בגרות במתמטיקה 35571 קיץ 2022

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 2 — סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

סדרה $I$ היא סדרה הנדסית אין־סופית שאיבריה הם $a_1, a_2, a_3, \dots$ ומנתה היא $9 \cdot r^2$ . נתון: $0 < r < \frac{1}{3}$ . בין כל שני איברים בסדרה $I$ הכניסו איבר נוסף, ונוצרה סדרה הנדסית חדשה יורדת, סדרה $II$ , שאיבריה הם $b_1, b_2, b_3, \dots$ ומנתה היא $q$ .

תרגיל 1

א (1). הביעו את $q$ באמצעות $r$ .

$q =$ ____ $\cdot r$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $q =$ 3 $\cdot r$

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= a_1 \\ \quad b_2 \\ \quad b_3 &= a_2\end{aligned}

האיבר הנוסף נכנס בין $a_1$ ל־ $a_2$

b_3 = b_1 \cdot q^2

נוסחת האיבר הכללי בסדרה $II$

a_2 = a_1 \cdot 9r^2

נוסחת האיבר הכללי בסדרה $I$

q^2 = 9r^2

משווים: $b_3 = a_2$ ו־ $b_1 = a_1$

\begin{aligned}q &= 3r \quad \text{או} \quad q \\ &= -3r\end{aligned}

מוציאים שורש

q = 3r

סדרה $II$ יורדת, ולכן $q > 0$

$q = 3r$ .

תרגיל 2

א (2). הסבירו מדוע שתי הסדרות $I$ ו־ $II$ מתכנסות.

אכי $9r^2 > 3r$ , ולכן סדרה $I$ יורדת מהר יותר.
בכי האיבר הראשון של שתי הסדרות שווה.
גכי $0 < r < \frac{1}{3}$ , ולכן $0 < 9r^2 < 1$ וגם $0 < 3r < 1$ : המנה של כל סדרה בין $-1$ ל־ $1$ , ושונה מ־ $0$ .
דכי שתי הסדרות יורדות, וכל סדרה הנדסית יורדת מתכנסת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כי $0 < r < \frac{1}{3}$ , ולכן $0 < 9r^2 < 1$ וגם $0 < 3r < 1$ : המנה של כל סדרה בין $-1$ ל־ $1$ , ושונה מ־ $0$ .

הפתרון:

0 < r < \frac{1}{3}

נתון

0 < 3r < 1

כופלים ב־ $3$

0 < 9r^2 < 1

מעלים בריבוע: שני האגפים חיוביים

|q| < 1, \ q \neq 0 \quad \text{ו־} \quad |9r^2| < 1, \ 9r^2 \neq 0

תנאי ההתכנסות של סדרה הנדסית אין־סופית

המנה של כל אחת מהסדרות נמצאת בין $0$ ל־ $1$ , ולכן שתיהן מתכנסות.

תרגיל 3

נתון כי סכום סדרה $II$ גדול פי $\frac{4}{3}$ מסכום סדרה $I$ . ב. חשבו את $q$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3333

הפתרון:

S_{II} = \frac{b_1}{1 - q}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

\begin{aligned}S_{I} &= \frac{a_1}{1 - 9r^2} \\ &= \frac{b_1}{1 - q^2}\end{aligned}

$a_1 = b_1$ ו־ $9r^2 = q^2$

\frac{b_1}{1 - q} = \frac{4}{3} \cdot \frac{b_1}{1 - q^2}

נתון: $S_{II} = \frac{4}{3} S_{I}$

\frac{1}{1 - q} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(1 - q)(1 + q)}

מחלקים ב־ $b_1 \neq 0$ ומפרקים $1 - q^2$

1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 + q}

כופלים ב־ $1 - q \neq 0$

1 + q = \frac{4}{3}

כופלים ב־ $1 + q$

q = \frac{1}{3}

מחסירים $1$

$q = \frac{1}{3}$ (ולכן $r = \frac{1}{9}$ ).

תרגיל 4

נתון כי סכום סדרה $II$ גדול פי $\frac{4}{3}$ מסכום סדרה $I$ . נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה $II$ הוא $12$ . ג. מצאו את סכום כל האיברים של סדרה $II$ במקומות שמתחלקים ב־ $5$ $(b_5, b_{10}, b_{15}, \dots)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3967

הפתרון:

b_2, b_4, b_6, \dots

האיברים במקומות הזוגיים: סדרה הנדסית

\text{איבר ראשון } b_1 q, \quad \text{מנה } q^2

$b_2 = b_1 q$ , ובין שני איברים זוגיים יש שני צעדים

\frac{b_1 q}{1 - q^2} = 12

נתון

\frac{b_1 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{8}{9}} = 12

מציבים $q = \frac{1}{3}$

\frac{3}{8} b_1 = 12

מפשטים

b_1 = 32

כופלים ב־ $\frac{8}{3}$

\begin{aligned}b_5 &= b_1 q^4 \\ &= 32 \cdot \frac{1}{81} \\ &= \frac{32}{81}\end{aligned}

האיבר הראשון של הסדרה החדשה

\text{מנה } q^5 = \frac{1}{243}

בין $b_5$ ל־ $b_{10}$ יש חמישה צעדים

\frac{\frac{32}{81}}{1 - \frac{1}{243}} = \frac{32}{81} \cdot \frac{243}{242}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

= \frac{96}{242} = \frac{48}{121} \approx 0.397

מצמצמים

הסכום הוא $\frac{48}{121} \approx 0.397$ .

תרגיל 5

נתון כי סכום סדרה $II$ גדול פי $\frac{4}{3}$ מסכום סדרה $I$ . נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה $II$ הוא $12$ . ד. מצאו בסדרה $II$ את היחס בין האיבר החמישי לבין סכום כל האיברים שאחרי איבר זה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

b_6 + b_7 + b_8 + \dots

האיברים שאחרי $b_5$ : סדרה הנדסית שמנתה $q$

= \frac{b_6}{1 - q} = \frac{b_5 q}{1 - q}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית, $b_6 = b_5 q$

\frac{b_5}{\frac{b_5 q}{1 - q}} = \frac{1 - q}{q}

מחלקים ומצמצמים ב־ $b_5 \neq 0$

= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2

מציבים $q = \frac{1}{3}$

היחס הוא $2$ .

תרגיל 6

ה. הוכיחו כי בכל סדרה הנדסית מתכנסת היחס בין איבר כלשהו לבין סכום כל האיברים שאחריו אינו תלוי במיקום של האיבר בסדרה.

$c_1, c_2, c_3, \dots$ סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת שמנתה $q$
$0 < |q| < 1$ , $c_1 \neq 0$
$c_n$ איבר כלשהו בסדרה

היחס $\frac{c_n}{c_{n+1} + c_{n+2} + \dots}$ אינו תלוי ב־ $n$

להציג את התשובה והפתרון

$c_{n+1} = c_n \cdot q$ — הגדרת סדרה הנדסית
$c_{n+1} + c_{n+2} + \dots = \frac{c_n q}{1 - q}$ — סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת שאיברה הראשון $c_{n+1}$ ומנתה $q$
$\frac{c_n}{c_{n+1} + c_{n+2} + \dots} = \frac{1 - q}{q}$ — מחלקים ומצמצמים ב־ $c_n \neq 0$
היחס $\frac{c_n}{c_{n+1} + c_{n+2} + \dots}$ אינו תלוי ב־ $n$ — הביטוי $\frac{1 - q}{q}$ תלוי במנה $q$ בלבד

הפתרון:

c_{n+1} = c_n q

הגדרת סדרה הנדסית

c_{n+1} + c_{n+2} + \dots = \frac{c_n q}{1 - q}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

\frac{c_n}{\frac{c_n q}{1 - q}} = \frac{1 - q}{q}

מצמצמים ב־ $c_n \neq 0$

\frac{1 - q}{q}

אין בו $n$ : היחס אינו תלוי במיקום

היחס שווה ל־ $\frac{1 - q}{q}$ לכל $n$ , ולכן אינו תלוי במיקום האיבר. בסדרה $II$ זה היחס $2$ של סעיף ד.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — הסתברות: התפלגות בינומית

נטע משחקת במשחק מסוים. במשחק זה יש בדיוק שלוש תוצאות אפשריות: ניצחון, תיקו והפסד. ההסתברות שנטע תנצח במשחק גדולה פי $3$ מן ההסתברות שהיא תפסיד במשחק. נסמן ב־ $p$ את ההסתברות שנטע תפסיד במשחק $(p > 0)$ . בשאלה כולה תוצאות המשחקים אינן תלויות זו בזו.

תרגיל 1

נתון שאם נטע משחקת $2$ משחקים בזה אחר זה, ההסתברות שהיא תנצח במשחק אחד לפחות היא $4.5p$ . א. מצאו את הערך של $p$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.1667

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{הפסד}) &= p \\ \quad P(\text{ניצחון}) &= 3p\end{aligned}

נתון

P(\text{לא ניצחון}) = 1 - 3p

מאורע משלים

P(\text{אף ניצחון ב־2 משחקים}) = (1 - 3p)^2

שני משחקים בלתי תלויים: כופלים

1 - (1 - 3p)^2 = 4.5p

"ניצחון אחד לפחות" הוא המשלים של "אף ניצחון"

1 - 1 + 6p - 9p^2 = 4.5p

פותחים את הסוגריים

1.5p - 9p^2 = 0

מעבירים אגפים

p(1.5 - 9p) = 0

מוציאים גורם משותף

\begin{aligned}p &= 0 \quad \text{או} \quad p \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

מכפלה שווה לאפס

p = \frac{1}{6}

נתון $p > 0$

\begin{aligned}P(\text{ניצחון}) &= \frac{1}{2} \\ \quad P(\text{תיקו}) &= 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

סכום ההסתברויות הוא $1$

$p = \frac{1}{6}$ : ההסתברות לניצחון $\frac{1}{2}$ , לתיקו $\frac{1}{3}$ ולהפסד $\frac{1}{6}$ .

תרגיל 2

נטע שיחקה $5$ משחקים בזה אחר זה. ב. מצאו את ההסתברות שנטע תנצח ב־ $3$ משחקים לפחות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 5 \\ \quad P(\text{ניצחון}) &= \frac{1}{2}\end{aligned}

ניסויים בלתי תלויים: התפלגות בינומית

\begin{aligned}P(k) &= \binom{5}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{5-k} \\ &= \binom{5}{k} \cdot \frac{1}{32}\end{aligned}

נוסחת ברנולי

\begin{aligned}P(3) &= \frac{10}{32} \\ \quad P(4) &= \frac{5}{32} \\ \quad P(5) &= \frac{1}{32}\end{aligned}

$\binom{5}{3} = 10$ , $\binom{5}{4} = 5$ , $\binom{5}{5} = 1$

\begin{aligned}P(k \geq 3) &= \frac{10 + 5 + 1}{32} \\ &= \frac{16}{32} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מחברים

ההסתברות היא $\frac{1}{2}$ .

תרגיל 3

נטע שיחקה $5$ משחקים בזה אחר זה. ג. מצאו את ההסתברות שנטע תנצח בשלושת המשחקים הראשונים לפחות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

\text{ניצחון, ניצחון, ניצחון, ?, ?}

שלושת המשחקים הראשונים: ניצחון; שני האחרונים: כל תוצאה

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1

משחקים בלתי תלויים: כופלים

= \frac{1}{8}

ההסתברות היא $\frac{1}{8}$ .

תרגיל 4

נטע שיחקה $5$ משחקים בזה אחר זה. ד (1). מצאו את ההסתברות שנטע לא תפסיד בשום משחק.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4019

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{לא הפסד}) &= 1 - \frac{1}{6} \\ &= \frac{5}{6}\end{aligned}

מאורע משלים, במשחק אחד

\left(\frac{5}{6}\right)^5

חמישה משחקים בלתי תלויים

= \frac{3125}{7776} \approx 0.402

ההסתברות היא $\frac{3125}{7776} \approx 0.402$ .

תרגיל 5

נטע שיחקה $5$ משחקים בזה אחר זה. ד (2). ידוע כי נטע הפסידה במשחק אחד לפחות. מהי ההסתברות שהיא ניצחה בשלושת המשחקים הראשונים וקיבלה תוצאת תיקו במשחק האחרון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.01161

הפתרון:

P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

הסתברות מותנית: $A$ — הפסד אחד לפחות

\begin{aligned}P(A) &= 1 - \frac{3125}{7776} \\ &= \frac{4651}{7776}\end{aligned}

המשלים של סעיף ד (1)

\text{ניצחון, ניצחון, ניצחון, הפסד, תיקו}

ב־ $A \cap B$ ההפסד יכול להיות רק במשחק הרביעי

\begin{aligned}P(A \cap B) &= \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{144}\end{aligned}

כופלים

\begin{aligned}P(B \mid A) &= \frac{\frac{1}{144}}{\frac{4651}{7776}} \\ &= \frac{7776}{144 \cdot 4651}\end{aligned}

מציבים

= \frac{54}{4651} \approx 0.0116

מצמצמים ב־ $144$

ההסתברות היא $\frac{54}{4651} \approx 0.0116$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — מעגל, משיק ומשולשים דומים

נתון מעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . מנקודה $A$ שמחוץ למעגל יוצאים שלושה ישרים: הישר $AB$ משיק למעגל בנקודה $B$ , הישר $AD$ עובר דרך מרכז המעגל $O$ וחותך את המעגל בנקודות $C$ ו־ $D$ , והישר $AG$ מאונך לישר $AD$ (ראו סרטוט). הנקודות $D$ , $B$ ו־ $G$ נמצאות על ישר אחד, כמתואר בסרטוט. נסמן: $\angle ADB = \alpha$ .

תרגיל 1

א. הביעו את כל זוויות המשולש $ABG$ באמצעות $\alpha$ .

א $\angle ABG = \alpha$ , $\angle AGB = 90^\circ - \alpha$ , $\angle BAG = 90^\circ$
ב $\angle ABG = 90^\circ - \alpha$ , $\angle AGB = \alpha$ , $\angle BAG = 90^\circ$
ג $\angle ABG = 90^\circ + \alpha$ , $\angle AGB = 90^\circ - \alpha$ , $\angle BAG = 0^\circ$
ד $\angle ABG = 90^\circ - \alpha$ , $\angle AGB = 90^\circ - \alpha$ , $\angle BAG = 2\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\angle ABG = 90^\circ - \alpha$ , $\angle AGB = 90^\circ - \alpha$ , $\angle BAG = 2\alpha$

הפתרון:

\angle DBC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר $DC$

\begin{aligned}\angle ABC &= \angle BDC \\ &= \alpha\end{aligned}

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר

\begin{aligned}\angle ABD &= \angle ABC + \angle CBD \\ &= \alpha + 90^\circ\end{aligned}

חיבור זוויות

\begin{aligned}\angle ABG &= 180^\circ - (90^\circ + \alpha) \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

זוויות צמודות: $D$ , $B$ , $G$ על ישר אחד

\angle DAG = 90^\circ

נתון: $AG \perp AD$

\begin{aligned}\angle AGB &= 180^\circ - 90^\circ - \alpha \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ADG$

\begin{aligned}\angle BAG &= 180^\circ - 2(90^\circ - \alpha) \\ &= 2\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ABG$

$\angle ABG = \angle AGB = 90^\circ - \alpha$ , ו־ $\angle BAG = 2\alpha$ . המשולש $ABG$ שווה שוקיים: $AB = AG$ .

תרגיל 2

ב. הוכיחו: $\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}$ .

$AB$ משיק למעגל בנקודה $B$
$AD$ עובר דרך המרכז $O$ : $DC$ קוטר
$AG \perp AD$
$D$ , $B$ , $G$ על ישר אחד
$\angle ADB = \alpha$

$\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAC = \angle DAB$ — זווית משותפת
$\angle ABC = \angle ADB = \alpha$ — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר
$\triangle ABC \sim \triangle ADB$ — משפט דמיון ז.ז.
$\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{DB}$ — במשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות שווה
$\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}$ — היפוך שני האגפים של שוויון

הפתרון:

\angle BAC = \angle DAB

זווית משותפת

\begin{aligned}\angle ABC &= \angle ADB \\ &= \alpha\end{aligned}

זווית בין משיק למיתר

\triangle ABC \sim \triangle ADB

ז.ז.

\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{DB}

יחס צלעות מתאימות

\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}

היפוך שני האגפים

מהדמיון $\triangle ABC \sim \triangle ADB$ נובע $\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}$ .

תרגיל 3

נתון: $AC = \frac{1}{2}DC$ , $AG = 8$ . ג. חשבו את $R$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.6188

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= AG \\ &= 8\end{aligned}

המשולש $ABG$ שווה שוקיים (סעיף א)

DC = 2R

$DC$ קוטר

\begin{aligned}AC &= \frac{1}{2} \cdot 2R \\ &= R\end{aligned}

נתון $AC = \frac{1}{2}DC$

\begin{aligned}AD &= AC + CD \\ &= R + 2R \\ &= 3R\end{aligned}

חיבור קטעים

\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AB}

מהדמיון $\triangle ABC \sim \triangle ADB$ (סעיף ב)

AB^2 = AC \cdot AD

כפל בהצלבה

8^2 = R \cdot 3R

מציבים

3R^2 = 64

R^2 = \frac{64}{3}

מחלקים ב־ $3$

R = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.619

מוציאים שורש, $R > 0$

$R = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.619$ .

תרגיל 4

נתון: $AC = \frac{1}{2}DC$ , $AG = 8$ . נסמן ב־ $S$ את שטח המשולש $BDC$ . ד (1). הוכיחו: $\triangle ADG \sim \triangle BDC$ .

$AB$ משיק למעגל בנקודה $B$
$AD$ עובר דרך המרכז $O$ : $DC$ קוטר
$AG \perp AD$
$D$ , $B$ , $G$ על ישר אחד
$\angle ADB = \alpha$

$\triangle ADG \sim \triangle BDC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle ADG = \angle BDC$ — זווית משותפת
$\angle DAG = 90^\circ$ — נתון: $AG \perp AD$
$\angle DBC = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
$\triangle ADG \sim \triangle BDC$ — משפט דמיון ז.ז.

הפתרון:

\angle ADG = \angle BDC

זווית משותפת

\begin{aligned}\angle DAG &= \angle DBC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נתון, וזווית היקפית על קוטר

\triangle ADG \sim \triangle BDC

ז.ז.

שתי זוויות שוות: $\triangle ADG \sim \triangle BDC$ , כאשר $A \leftrightarrow B$ , $D \leftrightarrow D$ , $G \leftrightarrow C$ .

תרגיל 5

נתון: $AC = \frac{1}{2}DC$ , $AG = 8$ . נסמן ב־ $S$ את שטח המשולש $BDC$ . ד (2). הביעו את שטח המשולש $ADG$ באמצעות $S$ .

א $S_{ADG} = \sqrt{3}\,S$
ב $S_{ADG} = 2S$
ג $S_{ADG} = 9S$
ד $S_{ADG} = 3S$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $S_{ADG} = 3S$

הפתרון:

\begin{aligned}AD &= 3R \\ &= \frac{24}{\sqrt{3}} \\ &= 8\sqrt{3}\end{aligned}

מסעיף ג

\begin{aligned}\frac{DB}{BC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{8}{R} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

מסעיף ב

DB = \sqrt{3}\,BC

\begin{aligned}DB^2 + BC^2 &= DC^2 \\ &= 4R^2\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $BDC$

3BC^2 + BC^2 = \frac{256}{3}

מציבים

BC^2 = \frac{64}{3}

מחלקים ב־ $4$

\begin{aligned}DB^2 &= 3 \cdot \frac{64}{3} \\ &= 64 \Rightarrow DB \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{BD} \\ &= \frac{8\sqrt{3}}{8} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

יחס הדמיון (סעיף ד (1))

\begin{aligned}\frac{S_{ADG}}{S} &= k^2 \\ &= 3\end{aligned}

יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון

S_{ADG} = 3S

$S_{ADG} = 3S$ . המלכודת: $\sqrt{3}S$ — יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — מרובע חסום במעגל: משפט הסינוסים

מרובע $ABCD$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB = \alpha$ , $\alpha$ היא זווית חדה.

תרגיל 1

א. הביעו את אורך האלכסון $BD$ באמצעות $\alpha$ ו־ $R$ .

א $BD = 2R\sin\alpha$
ב $BD = R\sin\alpha$
ג $BD = \frac{2R}{\sin\alpha}$
ד $BD = 2R\cos\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $BD = 2R\sin\alpha$

הפתרון:

\triangle ABD

המשולש $ABD$ חסום באותו מעגל שרדיוסו $R$

\frac{BD}{\sin\angle BAD} = 2R

משפט הסינוסים: הצלע $BD$ מול הזווית $\alpha$

BD = 2R\sin\alpha

כופלים ב־ $\sin\alpha$

$BD = 2R\sin\alpha$ .

תרגיל 2

נתון: $BC = R$ , $CD = R\sqrt{2}$ . ב. חשבו את $\alpha$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

\frac{BC}{\sin\angle BDC} = 2R

משפט הסינוסים במשולש $BCD$ , החסום באותו מעגל

\begin{aligned}\frac{R}{\sin\angle BDC} &= 2R \Rightarrow \sin\angle BDC \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מציבים $BC = R$

\angle BDC = 30^\circ \ \text{או} \ 150^\circ

שתי זוויות בין $0^\circ$ ל־ $180^\circ$

\begin{aligned}\frac{R\sqrt{2}}{\sin\angle CBD} &= 2R \Rightarrow \sin\angle CBD \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

מציבים $CD = R\sqrt{2}$

\angle CBD = 45^\circ \ \text{או} \ 135^\circ

150^\circ + 45^\circ > 180^\circ

סכום זוויות במשולש: $150^\circ$ נפסלת

\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ \ \text{או} \ 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ \\ &= 15^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $BCD$

\begin{aligned}\alpha &= 180^\circ - \angle BCD \\ &= 75^\circ \ \text{או} \ 165^\circ\end{aligned}

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$

\alpha = 75^\circ

$\alpha$ זווית חדה

$\alpha = 75^\circ$ .

תרגיל 3

נתון: $BC = R$ , $CD = R\sqrt{2}$ . נתון: $BD$ הוא חוצה זווית $ABC$ . ג. חשבו את גודל הזווית $ABD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

\angle CBD = 45^\circ

מסעיף ב: $\alpha = 75^\circ$ מתקבלת עם $\angle CBD = 45^\circ$

\angle ABD = \angle DBC

$BD$ חוצה את הזווית $ABC$

\angle ABD = 45^\circ

$\angle ABD = 45^\circ$ .

תרגיל 4

נתון: $BC = R$ , $CD = R\sqrt{2}$ . נתון: $BD$ הוא חוצה זווית $ABC$ . נסמן ב־ $h_1$ את הגובה שיורד מקודקוד $A$ במשולש $ABD$ , וב־ $h_2$ את הגובה שיורד מקודקוד $O$ במשולש $BOD$ . ד. חשבו את $\frac{h_1}{h_2}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.7321

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ADB &= 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ABD$

\begin{aligned}AB &= 2R\sin 60^\circ \\ &= R\sqrt{3}\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש $ABD$

\begin{aligned}h_1 &= AB\sin\angle ABD \\ &= R\sqrt{3}\sin 45^\circ \\ &= \frac{R\sqrt{6}}{2}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית שיוצר הגובה

\begin{aligned}\angle BOD &= 2\angle BAD \\ &= 150^\circ\end{aligned}

זווית מרכזית שווה לפעמיים הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת

\begin{aligned}OB &= OD \\ &= R\end{aligned}

רדיוסים: המשולש $BOD$ שווה שוקיים, והגובה $h_2$ חוצה את זווית הראש

h_2 = R\cos 75^\circ

במשולש ישר הזווית: הזווית ליד $O$ היא $75^\circ$

\frac{h_1}{h_2} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\cos 75^\circ}

מחלקים: $R$ מצטמצם

\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

\begin{aligned}\frac{h_1}{h_2} &= \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \\ &= 3 + \sqrt{3} \approx 4.732\end{aligned}

כופלים מונה ומכנה ב־ $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

$\frac{h_1}{h_2} = 3 + \sqrt{3} \approx 4.732$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 8 — בעיית קיצון: משולש בין שני גרפים

נתונות שתי פונקציות: $f(x) = x^3$ , $g(x) = \sqrt{f(x)}$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ ואת תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ .

$f(x)$ : כל $x$ ; $g(x)$ : $x \geq$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f(x)$ : כל $x$ ; $g(x)$ : $x \geq$ 0

הפתרון:

f(x) = x^3

פולינום: מוגדר לכל $x$

g(x) = \sqrt{x^3} \Rightarrow x^3 \geq 0

ביטוי שבתוך שורש ריבועי אינו שלילי

x^3 \geq 0 \iff x \geq 0

לחזקה שלישית יש אותו סימן כמו לבסיס

$f(x)$ מוגדרת לכל $x$ , ו־ $g(x)$ מוגדרת עבור $x \geq 0$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם גרף הפונקצייה $g(x)$ .

$($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 0 $,$ 0 $)$ ו־ $($ 1 $,$ 1 $)$ (משמאל לימין)

הפתרון:

\begin{aligned}x^3 &= \sqrt{x^3} \\ \quad x \geq 0\end{aligned}

משווים את שתי הפונקציות בתחום ההגדרה של $g$

\begin{aligned}(x^3)^2 &= x^3 \Rightarrow x^3(x^3 - 1) \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע: שני האגפים אינם שליליים

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 1\end{aligned}

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(1) &= 1\end{aligned}

מציבים כדי לקבל את שיעור ה־ $y$

נקודות החיתוך: $(0, 0)$ ו־ $(1, 1)$ .

תרגיל 3

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , והנקודה $B$ נמצאת על גרף הפונקצייה $g(x)$ כך שהקטע $AB$ מקביל לציר ה־ $x$ . נתון כי שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ נמצא בין שיעורי ה־ $x$ של נקודות החיתוך של הפונקצייה $f(x)$ עם הפונקצייה $g(x)$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . $t$ הוא פרמטר. ב. הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AB$ .

א $AB = t^2 - t^3$
ב $AB = t^3 - t^2$
ג $AB = t - t^2$
ד $AB = \sqrt{t^3} - t^3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $AB = t^2 - t^3$

הפתרון:

0 < t < 1

$t$ נמצא בין שיעורי ה־ $x$ של נקודות החיתוך

A(t, t^3)

$A$ על גרף $f$

\begin{aligned}\sqrt{x^3} &= t^3 \Rightarrow x^3 \\ &= t^6 \Rightarrow x \\ &= t^2\end{aligned}

ל־ $B$ אותו שיעור $y$ כמו ל־ $A$ , כי $AB$ מקביל לציר ה־ $x$

B(t^2, t^3)

t^2 > t^3 \ \text{כי} \ 0 < t < 1

$B$ מימין ל־ $A$

AB = t^2 - t^3

הפרש שיעורי ה־ $x$

$AB = t^2 - t^3$ , בתחום $0 < t < 1$ . המלכודת: $\sqrt{t^3} - t^3$ הוא הפרש שיעורי ה־ $y$ של שני הגרפים, לא אורך קטע אופקי.

תרגיל 4

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , והנקודה $B$ נמצאת על גרף הפונקצייה $g(x)$ כך שהקטע $AB$ מקביל לציר ה־ $x$ . נתון כי שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ נמצא בין שיעורי ה־ $x$ של נקודות החיתוך של הפונקצייה $f(x)$ עם הפונקצייה $g(x)$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . $t$ הוא פרמטר. ג. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. מצאו את השטח המקסימלי של המשולש $OAB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.03349

הפתרון:

h = t^3

הגובה מ־ $O$ אל הקטע $AB$ הוא המרחק של $AB$ מציר ה־ $x$

\begin{aligned}S(t) &= \frac{AB \cdot h}{2} \\ &= \frac{(t^2 - t^3)\, t^3}{2} \\ &= \frac{t^5 - t^6}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{5t^4 - 6t^5}{2} \\ &= \frac{t^4(5 - 6t)}{2}\end{aligned}

גוזרים

\begin{aligned}S'(t) &= 0 \Rightarrow t \\ &= \frac{5}{6}\end{aligned}

$t = 0$ מחוץ לתחום $0 < t < 1$

0 < t < \frac{5}{6}: S' > 0; \quad \frac{5}{6} < t < 1: S' < 0

עלייה ואחר כך ירידה: מקסימום

\begin{aligned}S\left(\frac{5}{6}\right) &= \frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^5 \cdot \frac{1}{6} \\ &= \frac{3125}{93312} \approx 0.0335\end{aligned}

מציבים

השטח המקסימלי הוא $\frac{3125}{93312} \approx 0.0335$ , ב־ $t = \frac{5}{6}$ .

תרגיל 5

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , והנקודה $B$ נמצאת על גרף הפונקצייה $g(x)$ כך שהקטע $AB$ מקביל לציר ה־ $x$ . נתון כי שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ נמצא בין שיעורי ה־ $x$ של נקודות החיתוך של הפונקצייה $f(x)$ עם הפונקצייה $g(x)$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . $t$ הוא פרמטר. ד. האם השטח המקסימלי של המשולש $OAB$ מתקבל כאשר אורך הקטע $AB$ הוא מקסימלי? נמקו את התשובה.

אלא: $AB$ מקסימלי ב־ $t = 1$
בלא: $AB$ מקסימלי ב־ $t = \frac{2}{3}$ , והשטח מקסימלי ב־ $t = \frac{5}{6}$
גכן: שטח משולש תלוי רק באורך הבסיס
דכן: שניהם מקסימליים ב־ $t = \frac{5}{6}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא: $AB$ מקסימלי ב־ $t = \frac{2}{3}$ , והשטח מקסימלי ב־ $t = \frac{5}{6}$

הפתרון:

\begin{aligned}AB(t) &= t^2 - t^3 \\ \quad AB'(t) &= 2t - 3t^2 \\ &= t(2 - 3t)\end{aligned}

גוזרים את אורך הקטע

\begin{aligned}AB'(t) &= 0 \Rightarrow t \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

עלייה ואחר כך ירידה: מקסימום

\frac{2}{3} \neq \frac{5}{6}

השטח מקסימלי ב־ $t = \frac{5}{6}$ (סעיף ג)

לא. $AB$ מקסימלי ב־ $t = \frac{2}{3}$ , אבל השטח מקסימלי ב־ $t = \frac{5}{6}$ : גם הגובה $t^3$ משתנה עם $t$ , ולכן הבסיס הגדול ביותר אינו נותן את השטח הגדול ביותר.

לפתור את השאלה באתר

בגרות במתמטיקה 35571, קיץ 2022 — פתרונות

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 2 — סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 3 — הסתברות: התפלגות בינומית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 4 — מעגל, משיק ומשולשים דומים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 5 — מרובע חסום במעגל: משפט הסינוסים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 8 — בעיית קיצון: משולש בין שני גרפים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות