בגרות במתמטיקה 35571, חורף 2026 — פתרון מלא

הבחינה של משרד החינוך, שאלה אחר שאלה, וכל סעיף עם פתרון מלא צעד אחר צעד. אפשר לנסות לבד, ורק אז לפתוח את הפתרון.

© מדינת ישראל, משרד החינוך — שאלון 35571, חורף 2026. נוסח הבחינה באתר משרד החינוך

לפתור את הבחינה באתרנוסח הבחינה (PDF)

מבנה הבחינה

משך הבחינה
225 דקות
על מה עונים
ענו על חמש מן השאלות 1–8, על שאלה אחת לפחות מן הפרק הראשון או השני ועל שאלה אחת לפחות מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי (לכל שאלה – 20 נקודות).
המסלול
5 יח״ל, כיתה י״א

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — שאלות קצרות

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

תרגיל 1

OAKEB

א. בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. דרך הנקודות AA ו־EE שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה. המשיקים נחתכים בנקודה KK. הקטע KOKO חותך את המעגל בנקודה BB. (1) מצאו פי כמה גדול שטח המשולש AOBAOB משטח המשולש AKBAKB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.4142

הפתרון:

OA⊥AK,OE⊥EK,AK⊥EKOA \perp AK, \quad OE \perp EK, \quad AK \perp EK

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה, והמשיקים מאונכים זה לזה

OA=OE=R\begin{aligned}OA &= OE \\ &= R\end{aligned}

במרובע OAKEOAKE שלוש זוויות ישרות ושתי צלעות סמוכות שוות: זה ריבוע שצלעו RR

KO=R2OB=RBK=R2−R\begin{aligned}KO &= R\sqrt{2} \\ \quad OB &= R \\ \quad BK &= R\sqrt{2} - R\end{aligned}

KOKO אלכסון הריבוע, ו־BB על המעגל

SAOBSAKB=OBBK\frac{S_{AOB}}{S_{AKB}} = \frac{OB}{BK}

לשני המשולשים אותו גובה: המרחק מן הקודקוד AA אל הישר KOKO

RR2−R=12−1=2+1≈2.414\begin{aligned}\frac{R}{R\sqrt{2} - R} &= \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \\ &= \sqrt{2} + 1 \approx 2.414\end{aligned}

מצמצמים ב־RR ומכפילים במספר הצמוד

שטח המשולש AOBAOB גדול פי 2+1≈2.414\sqrt{2} + 1 \approx 2.414 משטח המשולש AKBAKB.

תרגיל 2

OAKEB

א. בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. דרך הנקודות AA ו־EE שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה. המשיקים נחתכים בנקודה KK. הקטע KOKO חותך את המעגל בנקודה BB. נתון כי שטח המשולש AOBAOB הוא 1616. (2) מצאו את אורך הגובה לצלע AKAK במשולש AKBAKB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.9703

הפתרון:

∠AOB=45∘\angle AOB = 45^\circ

האלכסון KOKO חוצה את הזווית הישרה AOEAOE של הריבוע

SAOB=12⋅OA⋅OB⋅sin⁡45∘=24R2\begin{aligned}S_{AOB} &= \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4}R^2\end{aligned}

OA=OB=ROA = OB = R

24R2=16⇒R2=322⇒R≈6.727\begin{aligned}\frac{\sqrt{2}}{4}R^2 &= 16 \Rightarrow R^2 \\ &= 32\sqrt{2} \Rightarrow R \approx 6.727\end{aligned}
SAKB=162+1=16(2−1)≈6.627\begin{aligned}S_{AKB} &= \frac{16}{\sqrt{2} + 1} \\ &= 16(\sqrt{2} - 1) \approx 6.627\end{aligned}

מסעיף (1)

h=2SAKBAK=32(2−1)R≈1.970\begin{aligned}h &= \frac{2S_{AKB}}{AK} \\ &= \frac{32(\sqrt{2} - 1)}{R} \approx 1.970\end{aligned}

AK=RAK = R, צלע הריבוע

אורך הגובה לצלע AKAK במשולש AKBAKB הוא h≈1.97h \approx 1.97. בדיקה: h=R−R2h = R - \frac{R}{\sqrt{2}}, המרחק של BB מן הישר AKAK.

תרגיל 3

ב. בתחרות שחמט, שני שחקנים – יאיר ונדב – מתחרים זה נגד זה. כל משחק יכול להסתיים באחת מ־33 התוצאות האלה: ניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו. בכל משחק ההסתברות שיאיר ינצח היא קבועה וגדולה פי 22 מן ההסתברות שנדב ינצח. נסמן ב־pp את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד. יאיר ונדב משחקים שני משחקים. (1) הביעו באמצעות pp את ההסתברות שאחד מן השחקנים ישיג שני ניצחונות.

P=P = ____ ⋅p2\cdot p^2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P=P = 5 ⋅p2\cdot p^2

הפתרון:

(2p)2=4p2(2p)^2 = 4p^2

יאיר מנצח בשני המשחקים; המשחקים בלתי תלויים

p⋅p=p2p \cdot p = p^2

נדב מנצח בשני המשחקים

4p2+p2=5p24p^2 + p^2 = 5p^2

שני מאורעות זרים: מחברים את ההסתברויות

ההסתברות שאחד מן השחקנים ישיג שני ניצחונות היא 5p25p^2.

תרגיל 4

ב. בתחרות שחמט, שני שחקנים – יאיר ונדב – מתחרים זה נגד זה. כל משחק יכול להסתיים באחת מ־33 התוצאות האלה: ניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו. בכל משחק ההסתברות שיאיר ינצח היא קבועה וגדולה פי 22 מן ההסתברות שנדב ינצח. נסמן ב־pp את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד. יאיר ונדב משחקים שני משחקים. ידוע שאם שום שחקן לא השיג שני ניצחונות, ההסתברות שכל אחד מן המשחקים יסתיים בתיקו היא 931\frac{9}{31}. (2) קבעו איזו מן האפשרויות I–III שלפניכם מתאימה לערך של pp. נמקו את קביעתכם.

  1. אII. p=1127p = \frac{11}{27}
  2. בI. p=110p = \frac{1}{10}
  3. גIII. p=16p = \frac{1}{6}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג III. p=16p = \frac{1}{6}

הפתרון:

1−2p−p=1−3p1 - 2p - p = 1 - 3p

ההסתברות לתיקו במשחק אחד

1−5p21 - 5p^2

ההסתברות ששום שחקן לא השיג שני ניצחונות: המשלים של סעיף (1)

(1−3p)21−5p2=931\frac{(1 - 3p)^2}{1 - 5p^2} = \frac{9}{31}

הסתברות מותנית: שני תיקו הם מקרה פרטי של «אין שני ניצחונות»

31(1−3p)2=9(1−5p2)⇒162p2−93p+11=0\begin{aligned}31(1 - 3p)^2 &= 9(1 - 5p^2) \Rightarrow 162p^2 - 93p + 11 \\ &= 0\end{aligned}
p1=16p2=1127\begin{aligned}p_1 &= \frac{1}{6} \\ \quad p_2 &= \frac{11}{27}\end{aligned}

פתרונות המשוואה הריבועית

1−3⋅1127=−29<01 - 3 \cdot \frac{11}{27} = -\frac{2}{9} < 0

ב־p=1127p = \frac{11}{27} ההסתברות לתיקו שלילית: הפתרון נפסל

(1−0.3)21−0.05=4995≠931\frac{(1 - 0.3)^2}{1 - 0.05} = \frac{49}{95} \ne \frac{9}{31}

האפשרות I אינה מקיימת את המשוואה

האפשרות III: p=16p = \frac{1}{6}. האפשרות II מקיימת את המשוואה, אבל איתה ההסתברות לתיקו, 1−3p1 - 3p, שלילית, ולכן היא אינה מתאימה.

תרגיל 5

ג. נתונה הפונקציה f(x)=x2−1+216−x2f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 2\sqrt{16 - x^2}. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. א−4≤x≤4-4 \le x \le 4
  2. בx≤−1x \le -1 או x≥1x \ge 1
  3. ג−4<x<−1-4 < x < -1 או 1<x<41 < x < 4
  4. ד−4≤x≤−1-4 \le x \le -1 או 1≤x≤41 \le x \le 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −4≤x≤−1-4 \le x \le -1 או 1≤x≤41 \le x \le 4

הפתרון:

x2−1≥0⇒x2≥1x^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 1

ביטוי מתחת לשורש ריבועי אינו שלילי: x≤−1x \le -1 או x≥1x \ge 1

16−x2≥0⇒−4≤x≤416 - x^2 \ge 0 \Rightarrow -4 \le x \le 4

השורש השני

1≤x2≤161 \le x^2 \le 16

שני התנאים יחד

תחום ההגדרה: −4≤x≤−1-4 \le x \le -1 או 1≤x≤41 \le x \le 4.

תרגיל 6

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

ג. נתונה הפונקציה f(x)=x2−1+216−x2f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 2\sqrt{16 - x^2}. (2) אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה f(x)f(x). קבעו איזה מהם ונמקו את קביעתכם.

  1. אגרף IV
  2. בגרף II
  3. גגרף I
  4. דגרף III
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף IV

הפתרון:

−4≤x≤−1,1≤x≤4-4 \le x \le -1, \quad 1 \le x \le 4

מסעיף (1): אין גרף בין x=−1x = -1 ל־x=1x = 1, ולכן גרפים I ו־II נפסלים

f(1)=215≈7.75f(4)=15≈3.87\begin{aligned}f(1) &= 2\sqrt{15} \approx 7.75 \\ \quad f(4) &= \sqrt{15} \approx 3.87\end{aligned}

הערכים בקצות הענף הימני

f′(x)=xx2−1−2x16−x2f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} - \frac{2x}{\sqrt{16 - x^2}}

נגזרת של שורש

f′(x)=0⇒16−x2=4(x2−1)⇒x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow 16 - x^2 \\ &= 4(x^2 - 1) \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

נקודת קיצון אחת בכל ענף

f(2)=3+212=53≈8.66\begin{aligned}f(2) &= \sqrt{3} + 2\sqrt{12} \\ &= 5\sqrt{3} \approx 8.66\end{aligned}

גבוה משני הקצוות: מקסימום

גרף IV: בכל ענף הגרף עולה מקצה התחום אל מקסימום ב־x=±2x = \pm 2 ויורד אל הקצה השני. בגרף III יש בכל ענף מינימום, ובגרפים I ו־II הפונקציה מוגדרת גם בין −1-1 ל־11. הפונקציה זוגית, ולכן שני הענפים סימטריים סביב ציר ה־yy.

תרגיל 7

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי. (1) מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה ana_n. (יש לכתוב כמספרים עשרוניים.)

a1=a_1 = ____ , a2=a_2 = ____ , a3=a_3 = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a1=a_1 = 0.1 , a2=a_2 = 0.05 , a3=a_3 = 0.025

הפתרון:

cos⁡(2π)=cos⁡(4π)=cos⁡(8π)=1\begin{aligned}\cos(2\pi) &= \cos(4\pi) \\ &= \cos(8\pi) \\ &= 1\end{aligned}

הקוסינוס של כפולה זוגית של π\pi

a1=110a2=120a3=140\begin{aligned}a_1 &= \frac{1}{10} \\ \quad a_2 &= \frac{1}{20} \\ \quad a_3 &= \frac{1}{40}\end{aligned}

המכנים: 5⋅2=105 \cdot 2 = 10, 5⋅4=205 \cdot 4 = 20, 5⋅8=405 \cdot 8 = 40

a1=0.1a_1 = 0.1, a2=0.05a_2 = 0.05, a3=0.025a_3 = 0.025.

תרגיל 8

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי. (2) הוכיחו כי הסדרה ana_n היא הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

  • an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי

הסדרה ana_n הנדסית, ומנתה 12\frac{1}{2}

להציג את התשובה והפתרון
  1. 2n2^n מספר זוגי לכל nn טבעי — 2n=2⋅2n−12^n = 2 \cdot 2^{n-1}, ו־2n−12^{n-1} מספר שלם
  2. cos⁡(π⋅2n)=1\cos(\pi \cdot 2^n) = 1 — הקוסינוס של כפולה זוגית של π\pi שווה ל־11
  3. an=15⋅2na_n = \frac{1}{5 \cdot 2^n} — מציבים במונה של ana_n
  4. an+1an=5⋅2n5⋅2n+1=12\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5 \cdot 2^n}{5 \cdot 2^{n+1}} = \frac{1}{2} — מחלקים כל איבר באיבר שלפניו
  5. הסדרה ana_n הנדסית, ומנתה q=12q = \frac{1}{2} — המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה: זו הגדרת סדרה הנדסית

הפתרון:

cos⁡(π⋅2n)=1\cos(\pi \cdot 2^n) = 1

2n2^n זוגי לכל nn טבעי

an=15⋅2na_n = \frac{1}{5 \cdot 2^n}
an+1an=5⋅2n5⋅2n+1=12\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{5 \cdot 2^n}{5 \cdot 2^{n+1}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

היחס אינו תלוי ב־nn

הסדרה הנדסית, ומנתה q=12q = \frac{1}{2}.

תרגיל 9

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי. (3) מצאו את סכום הסדרה ana_n.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

a1=110q=12\begin{aligned}a_1 &= \frac{1}{10} \\ \quad q &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מסעיפים (1) ו־(2)

S=a11−q=1101−12=15\begin{aligned}S &= \frac{a_1}{1 - q} \\ &= \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{5}\end{aligned}

∣q∣<1|q| < 1: הסכום מתכנס

סכום הסדרה הוא 15=0.2\frac{1}{5} = 0.2.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — סדרה הנדסית אין־סופית ואינדוקציה

ana_n היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שסכומה מתכנס. המנה של הסדרה היא qq. נסמן ב־TT את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים בסדרה, ונסמן ב־RR את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה. נתון: T2R2=16\frac{T^2}{R^2} = 16.

תרגיל 1

א. מצאו את הערך של qq.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

T=a11−q2R=a1q1−q2\begin{aligned}T &= \frac{a_1}{1 - q^2} \\ \quad R &= \frac{a_1 q}{1 - q^2}\end{aligned}

האיברים במקומות האי־זוגיים הם סדרה הנדסית שמנתה q2q^2 ואיברה הראשון a1a_1; האיברים במקומות הזוגיים מתחילים ב־a1qa_1 q

TR=1q⇒1q2=16\begin{aligned}\frac{T}{R} &= \frac{1}{q} \Rightarrow \frac{1}{q^2} \\ &= 16\end{aligned}
q=±14q = \pm\frac{1}{4}
q=14q = \frac{1}{4}

סדרה שמנתה שלילית מחליפה סימן, ולכן אינה יורדת

q=14=0.25q = \frac{1}{4} = 0.25.

תרגיל 2

נתונה סדרה bnb_n שאיבריה מקיימים bn=1+qan⋅an+1b_n = \frac{1 + q}{a_n \cdot a_{n+1}} לכל nn טבעי. נתון: b1=1b_1 = 1. ב. מצאו את הערך של a1a_1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.2361

הפתרון:

b1=1+qa1⋅a2=54a12⋅14=5a12\begin{aligned}b_1 &= \frac{1 + q}{a_1 \cdot a_2} \\ &= \frac{\frac{5}{4}}{a_1^2 \cdot \frac{1}{4}} \\ &= \frac{5}{a_1^2}\end{aligned}

a2=a1q=a14a_2 = a_1 q = \frac{a_1}{4}

5a12=1⇒a12=5\begin{aligned}\frac{5}{a_1^2} &= 1 \Rightarrow a_1^2 \\ &= 5\end{aligned}
a1=5≈2.236a_1 = \sqrt{5} \approx 2.236

סדרה יורדת שמנתה חיובית: an+1−an=an(q−1)<0a_{n+1} - a_n = a_n(q - 1) < 0 רק כאשר a1>0a_1 > 0

a1=5≈2.236a_1 = \sqrt{5} \approx 2.236.

תרגיל 3

נתונה סדרה bnb_n שאיבריה מקיימים bn=1+qan⋅an+1b_n = \frac{1 + q}{a_n \cdot a_{n+1}} לכל nn טבעי. נתון: b1=1b_1 = 1. ג. הביעו באמצעות nn את bnb_n.

  1. אbn=16nb_n = 16^n
  2. בbn=16n−1b_n = 16^{n-1}
  3. גbn=54⋅16n−1b_n = \frac{5}{4} \cdot 16^{n-1}
  4. דbn=4n−1b_n = 4^{n-1}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב bn=16n−1b_n = 16^{n-1}

הפתרון:

an⋅an+1=a1qn−1⋅a1qn=a12q2n−1=5⋅(14)2n−1\begin{aligned}a_n \cdot a_{n+1} &= a_1 q^{n-1} \cdot a_1 q^n \\ &= a_1^2 q^{2n-1} \\ &= 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2n-1}\end{aligned}
bn=545⋅(14)2n−1=14⋅42n−1=42n−2\begin{aligned}b_n &= \frac{\frac{5}{4}}{5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2n-1}} \\ &= \frac{1}{4} \cdot 4^{2n-1} \\ &= 4^{2n-2}\end{aligned}
42n−2=16n−14^{2n-2} = 16^{n-1}

בדיקה: b1=160=1b_1 = 16^0 = 1

bn=16n−1b_n = 16^{n-1}: סדרה הנדסית שאיברה הראשון 11 ומנתה 1616.

תרגיל 4

נתונה סדרה bnb_n שאיבריה מקיימים bn=1+qan⋅an+1b_n = \frac{1 + q}{a_n \cdot a_{n+1}} לכל nn טבעי. נתון: b1=1b_1 = 1. ד. הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל nn טבעי מתקיים: b1+b2+…+bn=16n−115b_1 + b_2 + \ldots + b_n = \frac{16^n - 1}{15}.

  • bn=16n−1b_n = 16^{n-1} לכל nn טבעי (סעיף ג)

b1+b2+…+bn=16n−115b_1 + b_2 + \ldots + b_n = \frac{16^n - 1}{15}

להציג את התשובה והפתרון
  1. b1=1=161−115b_1 = 1 = \frac{16^1 - 1}{15} — בדיקה עבור n=1n = 1
  2. b1+…+bk=16k−115b_1 + \ldots + b_k = \frac{16^k - 1}{15} — הנחת האינדוקציה
  3. b1+…+bk+1=16k−115+16kb_1 + \ldots + b_{k+1} = \frac{16^k - 1}{15} + 16^k — מוסיפים את bk+1=16kb_{k+1} = 16^k ומציבים את הנחת האינדוקציה
  4. 16k−115+16k=16⋅16k−115=16k+1−115\frac{16^k - 1}{15} + 16^k = \frac{16 \cdot 16^k - 1}{15} = \frac{16^{k+1} - 1}{15} — מכנה משותף: 16k=15⋅16k1516^k = \frac{15 \cdot 16^k}{15}
  5. b1+…+bk+1=16k+1−115b_1 + \ldots + b_{k+1} = \frac{16^{k+1} - 1}{15} — זו הטענה עבור n=k+1n = k + 1; עם הבדיקה עבור n=1n = 1, היא נכונה לכל nn טבעי

הפתרון:

b1=1=16−115\begin{aligned}b_1 &= 1 \\ &= \frac{16 - 1}{15}\end{aligned}

הבדיקה עבור n=1n = 1

16k−115+16k=16k−1+15⋅16k15=16k+1−115\begin{aligned}\frac{16^k - 1}{15} + 16^k &= \frac{16^k - 1 + 15 \cdot 16^k}{15} \\ &= \frac{16^{k+1} - 1}{15}\end{aligned}

הנחת האינדוקציה, ואז האיבר bk+1=16kb_{k+1} = 16^k

דרך אחרת: bnb_n סדרה הנדסית שאיברה הראשון 11 ומנתה 1616 (סעיף ג), ולפי נוסחת הסכום Sn=1⋅(16n−1)16−1=16n−115S_n = \frac{1 \cdot (16^n - 1)}{16 - 1} = \frac{16^n - 1}{15}.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — הסתברות: מדריכים ורישיון נהיגה

בשכבה י״א של תיכון עירוני גדול חלק מן התלמידים הם מדריכים בתנועת נוער והשאר אינם מדריכים. בשכבה זו לחלק מן התלמידים יש רישיון נהיגה ולשאר אין רישיון נהיגה. חצי מן התלמידים שיש להם רישיון נהיגה הם מדריכים בתנועת נוער. אחוז התלמידים המדריכים מבין התלמידים שיש להם רישיון שווה לאחוז התלמידים שאין להם רישיון מבין התלמידים המדריכים. בוחרים באקראי תלמיד מבין תלמידי השכבה. ההסתברות שהתלמיד שנבחר הוא מדריך או שיש לו רישיון היא 0.450.45.

תרגיל 1

א. מצאו כמה אחוזים מן התלמידים בשכבה זו הם מדריכים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

P(A∣B)=12P(A \mid B) = \frac{1}{2}

נסמן ב־AA את המאורע «התלמיד מדריך» וב־BB את המאורע «יש לתלמיד רישיון נהיגה»

P(B‾∣A)=P(A∣B)=12⇒P(B∣A)=12\begin{aligned}P(\overline{B} \mid A) &= P(A \mid B) \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow P(B \mid A) \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הנתון על שני האחוזים

P(A∩B)=12P(B)=12P(A)⇒P(A)=P(B)\begin{aligned}P(A \cap B) &= \frac{1}{2}P(B) \\ &= \frac{1}{2}P(A) \Rightarrow P(A) \\ &= P(B)\end{aligned}
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=1.5P(A)=0.45\begin{aligned}P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ &= 1.5P(A) \\ &= 0.45\end{aligned}
P(A)=0.3P(A) = 0.3

30%30\% מן התלמידים בשכבה הם מדריכים (וגם 30%30\% מהם בעלי רישיון).

תרגיל 2

ב. בוחרים באקראי תלמיד מבין התלמידים שאין להם רישיון. מהי ההסתברות שתלמיד זה הוא מדריך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2143

הפתרון:

P(A∩B)=0.15P(A∩B‾)=0.3−0.15=0.15\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.15 \\ \quad P(A \cap \overline{B}) &= 0.3 - 0.15 \\ &= 0.15\end{aligned}

נסמן ב־AA את המאורע «התלמיד מדריך» וב־BB את המאורע «יש לתלמיד רישיון נהיגה»

P(B‾)=1−0.3=0.7\begin{aligned}P(\overline{B}) &= 1 - 0.3 \\ &= 0.7\end{aligned}
P(A∣B‾)=0.150.7=314≈0.2143\begin{aligned}P(A \mid \overline{B}) &= \frac{0.15}{0.7} \\ &= \frac{3}{14} \approx 0.2143\end{aligned}

הסתברות מותנית

ההסתברות היא 314≈0.214\frac{3}{14} \approx 0.214.

תרגיל 3

בוחרים באקראי 55 תלמידים מבין התלמידים שאין להם רישיון. ג (1). מהי ההסתברות שנבחר יותר ממדריך אחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2922

הפתרון:

X∼Bin(5,314)X \sim \mathrm{Bin}\left(5, \frac{3}{14}\right)

התיכון גדול: הבחירות בלתי תלויות, ובכל אחת ההסתברות למדריך היא 314\frac{3}{14} (סעיף ב). XX הוא מספר המדריכים שנבחרו

P(X=0)=(1114)5≈0.2994P(X = 0) = \left(\frac{11}{14}\right)^5 \approx 0.2994
P(X=1)=5⋅314⋅(1114)4≈0.4083P(X = 1) = 5 \cdot \frac{3}{14} \cdot \left(\frac{11}{14}\right)^4 \approx 0.4083
P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)≈0.2922P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 0.2922

המאורע המשלים

ההסתברות שנבחר יותר ממדריך אחד היא 78579268912≈0.292\frac{78579}{268912} \approx 0.292.

תרגיל 4

בוחרים באקראי 55 תלמידים מבין התלמידים שאין להם רישיון. ג (2). ידוע שנבחר יותר ממדריך אחד. מהי ההסתברות כי מספר המדריכים שנבחרו הוא זוגי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7906

הפתרון:

P(X=2)=(52)(314)2(1114)3≈0.2227P(X = 2) = \binom{5}{2}\left(\frac{3}{14}\right)^2\left(\frac{11}{14}\right)^3 \approx 0.2227

התיכון גדול: הבחירות בלתי תלויות, ובכל אחת ההסתברות למדריך היא 314\frac{3}{14} (סעיף ב). XX הוא מספר המדריכים שנבחרו

P(X=4)=(54)(314)4⋅1114≈0.0083P(X = 4) = \binom{5}{4}\left(\frac{3}{14}\right)^4 \cdot \frac{11}{14} \approx 0.0083

מספר זוגי גדול מ־11: 22 או 44

P(X=2)+P(X=4)P(X≥2)≈0.23100.2922≈0.7906\frac{P(X = 2) + P(X = 4)}{P(X \ge 2)} \approx \frac{0.2310}{0.2922} \approx 0.7906

הסתברות מותנית, עם סעיף ג (1)

ההסתברות היא 1380517462≈0.791\frac{13805}{17462} \approx 0.791.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — משולש קהה זווית חסום במעגל

בסרטוט שלפניכם משולש קהה זווית ABCABC החסום במעגל. הנקודה KK נמצאת על המשך הצלע ABAB כך ש־AB=BKAB = BK. המשך הקטע KCKC חותך את המעגל בנקודה נוספת, בנקודה FF. נתון: ∠BAC=∠BCA\angle BAC = \angle BCA.

ABCKFD

תרגיל 1

א. הוכיחו כי AFAF הוא קוטר במעגל.

  • ∠BAC=∠BCA\angle BAC = \angle BCA
  • KK על המשך הצלע ABAB, ו־AB=BKAB = BK
  • FF על המעגל, על המשך הקטע KCKC

AFAF קוטר במעגל

להציג את התשובה והפתרון
  1. BA=BCBA = BC — מול זוויות שוות במשולש מונחות צלעות שוות
  2. BC=BKBC = BK — כלל המעבר: BC=BABC = BA ו־BA=BKBA = BK
  3. ∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ — במשולש ACKACK התיכון CBCB שווה למחצית הצלע AKAK: המשולש ישר זווית
  4. ∠ACF=90∘\angle ACF = 90^\circ — זוויות צמודות משלימות ל־180∘180^\circ
  5. AFAF קוטר במעגל — זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

הפתרון:

BA=BC=BK\begin{aligned}BA &= BC \\ &= BK\end{aligned}

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות, ו־AB=BKAB = BK נתון

∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ

התיכון CBCB במשולש ACKACK שווה למחצית הצלע AKAK

∠ACF=180∘−90∘=90∘\begin{aligned}\angle ACF &= 180^\circ - 90^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית צמודה

הזווית ההיקפית ∠ACF\angle ACF ישרה, ולכן היא נשענת על קוטר: AFAF קוטר במעגל.

תרגיל 2

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ב. הוכיחו כי המשולש ADKADK הוא שווה שוקיים.

  • AFAF קוטר במעגל (סעיף א)
  • AB=BKAB = BK, ו־KK על המשך ABAB
  • DD נקודת החיתוך של BFBF ו־ACAC

המשולש ADKADK שווה שוקיים: DA=DKDA = DK

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠ABF=90∘\angle ABF = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. FB⊥AKFB \perp AK — AA, BB ו־KK על ישר אחד
  3. FBFB האנך האמצעי לקטע AKAK — BB אמצע AKAK (AB=BKAB = BK), ו־FB⊥AKFB \perp AK בנקודה BB
  4. DA=DKDA = DK — כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחקים שווים מקצותיו; DD על BFBF

הפתרון:

∠ABF=90∘\angle ABF = 90^\circ

זווית היקפית על הקוטר AFAF

AB=BKFB⊥AK\begin{aligned}AB &= BK \\ \quad FB \perp AK\end{aligned}

FBFB האנך האמצעי לקטע AKAK

DA=DKDA = DK

DD על האנך האמצעי

המשולש ADKADK שווה שוקיים, ובסיסו AKAK. אפשר גם בחפיפה: △ABD≅△KBD\triangle ABD \cong \triangle KBD (צ.ז.צ).

תרגיל 3

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ג (1). הוכיחו כי המרובע BDCKBDCK הוא בר חסימה במעגל.

  • ∠ABF=90∘\angle ABF = 90^\circ (סעיף ב)
  • ∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ (סעיף א)
  • DD על BFBF ועל ACAC

המרובע BDCKBDCK בר חסימה במעגל

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠DBK=90∘\angle DBK = 90^\circ — זווית צמודה ל־∠ABD=90∘\angle ABD = 90^\circ
  2. ∠DCK=90∘\angle DCK = 90^\circ — DD על ACAC, ולכן ∠DCK=∠ACK\angle DCK = \angle ACK
  3. ∠DBK+∠DCK=180∘\angle DBK + \angle DCK = 180^\circ — סכום שתי זוויות ישרות
  4. המרובע BDCKBDCK בר חסימה במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ הוא בר חסימה

הפתרון:

∠DBK=90∘∠DCK=90∘\begin{aligned}\angle DBK &= 90^\circ \\ \quad \angle DCK &= 90^\circ\end{aligned}

מסעיפים א ו־ב

∠DBK+∠DCK=180∘\angle DBK + \angle DCK = 180^\circ

זוויות נגדיות במרובע BDCKBDCK

סכום הזוויות הנגדיות BB ו־CC הוא 180∘180^\circ, ולכן המרובע BDCKBDCK בר חסימה. הקטע DKDK הוא קוטר במעגל החוסם אותו.

תרגיל 4

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ג (2). הוכיחו כי ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC.

  • המרובע BDCKBDCK בר חסימה במעגל (סעיף ג (1))
  • DD על BFBF

∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠DKC=∠DBC\angle DKC = \angle DBC — במעגל החוסם את BDCKBDCK: זוויות היקפיות הנשענות על הקשת DCDC
  2. ∠DBC=∠FBC\angle DBC = \angle FBC — DD על הקטע BFBF
  3. ∠FBC=∠FAC\angle FBC = \angle FAC — במעגל הנתון: זוויות היקפיות הנשענות על הקשת FCFC
  4. ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC — כלל המעבר

הפתרון:

∠DKC=∠DBC\angle DKC = \angle DBC

זוויות היקפיות על DCDC במעגל של BDCKBDCK

∠DBC=∠FBC=∠FAC\begin{aligned}\angle DBC &= \angle FBC \\ &= \angle FAC\end{aligned}

זוויות היקפיות על FCFC במעגל הנתון

∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC.

תרגיל 5

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ד. הוכיחו כי AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF.

  • ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC (סעיף ג (2))
  • ∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ (סעיף א)
  • DA=DKDA = DK (סעיף ב)

AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠DCK=∠FCA=90∘\angle DCK = \angle FCA = 90^\circ — ∠DCK=∠ACK\angle DCK = \angle ACK, ו־∠FCA\angle FCA צמודה לה
  2. △DKC∼△FAC\triangle DKC \sim \triangle FAC — משפט הדמיון ז.ז: ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC ו־∠DCK=∠FCA\angle DCK = \angle FCA
  3. DKFA=KCAC\frac{DK}{FA} = \frac{KC}{AC} — יחס צלעות מתאימות במשולשים דומים
  4. DK⋅AC=KC⋅AFDK \cdot AC = KC \cdot AF — כופלים במכנים
  5. AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF — מציבים DK=DADK = DA (סעיף ב)

הפתרון:

△DKC∼△FAC\triangle DKC \sim \triangle FAC

ז.ז: ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC, ושתי זוויות ישרות ב־CC

DKFA=KCAC⇒DK⋅AC=KC⋅AF\begin{aligned}\frac{DK}{FA} &= \frac{KC}{AC} \Rightarrow DK \cdot AC \\ &= KC \cdot AF\end{aligned}
DK=DADK = DA

סעיף ב

AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — דלתון ומעגלים חוסמים

בסרטוט שלפניכם דלתון ABCDABCD (AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD). נתון: ∠BAD=∠CDB=2α\angle BAD = \angle CDB = 2\alpha,‏ 0∘<α<45∘0^\circ < \alpha < 45^\circ. נסמן: AB=kAB = k.

ABCDE

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות kk ו־α\alpha את רדיוס המעגל החוסם את המשולש CDBCDB.

  1. אR=k2cos⁡αR = \frac{k}{2\cos\alpha}
  2. בR=ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}
  3. גR=ksin⁡2αsin⁡4αR = \frac{k\sin 2\alpha}{\sin 4\alpha}
  4. דR=2ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{2k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב R=ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}

הפתרון:

BD=2ksin⁡αBD = 2k\sin\alpha

במשולש שווה השוקיים ABDABD הגובה מ־AA חוצה את זווית הראש 2α2\alpha ואת הבסיס BDBD

∠CBD=∠CDB=2α∠BCD=180∘−4α\begin{aligned}\angle CBD &= \angle CDB \\ &= 2\alpha \\ \quad \angle BCD &= 180^\circ - 4\alpha\end{aligned}

המשולש CDBCDB שווה שוקיים (CB=CDCB = CD)

2R=BDsin⁡∠BCD=2ksin⁡αsin⁡(180∘−4α)=2ksin⁡αsin⁡4α\begin{aligned}2R &= \frac{BD}{\sin\angle BCD} \\ &= \frac{2k\sin\alpha}{\sin(180^\circ - 4\alpha)} \\ &= \frac{2k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש CDBCDB

R=ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}. הביטוי k2cos⁡α\frac{k}{2\cos\alpha} הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDABD.

תרגיל 2

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDABD גדול פי 43\frac{4}{3} מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDBCDB. ב. מצאו את גודל הזווית BADBAD. (יש לכתוב את התשובה בדרגות.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48.1897

הפתרון:

RABD=BD2sin⁡2α=2ksin⁡α4sin⁡αcos⁡α=k2cos⁡α\begin{aligned}R_{ABD} &= \frac{BD}{2\sin 2\alpha} \\ &= \frac{2k\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} \\ &= \frac{k}{2\cos\alpha}\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש ABDABD

k2cos⁡α=43⋅ksin⁡αsin⁡4α\frac{k}{2\cos\alpha} = \frac{4}{3} \cdot \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}

הנתון, עם סעיף א

sin⁡4α=83sin⁡αcos⁡α=43sin⁡2α\begin{aligned}\sin 4\alpha &= \frac{8}{3}\sin\alpha\cos\alpha \\ &= \frac{4}{3}\sin 2\alpha\end{aligned}
2sin⁡2αcos⁡2α=43sin⁡2α⇒cos⁡2α=23\begin{aligned}2\sin 2\alpha\cos 2\alpha &= \frac{4}{3}\sin 2\alpha \Rightarrow \cos 2\alpha \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

sin⁡2α≠0\sin 2\alpha \ne 0

2α≈48.19∘2\alpha \approx 48.19^\circ

0∘<2α<90∘0^\circ < 2\alpha < 90^\circ

∠BAD≈48.19∘\angle BAD \approx 48.19^\circ.

תרגיל 3

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDABD גדול פי 43\frac{4}{3} מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDBCDB. הנקודה OO היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABDABD. דרך הנקודה AA העבירו ישר המקביל ל־BDBD וחותך את המשך הצלע CDCD בנקודה EE. נתון כי שטח המשולש AOEAOE הוא 7070. ג. מצאו את הערך של kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.4464

הפתרון:

cos⁡α=1+cos⁡2α2=56sin⁡2α=53\begin{aligned}\cos\alpha &= \sqrt{\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{5}{6}} \\ \quad \sin 2\alpha &= \frac{\sqrt{5}}{3}\end{aligned}

מסעיף ב: cos⁡2α=23\cos 2\alpha = \frac{2}{3}

AO=RABD=k2cos⁡α\begin{aligned}AO &= R_{ABD} \\ &= \frac{k}{2\cos\alpha}\end{aligned}

OO על ציר הסימטריה ACAC של הדלתון

∠OAE=90∘\angle OAE = 90^\circ

AC⊥BDAC \perp BD (אלכסוני דלתון), ו־AE∥BDAE \parallel BD

∠DAE=90∘−α∠ADE=180∘−(90∘−α+2α)=90∘−α\begin{aligned}\angle DAE &= 90^\circ - \alpha \\ \quad \angle ADE &= 180^\circ - (90^\circ - \alpha + 2\alpha) \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

∠ADC=∠ADB+∠BDC\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC, ו־∠ADE\angle ADE צמודה לה

AE=ADsin⁡∠ADEsin⁡∠AED=kcos⁡αsin⁡2α=k2sin⁡α\begin{aligned}AE &= \frac{AD\sin\angle ADE}{\sin\angle AED} \\ &= \frac{k\cos\alpha}{\sin 2\alpha} \\ &= \frac{k}{2\sin\alpha}\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש ADEADE, ש־∠AED=2α\angle AED = 2\alpha

SAOE=12⋅k2cos⁡α⋅k2sin⁡α=k24sin⁡2α=3k245\begin{aligned}S_{AOE} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{k}{2\cos\alpha} \cdot \frac{k}{2\sin\alpha} \\ &= \frac{k^2}{4\sin 2\alpha} \\ &= \frac{3k^2}{4\sqrt{5}}\end{aligned}

משולש ישר זווית ב־AA

3k245=70⇒k2=28053≈208.70\begin{aligned}\frac{3k^2}{4\sqrt{5}} &= 70 \Rightarrow k^2 \\ &= \frac{280\sqrt{5}}{3} \approx 208.70\end{aligned}

k≈14.45k \approx 14.45.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

נתונה הפונקציה f(x)=5x2−kxx3f(x) = \frac{\sqrt{5x^2 - kx}}{x^3},‏ kk הוא פרמטר חיובי.

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות kk את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. אx≤0x \le 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}
  2. בx<0x < 0 או x>k5x > \frac{k}{5}
  3. ג0<x≤k50 < x \le \frac{k}{5}
  4. דx<0x < 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x<0x < 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}

הפתרון:

5x2−kx=x(5x−k)≥05x^2 - kx = x(5x - k) \ge 0

ביטוי מתחת לשורש: הפרבולה מתאפסת ב־00 וב־k5\frac{k}{5} וחיובית מחוץ להם, ולכן x≤0x \le 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}

x3≠0⇒x≠0x^3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0

המכנה

תחום ההגדרה: x<0x < 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}.

תרגיל 2

נתונה הפונקציה h(x)=−f(x)h(x) = -f(x). שיעור ה־xx של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם גרף הפונקציה h(x)h(x) הוא 1.61.6. ב. מצאו את הערך של kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f(x)=−f(x)⇒f(x)=0\begin{aligned}f(x) &= -f(x) \Rightarrow f(x) \\ &= 0\end{aligned}
5x2−kx=0⇒x=k5\begin{aligned}\sqrt{5x^2 - kx} &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{k}{5}\end{aligned}

x=0x = 0 מחוץ לתחום ההגדרה

k5=1.6⇒k=8\begin{aligned}\frac{k}{5} &= 1.6 \Rightarrow k \\ &= 8\end{aligned}

k=8k = 8.

תרגיל 3

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x). (אסימפטוטה אנכית ואסימפטוטה אופקית.)

x=x = ____ , y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x = 0 , y=y = 0

הפתרון:

f(x)=5x2−8xx3f(x) = \frac{\sqrt{5x^2 - 8x}}{x^3}

תחום ההגדרה: x<0x < 0 או x≥1.6x \ge 1.6

lim⁡x→0−f(x)=−∞\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty

כאשר x→0−x \to 0^-: המונה ≈8∣x∣\approx \sqrt{8|x|}, והמכנה x3x^3 שלילי וקטן ממנו בהרבה

lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞5⋅∣x∣x3=0\begin{aligned}\lim_{x \to \pm\infty} f(x) &= \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt{5} \cdot |x|}{x^3} \\ &= 0\end{aligned}

המעלה במכנה גבוהה

אסימפטוטה אנכית x=0x = 0, ואסימפטוטה אופקית y=0y = 0.

תרגיל 4

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; מינימום (נקודת קצה): (( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: (( 2 ,, 0.25 )) ; מינימום (נקודת קצה): (( 1.6 ,, 0 ))

הפתרון:

f′(x)=10x−825x2−8x⋅x3−3x25x2−8xx6=−10x(x−2)x45x2−8x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\frac{10x - 8}{2\sqrt{5x^2 - 8x}} \cdot x^3 - 3x^2\sqrt{5x^2 - 8x}}{x^6} \\ &= \frac{-10x(x - 2)}{x^4\sqrt{5x^2 - 8x}}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f′(x)=0⇒x=2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

x=0x = 0 מחוץ לתחום

1.6<x<2:f′(x)>0,x>2:f′(x)<0,x<0:f′(x)<01.6 < x < 2: f'(x) > 0, \quad x > 2: f'(x) < 0, \quad x < 0: f'(x) < 0

סימן המונה −10x(x−2)-10x(x - 2); המכנה חיובי

f(2)=48=14f(1.6)=0\begin{aligned}f(2) &= \frac{\sqrt{4}}{8} \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad f(1.6) &= 0\end{aligned}

מקסימום (2,14)\left(2, \frac{1}{4}\right), ומינימום בקצה התחום (1.6,0)(1.6, 0). בענף השמאלי (x<0x < 0) הפונקציה יורדת, ואין בו נקודת קיצון.

תרגיל 5

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג (3). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. אגרף IV
  2. בגרף III
  3. גגרף II
  4. דגרף I
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף II

הפתרון:

x<0:f(x)<0x < 0: \quad f(x) < 0

מונה חיובי ומכנה שלילי: הענף השמאלי מתחת לציר ה־xx

x→−∞:f(x)→0,x→0−:f(x)→−∞x \to -\infty: f(x) \to 0, \quad x \to 0^-: f(x) \to -\infty

הענף השמאלי יורד מ־y=0y = 0 אל האסימפטוטה x=0x = 0

(1.6,0)↗(2,14)↘0(1.6, 0) \nearrow \left(2, \tfrac{1}{4}\right) \searrow 0

הענף הימני, מסעיף ג (2)

גרף II. גרף I הוא −f(x)-f(x), בגרף III הענף השמאלי מעל ציר ה־xx, וגרף IV הוא השיקוף של גרף ff סביב ציר ה־yy.

תרגיל 6

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה g(x)=(f(x))2g(x) = (f(x))^2 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. אגרף IV
  2. בגרף I
  3. גגרף III
  4. דגרף II
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף I

הפתרון:

g(x)=(f(x))2≥0g(x) = (f(x))^2 \ge 0

הגרף אינו יורד מתחת לציר ה־xx

x→0−:g(x)→+∞,x→±∞:g(x)→0x \to 0^-: g(x) \to +\infty, \quad x \to \pm\infty: g(x) \to 0

אותן אסימפטוטות כמו ל־ff

g′(x)=2f(x)f′(x)g'(x) = 2f(x)f'(x)

בענף השמאלי f<0f < 0 ו־f′<0f' < 0, ולכן g′>0g' > 0: gg עולה

(1.6,0)↗(2,116)↘0(1.6, 0) \nearrow \left(2, \tfrac{1}{16}\right) \searrow 0

בענף הימני f≥0f \ge 0, ולכן לסימן של g′g' סימן f′f'

גרף I. גרף II הוא −g(x)-g(x), בגרף III המקסימום הוא 14\frac{1}{4} ולא 116\frac{1}{16}, וגרף IV הוא השיקוף של גרף gg סביב ציר ה־yy.

תרגיל 7

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה g(x)=(f(x))2g(x) = (f(x))^2 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). aa הוא פרמטר גדול מ־22. ה. האם ערך הביטוי ∫aa+1g(x) dx\int_a^{a+1} g(x)\,dx שווה, גדול או קטן בהשוואה לערך הביטוי ∫aa+1f(x) dx\int_a^{a+1} f(x)\,dx? נמקו את תשובתכם.

  1. אגדול
  2. בקטן
  3. גשווה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב קטן

הפתרון:

x>2:0<f(x)≤14<1x > 2: \quad 0 < f(x) \le \frac{1}{4} < 1

מסעיף ג (2): המקסימום של ff הוא 14\frac{1}{4}, ומימין ל־x=1.6x = 1.6 הפונקציה חיובית

g(x)=f(x)⋅f(x)<f(x)g(x) = f(x) \cdot f(x) < f(x)

מספר בין 00 ל־11 קטן מעצמו כשמעלים אותו בריבוע

∫aa+1g(x) dx<∫aa+1f(x) dx\int_a^{a+1} g(x)\,dx < \int_a^{a+1} f(x)\,dx

אותו קטע, ו־g<fg < f בכל הקטע

ערך הביטוי ∫aa+1g(x) dx\int_a^{a+1} g(x)\,dx קטן מערך הביטוי ∫aa+1f(x) dx\int_a^{a+1} f(x)\,dx.

תרגיל 8

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה g(x)=(f(x))2g(x) = (f(x))^2 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישרים x=2x = 2 ו־x=6x = 6.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.0772

הפתרון:

S=∫265x2−8xx6 dx=∫26(5x−4−8x−5)dx\begin{aligned}S &= \int_2^6 \frac{5x^2 - 8x}{x^6}\,dx \\ &= \int_2^6 \left(5x^{-4} - 8x^{-5}\right)dx\end{aligned}

g(x)≥0g(x) \ge 0 בקטע: השטח הוא האינטגרל

=[−53x3+2x4]26= \left[-\frac{5}{3x^3} + \frac{2}{x^4}\right]_2^6

פונקציה קדומה

=(−5648+21296)−(−524+216)=−1162+112= \left(-\frac{5}{648} + \frac{2}{1296}\right) - \left(-\frac{5}{24} + \frac{2}{16}\right) = -\frac{1}{162} + \frac{1}{12}
=25324≈0.0772= \frac{25}{324} \approx 0.0772

השטח הוא 25324≈0.077\frac{25}{324} \approx 0.077.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית

נתונה הפונקציה f(x)=(sin⁡x)2+cos⁡x−1f(x) = (\sin x)^2 + \cos x - 1, המוגדרת בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi.

תרגיל 1

א. הוכיחו כי הפונקציה f(x)f(x) היא זוגית.

  • f(x)=(sin⁡x)2+cos⁡x−1f(x) = (\sin x)^2 + \cos x - 1
  • התחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi סימטרי סביב 00

f(x)f(x) פונקציה זוגית

להציג את התשובה והפתרון
  1. sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x — הסינוס פונקציה אי־זוגית
  2. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x — הקוסינוס פונקציה זוגית
  3. f(−x)=(−sin⁡x)2+cos⁡x−1=(sin⁡x)2+cos⁡x−1f(-x) = (-\sin x)^2 + \cos x - 1 = (\sin x)^2 + \cos x - 1 — מציבים −x-x בפונקציה
  4. f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) לכל xx בתחום — זו הגדרת פונקציה זוגית; התחום סימטרי, ולכן −x-x בתחום לכל xx בתחום

הפתרון:

f(−x)=(sin⁡(−x))2+cos⁡(−x)−1=(−sin⁡x)2+cos⁡x−1\begin{aligned}f(-x) &= (\sin(-x))^2 + \cos(-x) - 1 \\ &= (-\sin x)^2 + \cos x - 1\end{aligned}
=(sin⁡x)2+cos⁡x−1=f(x)= (\sin x)^2 + \cos x - 1 = f(x)

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) בכל התחום הסימטרי, ולכן f(x)f(x) זוגית.

תרגיל 2

ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. (יש לכתוב משמאל לימין, כמספרים עשרוניים.)

(( ____ ,0), 0) , (( ____ ,0), 0) , (( ____ ,0), 0)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( -1.5708 ,0), 0) , (( 0 ,0), 0) , (( 1.5708 ,0), 0)

הפתרון:

(sin⁡x)2=1−(cos⁡x)2(\sin x)^2 = 1 - (\cos x)^2
f(x)=cos⁡x−(cos⁡x)2=cos⁡x(1−cos⁡x)\begin{aligned}f(x) &= \cos x - (\cos x)^2 \\ &= \cos x(1 - \cos x)\end{aligned}
cos⁡x=0⇒x=±π2\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{2}\end{aligned}

בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi

cos⁡x=1⇒x=0\begin{aligned}\cos x &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

(−π2,0)\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right), (0,0)(0, 0) ו־(π2,0)\left(\frac{\pi}{2}, 0\right), כלומר x≈−1.571x \approx -1.571, 00, 1.5711.571.

תרגיל 3

ב (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן. (יש לכתוב כמספרים עשרוניים.)

מקסימום: (±(\pm ____ ,, ____ )) ; מינימום: (( ____ ,, ____ )) ו־(±(\pm ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: (±(\pm 1.0472 ,, 0.25 )) ; מינימום: (( 0 ,, 0 )) ו־(±(\pm 3.1416 ,, -2 ))

הפתרון:

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=sin⁡x(2cos⁡x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 2\sin x\cos x - \sin x \\ &= \sin x(2\cos x - 1)\end{aligned}
sin⁡x=0⇒x=0±π;cos⁡x=12⇒x=±π3\begin{aligned}\sin x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \pm\pi; \quad \cos x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{3}\end{aligned}
0<x<π3:f′(x)>0,π3<x<π:f′(x)<00 < x < \frac{\pi}{3}: f'(x) > 0, \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi: f'(x) < 0

בצד השמאלי ההפך, כי ff זוגית

f(±π3)=34+12−1=14f(0)=0f(±π)=−2\begin{aligned}f\left(\pm\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - 1 \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad f(0) &= 0 \\ \quad f(\pm\pi) &= -2\end{aligned}

מקסימום (±π3,14)\left(\pm\frac{\pi}{3}, \frac{1}{4}\right); מינימום (0,0)(0, 0), ומינימום בקצות התחום (±π,−2)(\pm\pi, -2).

תרגיל 4

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. אגרף IV
  2. בגרף II
  3. גגרף I
  4. דגרף III
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף III

הפתרון:

(−π,−2)↗(−π3,14)↘(0,0)↗(π3,14)↘(π,−2)(-\pi, -2) \nearrow \left(-\tfrac{\pi}{3}, \tfrac{1}{4}\right) \searrow (0, 0) \nearrow \left(\tfrac{\pi}{3}, \tfrac{1}{4}\right) \searrow (\pi, -2)

מסעיף ב

f(±π2)=0f\left(\pm\frac{\pi}{2}\right) = 0

הגרף נוגע בציר ה־xx ב־00 וחותך אותו ב־±π2\pm\frac{\pi}{2}

גרף III. בגרף II אין שתי נקודות מקסימום, וגרפים I ו־IV מגיעים ל־−2-2 דווקא ב־x=0x = 0.

תרגיל 5

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה g(x)g(x) יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות. ד. כתבו שני ערכים אפשריים של bb, שאחד מהם חיובי והאחר שלילי. ד (1). מהו הערך השלילי האפשרי של bb?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.25

הפתרון:

f(x)+b=0⇔f(x)=−b\begin{aligned}f(x) + b &= 0 \Leftrightarrow f(x) \\ &= -b\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס, והמונה הוא 11

−2≤f(x)≤14-2 \le f(x) \le \frac{1}{4}

הישר y=−by = -b פוגש את גרף ff בשתי נקודות בדיוק כאשר −b=14-b = \frac{1}{4} (בשתי נקודות המקסימום) או כאשר −2<−b<0-2 < -b < 0 (פעם אחת בכל ענף יורד); כאשר 0≤−b<140 \le -b < \frac{1}{4} הוא פוגש אותו שלוש או ארבע פעמים, וכאשר −b>14-b > \frac{1}{4} או −b<−2-b < -2 אף לא פעם אחת

b<0⇒−b>0⇒−b=14b < 0 \Rightarrow -b > 0 \Rightarrow -b = \frac{1}{4}

הערך השלילי הוא b=−14=−0.25b = -\frac{1}{4} = -0.25. אז f(x)−14=−(cos⁡x−12)2f(x) - \frac{1}{4} = -\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2 מתאפס רק ב־x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3}.

תרגיל 6

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה g(x)g(x) יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות. ד. כתבו שני ערכים אפשריים של bb, שאחד מהם חיובי והאחר שלילי. ד (2). איזה מן הערכים האלה הוא ערך חיובי אפשרי של bb?

  1. אb=3b = 3
  2. בb=1b = 1
  3. גb=4b = 4
  4. דb=52b = \frac{5}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב b=1b = 1

הפתרון:

b=1:f(x)=−1\begin{aligned}b &= 1: \quad f(x) \\ &= -1\end{aligned}

הישר y=−by = -b פוגש את גרף ff בשתי נקודות בדיוק כאשר −b=14-b = \frac{1}{4} (בשתי נקודות המקסימום) או כאשר −2<−b<0-2 < -b < 0 (פעם אחת בכל ענף יורד); כאשר 0≤−b<140 \le -b < \frac{1}{4} הוא פוגש אותו שלוש או ארבע פעמים, וכאשר −b>14-b > \frac{1}{4} או −b<−2-b < -2 אף לא פעם אחת

−2<−1<0-2 < -1 < 0

הישר y=−1y = -1 חותך את גרף ff פעם אחת בכל ענף יורד: שתי אסימפטוטות אנכיות

b>2⇒−b<−2b > 2 \Rightarrow -b < -2

הישר y=−by = -b מתחת לגרף כולו: אין אסימפטוטה אנכית

b=1b = 1. כל bb חיובי שקטן מ־22 מתאים; 52\frac{5}{2}, 33 ו־44 גדולים מ־22.

תרגיל 7

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ה (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x).

  1. א−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠±π3x \ne \pm\frac{\pi}{3}
  2. ב−π<x<π-\pi < x < \pi, x≠±π3x \ne \pm\frac{\pi}{3}
  3. ג−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠±2π3x \ne \pm\frac{2\pi}{3}
  4. ד−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠0x \ne 0, x≠±π2x \ne \pm\frac{\pi}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠±π3x \ne \pm\frac{\pi}{3}

הפתרון:

g(x)=1f(x)−14=−1(cos⁡x−12)2\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x) - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{-1}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2}\end{aligned}

f(x)−14=−(cos⁡x)2+cos⁡x−14=−(cos⁡x−12)2f(x) - \frac{1}{4} = -(\cos x)^2 + \cos x - \frac{1}{4} = -\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2

cos⁡x=12⇒x=±π3\begin{aligned}\cos x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{3}\end{aligned}

המכנה מתאפס רק שם

תחום ההגדרה: −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, פרט ל־x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3}. בקצוות ±π\pm\pi הפונקציה מוגדרת: g(±π)=−49g(\pm\pi) = -\frac{4}{9}.

תרגיל 8

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ה (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x). (יש לכתוב כמספרים עשרוניים.)

(( ____ ,, ____ )) ו־(±(\pm ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 0 ,, -4 )) ו־(±(\pm 3.1416 ,, -0.4444 ))

הפתרון:

g(x)=1f(x)−14=−1(cos⁡x−12)2\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x) - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{-1}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2}\end{aligned}

f(x)−14=−(cos⁡x)2+cos⁡x−14=−(cos⁡x−12)2f(x) - \frac{1}{4} = -(\cos x)^2 + \cos x - \frac{1}{4} = -\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2

g′(x)=−2sin⁡x(cos⁡x−12)3g'(x) = \frac{-2\sin x}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^3}

גוזרים −(cos⁡x−12)−2-\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^{-2}

g′(x)=0⇒sin⁡x=0⇒x=0±π\begin{aligned}g'(x) &= 0 \Rightarrow \sin x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \pm\pi\end{aligned}
g(0)=−1(12)2=−4g(±π)=−1(−32)2=−49\begin{aligned}g(0) &= \frac{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} \\ &= -4 \\ \quad g(\pm\pi) &= \frac{-1}{\left(-\frac{3}{2}\right)^2} \\ &= -\frac{4}{9}\end{aligned}

נקודות הקיצון: (0,−4)(0, -4) ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right), כלומר y≈−0.444y \approx -0.444 בקצוות.

תרגיל 9

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ה (2). מה סוג נקודות הקיצון (0,−4)(0, -4) ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right) של הפונקציה g(x)g(x)?

  1. א(0,−4)(0, -4) מינימום, ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right) מקסימום
  2. בשלוש הנקודות הן נקודות מינימום
  3. גשלוש הנקודות הן נקודות מקסימום
  4. ד(0,−4)(0, -4) מקסימום, ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right) מינימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שלוש הנקודות הן נקודות מקסימום

הפתרון:

g′(x)=−2sin⁡x(cos⁡x−12)3g'(x) = \frac{-2\sin x}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^3}

גוזרים −(cos⁡x−12)−2-\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^{-2}

−π3<x<0:g′(x)>0,0<x<π3:g′(x)<0-\frac{\pi}{3} < x < 0: g'(x) > 0, \quad 0 < x < \frac{\pi}{3}: g'(x) < 0

cos⁡x−12>0\cos x - \frac{1}{2} > 0: הסימן הפוך לסימן של sin⁡x\sin x; ב־x=0x = 0 מקסימום

π3<x<π:g′(x)>0\frac{\pi}{3} < x < \pi: g'(x) > 0

cos⁡x−12<0\cos x - \frac{1}{2} < 0 ו־sin⁡x>0\sin x > 0: gg עולה עד הקצה x=πx = \pi, מקסימום קצה

−π<x<−π3:g′(x)<0-\pi < x < -\frac{\pi}{3}: g'(x) < 0

gg יורדת מן הקצה x=−πx = -\pi: מקסימום קצה

שלוש הנקודות הן נקודות מקסימום. לפונקציה אין מינימום: ליד x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3} היא שואפת ל־−∞-\infty.

תרגיל 10

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. אגרף I
  2. בגרף II
  3. גגרף IV
  4. דגרף III
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף II

הפתרון:

g(x)=−1(cos⁡x−12)2<0g(x) = \frac{-1}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2} < 0

כל הגרף מתחת לציר ה־xx

x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3}

האסימפטוטות האנכיות; לידן g→−∞g \to -\infty משני הצדדים

g(0)=−4<−49=g(±π)\begin{aligned}g(0) &= -4 < -\frac{4}{9} \\ &= g(\pm\pi)\end{aligned}

המקסימום של הענף האמצעי נמוך מן הערכים בקצוות

גרף II. בגרף I הענף האמצעי מעל ציר ה־xx, בגרף IV כל הגרף מעליו, ובגרף III האסימפטוטות רחוקות יותר מן הראשית והמקסימום האמצעי גבוה מן הקצוות.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 8 — נקודת פיתול ובעיית קיצון

נתונה הפונקציה f(x)=kx3−3x2+8kxf(x) = kx^3 - 3x^2 + 8kx, המוגדרת לכל xx. kk הוא פרמטר שונה מ־00. הנקודה AA היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x)f(x).

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות kk את שיעורי הנקודה AA.

  1. אA(1k,8+2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 + \frac{2}{k^2}\right)
  2. בA(1k,8−4k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{4}{k^2}\right)
  3. גA(2k,16−4k2)A\left(\frac{2}{k}, 16 - \frac{4}{k^2}\right)
  4. דA(1k,8−2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{2}{k^2}\right)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד A(1k,8−2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{2}{k^2}\right)

הפתרון:

f′(x)=3kx2−6x+8kf′′(x)=6kx−6\begin{aligned}f'(x) &= 3kx^2 - 6x + 8k \\ \quad f''(x) &= 6kx - 6\end{aligned}
f′′(x)=0⇒x=1k\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{k}\end{aligned}

f′′f'' ליניארית ומחליפה סימן ב־x=1kx = \frac{1}{k}

f(1k)=kk3−3k2+8=8−2k2\begin{aligned}f\left(\frac{1}{k}\right) &= \frac{k}{k^3} - \frac{3}{k^2} + 8 \\ &= 8 - \frac{2}{k^2}\end{aligned}

A(1k,8−2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{2}{k^2}\right).

תרגיל 2

נתון כי הנקודה AA נמצאת ברביע הראשון. ב. מצאו את תחום הערכים האפשרי של kk.

k>k > ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: k>k > 0.5

הפתרון:

1k>0⇒k>0\frac{1}{k} > 0 \Rightarrow k > 0

שיעור ה־xx חיובי

8−2k2>0⇒k2>148 - \frac{2}{k^2} > 0 \Rightarrow k^2 > \frac{1}{4}

שיעור ה־yy חיובי

k>12k > \frac{1}{2}

יחד עם k>0k > 0

k>12k > \frac{1}{2}.

תרגיל 3

נתון כי הנקודה AA נמצאת ברביע הראשון. דרך הנקודה AA העבירו אנך לציר ה־xx החותך אותו בנקודה BB, ואנך לציר ה־yy החותך אותו בנקודה CC. נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע ABAB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע ACAC. ג. מצאו את הערך של kk שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו־II הוא מינימלי (תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם). (כאן יש לכתוב את התשובה כמספר עשרוני.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.508

הפתרון:

AB=8−2k2AC=1k\begin{aligned}AB &= 8 - \frac{2}{k^2} \\ \quad AC &= \frac{1}{k}\end{aligned}

B(1k,0)B\left(\frac{1}{k}, 0\right) ו־C(0,8−2k2)C\left(0, 8 - \frac{2}{k^2}\right); AA ברביע הראשון

S(k)=(8−2k2)2+1k2k>12\begin{aligned}S(k) &= \left(8 - \frac{2}{k^2}\right)^2 + \frac{1}{k^2} \\ \quad k > \frac{1}{2}\end{aligned}
t=1k20<t<4:S=4t2−31t+64\begin{aligned}t &= \frac{1}{k^2} \\ \quad 0 < t < 4: \quad S &= 4t^2 - 31t + 64\end{aligned}

הצבה; tt יורד כאשר kk עולה

t=318t = \frac{31}{8}

קודקוד הפרבולה, בתוך הקטע 0<t<40 < t < 4; הפרבולה פתוחה כלפי מעלה: מינימום

k=831≈0.508k = \sqrt{\frac{8}{31}} \approx 0.508

בדיקה: 0.508>120.508 > \frac{1}{2}

k=831≈0.508k = \sqrt{\frac{8}{31}} \approx 0.508.

לפתור את השאלה באתר

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות

באתר הבחינה נפתרת עם שעון, כל תשובה נבדקת, ואחרי ההגשה כל הפתרונות פתוחים. וכל פרק של השאלון מחכה עם הסברים ותרגול.

לבחינה באתרכל הבחינות והפרקים של שאלון 35571