בגרות במתמטיקה 35571 קיץ 2026, מועד ב׳

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — שאלות קצרות

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

תרגיל 1

א. נתון כי השוויון $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{b}$ מתקיים בעבור $n = 2$ . $b$ הוא פרמטר שונה מ־ $0$ . (1) מצאו את הערך של $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

1^3 + 2^3 = \frac{2^2 \cdot (2 + 1)^2}{b}

מציבים $n = 2$ בשני האגפים: באגף שמאל שני האיברים הראשונים

1 + 8 = \frac{4 \cdot 9}{b}

מחשבים

9 = \frac{36}{b}

\begin{aligned}b &= \frac{36}{9} \\ &= 4\end{aligned}

כופלים ב־ $b \neq 0$ ומחלקים ב־ $9$

$b = 4$ .

תרגיל 2

א. נתון כי השוויון $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{b}$ מתקיים בעבור $n = 2$ . $b$ הוא פרמטר שונה מ־ $0$ . (2) הציבו $b = 4$ והוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי השוויון הנתון מתקיים לכל $n$ טבעי.

$n$ מספר טבעי
$b = 4$

$1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}$

להציג את התשובה והפתרון

$1^3 = 1 = \frac{1^2 \cdot 2^2}{4}$ — בדיקה עבור $n = 1$
$1^3 + \ldots + k^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4}$ — הנחת האינדוקצייה: השוויון מתקיים עבור $n = k$
$1^3 + \ldots + (k + 1)^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3$ — מוסיפים את האיבר ה־ $(k+1)$ ומציבים את הנחת האינדוקצייה
$\frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3 = \frac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}$ — מכנה משותף $4$ , והוצאת הגורם המשותף $(k + 1)^2$
$1^3 + \ldots + (k + 1)^3 = \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}$ — $k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2$ : זה אגף ימין עבור $n = k + 1$ ; לפי עקרון האינדוקצייה השוויון מתקיים לכל $n$ טבעי

הפתרון:

\begin{aligned}1^3 &= 1 \\ &= \frac{1^2 \cdot 2^2}{4}\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$ : שני האגפים שווים

1^3 + \ldots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3

הנחת האינדוקצייה עבור $n = k$ , ועוד האיבר ה־ $(k+1)$

= \frac{(k + 1)^2\left(k^2 + 4(k + 1)\right)}{4} = \frac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}

מכנה משותף, והוצאת הגורם המשותף $(k + 1)^2$

= \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}

זה אגף ימין של השוויון עבור $n = k + 1$ : $\frac{(k+1)^2\left((k+1) + 1\right)^2}{4}$

השוויון נכון עבור $n = 1$ , ומנכונותו עבור $n = k$ נובעת נכונותו עבור $n = k + 1$ ; לכן הוא נכון לכל $n$ טבעי.

תרגיל 3

ב. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת בתחום $x \le 6$ . אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקצייה $f(x)$ . I. $f(x) = x\sqrt{6 - x}$ II. $f(x) = -x\sqrt{6 - x}$ III. $f(x) = x\sqrt{x - 6}$ IV. $f(x) = -x\sqrt{x - 6}$ (1) קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקצייה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

אביטוי IV
בביטוי III
גביטוי II
דביטוי I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ביטוי II

הפתרון:

x - 6 \ge 0 \iff x \ge 6

הביטויים III ו־IV מוגדרים רק בתחום $x \ge 6$ , והפונקצייה מוגדרת בתחום $x \le 6$

6 - x \ge 0 \iff x \le 6

הביטויים I ו־II מוגדרים בתחום הנכון

x < 0: \ f(x) > 0

בסרטוט, משמאל לציר ה־ $y$ הגרף נמצא מעל ציר ה־ $x$

\begin{aligned}x &= -1: \ x\sqrt{6 - x} \\ &= -\sqrt{7} < 0 \\ \quad -x\sqrt{6 - x} &= \sqrt{7} > 0\end{aligned}

בודקים נקודה: רק ביטוי II חיובי שם

0 < x < 6: \ -x\sqrt{6 - x} < 0

ובין $0$ ל־ $6$ ביטוי II שלילי, כמו בסרטוט

ביטוי II: $f(x) = -x\sqrt{6 - x}$ . ביטויים III ו־IV אינם מוגדרים בתחום $x < 6$ , וביטוי I שלילי בתחום $x < 0$ .

תרגיל 4

ב. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת בתחום $x \le 6$ . אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקצייה $f(x)$ . I. $f(x) = x\sqrt{6 - x}$ II. $f(x) = -x\sqrt{6 - x}$ III. $f(x) = x\sqrt{x - 6}$ IV. $f(x) = -x\sqrt{x - 6}$ נתונה הפונקצייה $g(x) = (f(x))^2$ המוגדרת בתחום $x \le 6$ . (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $g(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= \left(-x\sqrt{6 - x}\right)^2 \\ &= x^2(6 - x) \\ &= 6x^2 - x^3\end{aligned}

מעלים בריבוע; בתחום $x \le 6$ מתקיים $6 - x \ge 0$

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$

0 \le x \le 6: \ g(x) \ge 0

השטח הסגור נמצא בין $x = 0$ ל־ $x = 6$ , מעל ציר ה־ $x$ ; בתחום $x < 0$ הגרף עולה בלי גבול

\begin{aligned}S &= \int_0^6 (6x^2 - x^3)\,dx \\ &= \left[2x^3 - \frac{x^4}{4}\right]_0^6\end{aligned}

אינטגרל מסוים

\begin{aligned}S &= 2 \cdot 216 - \frac{1296}{4} \\ &= 432 - 324 \\ &= 108\end{aligned}

השטח הוא $108$ יחידות שטח.

תרגיל 5

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y = 0$ . שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ מוצגים בסרטוט. נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{f(x) - 2}$ . (1) כמה אסימפטוטות המאונכות לציר ה־ $x$ יש לפונקצייה $g(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) - 2 &= 0 \iff f(x) \\ &= 2\end{aligned}

$f(x)$ מוגדרת ורציפה לכל $x$ : אסימפטוטה אנכית של $g$ יש רק במקום שבו המכנה מתאפס

\begin{aligned}\lim_{x \to -\infty} f(x) &= 0 \\ \quad f(3) &= 4\end{aligned}

משמאל לנקודת המקסימום $(3, 4)$ הפונקצייה עולה מן האסימפטוטה $y = 0$ אל $4$ (ו־ $f(0) = 1$ )

\begin{aligned}f(3) &= 4 \\ \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) &= 0\end{aligned}

מימין לנקודת המקסימום היא יורדת מ־ $4$ אל האסימפטוטה $y = 0$

0 < 2 < 4

הערך $2$ מתקבל פעם אחת בכל צד: פעם אחת בתחום $0 < x < 3$ ופעם אחת בתחום $x > 3$

לפונקצייה $g(x)$ יש $2$ אסימפטוטות אנכיות: הישר $y = 2$ חותך את גרף הפונקצייה $f(x)$ בשתי נקודות, ובהן המכנה $f(x) - 2$ מתאפס והמונה הוא $1$ .

תרגיל 6

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y = 0$ . שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ מוצגים בסרטוט. נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{f(x) - 2}$ . (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־ $y$ של הפונקצייה $g(x)$ .

$y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -0.5

הפתרון:

x \to \pm\infty: \ f(x) \to 0

האסימפטוטה האופקית של $f(x)$ היא $y = 0$ , בשני הכיוונים

\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x) - 2} \to \frac{1}{0 - 2} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

האסימפטוטה האופקית של $g(x)$ : $y = -\frac{1}{2}$ .

תרגיל 7

גרף הפונקצייה

f(x)

, ומתחתיו הגרפים I–IV

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y = 0$ . שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ מוצגים בסרטוט. נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{f(x) - 2}$ . (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף II
בגרף I
גגרף IV
דגרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף III

הפתרון:

\begin{aligned}x &= x_1 \\ \ x &= x_2 \\ \quad y &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שתי אסימפטוטות אנכיות, משני צדי $x = 3$ , ואסימפטוטה אופקית (סעיפים (1)–(2))

f(x) < 2 \Rightarrow g(x) < 0

בשני הענפים החיצוניים: הגרף מתחת לציר ה־ $x$ , בין $-\frac{1}{2}$ ל־ $-\infty$

\begin{aligned}g(0) &= \frac{1}{1 - 2} \\ &= -1\end{aligned}

נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$

x_1 < x < x_2: \ 0 < f(x) - 2 \le 2 \Rightarrow g(x) \ge \frac{1}{2}

בענף האמצעי הגרף מעל ציר ה־ $x$

\left(3, \frac{1}{2}\right)

נקודת מינימום: שם $f(x) - 2$ מקסימלי, $4 - 2 = 2$

גרף III: שני ענפים שליליים, היורדים מן האסימפטוטה $y = -\frac{1}{2}$ אל $-\infty$ , וביניהם ענף חיובי עם מינימום $\left(3, \frac{1}{2}\right)$ . גרף I הוא $-g(x)$ , בגרף II יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד, ובגרף IV האסימפטוטה האופקית היא $y = \frac{1}{2}$ .

תרגיל 8

ד. בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ $(\angle CAB = 90^\circ)$ . נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע $AB$ . נתון: $AB = 1$ . (1) האם ייתכן שהאיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע $BC$ ? נמקו את תשובתכם. יש לקבוע אם הטענה נכונה: ייתכן שהאיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע $BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

BC > AB, \quad BC > AC

$BC$ מול הזווית הישרה: היתר הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש

1, \ BC, \ AC

אילו האיבר השני היה $BC$ , האיבר השלישי היה $AC$

\begin{aligned}q &= \frac{BC}{AB} \\ &= BC > 1\end{aligned}

המנה גדולה מ־ $1$

AC = BC \cdot q > BC

האיבר השלישי גדול מן השני: $AC$ ארוך מ־ $BC$ , בסתירה ליתר

הטענה לא נכונה: אם $BC$ הוא האיבר השני, המנה גדולה מ־ $1$ והאיבר השלישי $AC$ ארוך מן היתר $BC$ — זה בלתי אפשרי.

תרגיל 9

ד. בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ $(\angle CAB = 90^\circ)$ . נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע $AB$ . נתון: $AB = 1$ . (2) מצאו את אורך הצלע $BC$ (בתשובתכם תוכלו להשאיר שורש; כאן יש לכתוב אותה כמספר עשרוני).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.618

הפתרון:

1, \ q, \ q^2

שלושת האיברים: $AB = 1$ , ואחריו $q$ ו־ $q^2$

q > 1

אילו $q < 1$ , האיבר $AB = 1$ היה הארוך ביותר, אבל היתר $BC$ ארוך ממנו; ו־ $q = 1$ נותן משולש שווה צלעות

\begin{aligned}AC &= q \\ \quad BC &= q^2\end{aligned}

לפי סעיף (1), $BC$ אינו האיבר השני; הוא הארוך ביותר, האיבר השלישי

1^2 + q^2 = (q^2)^2

משפט פיתגורס: $AB^2 + AC^2 = BC^2$

\begin{aligned}q^4 - q^2 - 1 &= 0 \Rightarrow q^2 \\ &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\end{aligned}

משוואה ריבועית ב־ $q^2$ ; $q^2 > 0$

\begin{aligned}BC &= q^2 \\ &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\end{aligned}

$BC = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

$a_n$ היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שכל איבריה חיוביים ומנתה היא $q$ .

תרגיל 1

א. לפניכם שלוש טענות I–III. קבעו איזו מן הטענות נכונה ונמקו את קביעתכם. I. $-1 < q < 0$ II. $0 < q < 1$ III. $1 < q$

אטענה I
בטענה III
גטענה II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג טענה II

הפתרון:

\begin{aligned}a_{n+1} &= a_n \cdot q \\ \quad a_n > 0\end{aligned}

כל האיברים חיוביים

q = \frac{a_{n+1}}{a_n} > 0

מנה של שני מספרים חיוביים: טענה I לא נכונה

a_{n+1} < a_n \Rightarrow q = \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1

הסדרה יורדת: טענה III לא נכונה

טענה II: $0 < q < 1$ .

תרגיל 2

$b_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי. ב. הוכיחו כי הסדרה $b_n$ היא הנדסית ומנתה היא $q$ .

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$a_n > 0$ לכל $n$ טבעי
$b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי

$b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$

להציג את התשובה והפתרון

$b_{n+1} = a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3}$ — הגדרת הסדרה $b_n$ , עבור $n + 1$
$a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} = q(a_n + a_{n+1} + a_{n+2})$ — כל איבר בסדרה $a_n$ הוא האיבר שלפניו כפול $q$
$b_{n+1} = q \cdot b_n$ — מציבים את הגדרת $b_n$
$b_n > 0$ — סכום של שלושה איברים חיוביים
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$ — מחלקים ב־ $b_n \neq 0$ ; המנה אינה תלויה ב־ $n$ , ולכן $b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$

הפתרון:

b_{n+1} = a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3}

הגדרת הסדרה $b_n$ , עבור $n + 1$

b_{n+1} = a_n q + a_{n+1} q + a_{n+2} q

כל איבר בסדרה ההנדסית $a_n$ הוא האיבר שלפניו כפול $q$

\begin{aligned}b_{n+1} &= q(a_n + a_{n+1} + a_{n+2}) \\ &= q \cdot b_n\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

\frac{b_{n+1}}{b_n} = q

מחלקים ב־ $b_n > 0$ (סכום של איברים חיוביים)

היחס בין כל שני איברים סמוכים בסדרה $b_n$ הוא הקבוע $q$ , ולכן $b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$ .

תרגיל 3

$b_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי. נתון כי סכום הסדרה $b_n$ גדול פי $1.96$ מסכום הסדרה $a_n$ . ג. מצאו את הערך של $q$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= a_1 + a_1 q + a_1 q^2 \\ &= a_1(1 + q + q^2)\end{aligned}

האיבר הראשון של $b_n$

\begin{aligned}S_b &= \frac{a_1(1 + q + q^2)}{1 - q} \\ \quad S_a &= \frac{a_1}{1 - q}\end{aligned}

שתי הסדרות הנדסיות עם אותה מנה $q$ , ו־ $0 < q < 1$ (סעיף א)

1 + q + q^2 = 1.96

$S_b = 1.96 \cdot S_a$ ; מחלקים ב־ $\frac{a_1}{1 - q} > 0$

q^2 + q - 0.96 = 0

\begin{aligned}q &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3.84}}{2} \\ &= \frac{-1 \pm 2.2}{2}\end{aligned}

נוסחת השורשים

q = 0.6

$0 < q < 1$ : הפתרון $q = -1.6$ נפסל

$q = 0.6$ .

תרגיל 4

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$
$c_n = \frac{b_n}{4 \cdot a_n}$
$q = 0.6$

$c_n$ סדרה קבועה

להציג את התשובה והפתרון

$b_n = a_n + a_n q + a_n q^2 = a_n(1 + q + q^2)$ — $a_{n+1} = a_n q$ ו־ $a_{n+2} = a_n q^2$
$c_n = \frac{a_n(1 + q + q^2)}{4a_n} = \frac{1 + q + q^2}{4}$ — מצמצמים ב־ $a_n > 0$
$1 + q + q^2 = 1.96$ — מסעיף ג
$c_n = 0.49$ לכל $n$ טבעי — $\frac{1.96}{4} = 0.49$ : הביטוי אינו תלוי ב־ $n$

הפתרון:

\begin{aligned}b_n &= a_n + a_n q + a_n q^2 \\ &= a_n(1 + q + q^2)\end{aligned}

כל איבר בסדרה $a_n$ הוא הקודם כפול $q$

\begin{aligned}c_n &= \frac{a_n(1 + q + q^2)}{4a_n} \\ &= \frac{1 + q + q^2}{4}\end{aligned}

מצמצמים ב־ $a_n > 0$

\begin{aligned}c_n &= \frac{1.96}{4} \\ &= 0.49\end{aligned}

$1 + q + q^2 = 1.96$ (סעיף ג)

כל איברי הסדרה שווים ל־ $0.49$ , ולכן $c_n$ סדרה קבועה.

תרגיל 5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 71

הפתרון:

c_n = 0.49

סעיף ד (1)

S_k = 0.49k

סכום של $k$ איברים שווים

\begin{aligned}0.49k &= 34.79 \Rightarrow k \\ &= 71\end{aligned}

$k = 71$ .

תרגיל 6

$b_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי. נתון כי סכום הסדרה $b_n$ גדול פי $1.96$ מסכום הסדרה $a_n$ . $c_n$ היא סדרה שאיבריה מקיימים $c_n = \frac{b_n}{4 \cdot a_n}$ לכל $n$ טבעי. נתון כי סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה הוא $34.79$ . החליפו את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה $c_n$ . ה. מצאו את סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה $c_n$ לאחר החלפת הסימנים. נמקו את תשובתכם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.49

הפתרון:

0.49 - 0.49 + 0.49 - 0.49 + \ldots

אחרי החלפת הסימנים

\begin{aligned}k &= 71 \\ &= 2 \cdot 35 + 1\end{aligned}

$35$ זוגות של איבר במקום אי־זוגי ואיבר במקום זוגי, ועוד האיבר ה־ $71$

35 \cdot (0.49 - 0.49) + 0.49 = 0.49

סכום כל זוג הוא $0$ ; האיבר האחרון במקום אי־זוגי, וסימנו לא הוחלף

הסכום הוא $0.49$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — הסתברות: שלבי קבלה לעבודה

כדי להתקבל לעבודה בחברה מסוימת על המועמדים לעבור שלושה שלבי קבלה זה אחר זה: מבחן א׳, מבחן ב׳ וריאיון אישי. רק מועמד שעובר את מבחן א׳ ניגש למבחן ב׳, ורק מועמד שעובר את מבחן ב׳ ניגש לריאיון. מועמד שעובר את כל שלושת השלבים מתקבל לעבודה. ההסתברות שמועמד יעבור את מבחן א׳ היא $p$ $(0 < p < 1)$ . ההסתברות שמועמד שעבר את מבחן א׳ יעבור את מבחן ב׳ גדולה פי $2$ מן ההסתברות שמועמד יעבור את מבחן א׳. ההסתברות שמועמד יתקבל לעבודה גדולה פי $3$ מן ההסתברות שמועמד יעבור את שני המבחנים ולא יעבור את הריאיון.

תרגיל 1

א. מצאו את ההסתברות שמועמד שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

\begin{aligned}P(A_1 \cap A_2) &= p \cdot 2p \\ &= 2p^2\end{aligned}

$A_1$ : המועמד עובר את מבחן א׳; $A_2$ : עובר את מבחן ב׳. מי שעבר את א׳ עובר את ב׳ בהסתברות $2p$

\begin{aligned}P(J) &= 2p^2 r \\ \quad P(A_1 \cap A_2 \cap \overline{J}) &= 2p^2(1 - r)\end{aligned}

$J$ : המועמד מתקבל לעבודה; $r$ : ההסתברות שמועמד שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון

2p^2 r = 3 \cdot 2p^2 (1 - r)

הנתון; מחלקים ב־ $2p^2 > 0$

\begin{aligned}r &= 3 - 3r \Rightarrow 4r \\ &= 3 \Rightarrow r \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

ההסתברות היא $\frac{3}{4} = 0.75$ .

תרגיל 2

$94\%$ מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה. ב. מצאו את הערך של $p$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

\begin{aligned}P(J) &= 1 - 0.94 \\ &= 0.06\end{aligned}

$J$ : המועמד מתקבל לעבודה

\begin{aligned}2p^2 \cdot \frac{3}{4} &= \frac{3}{2}p^2 \\ &= 0.06\end{aligned}

מסעיף א

\begin{aligned}p^2 &= 0.04 \Rightarrow p \\ &= 0.2\end{aligned}

$p > 0$ ; ואכן $2p = 0.4 < 1$

$p = 0.2$ .

תרגיל 3

$94\%$ מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה. ג. ידוע כי מועמד לא התקבל לעבודה. מהי ההסתברות שמועמד זה עבר את מבחן א׳?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.1489

הפתרון:

\begin{aligned}P(A_1 \cap \overline{J}) &= P(A_1) - P(J) \\ &= 0.2 - 0.06 \\ &= 0.14\end{aligned}

$A_1$ : עבר את מבחן א׳, $J$ : מתקבל. כל מי שמתקבל עבר את מבחן א׳

\begin{aligned}P(A_1 \mid \overline{J}) &= \frac{0.14}{0.94} \\ &= \frac{7}{47}\end{aligned}

הסתברות מותנית

\frac{7}{47} \approx 0.149

ההסתברות היא $\frac{7}{47} \approx 0.149$ .

תרגיל 4

$94\%$ מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה. מבין כל המועמדים שלא התקבלו לעבודה בוחרים באקראי $5$ מועמדים. ד. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם עברו את מבחן א׳?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.1628

הפתרון:

P(A_1 \mid \overline{J}) = \frac{7}{47}

מסעיף ג: לכל אחד מן החמישה, באופן בלתי תלוי

P(X = 0) = \left(\frac{40}{47}\right)^5 \approx 0.4464

$X$ : מספר המועמדים שעברו את מבחן א׳ — התפלגות בינומית, $n = 5$

P(X = 1) = 5 \cdot \frac{7}{47} \cdot \left(\frac{40}{47}\right)^4 \approx 0.3907

P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 0.1628

המאורע המשלים

ההסתברות היא $\approx 0.163$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — משולש שווה צלעות החסום במעגל

$ABC$ הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל. הנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $BC$ , כמתואר בסרטוט. הקטע $AD$ חותך את המעגל בנקודה $E$ .

תרגיל 1

א. הוכיחו: $\angle AEB = \angle BEC = \angle CED = 60^\circ$ .

$ABC$ משולש שווה צלעות החסום במעגל
$D$ על המשך הצלע $BC$
$E$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$\angle AEB = \angle BEC = \angle CED = 60^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAC = \angle ACB = \angle ABC = 60^\circ$ — במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות ל־ $60^\circ$
$\angle AEB = \angle ACB = 60^\circ$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $AB$
$\angle BEC = \angle BAC = 60^\circ$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $BC$
$\angle AEC = 180^\circ - \angle ABC = 120^\circ$ — במרובע $ABCE$ החסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$
$\angle CED = 60^\circ$ — זוויות צמודות: $A$ , $E$ , $D$ על ישר אחד, $180^\circ - 120^\circ$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle ACB \\ &= \angle ABC \\ &= 60^\circ\end{aligned}

המשולש $ABC$ שווה צלעות

\begin{aligned}\angle AEB &= \angle ACB \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $AB$

\begin{aligned}\angle BEC &= \angle BAC \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $BC$

\begin{aligned}\angle AEC &= 180^\circ - \angle ABC \\ &= 120^\circ\end{aligned}

המרובע $ABCE$ חסום במעגל: זוויות נגדיות משלימות ל־ $180^\circ$

\begin{aligned}\angle CED &= 180^\circ - 120^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות צמודות

שלוש הזוויות שוות ל־ $60^\circ$ .

תרגיל 2

ב. הוכיחו: $\triangle AEB \sim \triangle CED$ .

$ABC$ משולש שווה צלעות החסום במעגל
$D$ על המשך הצלע $BC$
$E$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$\triangle AEB \sim \triangle CED$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle AEB = \angle CED = 60^\circ$ — סעיף א
$\angle BAE + \angle BCE = 180^\circ$ — במרובע $ABCE$ החסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$
$\angle ECD = 180^\circ - \angle BCE$ — זוויות צמודות: $B$ , $C$ , $D$ על ישר אחד
$\angle BAE = \angle ECD$ — שתיהן משלימות את $\angle BCE$ ל־ $180^\circ$
$\triangle AEB \sim \triangle CED$ — משפט הדמיון ז״ז: $A \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow D$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle AEB &= \angle CED \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סעיף א

\angle BAE = 180^\circ - \angle BCE

המרובע $ABCE$ חסום במעגל

\angle ECD = 180^\circ - \angle BCE

זוויות צמודות

\angle BAE = \angle ECD

זווית חיצונית למרובע חסום שווה לזווית הפנימית הנגדית

\triangle AEB \sim \triangle CED

ז.ז

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן $\triangle AEB \sim \triangle CED$ ( $A \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow D$ ).

תרגיל 3

ג. הוכיחו: $\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}$ .

$ABC$ משולש שווה צלעות החסום במעגל
$D$ על המשך הצלע $BC$
$E$ על המעגל ועל הקטע $AD$
$\triangle AEB \sim \triangle CED$ (סעיף ב)

$\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}$

להציג את התשובה והפתרון

$\triangle AEB \sim \triangle CED$ — סעיף ב
$\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD}$ — במשולשים דומים, הצלעות המתאימות באותו יחס: $AE \leftrightarrow CE$ , $AB \leftrightarrow CD$
$AB = BC$ — המשולש $ABC$ שווה צלעות
$\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}$ — מציבים $AB = BC$

הפתרון:

\triangle AEB \sim \triangle CED

סעיף ב, בהתאמה $A \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow D$

\begin{aligned}\frac{AE}{CE} &= \frac{EB}{ED} \\ &= \frac{AB}{CD}\end{aligned}

יחס הדמיון

AB = BC

המשולש $ABC$ שווה צלעות

\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}

מיחס הדמיון ומ־ $AB = BC$ .

תרגיל 4

נתון כי שטח המשולש $AEB$ גדול פי $2.25$ משטח המשולש $CED$ . ד. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $ABD$ משטח המשולש $CED$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.75

הפתרון:

\begin{aligned}\left(\frac{AB}{CD}\right)^2 &= 2.25 \Rightarrow \frac{AB}{CD} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון (סעיף ב)

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= s \\ \quad CD &= \frac{2s}{3} \\ \quad BD &= \frac{5s}{3}\end{aligned}

נסמן ב־ $s$ את צלע המשולש שווה הצלעות

\begin{aligned}\angle DEC &= \angle DBA \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סעיף א, ו־ $\angle ABC = 60^\circ$ ; הזווית $D$ משותפת

\triangle DCE \sim \triangle DAB

ז.ז, בהתאמה $D \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow A$ , $E \leftrightarrow B$

\begin{aligned}AD^2 &= s^2 + \frac{25s^2}{9} - 2 \cdot s \cdot \frac{5s}{3} \cdot \cos 60^\circ \\ &= \frac{19s^2}{9}\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש $ABD$

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{CED}} &= \left(\frac{AD}{CD}\right)^2 \\ &= \frac{19s^2/9}{4s^2/9} \\ &= \frac{19}{4}\end{aligned}

ריבוע יחס הדמיון

שטח המשולש $ABD$ גדול פי $\frac{19}{4} = 4.75$ משטח המשולש $CED$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — משולש שווה שוקיים ושני אנכים

בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים $ABC$ $(AB = AC)$ . הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $BC$ כך ש־ $BE = 3 \cdot EC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ כך ש־ $ED$ מאונך ל־ $AC$ . הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ כך ש־ $EM$ מאונך ל־ $AB$ . נסמן: $EC = k$ , $\angle ABC = \alpha$ , $30^\circ < \alpha < 90^\circ$ .

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $k$ ו־ $\alpha$ את אורכי הקטעים $DE$ ו־ $ME$ .

א $DE = k\sin\alpha$ , $ME = 3k\sin\alpha$
ב $DE = k\tan\alpha$ , $ME = 3k\tan\alpha$
ג $DE = k\sin\alpha$ , $ME = 4k\sin\alpha$
ד $DE = k\cos\alpha$ , $ME = 3k\cos\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $DE = k\sin\alpha$ , $ME = 3k\sin\alpha$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ACB &= \angle ABC \\ &= \alpha\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

\begin{aligned}DE &= EC \cdot \sin\angle C \\ &= k\sin\alpha\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $EDC$ ( $\angle D = 90^\circ$ ): $DE$ מול הזווית $C$ , ו־ $EC$ יתר

BE = 3k

נתון

\begin{aligned}ME &= BE \cdot \sin\angle B \\ &= 3k\sin\alpha\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $EMB$ ( $\angle M = 90^\circ$ )

$DE = k\sin\alpha$ , $ME = 3k\sin\alpha$ .

תרגיל 2

נתון כי סכום שטחי המשולשים $CED$ ו־ $BEM$ הוא $1.6k^2$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70.1041

הפתרון:

S_{CED} = \frac{1}{2} \cdot k\sin\alpha \cdot k\cos\alpha

ניצבים $DE = k\sin\alpha$ ו־ $DC = k\cos\alpha$

S_{BEM} = \frac{1}{2} \cdot 3k\sin\alpha \cdot 3k\cos\alpha

ניצבים $ME = 3k\sin\alpha$ ו־ $MB = 3k\cos\alpha$

5k^2 \sin\alpha\cos\alpha = 1.6k^2

סכום השטחים: $\frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5$

\sin 2\alpha = 0.64

$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$ ; מחלקים ב־ $2.5k^2$

\begin{aligned}2\alpha &= 39.79^\circ \ \text{או} \ 2\alpha \\ &= 140.21^\circ\end{aligned}

שני הפתרונות בתחום $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$

\alpha \approx 70.1^\circ

$30^\circ < \alpha < 90^\circ$ : $\alpha \approx 19.9^\circ$ נפסל

$\alpha \approx 70.1^\circ$ .

תרגיל 3

נתון כי סכום שטחי המשולשים $CED$ ו־ $BEM$ הוא $1.6k^2$ . נתון כי אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש $AED$ הוא $29$ . ג. מצאו את הערך של $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.3278

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ADE &= 90^\circ \Rightarrow AE \\ &= 2R \\ &= 58\end{aligned}

במשולש ישר זווית, מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר

\begin{aligned}BC &= 4k \\ \quad BH &= 2k \\ \quad HE &= 3k - 2k \\ &= k\end{aligned}

$H$ אמצע הבסיס $BC$ ; במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גובה

\begin{aligned}AH &= BH \cdot \tan\alpha \\ &= 2k\tan\alpha\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $ABH$

\begin{aligned}AE^2 &= AH^2 + HE^2 \\ &= k^2(4\tan^2\alpha + 1)\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $AHE$

\tan\alpha \approx 2.763 \Rightarrow 4\tan^2\alpha + 1 \approx 31.54

$\alpha \approx 70.1^\circ$ (סעיף ב)

k = \frac{58}{\sqrt{31.54}} \approx 10.33

$k \approx 10.33$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 6 — פונקצייה רציונלית עם פרמטר

נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{6(x - 1)^2}{x^2 + a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.

תרגיל 1

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ .

א $x \neq \pm\sqrt{a}$
ב $x \neq 1$
ג $x > -a$
דכל $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כל $x$

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 + a &= 0 \iff x^2 \\ &= -a\end{aligned}

המכנה מתאפס רק כאשר $x^2 = -a$

x^2 \ge 0 > -a

$a > 0$ : למשוואה אין פתרון, והמכנה חיובי תמיד

הפונקצייה מוגדרת לכל $x$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$ (אם יש כאלה).

א $x = \pm\sqrt{a}$ ו־ $y = 6$
ב $y = 0$ בלבד
ג $x = 1$ ו־ $y = 6$
ד $y = 6$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $y = 6$ בלבד

הפתרון:

x^2 + a > 0

המכנה אינו מתאפס (סעיף א (1)): אין אסימפטוטות אנכיות

f(x) = \frac{6\left(1 - \frac{1}{x}\right)^2}{1 + \frac{a}{x^2}} \xrightarrow[x \to \pm\infty]{} 6

מחלקים מונה ומכנה ב־ $x^2$

יש אסימפטוטה אופקית אחת, $y = 6$ , ואין אסימפטוטות אנכיות.

תרגיל 3

ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.

אמקסימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ; מינימום $(1, 0)$
במינימום $(1, 0)$ בלבד
גמקסימום $\left(a, \frac{6(a - 1)^2}{a(a + 1)}\right)$ ; מינימום $(1, 0)$
דמינימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ; מקסימום $(1, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מקסימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ; מינימום $(1, 0)$

הפתרון:

f'(x) = \frac{12(x - 1)(x^2 + a) - 6(x - 1)^2 \cdot 2x}{(x^2 + a)^2}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{12(x - 1)\left(x^2 + a - x^2 + x\right)}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{12(x - 1)(x + a)}{(x^2 + a)^2}\end{aligned}

מוציאים גורם משותף $12(x - 1)$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= -a\end{aligned}

x < -a: \ f' > 0; \quad -a < x < 1: \ f' < 0; \quad x > 1: \ f' > 0

טבלת סימנים ( $-a < 0 < 1$ )

\begin{aligned}f(-a) &= \frac{6(a + 1)^2}{a^2 + a} \\ &= \frac{6(a + 1)}{a}\end{aligned}

מציבים; $a^2 + a = a(a + 1)$

f(1) = 0

מקסימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ומינימום $(1, 0)$ .

תרגיל 4

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\frac{6(a + 1)}{a} = 7.5

סעיף ב

\begin{aligned}6a + 6 &= 7.5a \Rightarrow 1.5a \\ &= 6 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a = 4$ .

תרגיל 5

הגרפים I–IV

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף IV
בגרף III
גגרף II
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף II

הפתרון:

f(x) = \frac{6(x - 1)^2}{x^2 + 4}

מציבים $a = 4$

y = 6

אסימפטוטה אופקית, ואין אסימפטוטות אנכיות

(-4, 7.5), \quad (1, 0)

מקסימום ומינימום (סעיף ב)

f(0) = 1.5

נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$

f(x) - 6 = \frac{-6(2x + 3)}{x^2 + 4}

משמאל ל־ $x = -1.5$ הגרף מעל האסימפטוטה, ומימין לה מתחתיה

גרף II: מן האסימפטוטה $y = 6$ (מלמעלה) עולה אל המקסימום $(-4, 7.5)$ , יורד אל המינימום $(1, 0)$ ועולה שוב אל $y = 6$ . בגרף I אין מקסימום, גרף III הוא $f(-x)$ , ובגרף IV יש אסימפטוטות אנכיות.

תרגיל 6

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקצייה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקצייה המקיימת $g(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}$ . ה (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ .

$x \neq$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \neq$ 1

הפתרון:

f'(x) = \frac{12(x - 1)(x + 4)}{(x^2 + 4)^2}

מוגדרת לכל $x$

\begin{aligned}(f(x))^2 &= 0 \iff x \\ &= 1\end{aligned}

המכנה מתאפס רק באפס של $f$

$x \neq 1$ .

תרגיל 7

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקצייה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקצייה המקיימת $g(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}$ . ה (2). מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה $g(x)$ .

אחיובית: $-4 < x < 0$ ; שלילית: $x < -4$ או $0 < x < 1$ או $x > 1$
בחיובית: לכל $x \neq 1$ ; שלילית: אין
גחיובית: $x < -4$ או $x > 1$ ; שלילית: $-4 < x < 1$
דחיובית: $-4 < x < 1$ ; שלילית: $x < -4$ או $x > 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד חיובית: $-4 < x < 1$ ; שלילית: $x < -4$ או $x > 1$

הפתרון:

(f(x))^2 > 0 \quad (x \neq 1)

המכנה חיובי בכל התחום

\operatorname{sign} g(x) = -\operatorname{sign} f'(x)

בגלל המינוס במונה

x < -4: \ f' > 0; \quad -4 < x < 1: \ f' < 0; \quad x > 1: \ f' > 0

סעיף ב, עם $a = 4$

חיובית בתחום $-4 < x < 1$ , שלילית בתחומים $x < -4$ ו־ $x > 1$ .

תרגיל 8

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקצייה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקצייה המקיימת $g(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}$ . ה (3). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $g(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ בתחום $-a \le x \le 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5333

הפתרון:

\begin{aligned}\left(\frac{1}{f(x)}\right)' &= \frac{-f'(x)}{(f(x))^2} \\ &= g(x)\end{aligned}

$\frac{1}{f(x)}$ היא פונקצייה קדומה של $g(x)$

-4 \le x \le 0: \ g(x) \ge 0

סעיף ה (2): הגרף מעל ציר ה־ $x$

\begin{aligned}S &= \int_{-4}^{0} g(x)\,dx \\ &= \frac{1}{f(0)} - \frac{1}{f(-4)}\end{aligned}

\begin{aligned}f(0) &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5 \\ \quad f(-4) &= 7.5\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{1}{1.5} - \frac{1}{7.5} \\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{15} \\ &= \frac{8}{15}\end{aligned}

השטח הוא $\frac{8}{15} \approx 0.533$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 7 — פונקצייה טריגונומטרית

נתונה הפונקצייה $f(x) = (\sin x)^2 \cdot \cos(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ .

תרגיל 1

א. הוכיחו כי הפונקצייה $f(x)$ היא זוגית.

$f(x) = (\sin x)^2 \cdot \cos(2x)$
$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$

$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

להציג את התשובה והפתרון

התחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ סימטרי ביחס ל־ $0$ — אם $x$ בתחום, גם $-x$ בתחום
$(\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = (\sin x)^2$ — סינוס היא פונקצייה אי־זוגית
$\cos(-2x) = \cos(2x)$ — קוסינוס היא פונקצייה זוגית
$f(-x) = f(x)$ — מציבים $-x$ בפונקצייה

הפתרון:

-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4} \iff -\frac{\pi}{4} \le -x \le \frac{\pi}{4}

התחום סימטרי

f(-x) = (\sin(-x))^2 \cdot \cos(-2x)

מציבים $-x$

\begin{aligned}(-\sin x)^2 \cdot \cos(2x) &= (\sin x)^2 \cdot \cos(2x) \\ &= f(x)\end{aligned}

$\sin(-x) = -\sin x$ , $\cos(-t) = \cos t$

$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום הסימטרי, ולכן $f(x)$ זוגית.

תרגיל 2

ב. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

אמקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$
במקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{4}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$ ; פיתול $\left(\pm\frac{\pi}{12}, 0\right)$
גמינימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, -\frac{1}{8}\right)$ ; מקסימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$
דמקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$

הפתרון:

f'(x) = 2\sin x\cos x \cdot \cos 2x - 2\sin^2 x \cdot \sin 2x

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= \sin 2x\,(\cos 2x - 2\sin^2 x) \\ &= \sin 2x\,(1 - 4\sin^2 x)\end{aligned}

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= 0 \ \text{או} \ \sin^2 x \\ &= \frac{1}{4} \iff x \\ &= 0 \\ \ \pm\frac{\pi}{6}\end{aligned}

בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$

0 < x < \frac{\pi}{6}: \ f' > 0; \quad \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{4}: \ f' < 0

טבלת סימנים; הצד השני לפי הזוגיות

\begin{aligned}f\left(\pm\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{8} \\ \quad f(0) &= 0 \\ \quad f\left(\pm\frac{\pi}{4}\right) &= \frac{1}{2} \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ , ומינימום בקצות התחום $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$ .

תרגיל 3

הגרפים I–IV

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף III
בגרף I
גגרף IV
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף III

הפתרון:

\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)

שתי נקודות מקסימום (סעיף ב)

(0, 0), \ \left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)

מינימום באמצע ובשני קצות התחום

f(x) \ge 0

$\sin^2 x \ge 0$ ו־ $\cos 2x \ge 0$ בתחום: הגרף אינו יורד מתחת לציר ה־ $x$

גרף III: שתי "גבעות" סימטריות, בין $0$ לבין $\pm\frac{\pi}{4}$ . גרף I הוא $-f(x)$ , בגרף II מקסימום אחד ב־ $x = 0$ , ובגרף IV הפונקצייה עולה עד קצות התחום.

תרגיל 4

פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = \sqrt{a \cdot f'(x)}$ . $a$ הוא פרמטר שלילי. ד (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ .

א $-\frac{\pi}{4} \le x \le -\frac{\pi}{6}$ או $x = 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$
ב $-\frac{\pi}{6} \le x \le 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$
ג $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$
ד $-\frac{\pi}{4} \le x \le -\frac{\pi}{6}$ או $0 \le x \le \frac{\pi}{6}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-\frac{\pi}{6} \le x \le 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$

הפתרון:

a \cdot f'(x) \ge 0 \iff f'(x) \le 0

$a < 0$

f'(x) = \sin 2x\,(1 - 4\sin^2 x)

סעיף ב

-\frac{\pi}{6} \le x \le 0: \ \sin 2x \le 0, \ 1 - 4\sin^2 x \ge 0 \Rightarrow f' \le 0

\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}: \ \sin 2x > 0, \ 1 - 4\sin^2 x \le 0 \Rightarrow f' \le 0

-\frac{\pi}{4} \le x < -\frac{\pi}{6} \ \text{או} \ 0 < x < \frac{\pi}{6}: \ f' > 0

שם $g$ אינה מוגדרת

$-\frac{\pi}{6} \le x \le 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$ : התחומים שבהם הפונקצייה $f(x)$ יורדת.

תרגיל 5

פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = \sqrt{a \cdot f'(x)}$ . $a$ הוא פרמטר שלילי. ד (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $g(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ -0.1667 $\pi$ , $x =$ 0 $\pi$ , $x =$ 0.1667 $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f'(x) \\ &= 0\end{aligned}

$a \neq 0$

\begin{aligned}x &= -\frac{\pi}{6} \\ \ 0 \\ \ \frac{\pi}{6}\end{aligned}

סעיף ב; שלושתן בתחום ההגדרה של $g$

$\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $(0, 0)$ , $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ .

תרגיל 6

הגרפים I–IV

פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = \sqrt{a \cdot f'(x)}$ . $a$ הוא פרמטר שלילי. נתון כי לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת פיתול אחת בלבד בתחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ . ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף IV
בגרף II
גגרף III
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף I

הפתרון:

g(x) \ge 0

שורש ריבועי אינו שלילי

\begin{aligned}g\left(-\frac{\pi}{6}\right) &= g(0) \\ &= g\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ &= 0\end{aligned}

סעיף ד (2)

-\frac{\pi}{6} < x < 0

בין שני אפסים $g > 0$ : הגרף עולה ויורד. שם נמצאת נקודת הפיתול של $f$ , נקודת הקיצון של $f'$

\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 0 \\ \quad f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &= -1\end{aligned}

בתחום $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$ אין נקודת פיתול, ולכן $f'$ מונוטונית: יורדת מ־ $0$ אל $-1$

g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{-a}

$g$ עולה מ־ $0$ עד קצה התחום

גרף I: "גבעה" בין $-\frac{\pi}{6}$ ל־ $0$ , וענף עולה בין $\frac{\pi}{6}$ ל־ $\frac{\pi}{4}$ . גרף II הוא $g(-x)$ , גרף III הוא $-g(x)$ , ובגרף IV הענף הימני יורד.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 8 — פונקציית חזקה ובעיית קיצון

בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקצייה $f(x) = (4x - 2)^3$ והישר $y = 3x + b$ . $b$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ כך ששיעור ה־ $x$ שלה קטן משיעור ה־ $x$ של נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם הישר הנתון. הנקודה $B$ נמצאת על הישר הנתון כך שהקטע $AB$ מקביל לציר ה־ $x$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . נתון: $0 \le t \le 0.7$ .

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $b$ ו־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $B$ . (אפשר לכתוב את המקדמים כשברים או כמספרים עשרוניים.)

$x_B =$ ____ $\cdot (4t - 2)^3 +$ ( ____ ) $\cdot b$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_B =$ 0.33333 $\cdot (4t - 2)^3 +$ ( -0.33333 ) $\cdot b$

הפתרון:

y_A = (4t - 2)^3

$A$ על גרף הפונקצייה

y_B = y_A

$AB$ מקביל לציר ה־ $x$

3x_B + b = (4t - 2)^3

$B$ על הישר

\begin{aligned}x_B &= \frac{(4t - 2)^3 - b}{3} \\ &= \frac{1}{3}(4t - 2)^3 - \frac{1}{3}b\end{aligned}

$x_B = \frac{(4t - 2)^3 - b}{3}$ .

תרגיל 2

ב (1). מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $AB$ הוא מינימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= x_A - x_B \\ &= t - \frac{(4t - 2)^3 - b}{3}\end{aligned}

$A$ משמאל לנקודת החיתוך: שם הישר מעל הגרף, ו־ $B$ משמאל ל־ $A$

\begin{aligned}L'(t) &= 1 - \frac{3(4t - 2)^2 \cdot 4}{3} \\ &= 1 - 4(4t - 2)^2\end{aligned}

גוזרים לפי $t$ ; $b$ קבוע

\begin{aligned}L'(t) &= 0 \iff (4t - 2)^2 \\ &= \frac{1}{4} \iff t \\ &= \frac{3}{8} \ \text{או} \ t \\ &= \frac{5}{8}\end{aligned}

$4t - 2 = \pm\frac{1}{2}$

0 < t < \frac{3}{8}: \ L' < 0; \quad \frac{3}{8} < t < \frac{5}{8}: \ L' > 0; \quad \frac{5}{8} < t < 0.7: \ L' < 0

טבלת סימנים

\begin{aligned}L(0) &= \frac{8 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{3}{8}\right) &= \frac{1.25 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{5}{8}\right) &= \frac{1.75 + b}{3} \\ \ L(0.7) &= \frac{1.588 + b}{3}\end{aligned}

משווים את הקיצונים המקומיים לקצות הקטע

$t = \frac{3}{8} = 0.375$ : הערך הקטן ביותר מבין ארבעת הערכים, $\frac{1.25 + b}{3}$ .

תרגיל 3

ב (2). מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $AB$ הוא מקסימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= x_A - x_B \\ &= t - \frac{(4t - 2)^3 - b}{3}\end{aligned}

$A$ משמאל לנקודת החיתוך: שם הישר מעל הגרף, ו־ $B$ משמאל ל־ $A$

\begin{aligned}L'(t) &= 1 - \frac{3(4t - 2)^2 \cdot 4}{3} \\ &= 1 - 4(4t - 2)^2\end{aligned}

גוזרים לפי $t$ ; $b$ קבוע

\begin{aligned}L'(t) &= 0 \iff (4t - 2)^2 \\ &= \frac{1}{4} \iff t \\ &= \frac{3}{8} \ \text{או} \ t \\ &= \frac{5}{8}\end{aligned}

$4t - 2 = \pm\frac{1}{2}$

0 < t < \frac{3}{8}: \ L' < 0; \quad \frac{3}{8} < t < \frac{5}{8}: \ L' > 0; \quad \frac{5}{8} < t < 0.7: \ L' < 0

טבלת סימנים

\begin{aligned}L(0) &= \frac{8 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{3}{8}\right) &= \frac{1.25 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{5}{8}\right) &= \frac{1.75 + b}{3} \\ \ L(0.7) &= \frac{1.588 + b}{3}\end{aligned}

משווים את הקיצונים המקומיים לקצות הקטע

$t = 0$ : המקסימום של הקטע מתקבל בקצה, $\frac{8 + b}{3}$ גדול מ־ $\frac{1.75 + b}{3}$ .

לפתור את השאלה באתר

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — שאלות קצרות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

תרגיל 9

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 3 — הסתברות: שלבי קבלה לעבודה

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — משולש שווה צלעות החסום במעגל

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 5 — משולש שווה שוקיים ושני אנכים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

שאלה 6 — פונקצייה רציונלית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

שאלה 7 — פונקצייה טריגונומטרית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 8 — פונקציית חזקה ובעיית קיצון

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות