בגרות במתמטיקה 35571 קיץ 2026

שאלה 1 — שאלות קצרות

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

תרגיל 1

א. הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \frac{2^2}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{n^2}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n(n + 1)}{2(2n + 1)}$

$n$ מספר טבעי

$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \frac{2^2}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{n^2}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n(n + 1)}{2(2n + 1)}$

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{1^2}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}$ — בדיקה עבור $n = 1$
$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{k^2}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)}$ — הנחת האינדוקציה
$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)} + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)}$ — מוסיפים את האיבר ה־ $(k+1)$ ומציבים את הנחת האינדוקציה
$\frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)} + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)\left(k(2k + 3) + 2(k + 1)\right)}{2(2k + 1)(2k + 3)}$ — מכנה משותף $2(2k + 1)(2k + 3)$ , והוצאת הגורם המשותף $k + 1$
$k(2k + 3) + 2(k + 1) = 2k^2 + 5k + 2 = (2k + 1)(k + 2)$ — פתיחת סוגריים ופירוק הטרינום לגורמים
$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2(2k + 3)}$ — מצמצמים ב־ $2k + 1$ ; זו הטענה עבור $n = k + 1$ , ועם הבדיקה עבור $n = 1$ היא נכונה לכל $n$ טבעי

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{1^2}{1 \cdot 3} &= \frac{1}{3} \\ &= \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$ : שני האגפים שווים

\frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)} + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)\left(2k^2 + 3k + 2k + 2\right)}{2(2k + 1)(2k + 3)}

הנחת האינדוקציה עבור $n = k$ , ועוד האיבר ה־ $(k+1)$ ; מכנה משותף

2k^2 + 5k + 2 = (2k + 1)(k + 2)

פירוק הטרינום

\frac{(k + 1)(2k + 1)(k + 2)}{2(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2(2k + 3)}

זה אגף ימין של הטענה עבור $n = k + 1$ : $\frac{(k+1)\left((k+1) + 1\right)}{2\left(2(k+1) + 1\right)}$

הטענה נכונה עבור $n = 1$ , ומנכונותה עבור $n = k$ נובעת נכונותה עבור $n = k + 1$ ; לכן היא נכונה לכל $n$ טבעי.

תרגיל 2

ב. ליונתן יש בספרייה שבחדרו ספרים משני סוגים: ספרי קומיקס וספרי עיון. $60\%$ מן הספרים הם ספרי קומיקס והשאר ספרי עיון. $70\%$ מן הספרים הם בעברית והשאר באנגלית. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם. I. ליונתן אין ספרי קומיקס בעברית.

אאי אפשר לקבוע: הנתונים לא מספיקים כדי לדעת אם יש ספר כזה
בלא נכונה: בדיוק $42\%$ מן הספרים הם קומיקס בעברית, כי $0.6 \cdot 0.7 = 0.42$
גנכונה: ספרי הקומיקס והספרים בעברית הם שתי קבוצות נפרדות
דלא נכונה: $60\% + 70\% > 100\%$ , ולכן לפחות $30\%$ הם קומיקס בעברית

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא נכונה: $60\% + 70\% > 100\%$ , ולכן לפחות $30\%$ הם קומיקס בעברית

הפתרון:

P(K \cup H) = P(K) + P(H) - P(K \cap H) \le 1

$K$ : ספר קומיקס, $H$ : ספר בעברית. הסתברות של איחוד אינה גדולה מ־ $1$

P(K \cap H) \ge 0.6 + 0.7 - 1 = 0.3

לכן החיתוך אינו ריק

הטענה לא נכונה: לפחות $30\%$ מן הספרים הם ספרי קומיקס בעברית. אי אפשר לדעת שהחלק הוא בדיוק $42\%$ : זה נכון רק אם השפה אינה תלויה בסוג הספר, ואין נתון כזה.

תרגיל 3

ב. ליונתן יש בספרייה שבחדרו ספרים משני סוגים: ספרי קומיקס וספרי עיון. $60\%$ מן הספרים הם ספרי קומיקס והשאר ספרי עיון. $70\%$ מן הספרים הם בעברית והשאר באנגלית. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם. II. ההסתברות לבחור באקראי ספר בעברית מבין ספרי הקומיקס גדולה מן ההסתברות לבחור באקראי ספר קומיקס מבין הספרים שבעברית.

אלא נכונה: שתי ההסתברויות שוות, כי שתיהן סופרות את אותם ספרי הקומיקס בעברית
בלא נכונה: ההסתברות השנייה גדולה יותר, כי יש יותר ספרים בעברית מספרי קומיקס
גנכונה: לשתיהן אותו מונה $p > 0$ , ומכנה הראשונה $0.6$ קטן ממכנה השנייה $0.7$
דאי אפשר לקבוע: לא ידוע איזה חלק מן הספרים הוא ספרי קומיקס בעברית

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג נכונה: לשתיהן אותו מונה $p > 0$ , ומכנה הראשונה $0.6$ קטן ממכנה השנייה $0.7$

הפתרון:

p = P(K \cap H) \ge 0.3 > 0

מן הסעיף הקודם: יש ספרי קומיקס בעברית

\begin{aligned}P(H \mid K) &= \frac{p}{0.6} \\ \quad P(K \mid H) &= \frac{p}{0.7}\end{aligned}

הסתברות מותנית

\frac{p}{0.6} > \frac{p}{0.7}

אותו מונה חיובי, ומכנה קטן יותר נותן שבר גדול יותר

הטענה נכונה, ואין צורך לדעת את $p$ : מספיק ש־ $p > 0$ . היחס בין שתי ההסתברויות הוא תמיד $\frac{0.7}{0.6} = \frac{7}{6}$ .

תרגיל 4

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y = 0$ , ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$ , ששיעוריה הם $(12, 0)$ . שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2}$ . (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

$x \neq$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \neq$ 12

הפתרון:

\left(f(x)\right)^2 \neq 0 \iff f(x) \neq 0

$f(x)$ מוגדרת לכל $x$ ; צריך רק שהמכנה לא יתאפס

\begin{aligned}f(x) &= 0 \iff x \\ &= 12\end{aligned}

לגרף של $f(x)$ נקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$

תחום ההגדרה של $g(x)$ : $x \neq 12$ .

תרגיל 5

גרף הפונקציה

f(x)

, ומתחתיו הגרפים I–IV

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y = 0$ , ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$ , ששיעוריה הם $(12, 0)$ . שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2}$ . (2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף II
בגרף I
גגרף IV
דגרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף I

הפתרון:

g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2} > 0

הגרף כולו מעל ציר ה־ $x$

x \to 12: \ f(x) \to 0 \Rightarrow g(x) \to +\infty; \quad x \to \pm\infty: \ g(x) \to +\infty

אסימפטוטה אנכית $x = 12$ , ואין אסימפטוטה אופקית: $f(x) \to 0$ בשני הכיוונים

g'(x) = \frac{-2f'(x)}{\left(f(x)\right)^3}

נגזרת של מנה, וכלל השרשרת

(6, \tfrac{1}{a^2}), \quad \left(18, \tfrac{1}{4a^2}\right)

נקודות המינימום של $g$ : שם $\left|f(x)\right|$ מקסימלי, $a$ ו־ $2a$

גרף I: יורד מ־ $+\infty$ אל מינימום ב־ $x = 6$ , עולה אל האסימפטוטה $x = 12$ , יורד ממנה אל מינימום נמוך יותר ב־ $x = 18$ ( $\frac{1}{4a^2} < \frac{1}{a^2}$ ), ועולה שוב. בגרף II המינימום הנמוך הוא ב־ $x = 6$ , גרף III הוא $\frac{1}{f(x)}$ , שיורד מתחת לציר, וגרף IV הוא $\left(f(x)\right)^2$ .

תרגיל 6

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y = 0$ , ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$ , ששיעוריה הם $(12, 0)$ . שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2}$ . נתון כי לישר $y = \frac{a}{27}$ ולגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק $3$ נקודות משותפות. (3) מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x < 12: \ g \ge \frac{1}{a^2}; \quad x > 12: \ g \ge \frac{1}{4a^2}

שני הענפים של $g$ , כל אחד עם מינימום אחד ושתי עליות אל $+\infty$

c > \frac{1}{a^2}: \ 2 + 2 = 4

ישר אופקי $y = c$ גבוה משני המינימומים חותך כל ענף פעמיים

\begin{aligned}c &= \frac{1}{a^2}: \ 1 + 2 \\ &= 3\end{aligned}

הוא נוגע במינימום השמאלי וחותך את הענף הימני פעמיים, כי $\frac{1}{4a^2} < \frac{1}{a^2}$

\frac{1}{4a^2} < c < \frac{1}{a^2}: \ 0 + 2 = 2

רק את הענף הימני; ונמוך יותר — נקודה אחת או אף אחת

\begin{aligned}\frac{a}{27} &= \frac{1}{a^2} \Rightarrow a^3 \\ &= 27 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a > 1$

$a = 3$ : הישר $y = \frac{1}{9}$ נוגע במינימום $(6, \frac{1}{9})$ וחותך את הענף הימני פעמיים.

תרגיל 7

ד. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x) = \frac{-30x^2}{(x^3 - 8)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 2$ . בסרטוט מוצגות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ של גרף הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . הפונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x \neq 2$ . נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0, 0.75)$ . (1) מצאו פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה.

$g(x) =$ ____ $\cdot \frac{1}{x^3 - 8} +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $g(x) =$ 10 $\cdot \frac{1}{x^3 - 8} +$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}u &= x^3 - 8 \\ \quad du &= 3x^2\,dx\end{aligned}

הצבה: המונה הוא כמעט הנגזרת של $x^3 - 8$

\begin{aligned}\int \frac{-30x^2}{(x^3 - 8)^2}\,dx &= \int \frac{-10}{u^2}\,du \\ &= \frac{10}{u} + C \\ &= \frac{10}{x^3 - 8} + C\end{aligned}

\begin{aligned}g(0) &= \frac{10}{-8} + C \\ &= 0.75 \Rightarrow C \\ &= 2\end{aligned}

הגרף עובר דרך $(0, 0.75)$

$g(x) = \frac{10}{x^3 - 8} + 2$ . (הנקודה $(0, 0.75)$ קובעת את הקבוע רק בתחום $x < 2$ ; עם אותו קבוע גם בתחום $x > 2$ מקבלים את הפונקציה הזאת.)

תרגיל 8

גרף הפונקציה

f(x)

, ומתחתיו הגרפים I–IV

ד. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x) = \frac{-30x^2}{(x^3 - 8)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 2$ . בסרטוט מוצגות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ של גרף הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . הפונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x \neq 2$ . נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0, 0.75)$ . (2) אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה. קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

אגרף III
בגרף IV
גגרף II
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף I

הפתרון:

g'(x) = f(x) \le 0

הגרף של $f$ אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : $g$ יורדת בכל אחד משני תחומיה. בגרפים III ו־IV יש קטעים עולים

\begin{aligned}g'(0) &= f(0) \\ &= 0\end{aligned}

ב־ $(0, 0.75)$ למשיק של $g$ שיפוע $0$ : הגרף נעשה אופקי לרגע וממשיך לרדת

גרף I: יורד בשני הענפים, עם משיק אופקי ב־ $(0, 0.75)$ . גרף II יורד, אבל אין לו משיק אופקי ב־ $x = 0$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

$a_n$ היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא $q$ . $b_n$ היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא $2q$ . $c_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $c_n = a_n \cdot b_n$ לכל $n$ טבעי.

תרגיל 1

א. הוכיחו כי הסדרה $c_n$ היא הנדסית, והביעו באמצעות $q$ את מנתה.

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$b_{n+1} = b_n \cdot 2q$ לכל $n$ טבעי
$c_n = a_n \cdot b_n$ לכל $n$ טבעי

$c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

להציג את התשובה והפתרון

$c_{n+1} = a_{n+1} \cdot b_{n+1}$ — הגדרת הסדרה $c_n$ , עבור $n + 1$
$a_{n+1} \cdot b_{n+1} = a_n q \cdot b_n \cdot 2q = 2q^2 \cdot a_n b_n$ — המנות של הסדרות ההנדסיות $a_n$ ו־ $b_n$
$a_n \cdot b_n \neq 0$ — בסדרה הנדסית אין איבר ששווה ל־ $0$
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = 2q^2$ — מחלקים ב־ $c_n = a_n b_n \neq 0$ ; המנה אינה תלויה ב־ $n$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= \frac{a_{n+1}}{a_n} \cdot \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ &= q \cdot 2q \\ &= 2q^2\end{aligned}

המנה של כל סדרה, איבר חלקי האיבר שלפניו

היחס בין כל שני איברים סמוכים הוא הקבוע $2q^2$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$ .

תרגיל 2

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ב. מצאו את הערך של $q$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}c_2 &= c_1 \cdot 2q^2 \\ &= a_1 b_1 \cdot 2q^2 \\ &= 2q^2 (a_1)^2\end{aligned}

$c_1 = a_1 b_1$ ו־ $b_1 = a_1$

\begin{aligned}2q^2 (a_1)^2 &= \frac{1}{8}(a_1)^2 \Rightarrow q^2 \\ &= \frac{1}{16} \Rightarrow q \\ &= \pm\frac{1}{4}\end{aligned}

$a_1 \neq 0$

q = \frac{1}{4}

סדרה הנדסית עם מנה שלילית מחליפה סימן, ולכן אינה עולה

$q = \frac{1}{4} = 0.25$ .

תרגיל 3

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (1). האם הערך של $a_1$ הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.

אחיובי: סדרה עולה מתחילה תמיד באיבר חיובי
בחיובי: $q > 0$ , ולכן כל איברי הסדרה חיוביים
גשלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$
דשלילי: $q < 0$ , ולכן איברי הסדרה מחליפים סימן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$

הפתרון:

\begin{aligned}a_{n+1} - a_n &= a_n\left(\frac{1}{4} - 1\right) \\ &= -\frac{3}{4}a_n\end{aligned}

$q = \frac{1}{4}$

a_{n+1} > a_n \iff a_n < 0

כל האיברים באותו סימן כמו $a_1$ , כי $q > 0$

$a_1$ שלילי: ב־ $0 < q < 1$ האיברים מתקרבים ל־ $0$ , והם עולים רק כשהם שליליים.

תרגיל 4

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (2). האם הסדרה $c_n$ עולה או יורדת? נמקו את תשובתכם.

אעולה: מכפלה של שתי סדרות עולות היא תמיד סדרה עולה
בעולה: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $2q^2 = \frac{1}{8}$ חיובית
גיורדת: $c_1 < 0$ כי $a_1$ שלילי, והמנה היא $\frac{1}{8}$
דיורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$

הפתרון:

\begin{aligned}c_1 &= a_1 b_1 \\ &= (a_1)^2 > 0\end{aligned}

$b_1 = a_1$

\begin{aligned}2q^2 &= 2 \cdot \frac{1}{16} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

המנה מסעיף א

c_{n+1} = \frac{1}{8}c_n < c_n

כל האיברים חיוביים

הסדרה $c_n$ יורדת: איברים חיוביים שכל אחד מהם הוא שמינית מקודמו. מכפלה של שתי סדרות עולות ושליליות אינה סדרה עולה.

תרגיל 5

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . נסמן ב־ $S_1$ את סכום הסדרה $a_n$ , ב־ $S_2$ את סכום הסדרה $b_n$ וב־ $S_3$ את סכום הסדרה $c_n$ . נתון: $S_1 + S_2 + S_3 = 434$ . ד. מצאו את הערך של $a_1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -21

הפתרון:

\begin{aligned}S_1 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{4a_1}{3} \\ \quad S_2 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 2a_1 \\ \quad S_3 &= \frac{(a_1)^2}{1 - \frac{1}{8}} \\ &= \frac{8(a_1)^2}{7}\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת: $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ ו־ $\frac{1}{8}$ בין $-1$ ל־ $1$

\begin{aligned}\frac{8(a_1)^2}{7} + \frac{10a_1}{3} &= 434 \Rightarrow 12(a_1)^2 + 35a_1 - 4557 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב־ $21$ ומחלקים ב־ $2$

\begin{aligned}a_1 &= \frac{-35 \pm 469}{24}: \quad a_1 \\ &= -21 \\ \quad a_1 &= \frac{217}{12}\end{aligned}

$\sqrt{35^2 + 4 \cdot 12 \cdot 4557} = \sqrt{219961} = 469$

$a_1 = -21$ : מסעיף ג, $a_1$ שלילי, ולכן הפתרון החיובי נפסל.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — הסתברות: כדורים בשני שקים

בשק א׳ ובשק ב׳ יש כדורים משני סוגים: כדורים רכים וכדורים קשים. בשק א׳ יש $10$ כדורים, מתוכם $4$ כדורים רכים והשאר קשים. בשק ב׳ יש $12$ כדורים, מתוכם $x$ כדורים רכים והשאר קשים. גלית בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). נתון כי ההסתברות שגלית הוציאה שני כדורים רכים היא $\frac{41}{200}$ .

תרגיל 1

א. מצאו את הערך של $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

P(R) = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{10}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{x}{12}\right)^2

$R$ : שני כדורים רכים. נוסחת ההסתברות השלמה: כל שק בהסתברות $\frac{1}{2}$ , ושתי הוצאות בלתי תלויות

\begin{aligned}0.08 + \frac{x^2}{288} &= \frac{41}{200} \Rightarrow \frac{x^2}{288} \\ &= 0.125 \Rightarrow x^2 \\ &= 36\end{aligned}

x = 6

$x$ הוא מספר כדורים, $x > 0$

בשק ב׳ יש $6$ כדורים רכים ו־ $6$ כדורים קשים.

תרגיל 2

ב. ידוע שגלית הוציאה שני כדורים מאותו הסוג. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים משק א׳?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5098

הפתרון:

\begin{aligned}P(T \mid A) &= 0.4^2 + 0.6^2 \\ &= 0.52 \\ \quad P(T \mid B) &= 0.5^2 + 0.5^2 \\ &= 0.5\end{aligned}

$T$ : שני כדורים מאותו הסוג, שני רכים או שני קשים

\begin{aligned}P(T) &= \frac{1}{2} \cdot 0.52 + \frac{1}{2} \cdot 0.5 \\ &= 0.51\end{aligned}

\begin{aligned}P(A \mid T) &= \frac{0.26}{0.51} \\ &= \frac{26}{51} \approx 0.5098\end{aligned}

הסתברות מותנית

$\frac{26}{51} \approx 0.51$ .

תרגיל 3

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ג. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בדיוק בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2696

הפתרון:

\begin{aligned}p &= \frac{1}{2}\left(\frac{6}{10}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{6}{12}\right)^2 \\ &= 0.18 + 0.125 \\ &= 0.305\end{aligned}

ההסתברות להוציא שני כדורים קשים בפעם אחת

P = \binom{4}{2} \cdot 0.305^2 \cdot 0.695^2 \approx 0.2696

נוסחת ברנולי: $4$ פעמים בלתי תלויות

ההסתברות היא בערך $0.27$ .

תרגיל 4

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ד. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים ובשתיים מן הפעמים רק כדורים רכים? (יש לכתוב שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.023456

הפתרון:

\begin{aligned}p_1 &= 0.305 \\ \quad p_2 &= \frac{41}{200} \\ &= 0.205\end{aligned}

בכל פעם: $p_1$ להוציא שני קשים (סעיף ג), $p_2$ להוציא שני רכים (נתון)

\binom{4}{2} = 6

בוחרים את שתי הפעמים של הקשים; בשתי האחרות — רכים

P = 6 \cdot 0.305^2 \cdot 0.205^2 \approx 0.0235

ההסתברות היא בערך $0.023$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — מעגל ודלתון

בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. הנקודה $M$ נמצאת מחוץ למעגל כך שהקטע $AM$ חותך את הקטע $CO$ בנקודה $K$ . הנקודה $E$ נמצאת על הקטע $BO$ כך שהמרובע $EMKO$ הוא דלתון $(MK = ME , OK = OE)$ .

תרגיל 1

א. הוכיחו כי $BC \parallel EK$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$OK = OE$

$BC \parallel EK$

להציג את התשובה והפתרון

$OB = OC$ — רדיוסים במעגל
$\frac{OE}{OB} = \frac{OK}{OC}$ — $OE = OK$ ו־ $OB = OC$
$\triangle OEK \sim \triangle OBC$ — משפט הדמיון צ״ז״צ: הזווית $\angle EOK = \angle BOC$ משותפת, והצלעות שלידה באותו יחס
$\angle OEK = \angle OBC$ — במשולשים דומים, הזוויות המתאימות שוות
$BC \parallel EK$ — זוויות מתאימות שוות בין הישרים $EK$ ו־ $BC$ והחותך $OB$

הפתרון:

\begin{aligned}OK &= OE \\ \quad OC &= OB\end{aligned}

נתון, ורדיוסים

\begin{aligned}\angle OEK &= \angle OKE \\ &= \frac{180^\circ - \angle BOC}{2} \\ &= \angle OBC \\ &= \angle OCB\end{aligned}

שני משולשים שווי שוקיים עם אותה זווית ראש

$\angle OEK = \angle OBC$ הן זוויות מתאימות, ולכן $BC \parallel EK$ .

תרגיל 2

ב. הוכיחו כי $OM \parallel AC$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$MK = ME$ , $OK = OE$

$OM \parallel AC$

להציג את התשובה והפתרון

$\triangle OME \cong \triangle OMK$ — משפט החפיפה צ״צ״צ: $OE = OK$ , $ME = MK$ , והצלע $OM$ משותפת
$\angle MOB = \angle MOC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים ( $E$ על $OB$ , $K$ על $OC$ )
$\angle MOC = \frac{1}{2}\angle BOC$ — $OM$ חוצה את $\angle BOC$
$\angle OAC = \angle OCA$ — $OA = OC$ (רדיוסים): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\angle BOC = 2\angle OCA$ — זווית חיצונית למשולש $AOC$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\angle MOC = \angle OCA$ — מצרפים את שני השוויונים
$OM \parallel AC$ — זוויות מתחלפות שוות בין הישרים $OM$ ו־ $AC$ והחותך $OC$

הפתרון:

\begin{aligned}\triangle OME \cong \triangle OMK \Rightarrow \angle MOB &= \angle MOC \\ &= \frac{\angle BOC}{2}\end{aligned}

צ״צ״צ: האלכסון $OM$ של הדלתון חוצה את זווית הראש

\begin{aligned}\angle BOC &= \angle OAC + \angle OCA \\ &= 2\angle OCA\end{aligned}

זווית חיצונית למשולש שווה השוקיים $AOC$

\angle MOC = \angle OCA

$\angle MOC$ ו־ $\angle OCA$ הן זוויות מתחלפות שוות, ולכן $OM \parallel AC$ .

תרגיל 3

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $\frac{OM}{AC}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{OK}{OC} &= \frac{EK}{BC} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

הדמיון $\triangle OEK \sim \triangle OBC$ מסעיף א

\begin{aligned}OK &= \frac{3}{5}R \\ \quad KC &= \frac{2}{5}R\end{aligned}

$R$ רדיוס המעגל

\triangle KOM \sim \triangle KCA

ז״ז: זוויות קודקודיות ב־ $K$ , וזוויות מתחלפות כי $OM \parallel AC$ (סעיף ב)

\begin{aligned}\frac{OM}{AC} &= \frac{OK}{KC} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

$\frac{OM}{AC} = \frac{3}{2} = 1.5$ .

תרגיל 4

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . נסמן ב־ $S$ את שטח הדלתון $EMKO$ . ד. הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש $AOC$ . (יש לכתוב את המקדם כמספר עשרוני.)

$S_{AOC} =$ ____ $\cdot S$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S_{AOC} =$ 0.5556 $\cdot S$

הפתרון:

S_{OKM} = \frac{S}{2}

האלכסון $OM$ מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים

\begin{aligned}S_{KCA} &= \left(\frac{2}{3}\right)^2 S_{KOM} \\ &= \frac{4}{9} \cdot \frac{S}{2} \\ &= \frac{2S}{9}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון $\frac{KC}{OK} = \frac{2}{3}$

\begin{aligned}\frac{S_{AOK}}{S_{AKC}} &= \frac{OK}{KC} \\ &= \frac{3}{2} \Rightarrow S_{AOK} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{2S}{9} \\ &= \frac{S}{3}\end{aligned}

אותו גובה מ־ $A$ לישר $OC$

\begin{aligned}S_{AOC} &= \frac{S}{3} + \frac{2S}{9} \\ &= \frac{5S}{9}\end{aligned}

$S_{AOC} = \frac{5}{9}S \approx 0.556 \cdot S$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — טרפז ומעגל חסום

בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ $(AB \parallel DC)$ . נתון כי אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך הצלע $BC$ . נסמן: $AB = BC = k$ , $\angle ACB = \alpha$ , $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ .

תרגיל 1

א. הראו כי $AC = 2k \cdot \cos\alpha$ .

$AB = BC = k$
$\angle ACB = \alpha$

$AC = 2k \cdot \cos\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$ — במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = BC$ ), זוויות הבסיס שוות
$\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$ — סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$
$\frac{AC}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{k}{\sin\alpha}$ — משפט הסינוסים במשולש $ABC$ : $AC$ מול $\angle ABC$ , $BC = k$ מול $\angle BAC$
$AC = \frac{k \sin 2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2k \sin\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha}$ — $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$AC = 2k \cdot \cos\alpha$ — מצמצמים ב־ $\sin\alpha \neq 0$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BAC &= \alpha \\ \quad \angle ABC &= 180^\circ - 2\alpha\end{aligned}

משולש שווה שוקיים

\begin{aligned}AC &= \frac{BC \cdot \sin\angle ABC}{\sin\angle BAC} \\ &= \frac{k\sin 2\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים

דרך אחרת: הגובה מ־ $B$ לבסיס $AC$ חוצה אותו, ובמשולש ישר הזווית שנוצר $\frac{AC}{2} = k\cos\alpha$ .

תרגיל 2

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36.8699

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ACD &= \angle BAC \\ &= \alpha\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין המקבילים $AB$ ו־ $DC$

AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos\alpha

משפט הקוסינוסים במשולש $ACD$

\begin{aligned}1.44k^2 &= 4k^2\cos^2\alpha + 4k^2 - 8k^2\cos^2\alpha \\ &= 4k^2\sin^2\alpha\end{aligned}

$AC = 2k\cos\alpha$ מסעיף א

\sin\alpha = 0.6 \Rightarrow \alpha \approx 36.87^\circ

$0^\circ < \alpha < 90^\circ$

$\alpha \approx 36.87^\circ$ .

תרגיל 3

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ג. מצאו את גודל הזווית $ADC$ (בדרגות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.1301

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 2k\cos\alpha \\ &= 2k \cdot 0.8 \\ &= 1.6k\end{aligned}

$\cos\alpha = 0.8$

\begin{aligned}AD^2 + AC^2 &= 1.44k^2 + 2.56k^2 \\ &= 4k^2 \\ &= DC^2\end{aligned}

המשפט ההפוך למשפט פיתגורס: $\angle DAC = 90^\circ$

\angle ADC = 90^\circ - \alpha \approx 53.13^\circ

סכום הזוויות במשולש $ACD$

$\angle ADC \approx 53.13^\circ$ .

תרגיל 4

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . המשכי הצלעות $DA$ ו־ $CB$ נחתכים בנקודה $E$ . נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש $EDC$ הוא $14$ . ד. מצאו את הערך של $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 23.3333

הפתרון:

\begin{aligned}\triangle EAB \sim \triangle EDC \\ \quad \frac{EA}{ED} &= \frac{AB}{DC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$AB \parallel DC$

\begin{aligned}ED &= 2 \cdot AD \\ &= 2.4k\end{aligned}

$A$ אמצע $ED$

\begin{aligned}\angle DCE &= 2\alpha \\ \quad \angle CED &= 180^\circ - (90^\circ - \alpha) - 2\alpha \\ &= 90^\circ - \alpha \\ &= \angle EDC\end{aligned}

ולכן $CE = CD = 2k$

\begin{aligned}S_{EDC} &= \frac{1}{2} \cdot 2.4k \cdot \sqrt{(2k)^2 - (1.2k)^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2.4k \cdot 1.6k \\ &= 1.92k^2\end{aligned}

גובה לבסיס $ED$ במשולש שווה השוקיים

\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= \frac{1.92k^2}{3.2k} \\ &= 0.6k\end{aligned}

$p = \frac{2k + 2k + 2.4k}{2} = 3.2k$ חצי ההיקף

\begin{aligned}0.6k &= 14 \Rightarrow k \\ &= \frac{70}{3} \approx 23.33\end{aligned}

$k = \frac{70}{3} \approx 23.33$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{ax}{(x - 3)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.

תרגיל 1

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 3 , $y =$ 0

הפתרון:

x \to 3: \ (x - 3)^2 \to 0^+, \ ax \to 3a > 0

המכנה מתאפס והמונה לא: אסימפטוטה אנכית

x \to \pm\infty: \ \frac{ax}{(x - 3)^2} \to 0

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

$x = 3$ ו־ $y = 0$ .

תרגיל 2

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה.

אמינימום $\left(3, \frac{a}{12}\right)$
במקסימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$
גמקסימום $\left(-3, \frac{a}{12}\right)$
דמינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x - 3)^2 - ax \cdot 2(x - 3)}{(x - 3)^4} \\ &= \frac{a(-x - 3)}{(x - 3)^3}\end{aligned}

נגזרת של מנה, וצמצום ב־ $x - 3$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= -3 \\ \quad f(-3) &= \frac{-3a}{36} \\ &= -\frac{a}{12}\end{aligned}

$a > 0$

x < -3: f' < 0; \quad -3 < x < 3: f' > 0

הסימן של המונה ושל $(x - 3)^3$

נקודת מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$ .

תרגיל 3

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף III
בגרף I
גגרף IV
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף III

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף א

\searrow \left(-3, -\tfrac{a}{12}\right) \nearrow (0, 0) \nearrow +\infty \ \big| \ +\infty \searrow 0

תחומי עלייה וירידה מסעיף א, וחיתוך עם הצירים ב־ $(0, 0)$

גרף III. גרף I הוא $-f(x)$ , בגרף II האסימפטוטה האנכית היא $x = -3$ , ובגרף IV יש אסימפטוטה אופקית $y = 1$ ואין נקודת קיצון.

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= -0.5\end{aligned}

x > 3: f > 0; \quad x < 3: \ f \ge -\frac{a}{12}

המינימום מסעיף א הוא הערך הקטן ביותר של $f$

\begin{aligned}-\frac{a}{12} &= -0.5 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

אם $-\frac{a}{12} < -0.5$ יש שתי נקודות חיתוך, ואם $-\frac{a}{12} > -0.5$ אין אף אחת

$a = 6$ : גרף $g$ נוגע בציר ה־ $x$ בנקודה $(-3, 0)$ .

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (1). רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $h(x)$ .

אחיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$
בחיובית: $0 < x < 3$ ; שלילית: $x < 0$ או $x > 3$
גחיובית: $x > -3$ , $x \neq 3$ ; שלילית: $x < -3$
דחיובית: $x < -3$ או $x > 3$ ; שלילית: $-3 < x < 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א חיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= \frac{6x}{(x - 3)^2} + 0.5 \ge 0 \\ \quad g(x) &= 0 \iff x \\ &= -3\end{aligned}

המינימום של $g$ הוא $0$ , בנקודה $(-3, 0)$

\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) \\ &= \frac{6(-x - 3)}{(x - 3)^3}\end{aligned}

$g'$ חיובית ב־ $-3 < x < 3$ ושלילית ב־ $x < -3$ וב־ $x > 3$

הסימן של $h = g \cdot g'$ הוא הסימן של $g'$ : חיובית ב־ $-3 < x < 3$ , שלילית ב־ $x < -3$ או $x > 3$ .

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $h(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ בתחום $-9 \le x \le 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.1328

הפתרון:

\int g(x) g'(x)\,dx = \frac{\left(g(x)\right)^2}{2} + C

$g \cdot g'$ היא הנגזרת של $\frac{g^2}{2}$

\begin{aligned}g(-9) &= \frac{-54}{144} + 0.5 \\ &= 0.125 \\ \quad g(-3) &= 0 \\ \quad g(0) &= 0.5\end{aligned}

\begin{aligned}S &= -\int_{-9}^{-3} h\,dx + \int_{-3}^{0} h\,dx \\ &= \frac{0.125^2}{2} + \frac{0.5^2}{2}\end{aligned}

$h < 0$ ב־ $-9 < x < -3$ ו־ $h > 0$ ב־ $-3 < x < 0$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{128} + \frac{1}{8} \\ &= \frac{17}{128} \approx 0.1328\end{aligned}

השטח הוא $\frac{17}{128} \approx 0.133$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = (1 + \cos x) \cdot (-1 + b\cos x)$ , המוגדרת בתחום $-\pi \le x \le \pi$ . $b$ הוא פרמטר. נתון: $0 < b < 1$ .

תרגיל 1

א. האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.

אלא זוגית ולא אי־זוגית: יש בה גם קבועים וגם $b\cos x$
באי־זוגית: $\cos(-x) = -\cos x$ , ולכן $f(-x) = -f(x)$ לכל $x$
גזוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום
דגם זוגית וגם אי־זוגית: התחום סימטרי, ו־ $f(0) = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג זוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

הפתרון:

\begin{aligned}f(-x) &= \left(1 + \cos(-x)\right)\left(-1 + b\cos(-x)\right) \\ &= (1 + \cos x)(-1 + b\cos x) \\ &= f(x)\end{aligned}

קוסינוס היא פונקציה זוגית, והתחום $-\pi \le x \le \pi$ סימטרי

הפונקציה זוגית. היא לא אי־זוגית: $f(0) = 2(b - 1) \neq 0$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

א $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ ו־ $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$
ב $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד
ג $(-\pi, 0)$ , $(\pi, 0)$ ו־ $\left(\arccos\frac{1}{b}, 0\right)$
ד $(0, 0)$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד

הפתרון:

\begin{aligned}1 + \cos x &= 0 \iff \cos x \\ &= -1 \iff x \\ &= \pm\pi\end{aligned}

בתחום $-\pi \le x \le \pi$

\begin{aligned}-1 + b\cos x &= 0 \iff \cos x \\ &= \frac{1}{b} > 1\end{aligned}

$0 < b < 1$ : אין פתרון

$(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ .

תרגיל 3

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = \frac{\pi}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= -\sin x(-1 + b\cos x) + (1 + \cos x)(-b\sin x) \\ &= \sin x\,(1 - b - 2b\cos x)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{3}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - b - b) \\ &= 0 \Rightarrow b \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{2}$ (ואכן $f'$ מחליפה שם סימן).

תרגיל 4

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (1). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

אמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{3}{4}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$
במינימום $(0, -1)$ ; מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
גמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
דמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= (1 + \cos x)\left(\tfrac{1}{2}\cos x - 1\right) \\ \quad f'(x) &= \sin x\left(\tfrac{1}{2} - \cos x\right)\end{aligned}

$b = \frac{1}{2}$ בנגזרת מסעיף ג

\begin{aligned}f'(x) &= 0: \quad x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm\frac{\pi}{3} \\ \ x &= \pm\pi\end{aligned}

$\sin x = 0$ או $\cos x = \frac{1}{2}$

\begin{aligned}f(0) &= 2 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) \\ &= -1 \\ \quad f\left(\pm\tfrac{\pi}{3}\right) &= \tfrac{3}{2} \cdot \left(-\tfrac{3}{4}\right) \\ &= -\tfrac{9}{8} \\ \quad f(\pm\pi) &= 0\end{aligned}

0 < x < \tfrac{\pi}{3}: f' < 0; \quad \tfrac{\pi}{3} < x < \pi: f' > 0

והפונקציה זוגית, ולכן הגרף סימטרי סביב ציר ה־ $y$

מקסימום $(0, -1)$ , מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ , ומקסימום בקצות התחום $(\pm\pi, 0)$ .

תרגיל 5

הגרפים I–IV

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף I
בגרף IV
גגרף II
דגרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף II

הפתרון:

(-\pi, 0) \searrow \left(-\tfrac{\pi}{3}, -\tfrac{9}{8}\right) \nearrow (0, -1) \searrow \left(\tfrac{\pi}{3}, -\tfrac{9}{8}\right) \nearrow (\pi, 0)

מסעיף ד (1)

f(x) \le 0

הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$

גרף II: שני מינימומים ב־ $\pm\frac{\pi}{3}$ ומקסימום נמוך $(0, -1)$ ביניהם. גרף IV הוא $-f(x)$ , גרף I הוא $f(x + \pi)$ , וגרף III הוא $-\sin^2 x$ .

תרגיל 6

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. נתונה הפונקציה $h(x) = f(x) + \left|f(x)\right|$ , המוגדרת בתחום $-\pi \le x \le \pi$ . נקודה $A$ היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקציה $h(x)$ . ה. האם שיעור ה־ $y$ של נקודה $A$ הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.

אחיובי: $\left|f(x)\right| \ge 0$ , ולכן $h(x) = 2\left|f(x)\right| > 0$
בשווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$
גשלילי: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $h(x) = 2f(x) < 0$
דאי אפשר לקבוע: הערך תלוי בנקודה $A$ שנבחרה על הגרף

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$

הפתרון:

1 + \cos x \ge 0, \quad \tfrac{1}{2}\cos x - 1 < 0 \ \Rightarrow \ f(x) \le 0

אפשר לראות זאת גם בגרף מסעיף ד

\begin{aligned}\left|f(x)\right| &= -f(x) \Rightarrow h(x) \\ &= f(x) - f(x) \\ &= 0\end{aligned}

שיעור ה־ $y$ של $A$ שווה אפס: הגרף של $h(x)$ הוא הקטע $-\pi \le x \le \pi$ על ציר ה־ $x$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 8 — פונקציית שורש ובעיית קיצון

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x^2 - 1}$ . נתון הישר $y = 3x - 3$ .

תרגיל 1

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \le$ ____ או $x \ge$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \le$ -1 או $x \ge$ 1

הפתרון:

x^2 - 1 \ge 0 \iff (x - 1)(x + 1) \ge 0

ביטוי מתחת לשורש ריבועי אינו שלילי

$x \le -1$ או $x \ge 1$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את שיעורי שתי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הישר הנתון. (יש לכתוב קודם את הנקודה ששיעור ה־ $x$ שלה קטן יותר.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 1 $,$ 0 $)$ , $($ 2.6 $,$ 4.8 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}2\sqrt{x^2 - 1} &= 3x - 3 \\ \quad 3x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\end{aligned}

שורש אינו שלילי

\begin{aligned}4(x^2 - 1) &= 9(x - 1)^2 \Rightarrow 5x^2 - 18x + 13 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}x &= \frac{18 \pm 8}{10}: \quad x \\ &= 1 \\ \ x &= 2.6\end{aligned}

שני הפתרונות מקיימים $x \ge 1$

\begin{aligned}y(1) &= 0 \\ \quad y(2.6) &= 3 \cdot 2.6 - 3 \\ &= 4.8\end{aligned}

בדיקה: $2\sqrt{2.6^2 - 1} = 2 \cdot 2.4 = 4.8$

$(1, 0)$ ו־ $(2.6, 4.8)$ .

תרגיל 3

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (1). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AB$ .

$AB =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AB =$ 2 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -3 ) $t +$ 3

הפתרון:

A\left(t, 2\sqrt{t^2 - 1}\right), \quad B(t, 3t - 3)

$B$ על הישר, באותו שיעור $x$ כמו $A$

1 < t < 2.6: \ 2\sqrt{t^2 - 1} > 3t - 3

בין שתי נקודות החיתוך גרף $f$ מעל הישר (למשל ב־ $t = 2$ : $3.46 > 3$ )

AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - (3t - 3)

$AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - 3t + 3$ .

תרגיל 4

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (2). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AC$ . (יש לכתוב את המקדמים כמספרים עשרוניים.)

$AC =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AC =$ 0.6667 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -1 ) $t +$ 1

הפתרון:

\begin{aligned}3x_C - 3 &= 2\sqrt{t^2 - 1} \Rightarrow x_C \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} + 1\end{aligned}

$C$ על הישר, באותו שיעור $y$ כמו $A$

\begin{aligned}AC &= x_C - t \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} + 1 - t\end{aligned}

$C$ מימין ל־ $A$ : הישר מתחת לגרף, והוא עולה

$AC = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} - t + 1$ .

תרגיל 5

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ד. מצאו את הערך של $t$ שבעבורו סכום אורכי הקטעים $AB$ ו־ $AC$ הוא מקסימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.3416

הפתרון:

\begin{aligned}L(t) &= AB + AC \\ &= \frac{8}{3}\sqrt{t^2 - 1} - 4t + 4 \\ \quad 1 < t < 2.6\end{aligned}

מסעיף ג

\begin{aligned}L'(t) &= \frac{8t}{3\sqrt{t^2 - 1}} - 4 \\ &= 0 \Rightarrow 2t \\ &= 3\sqrt{t^2 - 1}\end{aligned}

\begin{aligned}4t^2 &= 9t^2 - 9 \Rightarrow t^2 \\ &= \frac{9}{5} \Rightarrow t \\ &= \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.342\end{aligned}

$t > 0$

L'(1.2) > 0, \quad L'(2) < 0

$L$ עולה ואחר כך יורדת: מקסימום

$t = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34$ .

לפתור את השאלה באתר

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — שאלות קצרות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 3 — הסתברות: כדורים בשני שקים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — מעגל ודלתון

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 5 — טרפז ומעגל חסום

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 8 — פונקציית שורש ובעיית קיצון

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות