בגרות במתמטיקה 35571 קיץ 2025

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — שאלות קצרות

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

תרגיל 1

א (1). הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + \ldots + (2n)^2 = \frac{2n(2n + 1)(n + 1)}{3}$

$n$ מספר טבעי

$2^2 + 4^2 + \ldots + (2n)^2 = \frac{2n(2n + 1)(n + 1)}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

$2^2 = 4 = \frac{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}{3}$ — בדיקה עבור $n = 1$
$2^2 + 4^2 + \ldots + (2k)^2 = \frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3}$ — הנחת האינדוקצייה
$2^2 + \ldots + (2k)^2 + (2k + 2)^2 = \frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3} + 4(k + 1)^2$ — מוסיפים את האיבר ה־ $(k+1)$ , $(2k + 2)^2 = 4(k + 1)^2$ , ומציבים את הנחת האינדוקצייה
$\frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3} + 4(k + 1)^2 = \frac{2(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{3}$ — מוציאים גורם משותף $\frac{2(k + 1)}{3}$ : $k(2k + 1) + 6(k + 1) = 2k^2 + 7k + 6$
$\frac{2(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{3} = \frac{2(k + 1)(2k + 3)(k + 2)}{3}$ — פירוק הטרינום: $2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2)$
$2^2 + 4^2 + \ldots + (2k + 2)^2 = \frac{2(k + 1)(2(k + 1) + 1)((k + 1) + 1)}{3}$ — זו הטענה עבור $n = k + 1$ ( $2k + 3 = 2(k + 1) + 1$ ); עם הבדיקה עבור $n = 1$ , היא נכונה לכל $n$ טבעי

הפתרון:

\begin{aligned}2^2 &= 4 \\ \quad \frac{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}{3} &= 4\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$

\frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3} + 4(k + 1)^2 = \frac{2(k + 1)}{3}\left(2k^2 + k + 6k + 6\right)

הנחת האינדוקצייה, ועוד האיבר $(2k + 2)^2 = 4(k + 1)^2$

= \frac{2(k + 1)(2k + 3)(k + 2)}{3}

$2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2)$

קיבלנו את הנוסחה עם $n = k + 1$ במקום $n$ : $2(k + 1)$ , $2(k + 1) + 1 = 2k + 3$ ו־ $(k + 1) + 1 = k + 2$ . לפי עקרון האינדוקצייה, הנוסחה נכונה לכל $n$ טבעי.

תרגיל 2

א (2). חשבו את הערך של הסכום: $4^2 + 6^2 + 8^2 + \ldots + 100^2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 171696

הפתרון:

\begin{aligned}100 &= 2 \cdot 50 \Rightarrow n \\ &= 50\end{aligned}

האיבר האחרון הוא $(2n)^2$ עם $n = 50$

\begin{aligned}2^2 + 4^2 + \ldots + 100^2 &= \frac{2 \cdot 50 \cdot 101 \cdot 51}{3} \\ &= 171700\end{aligned}

הנוסחה מסעיף א (1)

\begin{aligned}4^2 + 6^2 + \ldots + 100^2 &= 171700 - 2^2 \\ &= 171696\end{aligned}

הסכום המבוקש מתחיל ב־ $4^2$ : מחסירים את $2^2$

הסכום הוא $171696$ . המלכודת: לשכוח שהסכום מתחיל ב־ $4^2$ ולא ב־ $2^2$ .

תרגיל 3

ב. בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . הנקודה $O$ היא מפגש אלכסוני הטרפז. נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ . (1) הוכיחו כי הטרפז $ABCD$ הוא שווה שוקיים.

$AB \parallel CD$
$O$ מפגש האלכסונים $AC$ ו־ $BD$
$\angle BAO = \angle CDO$

$AD = BC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAO = \angle OCD$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ( $AB \parallel CD$ )
$\angle ABO = \angle ODC$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ( $AB \parallel CD$ )
$\angle OCD = \angle ODC$ — שתיהן שוות לזווית $\angle BAO$ (נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ )
$OC = OD$ — במשולש $OCD$ , מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
$\angle OAB = \angle OBA$ — שתיהן שוות לזווית $\angle CDO$ (נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ )
$OA = OB$ — במשולש $OAB$ , מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
$AC = BD$ — חיבור קטעים: $AC = OA + OC$ ו־ $BD = OB + OD$
$\triangle ACD \cong \triangle BDC$ — משפט החפיפה צ״ז״צ ( $AC = BD$ , $\angle ACD = \angle BDC$ , $CD$ צלע משותפת)
$AD = BC$ — במשולשים חופפים, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

הפתרון:

\begin{aligned}\angle OCD &= \angle BAO \\ &= \angle CDO\end{aligned}

זוויות מתחלפות ( $AB \parallel CD$ ), ואז הנתון

\begin{aligned}OC &= OD \\ \quad OA &= OB\end{aligned}

כך גם $\angle OBA = \angle ODC = \angle BAO$ ; מול זוויות שוות צלעות שוות

AC = BD

סכומי קטעים שווים

\triangle ACD \cong \triangle BDC \Rightarrow AD = BC

צ״ז״צ

אלכסוני הטרפז שווים, ולכן השוקיים שוות: הטרפז $ABCD$ שווה שוקיים.

תרגיל 4

ב. בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . הנקודה $O$ היא מפגש אלכסוני הטרפז. נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ . הנקודה $F$ נמצאת על הצלע $BC$ כך שהקטע $OF$ מקביל לבסיסי הטרפז. נתון כי אלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה, $DO = 4$ , $BO = 3$ . (2) מצאו את אורך הקטע $OF$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.4244

הפתרון:

\begin{aligned}OC &= OD \\ &= 4\end{aligned}

מסעיף ב (1)

\begin{aligned}DC &= \sqrt{4^2 + 4^2} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

פיתגורס במשולש ישר הזווית $DOC$ (האלכסונים מאונכים)

\begin{aligned}\frac{OF}{DC} &= \frac{BO}{BD} \\ &= \frac{3}{3 + 4}\end{aligned}

במשולש $BDC$ : $OF \parallel DC$ , ולכן $\triangle BOF \sim \triangle BDC$

\begin{aligned}OF &= \frac{3}{7} \cdot 4\sqrt{2} \\ &= \frac{12\sqrt{2}}{7} \approx 2.42\end{aligned}

$OF = \frac{12\sqrt{2}}{7} \approx 2.42$ . המלכודת: לחלק ב־ $4$ במקום ב־ $BD = 7$ — היחס הוא בין $BO$ לכל האלכסון $BD$ .

תרגיל 5

הגרפים I–III

ג. הפונקצייה $f(x)$ , פונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ ופונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם שלושה גרפים I–III. אחד מן הגרפים מתאר את הפונקצייה $f(x)$ , אחד את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ואחד את פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$ . בכל אחד מן הגרפים מופיעות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך שלו עם ציר ה־ $x$ . על כל אחד מן הגרפים כתובים שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$ . (1) התאימו לכל אחת מן הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו־ $f''(x)$ את הגרף המתאר אותה. נמקו את תשובתכם.

א $f$ : גרף II ; $f'$ : גרף III ; $f''$ : גרף I
ב $f$ : גרף III ; $f'$ : גרף II ; $f''$ : גרף I
ג $f$ : גרף I ; $f'$ : גרף III ; $f''$ : גרף II
ד $f$ : גרף II ; $f'$ : גרף I ; $f''$ : גרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $f$ : גרף II ; $f'$ : גרף III ; $f''$ : גרף I

הפתרון:

\text{II}: \ \nearrow \ \max \ \searrow

גרף II עולה עד המקסימום שלו ואחר כך יורד; גרף III חיובי לפני המקסימום הזה ושלילי אחריו, ומתאפס בדיוק בו

\text{III}: \ \searrow \nearrow \searrow \nearrow

גרף I שלילי, חיובי, שלילי, חיובי — בדיוק בתחומים שבהם גרף III יורד ועולה

\begin{aligned}f(0) &= 4 \\ \ f'(0) &= 2 > 0 \\ \ f''(0) &= -2 < 0\end{aligned}

בדיקה ב־ $x = 0$ : גרף II עולה שם, וגרף III יורד שם

$f$ הוא גרף II, $f'$ הוא גרף III ו־ $f''$ הוא גרף I. גם נקודת המשטח של גרף II על ציר ה־ $x$ מתאימה: שם גרף III נוגע בציר ה־ $x$ בלי להחליף סימן.

תרגיל 6

הגרפים I–III

הגרפים I–III מתארים את $f(x)$ , את $f'(x)$ ואת $f''(x)$ (סעיף ג). ג (2). כמה נקודות פיתול יש לפונקצייה $f(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f'' = 0

נקודת פיתול של $f$ היא נקודה שבה $f''$ מחליפה סימן, כלומר נקודת קיצון של $f'$

\text{III}: \ \min, \ \max, \ \min

לגרף III (של $f'$ ) שלוש נקודות קיצון, וגרף I (של $f''$ ) חותך את ציר ה־ $x$ שלוש פעמים

לפונקצייה $f(x)$ יש $3$ נקודות פיתול. אחת מהן היא נקודת המשטח על ציר ה־ $x$ בגרף II.

תרגיל 7

הגרפים I–III

הגרפים I–III מתארים את $f(x)$ , את $f'(x)$ ואת $f''(x)$ (סעיף ג). שיעורי נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הם $(a , 5)$ . ג (3). מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $f'(x)$ , על ידי גרף הפונקצייה $f''(x)$ , על ידי הישר $x = a$ ועל ידי ציר ה־ $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

0 < x < a: \quad f'(x) > 0 > f''(x)

גרף III חיובי עד המקסימום של $f$ , וגרף I שלילי בין $0$ ל־ $a$

\begin{aligned}S &= \int_0^a \left(f'(x) - f''(x)\right) dx \\ &= \Big[f(x) - f'(x)\Big]_0^a\end{aligned}

הפונקצייה הקדומה של $f'$ היא $f$ , ושל $f''$ היא $f'$

\begin{aligned}\left(f(a) - f'(a)\right) - \left(f(0) - f'(0)\right) &= (5 - 0) - (4 - 2) \\ &= 3\end{aligned}

$f'(a) = 0$ במקסימום, ו־ $f(0) = 4$ , $f'(0) = 2$ מן הגרפים

השטח הוא $3$ . אין צורך בנוסחת הפונקציות: מספיקים הערכים שעל הגרפים.

תרגיל 8

ד. נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq -2$ , $x \neq 0$ . (1) מצאו את תחומי החיוביות של הפונקצייה $f(x)$ .

א $x < -2$ או $-1 < x < 0$
ב $-1 < x < 0$ או $x > 0$
ג $x > 0$ בלבד
ד $-2 < x < -1$ או $x > 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-1 < x < 0$ או $x > 0$

הפתרון:

(x^2 + 2x)^2 > 0

המכנה חיובי בכל התחום

2(x + 1) > 0 \Leftrightarrow x > -1

הסימן של $f$ הוא הסימן של המונה

הפונקצייה חיובית בתחום $-1 < x < 0$ ובתחום $x > 0$ ( $x = 0$ אינו בתחום ההגדרה).

תרגיל 9

הגרפים I–IV

ד. נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq -2$ , $x \neq 0$ . (2) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקצייה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף II
בגרף I
גגרף IV
דגרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף III

הפתרון:

x < -2: f < 0; \quad -2 < x < -1: f < 0; \quad -1 < x < 0: f > 0; \quad x > 0: f > 0

מסעיף ד (1)

x \to -2: f \to -\infty; \quad x \to 0: f \to +\infty

המכנה שואף ל־ $0^+$ משני הצדדים, והמונה שואף ל־ $-2$ או ל־ $2$

גרף III: משמאל ל־ $x = -2$ הוא שלילי, יורד אל $-\infty$ משני צדי $x = -2$ , חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $x = -1$ ועולה אל $+\infty$ משני צדי ציר ה־ $y$ . בגרף I הענף השמאלי חיובי, בגרף II כל הסימנים הפוכים, ובגרף IV הענף שבין $-2$ ל־ $0$ יורד.

תרגיל 10

ד. נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq -2$ , $x \neq 0$ . (3) חשבו את השטח הכלוא על ידי גרף הפונקצייה $f(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = 1$ ו־ $x = 4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2917

הפתרון:

\begin{aligned}(x^2 + 2x)' &= 2x + 2 \\ &= 2(x + 1)\end{aligned}

המונה הוא הנגזרת של הביטוי שבתוך הריבוע

\int \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2} dx = -\frac{1}{x^2 + 2x} + C

\begin{aligned}S &= \left[-\frac{1}{x^2 + 2x}\right]_1^4 \\ &= -\frac{1}{24} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{7}{24}\end{aligned}

בתחום $1 \le x \le 4$ הפונקצייה חיובית

השטח הוא $\frac{7}{24} \approx 0.29$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית $A$ שאיבריה הם $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots$ . נתון: $\frac{a_4}{a_2} = 4$ , $2a_2 + 8 = a_4$ .

תרגיל 1

א. מצאו את הערך של $a_3$ (מצאו את שתי האפשרויות).

$a_3 =$ ____ או $a_3 =$ ____ (מהקטן לגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a_3 =$ -8 או $a_3 =$ 8 (מהקטן לגדול)

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{a_4}{a_2} &= q^2 \\ &= 4 \Rightarrow q \\ &= \pm 2\end{aligned}

\begin{aligned}2a_2 + 8 &= 4a_2 \Rightarrow a_2 \\ &= 4\end{aligned}

$a_4 = a_2 q^2 = 4a_2$

\begin{aligned}a_3 &= a_2 \cdot q \\ &= \pm 8\end{aligned}

$a_3 = 8$ (כאשר $q = 2$ ) או $a_3 = -8$ (כאשר $q = -2$ ).

תרגיל 2

נתון כי הסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה אין־סופית חדשה $B$ . נתון כי איברי הסדרה $B$ מקיימים $b_n = \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי. ב. הוכיחו כי הסדרה $B$ היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה. כאן: מהי המנה של הסדרה $B$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}q &= -2 \\ \quad a_1 &= \frac{a_2}{q} \\ &= -2\end{aligned}

סדרה הנדסית שאינה עולה ואינה יורדת: המנה שלילית

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_n \cdot a_{n+1}}{a_{n+1} \cdot a_{n+2}} \\ &= \frac{a_n}{a_{n+2}} \\ &= \frac{1}{q^2} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

המנה של $B$ היא $\frac{1}{4} = 0.25$ (ההוכחה בתרגיל הבא).

תרגיל 3

$A$ סדרה הנדסית, $\frac{a_4}{a_2} = 4$ , $2a_2 + 8 = a_4$
$b_n = \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{4}$ לכל $n$ טבעי

להציג את התשובה והפתרון

$q^2 = 4$ — מן הנתון: $\frac{a_4}{a_2} = q^2 = 4$
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_n \cdot a_{n+1}}{a_{n+1} \cdot a_{n+2}} = \frac{a_n}{a_{n+2}}$ — מציבים את הגדרת $b_n$ ומצמצמים ב־ $a_{n+1} \neq 0$
$\frac{a_n}{a_{n+2}} = \frac{1}{q^2}$ — בסדרה הנדסית $a_{n+2} = a_n \cdot q^2$
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{4}$ — המנה קבועה ואינה תלויה ב־ $n$ : $B$ סדרה הנדסית שמנתה $\frac{1}{4}$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_n}{a_{n+2}} \\ &= \frac{1}{q^2} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

המנה אינה תלויה ב־ $n$

הסדרה $B$ הנדסית ומנתה $\frac{1}{4}$ . המנה של $B$ אינה תלויה בסימן של $q$ ; התנאי "לא עולה ולא יורדת" ( $q = -2$ ) ישמש בסעיפים ג–ד.

תרגיל 4

נתון כי הסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה הנדסית אין־סופית נוספת $C$ . איברי הסדרה $C$ הם: $\frac{k}{a_1 \cdot a_2} , \frac{k}{a_3 \cdot a_4} , \frac{k}{a_5 \cdot a_6} , \ldots$ . $k \neq 0$ הוא פרמטר. ג (1). מצאו את מנת הסדרה $C$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.0625

הפתרון:

c_m = k \cdot b_{2m - 1}

האיבר ה־ $m$ של $C$ הוא $k$ כפול איבר של $B$ , ומדלגים כל פעם על איבר אחד של $B$

\begin{aligned}\frac{c_{m+1}}{c_m} &= \frac{b_{2m+1}}{b_{2m-1}} \\ &= \left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ &= \frac{1}{16}\end{aligned}

מנת הסדרה $C$ היא $\frac{1}{16} = 0.0625$ .

תרגיל 5

אלכל $k \neq 0$
ב $k < 0$
ג $k > 0$
ד $k > 8$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $k > 0$

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= -2 \\ \ a_2 &= 4 \Rightarrow c_1 \\ &= \frac{k}{-8}\end{aligned}

מסעיפים א–ב: $q = -2$

0 < \frac{1}{16} < 1

האיברים שומרים על הסימן של $c_1$ וערכם המוחלט קטן

c_1 < 0 \Leftrightarrow -\frac{k}{8} < 0 \Leftrightarrow k > 0

איברים שליליים שערכם המוחלט קטן — הסדרה עולה

הסדרה $C$ עולה בעבור $k > 0$ . בעבור $k < 0$ היא יורדת.

תרגיל 6

נתון כי הסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה אין־סופית חדשה $B$ . נתון כי איברי הסדרה $B$ מקיימים $b_n = \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה הנדסית אין־סופית נוספת $C$ . איברי הסדרה $C$ הם: $\frac{k}{a_1 \cdot a_2} , \frac{k}{a_3 \cdot a_4} , \frac{k}{a_5 \cdot a_6} , \ldots$ . $k \neq 0$ הוא פרמטר. נסמן ב־ $S_B$ את סכום הסדרה $B$ , וב־ $S_C$ את סכום הסדרה $C$ . נתון: $S_C = 4 \cdot S_B$ . ד. מצאו את הערך של $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= \frac{1}{a_1 a_2} \\ &= -\frac{1}{8} \\ \quad S_B &= \frac{-\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= -\frac{1}{6}\end{aligned}

\begin{aligned}S_C &= \frac{-\frac{k}{8}}{1 - \frac{1}{16}} \\ &= -\frac{2k}{15}\end{aligned}

\begin{aligned}-\frac{2k}{15} &= 4 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) \Rightarrow k \\ &= 5\end{aligned}

$k = 5$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — הסתברות: בחירות וסקר

במדינה גדולה התקיימו בחירות. המצביעים בבחירות אלה יכולים להצביע למפלגה א׳ או למפלגה ב׳ בלבד. נסמן ב־ $P$ את ההסתברות שמצביע שנבחר באקראי הצביע למפלגה א׳ $(0 < P < 1)$ .

תרגיל 1

בוחרים באקראי $3$ מצביעים. נתון כי ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א׳ גדולה פי $2$ מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב׳. א. מצאו את הערך של $P$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

3P(1 - P)^2 = 2(1 - P)^3

התפלגות בינומית: $3$ מקומות לבוחר של מפלגה א׳

\begin{aligned}3P &= 2(1 - P) \Rightarrow P \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

מחלקים ב־ $(1 - P)^2 \neq 0$

$P = 0.4$ .

תרגיל 2

נתון כי בבחירה אקראית של $3$ מצביעים, ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א׳ גדולה פי $2$ מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב׳. בוחרים באקראי $4$ מצביעים. ב. ידוע כי ארבעתם הצביעו לאותה המפלגה. מהי ההסתברות שהם הצביעו למפלגה א׳?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.1649

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{A A A A}) &= 0.4^4 \\ &= 0.0256 \\ \quad P(\text{B B B B}) &= 0.6^4 \\ &= 0.1296\end{aligned}

\frac{0.0256}{0.0256 + 0.1296} = \frac{16}{97} \approx 0.165

הסתברות מותנית

ההסתברות היא $\frac{16}{97} \approx 0.165$ . המלכודת: לענות $0.4^4$ — שוכחים לחלק בהסתברות שכולם הצביעו לאותה המפלגה.

תרגיל 3

נתון כי בבחירה אקראית של $3$ מצביעים, ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א׳ גדולה פי $2$ מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב׳. חלק מן המצביעים הם מבוגרים והשאר צעירים. נתון כי $40\%$ מן המצביעים המבוגרים הצביעו למפלגה ב׳ ו־ $15\%$ מן המצביעים הצעירים הצביעו למפלגה א׳. ג. מהי ההסתברות לבחור באקראי מצביע צעיר אחד מבין כל המצביעים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4444

הפתרון:

0.6x + 0.15(1 - x) = 0.4

$x$ — ההסתברות לבחור מבוגר; $60\%$ מן המבוגרים הצביעו למפלגה א׳

\begin{aligned}0.45x &= 0.25 \Rightarrow x \\ &= \frac{5}{9}\end{aligned}

1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \approx 0.444

ההסתברות לבחור צעיר היא $\frac{4}{9} \approx 0.444$ .

תרגיל 4

נתון כי $15\%$ מן המצביעים הצעירים הצביעו למפלגה א׳. לאחר הבחירות נערך סקר טלפוני בקרב המצביעים. דני, אחד הסוקרים, התקשר באקראי למצביעים צעירים בלבד. הוא התקשר אליהם בזה אחר זה והפסיק מייד לאחר שראיין צעיר אחד שהצביע למפלגה אחת וצעיר נוסף שהצביע למפלגה האחרת. ד. מהי ההסתברות שדני התקשר ל־ $5$ צעירים בדיוק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.0787

הפתרון:

0.15, \quad 0.85

צעיר הצביע למפלגה א׳ בהסתברות $0.15$ ולמפלגה ב׳ בהסתברות $0.85$

\text{A A A A B} \ , \ \text{B B B B A}

דני מפסיק בשיחה החמישית: ארבעת הראשונים הצביעו לאותה המפלגה, והחמישי למפלגה האחרת

0.15^4 \cdot 0.85 + 0.85^4 \cdot 0.15 = 0.00043 + 0.07830 \approx 0.0787

ההסתברות היא $0.07873125 \approx 0.0787$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — שני מעגלים, משיק ודמיון

בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו $R$ ומעגל קטן שמרכזו בנקודה $O$ ורדיוסו $r$ . הנקודה $O$ נמצאת על המעגל הגדול. הנקודה $A$ היא אחת מנקודות החיתוך של שני המעגלים, כמתואר בסרטוט. דרך הנקודה $A$ העבירו משיק למעגל הקטן. המשיק חותך את המעגל הגדול בנקודה $K$ . הנקודה $E$ נמצאת על המעגל הקטן בתוך המשולש $KAO$ .

תרגיל 1

א. הוכיחו כי $\angle AOE = 2\angle KAE$ .

$KA$ משיק למעגל הקטן בנקודה $A$
$OA = OE = r$
$E$ בתוך המשולש $KAO$

$\angle AOE = 2\angle KAE$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle OAK = 90^\circ$ — משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$\angle OAE = 90^\circ - \angle KAE$ — הנקודה $E$ בתוך הזווית $KAO$ : $\angle KAE + \angle EAO = \angle KAO$
$\angle OEA = \angle OAE$ — במשולש שווה שוקיים ( $OA = OE$ ) זוויות הבסיס שוות
$\angle AOE = 180^\circ - 2\angle OAE$ — סכום הזוויות במשולש $AOE$
$\angle AOE = 2\angle KAE$ — הצבה: $180^\circ - 2(90^\circ - \angle KAE) = 2\angle KAE$

הפתרון:

\angle OAE = 90^\circ - \angle KAE

הרדיוס $OA$ מאונך למשיק $AK$

\begin{aligned}\angle AOE &= 180^\circ - 2\angle OAE \\ &= 2\angle KAE\end{aligned}

המשולש $AOE$ שווה שוקיים

זו הזווית שבין משיק למיתר: היא שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

תרגיל 2

המשך הקטע $AE$ חותך את הקטע $OK$ בנקודה $M$ . נתון כי הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $OK$ . ב. הוכיחו כי הנקודה $M$ היא מרכז המעגל הגדול.

$O$ , $A$ ו־ $K$ על המעגל הגדול
$KA$ משיק למעגל הקטן בנקודה $A$
$M$ אמצע הקטע $OK$

$M$ מרכז המעגל הגדול

להציג את התשובה והפתרון

$\angle OAK = 90^\circ$ — משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$OK$ קוטר במעגל הגדול — זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
$M$ מרכז המעגל הגדול — אמצע הקוטר הוא מרכז המעגל

הפתרון:

\angle OAK = 90^\circ

רדיוס המעגל הקטן מאונך למשיק

\begin{aligned}\angle OAK &= 90^\circ \Rightarrow OK \\ &= 2R\end{aligned}

הזווית ההיקפית $OAK$ במעגל הגדול ישרה, ולכן $OK$ קוטר

אמצע הקוטר $OK$ הוא מרכז המעגל הגדול, ולכן $M$ הוא המרכז.

תרגיל 3

המשך הקטע $AE$ חותך את הקטע $OK$ בנקודה $M$ . נתון כי הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $OK$ . ג. הוכיחו כי $\triangle MOA \sim \triangle OEA$ .

$M$ מרכז המעגל הגדול (סעיף ב)
$OA = OE = r$
$M$ על המשך הקטע $AE$

$\triangle MOA \sim \triangle OEA$

להציג את התשובה והפתרון

$MO = MA$ — רדיוסים במעגל הגדול
$\angle MOA = \angle MAO$ — במשולש שווה שוקיים $MOA$ זוויות הבסיס שוות
$\angle OEA = \angle OAE$ — במשולש שווה שוקיים $OEA$ ( $OE = OA$ ) זוויות הבסיס שוות
$\angle MAO = \angle OAE$ — זו אותה זווית: $E$ על הקטע $AM$
$\angle MOA = \angle OEA$ — שתיהן שוות לזווית $\angle MAO$
$\triangle MOA \sim \triangle OEA$ — משפט הדמיון ז״ז (הזווית $A$ משותפת, $\angle MOA = \angle OEA$ )

הפתרון:

\begin{aligned}\angle MOA &= \angle MAO \\ &= \angle OAE \\ &= \angle OEA\end{aligned}

שני משולשים שווי שוקיים עם אותה זווית בסיס ליד $A$

\triangle MOA \sim \triangle OEA

ז״ז: $M \leftrightarrow O$ , $O \leftrightarrow E$ , $A \leftrightarrow A$

שני המשולשים שווי שוקיים, וזוויות הבסיס שלהם שוות: הם דומים.

תרגיל 4

המשך הקטע $AE$ חותך את הקטע $OK$ בנקודה $M$ . נתון כי הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $OK$ . נתון: $R = 1.5r$ . נסמן ב־ $S$ את שטח המשולש $MEO$ . ד. הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש $OKA$ .

$S_{OKA} =$ ____ $\cdot S$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S_{OKA} =$ 3.6 $\cdot S$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{MO}{OE} &= \frac{OA}{EA} \\ &= \frac{R}{r} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון מסעיף ג

\begin{aligned}EA &= \frac{r}{1.5} \\ &= \frac{2r}{3} \\ \quad MA &= R \\ &= 1.5r\end{aligned}

\begin{aligned}ME &= MA - EA \\ &= \frac{3r}{2} - \frac{2r}{3} \\ &= \frac{5r}{6}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{S_{MEO}}{S_{MAO}} &= \frac{ME}{MA} \\ &= \frac{5}{9} \Rightarrow S_{MAO} \\ &= \frac{9S}{5}\end{aligned}

אותו גובה מן הקודקוד $O$ לישר $MA$

\begin{aligned}S_{OKA} &= 2S_{MAO} \\ &= \frac{18S}{5} \\ &= 3.6S\end{aligned}

$AM$ תיכון במשולש $OKA$ ( $M$ אמצע $OK$ )

$S_{OKA} = 3.6S$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — מעגל חסום במשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים $ABC$ $(AC = AB)$ חסום מעגל שמרכזו בנקודה $O$ ורדיוסו $r$ (ראו סרטוט). נסמן: $\angle ACB = 2\alpha$ .

תרגיל 1

א (1). הביעו באמצעות $r$ ו־ $\alpha$ את אורך הקטע $CO$ .

א $\frac{r}{\sin 2\alpha}$
ב $\frac{r}{\sin\alpha}$
ג $\frac{r}{\cos\alpha}$
ד $\frac{r}{\tan\alpha}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{r}{\sin\alpha}$

הפתרון:

\angle OCB = \alpha

מרכז המעגל החסום נמצא על חוצה הזווית $C$

\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{r}{CO} \Rightarrow CO \\ &= \frac{r}{\sin\alpha}\end{aligned}

המשולש ישר הזווית שבין $O$ , $C$ ונקודת ההשקה על $BC$

$CO = \frac{r}{\sin\alpha}$ .

תרגיל 2

א (2). הביעו באמצעות $r$ ו־ $\alpha$ את אורך הצלע $AC$ .

א $\frac{r}{\tan\alpha \cdot \sin 2\alpha}$
ב $\frac{r \cdot \tan\alpha}{\cos 2\alpha}$
ג $\frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$
ד $\frac{2r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$

הפתרון:

CD = \frac{r}{\tan\alpha}

$D$ אמצע $BC$ ונקודת ההשקה; במשולש $ODC$ : $\tan\alpha = \frac{r}{CD}$

\begin{aligned}\cos 2\alpha &= \frac{CD}{AC} \Rightarrow AC \\ &= \frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $ADC$ ( $AD$ גובה)

$AC = \frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$ .

תרגיל 3

נתון כי אורך הצלע $AC$ גדול פי $\sqrt{3}$ מאורך הקטע $CO$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{r}{\tan\alpha \cos 2\alpha} &= \frac{\sqrt{3} r}{\sin\alpha} \Rightarrow \cos\alpha \\ &= \sqrt{3}\cos 2\alpha\end{aligned}

מסעיף א

2\sqrt{3}\cos^2\alpha - \cos\alpha - \sqrt{3} = 0

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{1 \pm 5}{4\sqrt{3}}: \quad \cos\alpha \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

הפתרון השלילי נפסל: $2\alpha$ זווית בסיס, ולכן $0^\circ < \alpha < 45^\circ$

\alpha = 30^\circ

$\alpha = 30^\circ$ : זוויות הבסיס הן $60^\circ$ , והמשולש שווה צלעות.

תרגיל 4

הציבו $\alpha = 30^\circ$ וענו על הסעיפים ג–ד. המעגל חותך את הקטע $BO$ בנקודה $K$ . נתון כי אורך הקטע $CK$ הוא $\sqrt{175}$ . ג. מצאו את הערך של $r$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}CO &= BO \\ &= \frac{r}{\sin 30^\circ} \\ &= 2r \\ \quad OK &= r\end{aligned}

מסעיף א (1)

\begin{aligned}\angle COB &= 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ \\ &= 120^\circ\end{aligned}

במשולש $COB$

\begin{aligned}CK^2 &= (2r)^2 + r^2 - 2 \cdot 2r \cdot r \cos 120^\circ \\ &= 7r^2\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש $COK$

\begin{aligned}7r^2 &= 175 \Rightarrow r \\ &= 5\end{aligned}

$r = 5$ .

תרגיל 5

הציבו $\alpha = 30^\circ$ וענו על הסעיפים ג–ד. המעגל חותך את הקטע $BO$ בנקודה $K$ . נתון כי אורך הקטע $CK$ הוא $\sqrt{175}$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $CB$ . נתון כי שטח המשולש $CKE$ הוא $18$ . ד. חשבו את אורך הקטע $BE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.9205

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= 2 \cdot \frac{r}{\tan 30^\circ} \\ &= 2 \cdot 5\sqrt{3} \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

מסעיף א (2): $CD = \frac{r}{\tan\alpha}$

\begin{aligned}BO &= 2r \\ &= 10 \\ \ OK &= 5 \Rightarrow h_K \\ &= \frac{r}{2} \\ &= 2.5\end{aligned}

$K$ אמצע $BO$ ; $O$ בגובה $r$ מעל $BC$ , ולכן $K$ בגובה $\frac{r}{2}$

\begin{aligned}\frac{CE \cdot 2.5}{2} &= 18 \Rightarrow CE \\ &= 14.4\end{aligned}

הגובה מ־ $K$ לבסיס $CE$

BE = 10\sqrt{3} - 14.4 \approx 2.92

$BE = 10\sqrt{3} - 14.4 \approx 2.92$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על הסעיפים א–ו. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך.

תרגיל 1

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ .

א $x \neq a$ ו־ $x \neq -a$
ב $x \le -a$ או $x \ge a$
ג $-a < x < a$
ד $x < -a$ או $x > a$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x < -a$ או $x > a$

הפתרון:

x^2 - a^2 > 0

ביטוי בתוך שורש במכנה: חיובי ממש

x < -a , \ x > a

תחום ההגדרה: $x < -a$ או $x > a$ . הנקודות $x = \pm a$ אינן בתחום: המכנה מתאפס בהן.

תרגיל 2

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$ .

אנכיות: $x =$ ____ $a$ , $x =$ ____ $a$ (מהקטן לגדול) ; אופקיות: $y =$ ____ , $y =$ ____ (מהקטן לגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אנכיות: $x =$ -1 $a$ , $x =$ 1 $a$ (מהקטן לגדול) ; אופקיות: $y =$ -1 , $y =$ 1 (מהקטן לגדול)

הפתרון:

x \to a^+: f \to +\infty; \quad x \to -a^-: f \to -\infty

המכנה שואף ל־ $0^+$

f(x) = \frac{x}{|x|\sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}}}

מוציאים $x^2$ מן השורש: $\sqrt{x^2} = |x|$

x \to +\infty: f \to 1; \quad x \to -\infty: f \to -1

אסימפטוטות אנכיות $x = -a$ ו־ $x = a$ ; אסימפטוטות אופקיות $y = 1$ (מימין) ו־ $y = -1$ (משמאל).

תרגיל 3

ב. הוכיחו כי הפונקצייה $f(x)$ היא אי־זוגית.

$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ , $a > 0$
תחום ההגדרה: $x < -a$ או $x > a$

$f(-x) = -f(x)$ לכל $x$ בתחום

להציג את התשובה והפתרון

אם $x$ בתחום, גם $-x$ בתחום — התחום $|x| > a$ סימטרי ביחס ל־ $x = 0$
$f(-x) = \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 - a^2}}$ — מציבים $-x$ במקום $x$
$\frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 - a^2}} = -\frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ — $(-x)^2 = x^2$
$f(-x) = -f(x)$ — הגדרת פונקצייה אי־זוגית: תחום סימטרי ו־ $f(-x) = -f(x)$

הפתרון:

\begin{aligned}f(-x) &= \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 - a^2}} \\ &= \frac{-x}{\sqrt{x^2 - a^2}} \\ &= -f(x)\end{aligned}

התחום סימטרי

הפונקצייה אי־זוגית: הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים.

תרגיל 4

ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה $f(x)$ (אם יש כאלה).

איורדת בתחום $x < -a$ ועולה בתחום $x > a$
בעולה בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ ; אין לה תחומי ירידה
גיורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ ; אין לה תחומי עלייה
דעולה בתחום $x < -a$ ויורדת בתחום $x > a$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג יורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ ; אין לה תחומי עלייה

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x^2 - a^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}}{x^2 - a^2} \\ &= \frac{x^2 - a^2 - x^2}{(x^2 - a^2)\sqrt{x^2 - a^2}}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f'(x) = \frac{-a^2}{(x^2 - a^2)\sqrt{x^2 - a^2}} < 0

המונה שלילי והמכנה חיובי בכל התחום

הפונקצייה יורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ , ואין לה תחומי עלייה.

תרגיל 5

הגרפים I–IV

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף IV
בגרף II
גגרף I
דגרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף II

הפתרון:

x > a: \ +\infty \searrow 1; \quad x < -a: \ -1 \searrow -\infty

מסעיפים א–ג

גרף II: ענף ימני שיורד מ־ $+\infty$ ליד $x = a$ אל $y = 1$ , וענף שמאלי שיורד מ־ $y = -1$ אל $-\infty$ ליד $x = -a$ . גרף I הוא $-f(x)$ , גרף III מוגדר בין $-a$ ל־ $a$ , וגרף IV אינו אי־זוגי.

תרגיל 6

נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{(f(x))^2}$ . תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ . ה (1). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה $g(x)$ .

אעולה בתחום $x < -a$ , יורדת בתחום $x > a$
בעולה בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$
גיורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$
דיורדת בתחום $x < -a$ , עולה בתחום $x > a$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יורדת בתחום $x < -a$ , עולה בתחום $x > a$

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= \frac{x^2 - a^2}{x^2} \\ &= 1 - \frac{a^2}{x^2}\end{aligned}

g'(x) = \frac{2a^2}{x^3}

שלילית בתחום $x < -a$ וחיובית בתחום $x > a$

$g(x)$ יורדת בתחום $x < -a$ ועולה בתחום $x > a$ .

תרגיל 7

הגרפים I–IV

נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{(f(x))^2}$ . תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ . ה (2). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה $g(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף III
בגרף I
גגרף II
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף I

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= 1 - \frac{a^2}{x^2} \\ \quad 0 < g(x) < 1\end{aligned}

בתחום $|x| > a$

x \to \pm a: g \to 0; \quad x \to \pm\infty: g \to 1

הנקודות $(\pm a, 0)$ אינן על הגרף: הן מחוץ לתחום

גרף I: שני ענפים סימטריים, בין $0$ ל־ $1$ , עם עיגולים ריקים ב־ $(-a, 0)$ וב־ $(a, 0)$ . גרף II הוא $(f(x))^2$ , בגרף III התחום הוא כל $x \neq 0$ , וגרף IV אינו זוגי, ואילו $g(x)$ זוגית.

תרגיל 8

נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{(f(x))^2}$ . נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $g(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = 2a$ ו־ $x = 3a$ הוא $7.5$ . ו. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\int_{2a}^{3a} \left(1 - \frac{a^2}{x^2}\right) dx = \left[x + \frac{a^2}{x}\right]_{2a}^{3a}

בתחום זה $g(x) > 0$

= \left(3a + \frac{a}{3}\right) - \left(2a + \frac{a}{2}\right) = \frac{5a}{6}

\begin{aligned}\frac{5a}{6} &= 7.5 \Rightarrow a \\ &= 9\end{aligned}

$a = 9$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 7 — פונקצייה טריגונומטרית

בסרטוט שלפניכם נתונים שני גרפים, I–II , בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . אחד מן הגרפים מתאר את הפונקצייה $f(x)$ , ואחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ . הפונקציות $f(x)$ ו־ $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ בתחום הנתון.

תרגיל 1

א. קבעו איזה מן הגרפים I–II מתאר את הפונקצייה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אגרף I: הוא חותך את ציר ה־ $x$ בנקודות הקיצון של גרף II
בגרף I: היכן שהוא עולה גרף II חיובי, והיכן שהוא יורד גרף II שלילי
גגרף II: הוא עובר בראשית הצירים, וגרף של נגזרת אינו עובר בה
דגרף II: היכן שהוא עולה גרף I חיובי, והיכן שהוא יורד גרף I שלילי

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף II: היכן שהוא עולה גרף I חיובי, והיכן שהוא יורד גרף I שלילי

הפתרון:

0 < x < \frac{\pi}{2}: \ \text{II} \nearrow, \ \text{I} > 0

גרף II עולה וגרף I חיובי

\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}: \ \text{II} \searrow, \ \text{I} < 0

גרף II יורד וגרף I שלילי

0 < x < \pi: \ \text{II} > 0, \ \text{I} \searrow

הכיוון ההפוך אינו מתאים: גרף I יורד שם, אבל גרף II חיובי

גרף II מתאר את $f(x)$ וגרף I את $f'(x)$ . העובדה שגרף I חותך את ציר ה־ $x$ בנקודות הקיצון של גרף II נכונה, אבל היא מראה דווקא שגרף I הוא הנגזרת.

תרגיל 2

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 0 $\pi$ , $x =$ 1 $\pi$ , $x =$ 2 $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= 0 \Leftrightarrow \sin x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה $1 + (\sin x)^2$ חיובי

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi\end{aligned}

בתחום $0 \le x \le 2\pi$

נקודות החיתוך: $(0, 0)$ , $(\pi, 0)$ ו־ $(2\pi, 0)$ .

תרגיל 3

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ב (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

אמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ ; אין קיצון בקצוות
במקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ , $(2\pi, 0)$ ; מינימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$
גמקסימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ , $(2\pi, 0)$
דמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , $(2\pi, 0)$ ; מינימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , $(2\pi, 0)$ ; מינימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\cos x (1 + \sin^2 x) - \sin x \cdot 2\sin x \cos x}{(1 + \sin^2 x)^2} \\ &= \frac{\cos^3 x}{(1 + \sin^2 x)^2}\end{aligned}

$1 - \sin^2 x = \cos^2 x$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \ \frac{3\pi}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \frac{1}{2} \\ \quad f\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

0 < x < \frac{\pi}{2}: \nearrow; \quad \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}: \searrow; \quad \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi: \nearrow

סימן $\cos^3 x$ ; ולכן גם הקצוות הם נקודות קיצון

מקסימום $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ו־ $(2\pi, 0)$ , מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ . המלכודת: לשכוח את נקודות הקצה של התחום הסגור.

תרגיל 4

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = |f(x) - 0.4|$ המוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $g(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול; בשתיהן $y = 0$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 0.1667 $\pi$ , $x =$ 0.8333 $\pi$ (מהקטן לגדול; בשתיהן $y = 0$ )

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{\sin x}{1 + \sin^2 x} &= 0.4 \Rightarrow 0.4\sin^2 x - \sin x + 0.4 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}2\sin^2 x - 5\sin x + 2 &= 0 \Rightarrow \sin x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הפתרון $\sin x = 2$ נפסל

\begin{aligned}x &= \frac{\pi}{6} \\ \ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

נקודות החיתוך: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ ו־ $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ .

תרגיל 5

הגרפים I–IV

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = |f(x) - 0.4|$ המוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ד (1). סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף IV
בגרף I
גגרף III
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף IV

הפתרון:

\begin{aligned}g(0) &= 0.4 \\ \ g\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 0 \\ \ g\left(\frac{\pi}{2}\right) &= 0.1 \\ \ g\left(\frac{5\pi}{6}\right) &= 0 \\ \ g\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= 0.9 \\ \ g(2\pi) &= 0.4\end{aligned}

g(x) \ge 0

ערך מוחלט: החלק של $f(x) - 0.4$ שמתחת לציר ה־ $x$ משתקף מעליו

גרף IV: אינו שלילי, נוגע בציר ה־ $x$ ב־ $\frac{\pi}{6}$ וב־ $\frac{5\pi}{6}$ עם "גבעה" נמוכה ביניהן, ומגיע ל־ $0.9$ ב־ $\frac{3\pi}{2}$ . גרף I הוא $|f(x) + 0.4|$ , גרף II הוא $f(x) - 0.4$ בלי ערך מוחלט, וגרף III הוא $|f(x)| - 0.4$ .

תרגיל 6

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = |f(x) - 0.4|$ המוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ד (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $g(x)$ , וקבעו את סוגן.

אמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ ; אין קיצון בקצוות
במקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ , $(2\pi, 0.4)$ ; מינימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$
גמקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.9\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.1\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$
דמקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$

הפתרון:

\begin{aligned}g &= 0: \ x \\ &= \frac{\pi}{6} \\ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

נקודות החיתוך מסעיף ג הן נקודות מינימום ( $g \ge 0$ )

\begin{aligned}g\left(\frac{\pi}{2}\right) &= |0.5 - 0.4| \\ &= 0.1 \\ \quad g\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= |-0.5 - 0.4| \\ &= 0.9\end{aligned}

הקיצון של $f$ נשאר קיצון של $g$

\begin{aligned}g(0) &= g(2\pi) \\ &= 0.4\end{aligned}

ליד $x = 0$ הפונקצייה $g$ יורדת: מקסימום בקצה; ליד $x = 2\pi$ היא יורדת אל הקצה: מינימום בקצה

מקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 8 — פונקצייה רציונלית, משיק ושטח מינימלי

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x) = \frac{a}{(x - 1)^2} + 9$ . הפונקצייה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x \neq 1$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.

תרגיל 1

א. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 1 , $y =$ 9

הפתרון:

x \to 1: \ \frac{a}{(x - 1)^2} \to +\infty

המכנה מתאפס, והמונה $a > 0$

x \to \pm\infty: \ \frac{a}{(x - 1)^2} \to 0 \Rightarrow f \to 9

אסימפטוטה אנכית $x = 1$ ואסימפטוטה אופקית $y = 9$ .

תרגיל 2

הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , ושיעור ה־ $x$ שלה הוא $2$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק לגרף הפונקצייה $f(x)$ . ב. הביעו באמצעות $a$ את משוואת המשיק.

$y =$ ____ $\cdot ax +$ ____ $\cdot a +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -2 $\cdot ax +$ 5 $\cdot a +$ 9

הפתרון:

f(2) = a + 9

\begin{aligned}f'(x) &= -\frac{2a}{(x - 1)^3} \Rightarrow f'(2) \\ &= -2a\end{aligned}

\begin{aligned}y - (a + 9) &= -2a(x - 2) \Rightarrow y \\ &= -2ax + 5a + 9\end{aligned}

משוואת המשיק: $y = -2ax + 5a + 9$ .

תרגיל 3

הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , ושיעור ה־ $x$ שלה הוא $2$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק לגרף הפונקצייה $f(x)$ . המשיק חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה $A$ ואת הישר $x = 1$ בנקודה $B$ . $D$ היא נקודה ששיעוריה הם $(1 , 0)$ . ג. הביעו באמצעות $a$ את שטח המשולש $ADB$ .

א $\frac{(5a + 9)(3a + 9)}{4a}$
ב $\frac{9(a + 3)^2}{2a}$
ג $\frac{9(a + 3)^2}{4a}$
ד $\frac{3(a + 3)^2}{4a}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\frac{9(a + 3)^2}{4a}$

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow x_A \\ &= \frac{5a + 9}{2a}\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 1 \Rightarrow y_B \\ &= 3a + 9\end{aligned}

\begin{aligned}DA &= \frac{5a + 9}{2a} - 1 \\ &= \frac{3a + 9}{2a} \\ \quad DB &= 3a + 9\end{aligned}

הזווית $D$ ישרה: $DA$ על ציר ה־ $x$ ו־ $DB$ על הישר $x = 1$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3a + 9}{2a} \cdot (3a + 9) \\ &= \frac{9(a + 3)^2}{4a}\end{aligned}

$S_{ADB} = \frac{9(a + 3)^2}{4a}$ . המלכודת: לקחת את $x_A$ כאורך הניצב — הניצב מתחיל ב־ $D$ , שבו $x = 1$ .

תרגיל 4

הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , ושיעור ה־ $x$ שלה הוא $2$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק לגרף הפונקצייה $f(x)$ . המשיק חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה $A$ ואת הישר $x = 1$ בנקודה $B$ . $D$ היא נקודה ששיעוריה הם $(1 , 0)$ . ד. מצאו את הערך של $a$ שבעבורו שטח המשולש $ADB$ הוא מינימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}S(a) &= \frac{9(a + 3)^2}{4a} \\ \quad a > 0\end{aligned}

מסעיף ג

\begin{aligned}S'(a) &= \frac{9}{4} \cdot \frac{2(a + 3)a - (a + 3)^2}{a^2} \\ &= \frac{9(a + 3)(a - 3)}{4a^2}\end{aligned}

\begin{aligned}S'(a) &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a = -3$ נפסל ( $a > 0$ )

0 < a < 3: S' < 0; \quad a > 3: S' > 0

מינימום

\begin{aligned}S(3) &= \frac{9 \cdot 36}{12} \\ &= 27\end{aligned}

השטח מינימלי בעבור $a = 3$ (ואז $S = 27$ ).

לפתור את השאלה באתר

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — שאלות קצרות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

תרגיל 9

תרגיל 10

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 3 — הסתברות: בחירות וסקר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — שני מעגלים, משיק ודמיון

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 5 — מעגל חסום במשולש שווה שוקיים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

שאלה 7 — פונקצייה טריגונומטרית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 8 — פונקצייה רציונלית, משיק ושטח מינימלי

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות