aligned}

גובה התיבה שווה למקצוע הבסיס, $4$ : התיבה היא קובייה.

תרגיל 4

נתון כי אורך מקצוע הבסיס הוא $4$ . נתון: $\left|\overrightarrow{A'E}\right| = \left|\overrightarrow{FE}\right|$ . ד (1). הראו כי $\overrightarrow{FE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{A'C'}$ .

$\overrightarrow{FE} = -\frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} + \underline{w}$
$\overrightarrow{A'C'} = \underline{u} + \underline{v}$
התיבה היא קובייה שמקצועה $4$

$\overrightarrow{FE} \perp \overrightarrow{A'C'}$

להציג את התשובה והפתרון

$\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$ — מקצועות מאונכים בקובייה
$\overrightarrow{FE} \cdot \overrightarrow{A'C'} = -\frac{1}{4}|\underline{u}|^2 + \frac{1}{4}|\underline{v}|^2$ — פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
$\overrightarrow{FE} \cdot \overrightarrow{A'C'} = -4 + 4 = 0$ — $|\underline{u}| = |\underline{v}| = 4$
$\overrightarrow{FE} \perp \overrightarrow{A'C'}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

הפתרון:

\overrightarrow{FE} \cdot \overrightarrow{A'C'} = \left(-\tfrac{1}{4}\underline{u} + \tfrac{1}{4}\underline{v} + \underline{w}\right) \cdot (\underline{u} + \underline{v})

= -\tfrac{1}{4} \cdot 16 + \tfrac{1}{4} \cdot 16 = 0

המכפלות של וקטורים מאונכים מתאפסות

המכפלה הסקלרית היא $0$ , ולכן $\overrightarrow{FE} \perp \overrightarrow{A'C'}$ .

תרגיל 5

נתון כי אורך מקצוע הבסיס הוא $4$ . נתון: $\left|\overrightarrow{A'E}\right| = \left|\overrightarrow{FE}\right|$ . ד (2). חשבו את שטח המשולש $A'FC'$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

E \in A'C', \quad FE \perp A'C'

סעיף ד (1): $FE$ הוא הגובה לצלע $A'C'$

\begin{aligned}A'C' &= 4\sqrt{2} \\ \quad FE &= 3\sqrt{2}\end{aligned}

סעיפים ב–ג

\begin{aligned}S &= \frac{4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{2} \\ &= 12\end{aligned}

שטח המשולש הוא $12$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: פינגווינים

באזור $A$ חיים פינגווינים. מתחילת שנת $2000$ מספר הפינגווינים באזור זה קטן בכל שנה באחוז קבוע.

תרגיל 1

א. האם ההפרש בין מספר הפינגווינים בתחילת שנת $2000$ ובין מספרם בתחילת שנת $2001$ שווה להפרש בין מספר הפינגווינים בתחילת שנת $2001$ ובין מספרם בתחילת שנת $2002$ ? נמקו את תשובתכם.

אאי אפשר לדעת בלי לדעת את האחוז
בכן: המספר קטן בכל שנה באותו אחוז, ולכן באותו מספר פינגווינים
גלא: ההפרש השני גדול מהראשון, כי הירידה מצטברת
דלא: ההפרש השני קטן מהראשון, כי $q < 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא: ההפרש השני קטן מהראשון, כי $q < 1$

הפתרון:

\begin{aligned}M_t &= M_0 q^t \\ \quad 0 < q < 1\end{aligned}

דעיכה באחוז קבוע

\begin{aligned}M_0 - M_1 &= M_0(1 - q) \\ \quad M_1 - M_2 &= M_0 q(1 - q)\end{aligned}

M_0 q(1 - q) < M_0(1 - q)

$q < 1$

לא. אחוז קבוע מתוך כמות שקטנה הוא מספר קטן יותר בכל שנה.

תרגיל 2

בתחילת שנת $2000$ היו $253{,}000$ פינגווינים באזור $A$ . מספר הפינגווינים באזור זה קטן ב־ $5\%$ בכל שנה. גם באזור $B$ חיים פינגווינים. מספר הפינגווינים באזור זה קטן בכל שנה באחוז קבוע. בתחילת שנת $2000$ היו $313{,}000$ פינגווינים באזור $B$ . בתחילת שנת $2010$ מספר הפינגווינים באזור $A$ היה שווה למספר הפינגווינים באזור $B$ . ב. מצאו בכמה אחוזים קטן מספר הפינגווינים באזור $B$ בכל שנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

253000 \cdot 0.95^{10} = 313000 \cdot q^{10}

השוויון בתחילת $2010$ , אחרי $10$ שנים

q = 0.95 \cdot \sqrt[10]{\frac{253}{313}} \approx 0.93

1 - 0.93 = 0.07

מספר הפינגווינים באזור $B$ קטן ב־ $7\%$ בכל שנה.

תרגיל 3

בתחילת שנת $2000$ היו $253{,}000$ פינגווינים באזור $A$ . מספר הפינגווינים באזור זה קטן ב־ $5\%$ בכל שנה. גם באזור $B$ חיים פינגווינים. מספר הפינגווינים באזור זה קטן בכל שנה באחוז קבוע. בתחילת שנת $2000$ היו $313{,}000$ פינגווינים באזור $B$ . בתחילת שנת $2010$ מספר הפינגווינים באזור $A$ היה שווה למספר הפינגווינים באזור $B$ . ג. מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת $2000$ מספר הפינגווינים באזור $B$ היה $98{,}000$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

313000 \cdot 0.93^t = 98000

t = \frac{\log\frac{98000}{313000}}{\log 0.93} \approx 16

כעבור $16$ שנים (בתחילת שנת $2016$ ).

תרגיל 4

בתחילת שנת $2000$ היו $253{,}000$ פינגווינים באזור $A$ . מספר הפינגווינים באזור זה קטן ב־ $5\%$ בכל שנה. גם באזור $B$ חיים פינגווינים. מספר הפינגווינים באזור זה קטן בכל שנה באחוז קבוע. בתחילת שנת $2000$ היו $313{,}000$ פינגווינים באזור $B$ . בתחילת שנת $2010$ מספר הפינגווינים באזור $A$ היה שווה למספר הפינגווינים באזור $B$ . מתחילת שנת $2018$ , בעקבות שיקום אזור $A$ , גדל מספר הפינגווינים באזור זה ב־ $2\%$ בכל שנה. ד. מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת $2018$ גדל מספר הפינגווינים באזור $A$ ב־ $17\%$ ממספרם בתחילת שנת $2018$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.93

הפתרון:

M \cdot 1.02^t = 1.17\,M

גדילה ב־ $17\%$ : פי $1.17$

t = \frac{\log 1.17}{\log 1.02} \approx 7.93

כעבור כ־ $7.93$ שנים, כלומר במהלך השנה השמינית.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = (3x^2 - a) \cdot e^x$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = 1$ .

תרגיל 1

א. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 6x\,e^x + (3x^2 - a)\,e^x \\ &= (3x^2 + 6x - a)\,e^x\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(1) &= (9 - a)\,e \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 9\end{aligned}

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת

$a = 9$ .

תרגיל 2

הציבו $a = 9$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ה. ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. (יש לכתוב את הנקודה שבה $x$ קטן יותר ראשונה, ואת $y$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -3 $,$ 0.9 $)$ , $($ 1 $,$ -16.31 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= (3x^2 + 6x - 9)\,e^x \\ &= 3(x + 3)(x - 1)\,e^x\end{aligned}

x < -3: f' > 0, \quad -3 < x < 1: f' < 0, \quad x > 1: f' > 0

$e^x > 0$ ; סימן הפרבולה

f(-3) = 18e^{-3} \approx 0.90: \ \max

f(1) = -6e \approx -16.31: \ \min

מקסימום ב־ $(-3, 18e^{-3}) \approx (-3, 0.90)$ , מינימום ב־ $(1, -6e) \approx (1, -16.31)$ .

תרגיל 3

הציבו $a = 9$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ה. ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים. (יש לכתוב מספרים עשרוניים, הקטן קודם.)

עם ציר ה־ $y$ : $(0 ,$ ____ $)$ ; עם ציר ה־ $x$ : $($ ____ $, 0)$ , $($ ____ $, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה־ $y$ : $(0 ,$ -9 $)$ ; עם ציר ה־ $x$ : $($ -1.732 $, 0)$ , $($ 1.732 $, 0)$

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= (0 - 9) \cdot 1 \\ &= -9\end{aligned}

\begin{aligned}3x^2 - 9 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.732\end{aligned}

$e^x \neq 0$

חיתוך עם ציר ה־ $y$ : $(0, -9)$ ; עם ציר ה־ $x$ : $(-\sqrt{3}, 0)$ , $(\sqrt{3}, 0)$ .

תרגיל 4

הגרפים I–IV

הציבו $a = 9$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ה. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף I
בגרף IV
גגרף III
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף III

הפתרון:

x \to -\infty: f \to 0, \quad x \to \infty: f \to \infty

הפונקציה המעריכית קובעת את הגבולות

\max(-3, 0.90), \ \min(1, -16.31)

סעיף ב

(\pm\sqrt{3}, 0), \ (0, -9)

סעיף ג

גרף III: מתקרב לציר ה־ $x$ משמאל, מקסימום נמוך ב־ $x = -3$ , חוצה את הציר ב־ $-\sqrt{3}$ , יורד דרך $(0, -9)$ למינימום ב־ $x = 1$ , ועולה דרך $\sqrt{3}$ . גרף I הפוך, גרף II הוא שיקופו, ובגרף IV החיתוכים ב־ $\pm 1$ .

תרגיל 5

הגרפים I–IV

הציבו $a = 9$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ה. נתונה הפונקציה $g(x) = |f(x)|$ , המוגדרת לכל $x$ . ה (1). קבעו איזה מן הגרפים $I$ – $IV$ שלפניכם מתאר את הפונקציה $g(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף I: הוא יורד מתחת לציר ה־ $x$
בגרף II: הוא מתקרב לציר ה־ $x$ מימין
גגרף IV: אינו שלילי, ונוגע בציר ה־ $x$ ב־ $\pm\sqrt{3}$
דגרף III: הוא נוגע בציר ה־ $x$ ב־ $\pm 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף IV: אינו שלילי, ונוגע בציר ה־ $x$ ב־ $\pm\sqrt{3}$

הפתרון:

g(x) = |f(x)| \ge 0

גרפים שיורדים מתחת לציר נפסלים

\begin{aligned}g &= 0 \iff x \\ &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}

סעיף ג

x \to -\infty: g \to 0, \quad x \to \infty: g \to \infty

גרף IV. גרף I הוא $f$ עצמה, גרף II הוא שיקוף, ובגרף III נקודות ההשקה בציר במקום הלא נכון.

תרגיל 6

הציבו $a = 9$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ה. נתונה הפונקציה $g(x) = |f(x)|$ , המוגדרת לכל $x$ . ה (2). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגן. (ארבע נקודות, מהקטנה ל־ $x$ לגדולה; $x$ בדיוק של שלוש ספרות ו־ $y$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -3 $,$ 0.9 $)$ , $($ -1.732 $,$ 0 $)$ , $($ 1 $,$ 16.31 $)$ , $($ 1.732 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}g(-3) &= |0.90| \\ &= 0.90: \ \max\end{aligned}

קיצון של $f$ מעל הציר נשאר

g(\pm\sqrt{3}) = 0: \ \min

שם $f$ מחליפה סימן, ו־ $g$ נוגעת בציר

\begin{aligned}g(1) &= |-16.31| \\ &= 16.31: \ \max\end{aligned}

המינימום של $f$ מתחת לציר משתקף למקסימום

מקסימום $(-3, 0.90)$ , מינימום $(-\sqrt{3}, 0)$ , מקסימום $(1, 6e) \approx (1, 16.31)$ , מינימום $(\sqrt{3}, 0)$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{x^2}{-6 + 4\ln(x)}$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . (התחום הוא $x > 0$ , $x \neq e^k$ .)

$k =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 1.5

הפתרון:

x > 0

תחום ההגדרה של $\ln x$

-6 + 4\ln x \neq 0 \Rightarrow \ln x \neq 1.5 \Rightarrow x \neq e^{1.5}

מכנה שונה מאפס

תחום ההגדרה: $x > 0$ , $x \neq e^{1.5}$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־ $x$ של הפונקציה $f(x)$ .

א $x = 0$
ב $x = e^{1.5}$
ג $x = 1.5$
ד $x = e^{1.5}$ וגם $x = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = e^{1.5}$

הפתרון:

x \to e^{1.5}: \ -6 + 4\ln x \to 0, \ x^2 \to e^3 \neq 0 \Rightarrow f \to \pm\infty

x \to 0^+: \ \frac{x^2}{-6 + 4\ln x} \to \frac{0}{-\infty} = 0

אין אסימפטוטה ב־ $x = 0$

האסימפטוטה האנכית: $x = e^{1.5} \approx 4.48$ .

תרגיל 3

ב. האם גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה־ $x$ ? נמקו את תשובתכם.

אלא: $f(x) = 0$ רק ב־ $x = 0$ , שאינו בתחום ההגדרה
בכן: ב־ $x = 0$ , כי $f(0) = 0$
גכן: ב־ $x = 1$ , כי $\ln 1 = 0$
דכן: ב־ $x = e^{1.5}$ , שבו המכנה מתאפס

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא: $f(x) = 0$ רק ב־ $x = 0$ , שאינו בתחום ההגדרה

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= 0 \iff x^2 \\ &= 0 \iff x \\ &= 0\end{aligned}

מנה מתאפסת כשהמונה מתאפס

x = 0 \notin \{x > 0\}

לא. הגרף אינו חותך את ציר ה־ $x$ .

תרגיל 4

ג (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (הנקודה היא $(e^k, y_0)$ ; כתבו את $y_0$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$k =$ ____ , $y_0 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 2 , $y_0 =$ 27.3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(-6 + 4\ln x) - x^2 \cdot \frac{4}{x}}{(-6 + 4\ln x)^2} \\ &= \frac{8x(\ln x - 2)}{(-6 + 4\ln x)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

e^{1.5} < x < e^2: f' < 0, \quad x > e^2: f' > 0

מינימום

\begin{aligned}f(e^2) &= \frac{e^4}{-6 + 8} \\ &= \frac{e^4}{2} \approx 27.30\end{aligned}

מינימום ב־ $\left(e^2, \frac{e^4}{2}\right) \approx (7.39, 27.30)$ .

תרגיל 5

ג (2). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ .

איורדת ב־ $0 < x < e^2$ , כולל ב־ $x = e^{1.5}$ ; עולה ב־ $x > e^2$
ביורדת ב־ $x < e^2$ ועולה ב־ $x > e^2$
גיורדת ב־ $0 < x < e^{1.5}$ וב־ $e^{1.5} < x < e^2$ ; עולה ב־ $x > e^2$
דעולה ב־ $0 < x < e^{1.5}$ ; יורדת ב־ $e^{1.5} < x < e^2$ ; עולה ב־ $x > e^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג יורדת ב־ $0 < x < e^{1.5}$ וב־ $e^{1.5} < x < e^2$ ; עולה ב־ $x > e^2$

הפתרון:

\text{סימן } f' = \text{סימן } (\ln x - 2)

המכנה ריבוע חיובי, ו־ $8x > 0$

\ln x < 2 \iff x < e^2

x = e^{1.5} \notin D

הקטע נחתך באסימפטוטה

יורדת ב־ $0 < x < e^{1.5}$ וב־ $e^{1.5} < x < e^2$ ; עולה ב־ $x > e^2$ .

תרגיל 6

הגרפים I–IV

תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ד (1). קבעו איזה מן הגרפים $I$ – $IV$ שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$ , ואיזה מהם מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . נמקו את קביעותיכם.

א $f$ : גרף IV; $f'$ : גרף I
ב $f$ : גרף II; $f'$ : גרף III
ג $f$ : גרף III; $f'$ : גרף II
ד $f$ : גרף III; $f'$ : גרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $f$ : גרף III; $f'$ : גרף II

הפתרון:

0 < x < e^{1.5}: \ f < 0, \ f \searrow

המכנה שלילי

x > e^{1.5}: \ \min(e^2, 27.3)

סעיף ג

f' < 0 \ (x < e^2), \quad f' > 0 \ (x > e^2)

הנגזרת חוצה את הציר במינימום של $f$

$f$ הוא גרף III, ו־ $f'$ הוא גרף II. גרף IV הוא $-f$ , וגרף I הוא $-f'$ .

תרגיל 7

תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ד (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישר $x = e^3$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 39.94

הפתרון:

f'(x) > 0 \ \text{ב־} \ e^2 < x < e^3

הנגזרת חוצה את ציר ה־ $x$ ב־ $x = e^2$

\begin{aligned}S &= \int_{e^2}^{e^3} f'(x)\,dx \\ &= f(e^3) - f(e^2)\end{aligned}

הפונקציה $f$ קדומה ל־ $f'$

= \frac{e^6}{6} - \frac{e^4}{2} \approx 67.24 - 27.30 = 39.94

$f(e^3) = \frac{e^6}{-6 + 12}$

השטח: $\frac{e^6}{6} - \frac{e^4}{2} \approx 39.94$ .

לפתור את השאלה באתר

בגרות במתמטיקה 35472, קיץ 2026, מועד ב׳ — פתרון מלא

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — סדרות: איסוף בקבוקים למסיבת סיום

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 2 — תיבה שבסיסה ריבוע, וקטורים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: פינגווינים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות