בגרות במתמטיקה 35571 חורף 2022

שאלה 1 — שאלות קצרות

ענה על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד שלפניך. אם תענה על יותר משלושה סעיפים, ייבדקו רק שלוש התשובות הראשונות במחברתך.

תרגיל 1

א. לפניך טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . נתון: שטח המשולש $ADC$ הוא $24$ ושטח המשולש $ADB$ הוא $12$ . (1) חשב את היחס בין אורך הבסיס הגדול ובין אורך הבסיס הקטן של הטרפז $ABCD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{DC \cdot h}{2} \\ \quad S_{ADB} &= \frac{AB \cdot h}{2}\end{aligned}

$h$ הוא גובה הטרפז. הוא גם הגובה של המשולש $ADC$ לבסיס $DC$ , וגם הגובה של המשולש $ADB$ לבסיס $AB$ , כי $AB \parallel CD$

\begin{aligned}\frac{DC}{AB} &= \frac{S_{ADC}}{S_{ADB}} \\ &= \frac{24}{12} \\ &= 2\end{aligned}

מחלקים את שני השטחים: $\frac{h}{2}$ מצטמצם

הבסיס הגדול $DC$ ארוך פי $2$ מן הבסיס הקטן $AB$ : היחס הוא $2 : 1$ .

תרגיל 2

א. לפניך טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . נתון: שטח המשולש $ADC$ הוא $24$ ושטח המשולש $ADB$ הוא $12$ . (2) חשב את שטח הטרפז $ABCD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{AB \cdot h}{2} \\ &= S_{ADB} \\ &= 12\end{aligned}

למשולשים $ABC$ ו־ $ADB$ יש אותו בסיס $AB$ ואותו גובה $h$

\begin{aligned}S_{ABCD} &= S_{ADC} + S_{ABC} \\ &= 24 + 12 \\ &= 36\end{aligned}

האלכסון $AC$ מחלק את הטרפז לשני משולשים

שטח הטרפז הוא $36$ . בדיקה: $DC = 2AB$ , ולכן $S_{ABCD} = \frac{(AB + 2AB) \cdot h}{2} = 3 \cdot \frac{AB \cdot h}{2} = 3 \cdot 12 = 36$ .

תרגיל 3

ב (1). בעבור כל $n$ טבעי, הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת את הטענה: $\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right) = n + 1$

$n$ מספר טבעי

$\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right) = n + 1$

להציג את התשובה והפתרון

$1 + \frac{1}{1} = 2 = 1 + 1$ — בדיקה עבור $n = 1$
$\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k}\right) = k + 1$ — הנחת האינדוקציה
$\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1)\left(1 + \frac{1}{k+1}\right)$ — כופלים בגורם ה־ $(k+1)$ ומציבים את הנחת האינדוקציה
$(k + 1)\left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1) + 1 = k + 2$ — פתיחת סוגריים: $(k + 1) \cdot \frac{1}{k+1} = 1$
$\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = k + 2$ — זו הטענה עבור $n = k + 1$ ; עם הבדיקה עבור $n = 1$ , היא נכונה לכל $n$ טבעי

הפתרון:

\begin{aligned}1 + \frac{1}{1} &= 2 \\ &= 1 + 1\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$

\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1) \cdot \frac{k + 2}{k + 1}

הנחת האינדוקציה, ואז הגורם ה־ $(k+1)$ : $1 + \frac{1}{k+1} = \frac{k + 2}{k + 1}$

\begin{aligned}(k + 1) \cdot \frac{k + 2}{k + 1} &= k + 2 \\ &= (k + 1) + 1\end{aligned}

זו הטענה עבור $n = k + 1$

דרך אחרת: כל גורם הוא $1 + \frac{1}{m} = \frac{m + 1}{m}$ , ולכן המכפלה היא $\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{n + 1}{n}$ . כל מונה מצטמצם עם המכנה שאחריו, ונשאר $\frac{n + 1}{1} = n + 1$ .

תרגיל 4

ב (2). חשב את המכפלה: $\left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{5}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{99}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

\begin{aligned}\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{99}\right) &= 99 + 1 \\ &= 100\end{aligned}

הטענה של סעיף ב (1) עם $n = 99$

1 + \frac{1}{1} = 2

המכפלה המבוקשת מתחילה בגורם השני, בלי הגורם הזה

\frac{100}{2} = 50

מחלקים את המכפלה המלאה בגורם החסר

המכפלה היא $50$ . המלכודת: לענות $100$ , ולשכוח שהמכפלה מתחילה ב־ $1 + \frac{1}{2}$ .

תרגיל 5

ג. בעבור כל אחת מן הטענות (1)–(2) שלפניך, קבע אם היא נכונה לכל $x$ . נמק. (1) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$

אנכונה רק כאשר $x = 0$ : רק אז הזוויות $\frac{\pi}{2} - x$ ו־ $\frac{\pi}{2} + x$ שוות
בנכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $\cos x$
גלא נכונה לכל $x$ : אגף שמאל שווה ל־ $\cos x$ , ואגף ימין שווה ל־ $-\cos x$
דלא נכונה לכל $x$ : אגף שמאל שווה ל־ $\cos x$ , ואגף ימין שווה ל־ $\sin x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב נכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $\cos x$

הפתרון:

\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x

זהות של זוויות משלימות ל־ $\frac{\pi}{2}$

\begin{aligned}\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) &= \sin\left(\pi - \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right) \\ &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= \cos x\end{aligned}

$\sin(\pi - t) = \sin t$

הטענה נכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $\cos x$ . המלכודת: לחשוב שזוויות שונות נותנות סינוס שונה — שתי הזוויות $\frac{\pi}{2} - x$ ו־ $\frac{\pi}{2} + x$ סימטריות סביב $\frac{\pi}{2}$ .

תרגיל 6

ג. בעבור כל אחת מן הטענות (1)–(2) שלפניך, קבע אם היא נכונה לכל $x$ . נמק. (2) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$

אנכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $\cos x$
בנכונה לכל $x$ : סינוס היא פונקציה זוגית, ולכן $\sin(-t) = \sin t$
גלא נכונה לכל $x$ : אגף ימין שווה ל־ $-\cos x$ , ולמשל ב־ $x = 0$ אגף שמאל הוא $1$ ואגף ימין הוא $-1$
דלא נכונה לכל $x$ : אין אף $x$ שבעבורו השוויון מתקיים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא נכונה לכל $x$ : אגף ימין שווה ל־ $-\cos x$ , ולמשל ב־ $x = 0$ אגף שמאל הוא $1$ ואגף ימין הוא $-1$

הפתרון:

\begin{aligned}\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) &= -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= -\cos x\end{aligned}

סינוס היא פונקציה אי־זוגית: $\sin(-t) = -\sin t$

\begin{aligned}\cos x &= -\cos x \iff \cos x \\ &= 0\end{aligned}

השוויון מתקיים רק כאשר $\cos x = 0$

\begin{aligned}x &= 0: \quad \sin\frac{\pi}{2} \\ &= 1 \\ \quad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) &= -1\end{aligned}

דוגמה נגדית

הטענה אינה נכונה לכל $x$ : היא מתקיימת רק כאשר $\cos x = 0$ (למשל $x = \frac{\pi}{2}$ ), ו־ $x = 0$ היא דוגמה נגדית.

תרגיל 7

ד. לפניך הגרף של פונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא $y = 1$ (ראה סרטוט), ו־ $2$ נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום $(0, 3)$ ונקודת מינימום $(-2, -1)$ . נגדיר את הפונקציה $g(x) = f(-x) + 1$ . גם הפונקציה $g(x)$ מוגדרת לכל $x$ . (1) מצא את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה $g(x)$ . נמק.

$y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 2

הפתרון:

x \to \pm\infty: \quad f(-x) \to 1

כאשר $x \to \infty$ , אז $-x \to -\infty$ , ולהפך; והפונקציה $f$ שואפת ל־ $1$ בשני הכיוונים

\begin{aligned}g(x) &= f(-x) + 1 \to 1 + 1 \\ &= 2\end{aligned}

$y = 2$ . השיקוף $f(-x)$ סביב ציר ה־ $y$ משאיר את האסימפטוטה $y = 1$ במקומה, וההזזה ב־ $1$ למעלה מעבירה אותה ל־ $y = 2$ .

תרגיל 8

ד. לפניך הגרף של פונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא $y = 1$ (ראה סרטוט), ו־ $2$ נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום $(0, 3)$ ונקודת מינימום $(-2, -1)$ . נגדיר את הפונקציה $g(x) = f(-x) + 1$ . גם הפונקציה $g(x)$ מוגדרת לכל $x$ . (2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבע את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 0 $,$ 4 $)$ ו־ $($ 2 $,$ 0 $)$ (משמאל לימין)

הפתרון:

f(-x): \quad (0, 3) \to (0, 3), \quad (-2, -1) \to (2, -1)

שיקוף סביב ציר ה־ $y$ : שיעור ה־ $x$ מחליף סימן, ושיעור ה־ $y$ וסוג הקיצון לא משתנים

\begin{aligned}g(x) &= f(-x) + 1: \quad (0, 4) \\ \quad (2, 0)\end{aligned}

הזזה ב־ $1$ למעלה: מוסיפים $1$ לשיעור ה־ $y$ , וסוג הקיצון לא משתנה

נקודת מקסימום $(0, 4)$ ונקודת מינימום $(2, 0)$ . המלכודת: להחליף את הסימן של שיעור ה־ $y$ במקום את הסימן של שיעור ה־ $x$ — זה היה השיקוף $-f(x)$ , שהופך מקסימום למינימום.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — סדרות חשבוניות

נתונה סדרה חשבונית $A$ עולה שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \ldots$ , והפרשה $d$ . מסמנים ב־ $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה $A$ , לכל $n$ טבעי. מגדירים סדרה נוספת, $B$ , שאיבריה הם $b_1, b_2, b_3, \ldots$ . איברי הסדרה $B$ מקיימים $b_n = S_{n+1} - S_n$ , לכל $n$ טבעי.

תרגיל 1

א (1). האם הסדרה $B$ היא סדרה חשבונית? נמק.

אלא: $b_n$ הוא הפרש של שני סכומים, ולכן ההפרש $b_{n+1} - b_n$ תלוי ב־ $n$
בלא: רק הסדרה $A$ נתונה כסדרה חשבונית
גכן: $b_{n+1} - b_n = S_{n+2} - S_n$ , ולכן ההפרש של $B$ הוא $2d$
דכן: $b_n = a_{n+1}$ , ולכן $b_{n+1} - b_n = a_{n+2} - a_{n+1} = d$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כן: $b_n = a_{n+1}$ , ולכן $b_{n+1} - b_n = a_{n+2} - a_{n+1} = d$

הפתרון:

\begin{aligned}b_n &= S_{n+1} - S_n \\ &= a_{n+1}\end{aligned}

בסכום של $n + 1$ איברים יש איבר אחד יותר מבסכום של $n$ איברים: האיבר ה־ $(n+1)$

\begin{aligned}b_{n+1} - b_n &= a_{n+2} - a_{n+1} \\ &= d\end{aligned}

ההפרש קבוע

כן: $B$ היא סדרה חשבונית, והפרשה $d$ , כמו ההפרש של $A$ .

תרגיל 2

א (2). האם הסדרה $B$ זהה לסדרה $A$ ? נמק.

אלא: $b_n = a_{n+1} = a_n + d$ , ו־ $d > 0$ כי הסדרה $A$ עולה
בלא: ההפרש של הסדרה $B$ הוא $2d$
גכן: לשתי הסדרות אותו הפרש $d$
דכן: $b_n = S_{n+1} - S_n = a_n$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא: $b_n = a_{n+1} = a_n + d$ , ו־ $d > 0$ כי הסדרה $A$ עולה

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ \quad b_2 &= a_3 \\ \quad \ldots \\ \quad b_n &= a_{n+1}\end{aligned}

סעיף א (1)

\begin{aligned}b_n - a_n &= a_{n+1} - a_n \\ &= d > 0\end{aligned}

הסדרה $A$ עולה, ולכן $d > 0$

לא: $B$ היא הסדרה $A$ בלי האיבר הראשון שלה, וכל איבר של $B$ גדול ב־ $d$ מן האיבר שבאותו מקום ב־ $A$ . המלכודת: אותו הפרש אינו אומר אותה סדרה — צריך גם אותו איבר ראשון.

תרגיל 3

מסמנים ב־ $T_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה $B$ , לכל $n$ טבעי. ב. הוכח כי לכל $n$ טבעי זוגי מתקיים: $T_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + (b_3 + b_4)(b_3 - b_4) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d}$ .

$B$ סדרה חשבונית שהפרשה $d$ (סעיף א (1))
$d > 0$ (הסדרה $A$ עולה)
$n$ מספר טבעי זוגי

$T_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + (b_3 + b_4)(b_3 - b_4) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d}$

להציג את התשובה והפתרון

$b_1 - b_2 = b_3 - b_4 = \ldots = b_{n-1} - b_n = -d$ — בסדרה חשבונית שהפרשה $d$ , כל איבר קטן ב־ $d$ מן האיבר שאחריו
$(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n) = -d\left[(b_1 + b_2) + (b_3 + b_4) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)\right]$ — מציבים $-d$ בכל זוג ומוציאים גורם משותף
$(b_1 + b_2) + (b_3 + b_4) + \ldots + (b_{n-1} + b_n) = T_n$ — $n$ זוגי, ולכן $n$ האיברים מתחלקים ל־ $\frac{n}{2}$ זוגות
$(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n) = -d \cdot T_n$ — מציבים את סכום הזוגות
$T_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d}$ — מחלקים ב־ $-d$ , ש־ $d \neq 0$ כי הסדרה $A$ עולה

הפתרון:

b_{k} - b_{k+1} = -d

בכל זוג: $B$ חשבונית שהפרשה $d$

\begin{aligned}(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n) &= -d\left[(b_1 + b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)\right] \\ &= -d \cdot T_n\end{aligned}

$n$ זוגי: הזוגות מכסים את כל $n$ האיברים

T_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d}

$d \neq 0$

הזוגיות של $n$ חשובה: בלעדיה האיבר האחרון $b_n$ נשאר בלי זוג. ואפשר לחלק ב־ $-d$ רק כי $d \neq 0$ — הסדרה עולה.

תרגיל 4

מסמנים ב־ $T_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה $B$ , לכל $n$ טבעי. נתון: $b_1^2 - b_2^2 + b_3^2 - b_4^2 + \ldots + b_{39}^2 - b_{40}^2 = -95$ , $T_5 = -20$ . ג. חשב את $d$ ואת $b_1$ (אפשר להיעזר בסעיף ב).

$d =$ ____ , $b_1 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $d =$ 0.5 , $b_1 =$ -5

הפתרון:

b_1^2 - b_2^2 + \ldots + b_{39}^2 - b_{40}^2 = (b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{39} + b_{40})(b_{39} - b_{40})

נוסחת הכפל המקוצר $u^2 - v^2 = (u + v)(u - v)$

\begin{aligned}T_{40} &= \frac{-95}{-d} \\ &= \frac{95}{d}\end{aligned}

סעיף ב עם $n = 40$ , מספר זוגי

\begin{aligned}T_5 &= \frac{5(2b_1 + 4d)}{2} \\ &= -20 \Rightarrow b_1 + 2d \\ &= -4 \Rightarrow b_1 \\ &= -4 - 2d\end{aligned}

סכום של סדרה חשבונית; $5$ אי־זוגי, ולכן כאן לא משתמשים בסעיף ב

\begin{aligned}T_{40} &= \frac{40(2b_1 + 39d)}{2} \\ &= 20(-8 + 35d)\end{aligned}

מציבים $b_1 = -4 - 2d$

\begin{aligned}20d(-8 + 35d) &= 95 \Rightarrow 140d^2 - 32d - 19 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ל־ $\frac{95}{d}$ , כופלים ב־ $d$ ומחלקים ב־ $5$

\begin{aligned}d &= \frac{32 \pm 108}{280}: \quad d \\ &= 0.5 \\ \quad d &= -\frac{19}{70}\end{aligned}

$\sqrt{32^2 + 4 \cdot 140 \cdot 19} = \sqrt{11664} = 108$ ; הסדרה עולה, ולכן $d > 0$ ו־ $d = 0.5$

\begin{aligned}b_1 &= -4 - 2 \cdot 0.5 \\ &= -5\end{aligned}

$d = 0.5$ ו־ $b_1 = -5$ . המלכודת: לשכוח לפסול את $d = -\frac{19}{70}$ — הסדרה $A$ עולה.

תרגיל 5

מסמנים ב־ $T_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה $B$ , לכל $n$ טבעי. נתון: $b_1^2 - b_2^2 + b_3^2 - b_4^2 + \ldots + b_{39}^2 - b_{40}^2 = -95$ , $T_5 = -20$ . מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה $A$ הנמצאים במקומות האי־זוגיים, החל באיבר הראשון. ד. מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר באופן זה כדי שהסכום שיתקבל יהיה מספר חיובי שלם? נמק.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= a_2 - d \\ &= b_1 - d \\ &= -5 - 0.5 \\ &= -5.5\end{aligned}

$b_1 = a_2$ (סעיף א)

a_1, a_3, a_5, \ldots: \quad -5.5, \ -4.5, \ -3.5, \ \ldots

האיברים במקומות האי־זוגיים: סדרה חשבונית שהפרשה $2d = 1$

\begin{aligned}U_k &= \frac{k\left(2 \cdot (-5.5) + (k - 1) \cdot 1\right)}{2} \\ &= \frac{k(k - 12)}{2}\end{aligned}

$U_k$ — הסכום של $k$ איברים כאלה

U_k > 0 \iff k > 12

$k$ חיובי

\begin{aligned}U_{13} &= \frac{13 \cdot 1}{2} \\ &= 6.5 \\ \quad U_{14} &= \frac{14 \cdot 2}{2} \\ &= 14\end{aligned}

$U_{13}$ חיובי אך אינו שלם

צריך לחבר $14$ איברים לפחות (הסכום אז $14$ ). כל איבר שמחברים הוא מספר שלם ועוד חצי, ולכן הסכום שלם רק כאשר מספר האיברים זוגי. המלכודת: לעצור ב־ $13$ איברים — הסכום חיובי, אבל $6.5$ אינו שלם.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — הסתברות: סוכריות תות ומנטה

בקופסה יש שלוש סוכריות בטעם תות ושתי סוכריות בטעם מנטה. ליאור מוציא באקראי סוכרייה מן הקופסה. אם הסוכרייה היא בטעם מנטה – הוא מחזיר אותה לקופסה, ואם היא בטעם תות – הוא אוכל אותה מייד.

תרגיל 1

א. ליאור מוציא מן הקופסה שלוש סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. (1) חשב את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק סוכרייה אחת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.366

הפתרון:

\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{4} = 0.15

תות ואז מנטה פעמיים: אחרי שאכל סוכרייה, בקופסה $2$ סוכריות תות ו־ $2$ מנטה

\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0.12

מנטה, תות, מנטה: המנטה חוזרת לקופסה, ולכן ההוצאה השנייה עדיין מתוך $5$

\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = 0.096

מנטה, מנטה, תות

0.15 + 0.12 + 0.096 = 0.366

שלושה מסלולים זרים

ההסתברות היא $0.366$ . המלכודת: לחשב כאילו כל סוכרייה שהוצאה נשארת בחוץ — רק סוכריות התות יוצאות מן הקופסה.

תרגיל 2

א. ליאור מוציא מן הקופסה שלוש סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. (2) חשב את ההסתברות שליאור אכל את הסוכרייה השנייה שהוא הוציא, אם ידוע כי ליאור אכל בדיוק סוכרייה אחת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3279

הפתרון:

0.366

ההסתברות שאכל בדיוק סוכרייה אחת (סעיף א (1))

0.12

מבין שלושת המסלולים, רק במסלול מנטה, תות, מנטה הוא אוכל את הסוכרייה השנייה

\frac{0.12}{0.366} = \frac{20}{61} \approx 0.328

הסתברות מותנית

ההסתברות היא $\frac{20}{61} \approx 0.328$ . המלכודת: לענות $0.12$ — זו ההסתברות של החיתוך, ועוד לא חילקנו בהסתברות של התנאי.

תרגיל 3

ב. ליאור מוציא מן הקופסה $n$ סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. הבע בעזרת $n$ את ההסתברות שליאור יאכל סוכרייה אחת לפחות.

א $n \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$
ב $\frac{3}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$
ג $1 - \left(\frac{3}{5}\right)^n$
ד $1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n$

הפתרון:

\left(\frac{2}{5}\right)^n

הוא לא אוכל אף סוכרייה רק אם הוציא מנטה בכל $n$ ההוצאות; כל מנטה חוזרת לקופסה, ולכן בכל הוצאה ההסתברות היא $\frac{2}{5}$

1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n

המאורע המשלים: סוכרייה אחת לפחות

ההסתברות היא $1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n$ . דרך המאורע המשלים אין צורך לעקוב אחרי ההסתברויות שמשתנות אחרי כל סוכריית תות.

תרגיל 4

ג. ליאור קיבל שתי קופסאות סוכריות, כל אחת מהן זהה לקופסה המתוארת בתחילת השאלה. ליאור מוציא שלוש סוכריות מכל אחת משתי הקופסאות, באופן המתואר בתחילת השאלה. חשב את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק שלוש סוכריות, שלושתן מאותה קופסה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.0128

הפתרון:

\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{10}

מקופסה אחת הוא אוכל שלוש סוכריות: תות שלוש פעמים

\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}

ומן הקופסה השנייה הוא לא אוכל אף סוכרייה: מנטה שלוש פעמים

\begin{aligned}2 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{8}{125} &= \frac{16}{1250} \\ &= \frac{8}{625} \\ &= 0.0128\end{aligned}

הקופסה שממנה אכל יכולה להיות הראשונה או השנייה

ההסתברות היא $\frac{8}{625} = 0.0128$ . המלכודת: לשכוח את הכפל ב־ $2$ , או לשכוח שמן הקופסה השנייה הוא לא אוכל אף סוכרייה — אחרת הוא אוכל יותר משלוש.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — משולש חסום במעגל, דמיון ומשיק

משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ (ראה סרטוט). הצלע $BC$ היא קוטר במעגל. $AG$ הוא המשך הצלע $CA$ . הקטע $GB$ חותך את המעגל בנקודה $D$ . נתון: $GA = AC$ .

תרגיל 1

א. הוכח כי הישר $AB$ חוצה את $\angle GBC$ .

$BC$ קוטר במעגל
$G$ על המשך הצלע $CA$
$GA = AC$

$\angle GBA = \angle ABC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAC = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
$\angle BAG = 90^\circ$ — זוויות צמודות משלימות ל־ $180^\circ$
$\triangle GAB \cong \triangle CAB$ — משפט החפיפה צ״ז״צ ( $GA = AC$ , הזווית שביניהן ישרה, $AB$ צלע משותפת)
$\angle GBA = \angle ABC$ — במשולשים חופפים, מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BAC &= 90^\circ \Rightarrow \angle BAG \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על הקוטר $BC$ , וזווית צמודה לה

\triangle GAB \cong \triangle CAB

צ״ז״צ: $GA = AC$ , $\angle BAG = \angle BAC$ , $AB$ משותפת

\angle GBA = \angle ABC

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

הישר $AB$ חוצה את $\angle GBC$ . מאותה חפיפה גם $BG = BC$ : המשולש $GBC$ שווה שוקיים, ונשתמש בזה בסעיף ג.

תרגיל 2

ב. הוכח כי $\triangle GBC \sim \triangle GAD$ .

הנקודות $D$ , $B$ , $C$ , $A$ על המעגל
$D$ על הקטע $GB$ , $A$ על הקטע $GC$

$\triangle GBC \sim \triangle GAD$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BGC = \angle AGD$ — זווית משותפת
$\angle GBC + \angle DAC = 180^\circ$ — במרובע חסום במעגל ( $DBCA$ ) סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$
$\angle GAD + \angle DAC = 180^\circ$ — זוויות צמודות משלימות ל־ $180^\circ$
$\angle GAD = \angle GBC$ — שתי זוויות המשלימות את אותה זווית ל־ $180^\circ$ שוות זו לזו
$\triangle GBC \sim \triangle GAD$ — משפט הדמיון ז״ז

הפתרון:

\angle G = \angle G

זווית משותפת

\begin{aligned}\angle GAD &= 180^\circ - \angle DAC \\ &= \angle DBC \\ &= \angle GBC\end{aligned}

זווית צמודה, וזוויות נגדיות במרובע החסום $DBCA$

\triangle GBC \sim \triangle GAD

ז״ז. ההתאמה: $G \leftrightarrow G$ , $B \leftrightarrow A$ , $C \leftrightarrow D$

הזווית החיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמולה. מההתאמה: $\frac{GB}{GA} = \frac{BC}{AD} = \frac{GC}{GD}$ .

תרגיל 3

נתון כי $\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}} = 15$ . ג. הבע באמצעות $R$ את אורך הצלע $AC$ .

$AC =$ ____ $\cdot R$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AC =$ 0.5 $\cdot R$

הפתרון:

\begin{aligned}S_{GBC} &= S_{GAD} + S_{DBCA} \\ &= 16 \, S_{GAD}\end{aligned}

המשולש $GBC$ מורכב מהמשולש $GAD$ ומהמרובע $DBCA$

\begin{aligned}\left(\frac{GB}{GA}\right)^2 &= 16 \Rightarrow \frac{GB}{GA} \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון (סעיף ב)

\begin{aligned}GB &= BC \\ &= 2R\end{aligned}

המשולש $GBC$ שווה שוקיים (סעיף א), ו־ $BC$ קוטר

\begin{aligned}AC &= GA \\ &= \frac{2R}{4} \\ &= \frac{R}{2}\end{aligned}

$AC = \frac{R}{2}$ .

תרגיל 4

נתון כי $\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}} = 15$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע $BA$ בנקודה $E$ . ד. חשב פי כמה גדול שטח המשולש $CBE$ משטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.0667

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BCE &= 90^\circ \\ &= \angle BAC\end{aligned}

המשיק מאונך לקוטר $BC$ בנקודת ההשקה, ו־ $\angle BAC$ היקפית על הקוטר

\triangle CBE \sim \triangle ABC

ז״ז: גם $\angle B$ משותפת. ההתאמה: $C \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow B$ , $E \leftrightarrow C$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{(2R)^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} \\ &= \frac{\sqrt{15}}{2} R\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$ , עם $AC = \frac{R}{2}$ (סעיף ג)

\begin{aligned}\frac{BC}{AB} &= \frac{2R}{\frac{\sqrt{15}}{2} R} \\ &= \frac{4}{\sqrt{15}}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_{CBE}}{S_{ABC}} &= \left(\frac{4}{\sqrt{15}}\right)^2 \\ &= \frac{16}{15} \approx 1.067\end{aligned}

שטח המשולש $CBE$ גדול פי $\frac{16}{15}$ משטח המשולש $ABC$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — קוטר, מיתר ומשיק במעגל

$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המיתר $CD$ חותך את הקוטר $AB$ בנקודה $F$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ (ראה סרטוט). נסמן: $\angle ADE = \alpha$ .

תרגיל 1

א. הראה כי $\angle BAD = 90^\circ - \alpha$ .

$AB$ קוטר במעגל
$ED$ משיק למעגל בנקודה $D$
$\angle ADE = \alpha$

$\angle BAD = 90^\circ - \alpha$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle ADB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
$\angle ABD = \alpha$ — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
$\angle BAD = 90^\circ - \alpha$ — סכום הזוויות במשולש $ABD$ הוא $180^\circ$

הפתרון:

\angle ADB = 90^\circ

זווית היקפית על הקוטר $AB$

\begin{aligned}\angle ABD &= \angle ADE \\ &= \alpha\end{aligned}

זווית בין משיק למיתר $AD$

\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ - 90^\circ - \alpha \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ABD$

$\angle BAD = 90^\circ - \alpha$ .

תרגיל 2

נתון כי $ED = FD$ . ב. הבע באמצעות $\alpha$ את גודל $\angle CDA$ .

א $\angle CDA = 90^\circ - 2\alpha$
ב $\angle CDA = 3\alpha$
ג $\angle CDA = 2\alpha$
ד $\angle CDA = 4\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\angle CDA = 3\alpha$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle DAE &= 180^\circ - (90^\circ - \alpha) \\ &= 90^\circ + \alpha\end{aligned}

זווית צמודה ל־ $\angle BAD$ (סעיף א)

\begin{aligned}\angle AED &= 180^\circ - \alpha - (90^\circ + \alpha) \\ &= 90^\circ - 2\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $AED$

\begin{aligned}\angle DFE &= \angle DEF \\ &= 90^\circ - 2\alpha\end{aligned}

במשולש $EDF$ , $ED = FD$ : מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

\begin{aligned}\angle EDF &= 180^\circ - 2(90^\circ - 2\alpha) \\ &= 4\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $EDF$

\begin{aligned}\angle CDA &= \angle EDF - \angle EDA \\ &= 4\alpha - \alpha \\ &= 3\alpha\end{aligned}

$F$ על המיתר $CD$

$\angle CDA = 3\alpha$ . המלכודת: $4\alpha$ היא כל הזווית $EDF$ , שכוללת גם את $\alpha$ .

תרגיל 3

נתון כי $ED = FD$ . ג. הבע באמצעות $R$ ו־ $\alpha$ את שטח המשולש $AFD$ .

א $S_{AFD} = R^2 \sin^2\alpha \tan 2\alpha$
ב $S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 2\alpha \sin 3\alpha$
ג $S_{AFD} = R^2 \sin 3\alpha \tan 2\alpha$
ד $S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha$

הפתרון:

AD = 2R \sin\alpha

במשולש ישר הזווית $ADB$ : $AB = 2R$ ו־ $\angle ABD = \alpha$ (סעיף א)

\begin{aligned}\angle FAD &= 90^\circ - \alpha \\ \quad \angle AFD &= 90^\circ - 2\alpha \\ \quad \angle ADF &= 3\alpha\end{aligned}

הזוויות במשולש $AFD$ (סעיפים א, ב)

\begin{aligned}\frac{DF}{\sin(90^\circ - \alpha)} &= \frac{AD}{\sin(90^\circ - 2\alpha)} \Rightarrow DF \\ &= \frac{2R \sin\alpha \cos\alpha}{\cos 2\alpha} \\ &= R \tan 2\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש $AFD$ , ו־ $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$

\begin{aligned}S_{AFD} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF \cdot \sin 3\alpha \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2R\sin\alpha \cdot R\tan 2\alpha \cdot \sin 3\alpha\end{aligned}

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן

S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha

$S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha$ .

תרגיל 4

נתון כי $ED = FD$ . ד (1). הבע באמצעות $\alpha$ את יחס השטחים $\frac{S_{AFD}}{S_{AED}}$ .

א $\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}$
ב $\frac{\sin 3\alpha}{\cos\alpha}$
ג $\frac{\tan 2\alpha}{\tan\alpha}$
ד $\frac{\sin\alpha}{\sin 3\alpha}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}$

הפתרון:

DF = DE

נתון

\begin{aligned}S_{AFD} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF \cdot \sin 3\alpha \\ \quad S_{AED} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DE \cdot \sin\alpha\end{aligned}

$\angle ADF = 3\alpha$ (סעיף ב), $\angle ADE = \alpha$

\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}

$AD$ ו־ $DF = DE$ מצטמצמים

$\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}$ (ובצורה אחרת: $1 + 2\cos 2\alpha$ ).

תרגיל 5

נתון כי $ED = FD$ . ד (2). נתון כי $\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = 1 + \sqrt{3}$ . מצא את $\alpha$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}\sin 3\alpha &= \sin(2\alpha + \alpha) \\ &= \sin 2\alpha \cos\alpha + \cos 2\alpha \sin\alpha \\ &= \sin\alpha \, (2\cos^2\alpha + \cos 2\alpha)\end{aligned}

סינוס של סכום, ו־ $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

\begin{aligned}\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} &= 2\cos^2\alpha + \cos 2\alpha \\ &= 1 + 2\cos 2\alpha\end{aligned}

$2\cos^2\alpha = 1 + \cos 2\alpha$

\begin{aligned}1 + 2\cos 2\alpha &= 1 + \sqrt{3} \Rightarrow \cos 2\alpha \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

לפי סעיף ד (1)

\begin{aligned}2\alpha &= 30^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 15^\circ\end{aligned}

במשולש $AED$ הזווית $90^\circ - 2\alpha$ חיובית, ולכן $0^\circ < 2\alpha < 90^\circ$

$\alpha = 15^\circ$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{x^2}{(x^3 - m)^2}$ ,‏ $m$ הוא פרמטר חיובי.

תרגיל 1

א. הבע את תשובותיך באמצעות $m$ , אם יש צורך. א (1). מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

א $x \neq m$
ב $x > \sqrt[3]{m}$
ג $x \neq \sqrt[3]{m}$
ד $x \neq \pm\sqrt{m}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x \neq \sqrt[3]{m}$

הפתרון:

(x^3 - m)^2 \neq 0

המכנה אינו יכול להיות אפס

x^3 \neq m \Rightarrow x \neq \sqrt[3]{m}

לשורש שלישי יש ערך אחד בלבד

תחום ההגדרה: $x \neq \sqrt[3]{m}$ .

תרגיל 2

א. הבע את תשובותיך באמצעות $m$ , אם יש צורך. א (2). מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה $f(x)$ המאונכות לצירים.

א $x = m$ ו־ $y = 0$
ב $x = \sqrt[3]{m}$ ו־ $y = 0$
ג $x = \sqrt[3]{m}$ בלבד
ד $x = \sqrt[3]{m}$ ו־ $y = 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = \sqrt[3]{m}$ ו־ $y = 0$

הפתרון:

x = \sqrt[3]{m}

המכנה מתאפס, והמונה $x^2$ אינו מתאפס שם (כי $m > 0$ )

x \to \pm\infty: \ \frac{x^2}{(x^3 - m)^2} \to 0

מעלת המונה $2$ קטנה ממעלת המכנה $6$

אסימפטוטה אנכית $x = \sqrt[3]{m}$ , ואסימפטוטה אופקית $y = 0$ .

תרגיל 3

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . ב. מצא את הערך של $m$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f'(x) = \frac{2x(x^3 - m)^2 - x^2 \cdot 2(x^3 - m) \cdot 3x^2}{(x^3 - m)^4}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x\left[(x^3 - m) - 3x^3\right]}{(x^3 - m)^3} \\ &= \frac{-2x(2x^3 + m)}{(x^3 - m)^3}\end{aligned}

מוציאים את הגורם $2x(x^3 - m)$ ומצמצמים

\begin{aligned}f'(-1) &= 0 \Rightarrow 2 \cdot (-1)^3 + m \\ &= 0\end{aligned}

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת

m = 2

$m = 2$ .

תרגיל 4

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ג. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבע את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -1 $,$ 0.1111 $)$ ו־ $($ 0 $,$ 0 $)$ (משמאל לימין)

הפתרון:

f'(x) = \frac{-4x(x^3 + 1)}{(x^3 - 2)^3}

מציבים $m = 2$ בנגזרת מסעיף ב

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \text{או} \ x^3 \\ &= -1 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

x < -1: f' > 0; \ -1 < x < 0: f' < 0; \ 0 < x < \sqrt[3]{2}: f' > 0

טבלת סימנים, והמכנה שלילי בתחום $x < \sqrt[3]{2}$

\begin{aligned}f(-1) &= \frac{1}{(-3)^2} \\ &= \frac{1}{9} \\ \quad f(0) &= 0\end{aligned}

מקסימום $\left(-1, \frac{1}{9}\right)$ ומינימום $(0, 0)$ .

תרגיל 5

הגרפים I–IV

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחר את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף IV
בגרף I
גגרף III
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף II

הפתרון:

f(x) = \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2} \ge 0

המונה והמכנה אינם שליליים: הגרף אינו יורד מתחת לציר ה־ $x$

\begin{aligned}x &= \sqrt[3]{2} \approx 1.26 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף א, מימין לציר ה־ $y$

\nearrow \left(-1, \tfrac{1}{9}\right) \searrow (0, 0) \nearrow +\infty \ \big| \ +\infty \searrow 0

מסעיף ג

גרף II: מקסימום נמוך ב־ $x = -1$ , נגיעה בראשית, עלייה אל האסימפטוטה $x = \sqrt[3]{2}$ , וענף ימני שיורד מ־ $+\infty$ אל $y = 0$ . גרף IV הוא $-f(x)$ , וגרפים I ו־III הם השיקופים שבהם האסימפטוטה משמאל.

תרגיל 6

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ה. נתונה הפונקציה $g(x) = k \cdot f(x)$ ,‏ $k$ הוא פרמטר שלילי. ה (1). סרטט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחר את התיאור שמתאים לסקיצה.

אהגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : מקסימום ב־ $x = -1$ ומינימום ב־ $(0, 0)$
בהגרף מתחת לציר ה־ $x$ , והאסימפטוטה האנכית שלו היא $x = -\sqrt[3]{2}$
גהגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : מינימום ב־ $x = -1$ , מקסימום ב־ $(0, 0)$ , ירידה אל $-\infty$ ליד האסימפטוטה $x = \sqrt[3]{2}$ , וענף ימני שעולה מ־ $-\infty$ אל $y = 0$
דהגרף כמו גרף $f(x)$ , מתוח לאורך ציר ה־ $y$ : מקסימום ב־ $x = -1$ ומינימום ב־ $(0, 0)$ , מעל ציר ה־ $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : מינימום ב־ $x = -1$ , מקסימום ב־ $(0, 0)$ , ירידה אל $-\infty$ ליד האסימפטוטה $x = \sqrt[3]{2}$ , וענף ימני שעולה מ־ $-\infty$ אל $y = 0$

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= k \cdot f(x) \\ \quad k < 0\end{aligned}

כל ערך של $f$ מוכפל במספר שלילי: הגרף משתקף סביב ציר ה־ $x$ (ונמתח או מתכווץ)

g(x) \le 0

כי $f(x) \ge 0$

\begin{aligned}x &= \sqrt[3]{2} \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות אינן משתנות

\left(-1, \tfrac{k}{9}\right), \quad (0, 0)

סוג הקיצון מתהפך: מינימום ב־ $x = -1$ , מקסימום ב־ $(0, 0)$

הגרף של $g$ הוא שיקוף של גרף $f$ סביב ציר ה־ $x$ : מינימום ב־ $x = -1$ ומקסימום בראשית.

תרגיל 7

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ה. נתונה הפונקציה $g(x) = k \cdot f(x)$ ,‏ $k$ הוא פרמטר שלילי. ה (2). דרך נקודת הקיצון השמאלית של $g(x)$ מעבירים אנך לציר ה־ $x$ . נתון כי השטח המוגבל על ידי האנך, על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ הוא $1$ (השטח שמימין לאנך). מצא את הערך של $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -18

הפתרון:

x = -1

האנך עובר בנקודת הקיצון השמאלית

\begin{aligned}S &= \int_{-1}^{0} \left(0 - g(x)\right)dx \\ &= -k\int_{-1}^{0} \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2}\,dx\end{aligned}

בתחום הזה $g(x) \le 0$ , והגרף פוגש את ציר ה־ $x$ ב־ $x = 0$

\int \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2}\,dx = -\frac{1}{3(x^3 - 2)} + C

הנגזרת של $x^3 - 2$ היא $3x^2$

\begin{aligned}\left[-\frac{1}{3(x^3 - 2)}\right]_{-1}^{0} &= \frac{1}{6} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{1}{18}\end{aligned}

\begin{aligned}-\frac{k}{18} &= 1 \Rightarrow k \\ &= -18\end{aligned}

$k = -18$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 7 — פונקציית שורש

נתונה הפונקציה $f(x) = 3x + 2 \cdot \sqrt{x^2 - 2x}$ .

תרגיל 1

א (1). מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \le$ ____ או $x \ge$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \le$ 0 או $x \ge$ 2

הפתרון:

x^2 - 2x \ge 0

הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי

x(x - 2) \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \ \text{או} \ x \ge 2

פרבולה ששורשיה $0$ ו־ $2$ , פתוחה כלפי מעלה

תחום ההגדרה: $x \le 0$ או $x \ge 2$ .

תרגיל 2

א (2). מצא את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .

אכל $x$ שונה מ־ $0$ ומ־ $2$
ב $x < 0$ או $x > 2$
ג $x \le 0$ או $x \ge 2$
ד $0 < x < 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x < 0$ או $x > 2$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3 + 2 \cdot \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \\ &= 3 + \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}}\end{aligned}

נגזרת של שורש

x^2 - 2x > 0

השורש נמצא עכשיו במכנה: אי־שוויון חזק

תחום ההגדרה של $f'(x)$ : $x < 0$ או $x > 2$ .

תרגיל 3

א (3). מצא את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .

אנכיות (משמאל לימין): $x =$ ____ , $x =$ ____ ; אופקיות: $y =$ ____ (כאשר $x \to -\infty$ ) , $y =$ ____ (כאשר $x \to \infty$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אנכיות (משמאל לימין): $x =$ 0 , $x =$ 2 ; אופקיות: $y =$ 1 (כאשר $x \to -\infty$ ) , $y =$ 5 (כאשר $x \to \infty$ )

הפתרון:

x \to 0^-: \ \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} \to \frac{-2}{0^+} = -\infty

המכנה מתאפס והמונה לא

x \to 2^+: \ \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} \to \frac{2}{0^+} = +\infty

\sqrt{x^2 - 2x} = |x|\sqrt{1 - \tfrac{2}{x}}

מוציאים $x^2$ מן השורש

\begin{aligned}x \to \infty: f'(x) \to 3 + 2 &= 5; \quad x \to -\infty: f'(x) \to 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

עבור $x < 0$ , $|x| = -x$

אסימפטוטות אנכיות $x = 0$ ו־ $x = 2$ ; אסימפטוטות אופקיות $y = 1$ (משמאל) ו־ $y = 5$ (מימין).

תרגיל 4

א (4). מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עם ציר ה־ $x$ . בתשובתך דייק שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -0.34 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}3 + \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} &= 0 \Rightarrow 2x - 2 \\ &= -3\sqrt{x^2 - 2x}\end{aligned}

2x - 2 < 0 \Rightarrow x < 1

אגף ימין אינו חיובי: רק $x < 0$ מן התחום מתאים

\begin{aligned}4(x - 1)^2 &= 9(x^2 - 2x) \Rightarrow 5x^2 - 10x - 4 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}x &= 1 \pm \frac{3}{\sqrt{5}}: \quad x \approx 2.34 \\ \ x \approx -0.34\end{aligned}

הפתרון $2.34$ נפסל: הוא גדול מ־ $1$ , ואינו מקיים את המשוואה לפני ההעלאה בריבוע

נקודת החיתוך: $(-0.34, 0)$ .

תרגיל 5

הגרפים I–IV

א (5). סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , אם ידוע כי לפונקציית הנגזרת $f'(x)$ אין נקודות קיצון. בחר את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף I
בגרף II
גגרף IV
דגרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף IV

הפתרון:

x < 0: \ y = 1 \searrow (-0.34, 0) \searrow -\infty

אין קיצון, ולכן הענף השמאלי יורד מ־ $y = 1$ דרך נקודת החיתוך אל האסימפטוטה $x = 0$

x > 2: \ +\infty \searrow y = 5

הענף הימני יורד מ־ $+\infty$ ומתקרב ל־ $y = 5$ מלמעלה

גרף IV. בגרף I הענפים עולים, והאסימפטוטה $y = 5$ משמאל; בגרף II הענף השמאלי אינו חותך את ציר ה־ $x$ ; בגרף III הענף הימני יוצא מ־ $-\infty$ .

תרגיל 6

ב (1). מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבע את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -0.34 $,$ 0.76 $)$ , $($ 0 $,$ 0 $)$ ו־ $($ 2 $,$ 6 $)$ (משמאל לימין)

הפתרון:

x < -0.34: f' > 0; \quad -0.34 < x < 0: f' < 0; \quad x > 2: f' > 0

מן הסקיצה של $f'(x)$

f(-0.34) = 3 \cdot (-0.34) + 2\sqrt{(-0.34)^2 + 0.68} \approx 0.76

בערך המדויק $x = 1 - \frac{3}{\sqrt{5}}$ מקבלים $f = 3 - \sqrt{5}$

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= 6\end{aligned}

נקודות הקצה של תחום ההגדרה

מקסימום $(-0.34, 0.76)$ , מינימום קצה $(0, 0)$ (הפונקציה יורדת אליה), ומינימום קצה $(2, 6)$ (הפונקציה עולה ממנה).

תרגיל 7

ב (2). סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחר את התיאור שמתאים לסקיצה.

אשני ענפים שמתקרבים לאסימפטוטות האנכיות $x = 0$ ו־ $x = 2$
בענף שמאלי שעולה מ־ $-\infty$ עד מקסימום $(-0.34, 0.76)$ ויורד אל $(0, 0)$ , שם הוא נגמר; ענף ימני שמתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה אל $\infty$ ; בין $x = 0$ ל־ $x = 2$ אין גרף
גענף שמאלי שיורד מ־ $\infty$ עד מינימום $(-0.34, 0.76)$ ועולה אל $(0, 0)$ ; ענף ימני שמתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה אל $\infty$
דגרף רציף: עולה עד $(-0.34, 0.76)$ , יורד אל $(0, 0)$ , ועולה דרך $(2, 6)$ אל $\infty$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ענף שמאלי שעולה מ־ $-\infty$ עד מקסימום $(-0.34, 0.76)$ ויורד אל $(0, 0)$ , שם הוא נגמר; ענף ימני שמתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה אל $\infty$ ; בין $x = 0$ ל־ $x = 2$ אין גרף

הפתרון:

x \to -\infty: \ f(x) = 3x + 2|x|\sqrt{1 - \tfrac{2}{x}} \to -\infty

עבור $x < 0$ מקבלים בערך $3x - 2x = x$

\nearrow (-0.34, 0.76) \searrow (0, 0) \quad \big| \quad (2, 6) \nearrow \infty

מסעיף ב (1); אין גרף ב־ $0 < x < 2$

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f(2) &= 6\end{aligned}

$f$ מוגדרת בנקודות הקצה: אין לה אסימפטוטה אנכית

שני ענפים: השמאלי עולה למקסימום ויורד לראשית, הימני מתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה.

תרגיל 8

ג. האם ייתכן שישר שמשוואתו $y = 4x + c$ ( $c$ פרמטר) ישיק לגרף הפונקציה $f(x)$ ? נמק.

אכן: לכל ערך של $c$ הישר חותך את גרף הפונקציה
בלא: שיפוע המשיק הוא $f'(x)$ , וערכי $f'(x)$ הם $f'(x) < 1$ או $f'(x) > 5$ ; השיפוע $4$ אינו ביניהם
גכן: בענף הימני $f'(x)$ מקבל את הערך $4$
דלא: כי הפונקציה $f(x)$ אינה מוגדרת בתחום $0 < x < 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא: שיפוע המשיק הוא $f'(x)$ , וערכי $f'(x)$ הם $f'(x) < 1$ או $f'(x) > 5$ ; השיפוע $4$ אינו ביניהם

הפתרון:

f'(x_0) = 4

הישר משיק לגרף רק אם יש נקודה $x_0$ שבה שיפוע המשיק, $f'(x_0)$ , שווה ל־ $4$

x < 0: \ f'(x) < 1; \quad x > 2: \ f'(x) > 5

מן הסקיצה של $f'(x)$ : כל ענף יורד בין האסימפטוטות שלו

f'(x) = 4 \ \text{אין פתרון}

לא ייתכן: אין נקודה שבה שיפוע המשיק הוא $4$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 8 — בעיית קיצון: סכר בין שתי תעלות

תעלת מים ראשית ברוחב קבוע $a$ מחוברת בניצב לתעלה משנית ברוחב קבוע $b$ . הנקודה $C$ היא נקודת המפגש בין דופן של התעלה הראשית ובין דופן של התעלה המשנית (ראה סרטוט). מהנדסת מתכננת סכר ישר, שיצא מן הנקודה $A$ שבדופן התעלה הראשית, יעבור דרך הנקודה $C$ ויגיע עד הנקודה $B$ שבדופן התעלה המשנית. הסכר ייצור זווית שגודלה $x$ עם הדופן $CD$ של התעלה המשנית, כמתואר בסרטוט.

תרגיל 1

א. הבע באמצעות $b$ , $a$ ו־ $x$ את אורך הסכר $AB$ .

א $AB = \frac{a + b}{\sin x}$
ב $AB = a\cos x + b\sin x$
ג $AB = \frac{a}{\sin x} + \frac{b}{\cos x}$
ד $AB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $AB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}$

הפתרון:

0 < x < \frac{\pi}{2}

$x$ היא זווית חדה

\angle ACE = x

נעביר מ־ $A$ אנך $AE$ לישר $DC$ : הזווית בין $CA$ לבין המשך $DC$ שווה ל־ $x$ (זוויות קודקודיות)

\begin{aligned}\cos x &= \frac{a}{AC} \Rightarrow AC \\ &= \frac{a}{\cos x}\end{aligned}

במשולש $ACE$ ישר הזווית, הניצב $CE$ הוא רוחב התעלה הראשית $a$

\begin{aligned}\sin x &= \frac{b}{BC} \Rightarrow BC \\ &= \frac{b}{\sin x}\end{aligned}

נעביר מ־ $B$ אנך לישר $DC$ : אורכו רוחב התעלה המשנית $b$ , והוא מול הזווית $x$

\begin{aligned}AB &= AC + CB \\ &= \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}\end{aligned}

$AB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}$ , בתחום $0 < x < \frac{\pi}{2}$ .

תרגיל 2

נתון כי $a = 2b$ . ב. מצא את $x$ שבעבורו אורך הסכר $AB$ יהיה מינימלי.

$x \approx$ ____ רדיאנים (בערך ____°)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \approx$ 0.671 רדיאנים (בערך 38.44°)

הפתרון:

\begin{aligned}L(x) &= \frac{2b}{\cos x} + \frac{b}{\sin x} \\ \quad 0 < x < \frac{\pi}{2}\end{aligned}

מציבים $a = 2b$

L'(x) = \frac{2b\sin x}{\cos^2 x} - \frac{b\cos x}{\sin^2 x}

\begin{aligned}L'(x) &= 0 \iff 2\sin^3 x \\ &= \cos^3 x \iff \tan^3 x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$b > 0$ , ומכפילים ב־ $\sin^2 x \cos^2 x > 0$

\tan x = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.794 \Rightarrow x \approx 0.671

בתחום יש פתרון אחד

\begin{aligned}x &= 0.5: L' < 0; \quad x \\ &= 1: L' > 0\end{aligned}

$L$ יורדת ואחר כך עולה: מינימום

$x \approx 0.671$ רדיאנים, כלומר בערך $38.44°$ .

תרגיל 3

נתון כי $a = 2b$ . ג. ידוע כי האורך המינימלי של הסכר הוא $8$ . מצא את $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.922

הפתרון:

L(0.671) = b\left(\frac{2}{\cos 0.671} + \frac{1}{\sin 0.671}\right) \approx 4.162\,b

מציבים את $x$ שמצאנו בסעיף ב

4.162\,b = 8 \Rightarrow b \approx 1.922

$b \approx 1.922$ .

לפתור את השאלה באתר

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — שאלות קצרות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

שאלה 2 — סדרות חשבוניות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 3 — הסתברות: סוכריות תות ומנטה

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — משולש חסום במעגל, דמיון ומשיק

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 5 — קוטר, מיתר ומשיק במעגל

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

שאלה 7 — פונקציית שורש

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

שאלה 8 — בעיית קיצון: סכר בין שתי תעלות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות