בגרות במתמטיקה 35572 חורף 2025

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — מקום גאומטרי, מעגל ופרבולה

נתונות הנקודות $A(-9a, 0)$ ו־ $B(41a, 0)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $P$ מקיימת $\angle APB = 90^\circ$ .

תרגיל 1

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המתקבלות באופן זה נמצא על מעגל, ומצאו את משוואתו. הביעו את תשובתכם באמצעות $a$ .

$(x -$ ____ $a)^2 + y^2 =$ ____ $a^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x -$ 16 $a)^2 + y^2 =$ 625 $a^2$

הפתרון:

\angle APB = 90^\circ

זווית היקפית שנשענת על קוטר היא ישרה: $P$ נמצאת על המעגל שקוטרו $AB$

M\left(\frac{-9a + 41a}{2}, 0\right) = (16a, 0)

מרכז המעגל: אמצע $AB$

\begin{aligned}R &= \frac{AB}{2} \\ &= \frac{41a - (-9a)}{2} \\ &= 25a\end{aligned}

רדיוס: חצי הקוטר

(x - 16a)^2 + y^2 = 625a^2

המקום הגאומטרי: המעגל $(x - 16a)^2 + y^2 = 625a^2$ , בלי הנקודות $A$ ו־ $B$ עצמן.

תרגיל 2

נתון כי השטח הגדול ביותר של המשולש $APB$ הוא $156.25$ . ב. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

S = \frac{AB \cdot h}{2}

הבסיס $AB$ קבוע; השטח גדול ביותר כשהגובה $h$ מ־ $P$ אל $AB$ גדול ביותר

\begin{aligned}h_{\max} &= R \\ &= 25a\end{aligned}

הנקודה $P$ בקצה הקוטר המאונך ל־ $AB$

\begin{aligned}S_{\max} &= \frac{50a \cdot 25a}{2} \\ &= 625a^2 \\ &= 156.25\end{aligned}

\begin{aligned}a^2 &= 0.25 \Rightarrow a \\ &= 0.5\end{aligned}

$a$ חיובי

$a = \frac{1}{2}$ .

תרגיל 3

הציבו $a = \frac{1}{2}$ וענו על סעיפים ג–ד. אמצע הקטע $AB$ הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית. הפרבולה והמעגל שמצאתם נחתכים ברביע הראשון בנקודה $C$ . ג. מצאו את שיעורי הנקודה $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 4.5 $,$ 12 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}A(-4.5, 0) \\ \ B(20.5, 0): \quad (x - 8)^2 + y^2 &= 156.25\end{aligned}

מציבים $a = \frac{1}{2}$ במשוואת המעגל

\begin{aligned}\frac{p}{2} &= 8 \Rightarrow y^2 \\ &= 32x\end{aligned}

המוקד $(8, 0)$ של הפרבולה $y^2 = 2px$

\begin{aligned}(x - 8)^2 + 32x &= 156.25 \Rightarrow x^2 + 16x - 92.25 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $y^2 = 32x$ במשוואת המעגל

\begin{aligned}x &= \frac{-16 \pm 25}{2} \Rightarrow x \\ &= 4.5 \ (x = -20.5 < 0)\end{aligned}

על הפרבולה $x \geq 0$

\begin{aligned}y^2 &= 144 \Rightarrow y \\ &= 12\end{aligned}

ברביע הראשון $y > 0$

$C(4.5, 12)$ .

תרגיל 4

הציבו $a = \frac{1}{2}$ וענו על סעיפים ג–ד. אמצע הקטע $AB$ הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית. הפרבולה והמעגל שמצאתם נחתכים ברביע הראשון בנקודה $C$ . הישר $\ell$ משיק לפרבולה בנקודה $C$ . מעבירים משיק למעגל שמצאתם. נתון כי משיק זה מקביל לישר $\ell$ . ד. מצאו את המרחק בין הישר $\ell$ ובין המשיק למעגל (מצאו את שתי האפשרויות). (כתבו קודם את המרחק הקטן.)

$d_1 =$ ____ , $d_2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $d_1 =$ 2.5 , $d_2 =$ 22.5

הפתרון:

\begin{aligned}12y &= 16(x + 4.5) \Rightarrow \ell: \ 4x - 3y + 18 \\ &= 0\end{aligned}

משוואת משיק לפרבולה $y y_0 = p(x + x_0)$ בנקודה $C(4.5, 12)$ , $p = 16$

\begin{aligned}d(M, \ell) &= \frac{|4 \cdot 8 - 0 + 18|}{\sqrt{16 + 9}} \\ &= \frac{50}{5} \\ &= 10\end{aligned}

המרחק ממרכז המעגל $M(8, 0)$ אל $\ell$

R = 12.5

כל משיק למעגל נמצא במרחק $R$ מהמרכז

\begin{aligned}d_1 &= 12.5 - 10 \\ &= 2.5 \\ \quad d_2 &= 12.5 + 10 \\ &= 22.5\end{aligned}

משיק באותו צד של המרכז כמו $\ell$ , או בצד השני

המרחקים: $2.5$ ו־ $22.5$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — פירמידה משולשת ווקטורים

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן: $\overrightarrow{EC} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{AE} = \underline{u}$ . נתון: $\left|\underline{u} + \underline{v}\right| = \left|\underline{u} - \underline{v}\right|$ .

תרגיל 1

א. הוכיחו כי $\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$ .

$\overrightarrow{EC} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{AE} = \underline{u}$
$\left|\underline{u} + \underline{v}\right| = \left|\underline{u} - \underline{v}\right|$
$E$ אמצע המקצוע $BC$

$\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$

להציג את התשובה והפתרון

$\left|\underline{u} + \underline{v}\right|^2 = \left|\underline{u} - \underline{v}\right|^2$ — מעלים בריבוע את שני האגפים, ששניהם אי־שליליים
$\underline{u}^2 + 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2 = \underline{u}^2 - 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2$ — $\left|\underline{a}\right|^2 = \underline{a} \cdot \underline{a}$ , ופתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
$\underline{u} \cdot \underline{v} = 0$ — מצמצמים: $4\underline{u} \cdot \underline{v} = 0$
$\overrightarrow{BC} = 2\underline{v}$ — $E$ אמצע $BC$ , ולכן $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{EC}$
$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ — מציבים: $\underline{u} \cdot 2\underline{v} = 2 \cdot 0$
$\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$ — מכפלה סקלרית של שני וקטורים שאינם וקטור האפס שווה לאפס

הפתרון:

|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u} - \underline{v}|^2

\begin{aligned}\underline{u}^2 + 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2 &= \underline{u}^2 - 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2 \Rightarrow \underline{u} \cdot \underline{v} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC} &= \underline{u} \cdot 2\underline{v} \\ &= 0\end{aligned}

$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{EC}$

המכפלה הסקלרית היא $0$ , ולכן $\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$ .

תרגיל 2

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. ב. מצאו את שיעורי הקודקודים $C$ ו־ $S$ .

$C($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $S($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $C($ 10 $,$ 0 $,$ 0 $)$ , $S($ 8 $,$ 4 $,$ 16 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}AE \perp BC \\ \ BE &= EC \Rightarrow AC \\ &= AB\end{aligned}

סעיף א: $AE$ תיכון וגם גובה במשולש $ABC$ , ולכן המשולש שווה שוקיים

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10 \Rightarrow C(10, 0, 0)\end{aligned}

$C$ על החלק החיובי של ציר ה־ $x$

\begin{aligned}E &= \frac{B + C}{2} \\ &= (8, 4, 0)\end{aligned}

\begin{aligned}SE \perp ABC \\ \ ABC: \ z &= 0 \Rightarrow S \\ &= (8, 4, \pm 16)\end{aligned}

הבסיס במישור $xy$ , והגובה מאונך לו

S(8, 4, 16)

שיעור ה־ $z$ חיובי

$C(10, 0, 0)$ , $S(8, 4, 16)$ .

תרגיל 3

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש־ $\overrightarrow{SF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$ . דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$ , וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$ . ג (1). מצאו הצגה פרמטרית של הישר $FM$ . (כתבו את ההצגה דרך הנקודה $F$ , עם וקטור הכיוון $(1, 0, 0)$ .)

$\underline{x} = ($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $) + t(1, 0, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\underline{x} = ($ 8.5 $,$ 3 $,$ 12 $) + t(1, 0, 0)$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{SC} &= (10, 0, 0) - (8, 4, 16) \\ &= (2, -4, -16)\end{aligned}

\begin{aligned}F &= S + \frac{1}{4}\overrightarrow{SC} \\ &= (8, 4, 16) + (0.5, -1, -4) \\ &= (8.5, 3, 12)\end{aligned}

\overrightarrow{AC} = (10, 0, 0) \parallel (1, 0, 0)

הישר מקביל ל־ $AC$

FM: \ \underline{x} = (8.5, 3, 12) + t(1, 0, 0)

$FM: \ \underline{x} = (8.5, 3, 12) + t(1, 0, 0)$ .

תרגיל 4

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש־ $\overrightarrow{SF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$ . דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$ , וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$ . ג (2). מצאו את שיעורי הנקודה $M$ .

$M($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M($ 6 $,$ 3 $,$ 12 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AS} &= (6, 8, 0) \times (8, 4, 16) \\ &= (128, -96, -40)\end{aligned}

וקטור נורמל למישור $ABS$

ABS: \ 16x - 12y - 5z = 0

מחלקים ב־ $8$ ; המישור עובר דרך $A(0, 0, 0)$

\begin{aligned}16(8.5 + t) - 36 - 60 &= 0 \Rightarrow t \\ &= -2.5\end{aligned}

מציבים את נקודת הישר $FM$

\begin{aligned}M &= (8.5 - 2.5, 3, 12) \\ &= (6, 3, 12)\end{aligned}

$M(6, 3, 12)$ .

תרגיל 5

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש־ $\overrightarrow{SF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$ . דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$ , וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$ . ד. מצאו פי כמה גדול נפח הפירמידה $MABC$ מנפח הפירמידה $FAEC$ . נמקו את תשובתכם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}z_M &= z_F \\ &= 12\end{aligned}

הישר $FM$ מקביל ל־ $AC$ , שנמצא במישור הבסיס $z = 0$

\begin{aligned}h_M &= h_F \\ &= 12\end{aligned}

הגובה של שתי הפירמידות אל מישור $ABC$ הוא שיעור ה־ $z$

S_{AEC} = \frac{1}{2}S_{ABC}

$AE$ תיכון במשולש $ABC$

\begin{aligned}\frac{V_{MABC}}{V_{FAEC}} &= \frac{\frac{1}{3}S_{ABC} \cdot 12}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}S_{ABC} \cdot 12} \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}V_{MABC} &= 160 \\ \quad V_{FAEC} &= 80\end{aligned}

בדיקה: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40$

פי $2$ : גבהים שווים, ובסיס $AEC$ הוא חצי מבסיס $ABC$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — מספרים מרוכבים ומצולע

נתון המספר המרוכב $w = r(\cos\theta + i \cdot \sin\theta)$ , $r > 0$ , $90^\circ < \theta < 180^\circ$ .

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $r$ ו־ $\theta$ הצגה קוטבית של המספר $\frac{1}{w}$ .

א $\frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$
ב $\frac{1}{r}(\cos\theta + i\sin\theta)$
ג $\frac{1}{r}(\cos(180^\circ - \theta) + i\sin(180^\circ - \theta))$
ד $r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

הפתרון:

1 = 1 \cdot (\cos 0^\circ + i\sin 0^\circ)

\frac{1}{w} = \frac{1}{r}(\cos(0^\circ - \theta) + i\sin(0^\circ - \theta))

בחילוק מחלקים את הערכים המוחלטים ומחסרים את הזוויות

= \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))

או, באותו ערך: $\frac{1}{r}(\cos(360^\circ - \theta) + i\sin(360^\circ - \theta))$

$\frac{1}{w} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$ .

תרגיל 2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 157.5

הפתרון:

\begin{aligned}OA &= r \\ \quad OB &= \frac{1}{r}\end{aligned}

סעיף א

\angle AOB = 360^\circ - 2\theta

הזוויות של $A$ ו־ $B$ הן $\theta$ ו־ $-\theta$ ; $180^\circ < 2\theta < 360^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot r \cdot \frac{1}{r} \cdot \sin\angle AOB \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \sin\angle AOB \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

\angle AOB = 45^\circ

הזווית חדה

\begin{aligned}360^\circ - 2\theta &= 45^\circ \Rightarrow \theta \\ &= 157.5^\circ\end{aligned}

$\theta = 157.5^\circ$ .

תרגיל 3

הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$ , והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac{1}{w}$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $\frac{\sqrt{2}}{4}$ והזווית $AOB$ היא זווית חדה. נתונות שתי משוואות: I. $z^8 = w^8$ ; II. $z^8 = (w \cdot \bar{w})^4$ . $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II. ג (1). מצאו כמה קודקודים יש למצולע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}z &= r\,\text{cis}(157.5^\circ + 45^\circ k) \\ \quad k &= 0 \\ \dots \\ 7\end{aligned}

משוואה I: $z^8 = r^8\,\text{cis}(8\theta)$

\begin{aligned}w \cdot \bar{w} &= r^2 \Rightarrow z^8 \\ &= r^8 \Rightarrow z \\ &= r\,\text{cis}(45^\circ k) \\ \quad k &= 0 \\ \dots \\ 7\end{aligned}

משוואה II

157.5^\circ + 45^\circ k = 22.5^\circ + 45^\circ(k + 3)

הזוויות של משוואה I הן $22.5^\circ, 67.5^\circ, \dots$ : אין פתרון משותף

8 + 8 = 16

כל הזוויות $22.5^\circ \cdot m$ , $m = 0, \dots, 15$

למצולע $16$ קודקודים.

תרגיל 4

הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$ , והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac{1}{w}$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $\frac{\sqrt{2}}{4}$ והזווית $AOB$ היא זווית חדה. נתונות שתי משוואות: I. $z^8 = w^8$ ; II. $z^8 = (w \cdot \bar{w})^4$ . $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II. ג (2). האם כל קודקודי המצולע נמצאים על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים? נמקו את תשובתכם.

אכן: כל מצולע קמור חסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים
בלא: הפתרונות של משוואה II נמצאים על מעגל שהרדיוס שלו $r^2$
גכן: לכל הפתרונות של שתי המשוואות אותו ערך מוחלט, $r$
דלא: לשתי המשוואות יש פתרונות משותפים, ולכן אין מעגל אחד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כן: לכל הפתרונות של שתי המשוואות אותו ערך מוחלט, $r$

הפתרון:

\begin{aligned}|z|^8 &= |w|^8 \\ &= r^8 \Rightarrow |z| \\ &= r\end{aligned}

משוואה I

\begin{aligned}|z|^8 &= (r^2)^4 \\ &= r^8 \Rightarrow |z| \\ &= r\end{aligned}

משוואה II

|z| = r

כל הקודקודים במרחק $r$ מהראשית

כן. כל הקודקודים נמצאים על המעגל שמרכזו בראשית והרדיוס שלו $r$ .

תרגיל 5

הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$ , והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac{1}{w}$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $\frac{\sqrt{2}}{4}$ והזווית $AOB$ היא זווית חדה. נתונות שתי משוואות: I. $z^8 = w^8$ ; II. $z^8 = (w \cdot \bar{w})^4$ . $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II. נתון כי שטח המצולע הוא $62$ . ד. מצאו את הערך של $r$ . (בבחינה אפשר להשאיר שורש בתשובה; כאן יש לכתוב מספר עשרוני בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.5002

הפתרון:

22.5^\circ

הזווית המרכזית בין שני קודקודים סמוכים: $\frac{360^\circ}{16}$

\begin{aligned}S &= 16 \cdot \frac{1}{2} r^2 \sin 22.5^\circ \\ &= 8r^2 \sin 22.5^\circ\end{aligned}

המצולע מחולק ל־ $16$ משולשים שווי שוקיים שקודקודם בראשית

\begin{aligned}8r^2 \sin 22.5^\circ &= 62 \Rightarrow r^2 \\ &= \frac{62}{8\sin 22.5^\circ} \approx 20.25\end{aligned}

r \approx 4.5

$r \approx 4.5$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — פונקציה מעריכית

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - \frac{1}{1 - e^x}$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x \neq 0$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

א $x = 0$ , $y = 1$
ב $x = 0$ , $y = -1$
ג $x = 1$ , $y = -1$
ד $x = 0$ , $y = -1$ , $y = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = 0$ , $y = -1$

הפתרון:

f(x) = e^x + \frac{1}{e^x - 1}

x \to 0: \ e^x - 1 \to 0 \Rightarrow f \to \pm\infty

אסימפטוטה אנכית $x = 0$

x \to -\infty: \ e^x \to 0 \Rightarrow f \to 0 + \frac{1}{-1} = -1

אסימפטוטה אופקית $y = -1$

x \to \infty: \ f \to \infty

אין אסימפטוטה אופקית מימין

אסימפטוטות: $x = 0$ , $y = -1$ .

תרגיל 2

א (2). האם לגרף הפונקציה $f(x)$ יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.

אכן: חיתוך עם ציר ה־ $y$ בנקודה $(0, -1)$
בכן: חיתוך אחד עם ציר ה־ $x$ , בנקודה שבה $x = \ln 2$
גלא: $f(x) > 0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה, ו־ $x = 0$ אינו בתחום
דלא: $x = 0$ אינו בתחום, ול־ $f(x) = 0$ אין פתרון

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא: $x = 0$ אינו בתחום, ול־ $f(x) = 0$ אין פתרון

הפתרון:

x \neq 0

אין חיתוך עם ציר ה־ $y$

\begin{aligned}t &= e^x > 0: \ t + \frac{1}{t - 1} \\ &= 0 \Rightarrow t^2 - t + 1 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}\Delta &= 1 - 4 \\ &= -3 < 0\end{aligned}

אין פתרון: אין חיתוך עם ציר ה־ $x$

לא. אין נקודות חיתוך עם הצירים.

תרגיל 3

א (3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (הנקודה היא $(\ln k, y_0)$ .)

$k =$ ____ , $y_0 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 2 , $y_0 =$ 3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= e^x - \frac{e^x}{(e^x - 1)^2} \\ &= e^x \cdot \frac{(e^x - 1)^2 - 1}{(e^x - 1)^2}\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow (e^x - 1)^2 \\ &= 1 \Rightarrow e^x \\ &= 2\end{aligned}

$e^x - 1 = -1$ נותן $e^x = 0$ , שאין לו פתרון

\begin{aligned}x &= \ln 2 \\ \quad f(\ln 2) &= 2 + \frac{1}{1} \\ &= 3\end{aligned}

0 < x < \ln 2: f' < 0, \quad x > \ln 2: f' > 0

מינימום

מינימום בנקודה $(\ln 2, 3)$ .

תרגיל 4

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף I
בגרף III
גגרף IV
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף II

הפתרון:

x < 0: \ -1 \searrow -\infty

$f' < 0$ ; משמאל מתקרב ל־ $y = -1$

x > 0: \ +\infty \searrow \min(\ln 2, 3) \nearrow +\infty

סעיף א (3)

f(x) \neq 0

סעיף א (2): הגרף אינו חותך את הצירים

גרף II. גרף I הוא $-f$ , גרף III הוא השיקוף $f(-x)$ , ובגרף IV האסימפטוטה האופקית היא $y = 0$ ולא $y = -1$ .

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . ג (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

$x >$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x >$ 0

הפתרון:

e^x - 1 > 0 \Rightarrow e^x > 1 \Rightarrow x > 0

הביטוי בתוך $\ln$ חיובי

תחום ההגדרה: $x > 0$ .

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . ג (2). הראו כי $g'(x) = f(x) - e^x$ לכל $x$ בתחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

$f(x) = e^x - \frac{1}{1 - e^x}$
$g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ , $x > 0$

$g'(x) = f(x) - e^x$

להציג את התשובה והפתרון

$g'(x) = -1 + \frac{e^x}{e^x - 1}$ — נגזרת של $\ln(h(x))$ היא $\frac{h'(x)}{h(x)}$
$g'(x) = \frac{1}{e^x - 1}$ — מכנה משותף: $\frac{-(e^x - 1) + e^x}{e^x - 1}$
$f(x) - e^x = \frac{1}{e^x - 1}$ — מחסרים $e^x$ : $-\frac{1}{1 - e^x} = \frac{1}{e^x - 1}$
$g'(x) = f(x) - e^x$ — שני האגפים שווים לאותו ביטוי

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= -1 + \frac{e^x}{e^x - 1} \\ &= \frac{-e^x + 1 + e^x}{e^x - 1} \\ &= \frac{1}{e^x - 1}\end{aligned}

\begin{aligned}f(x) - e^x &= -\frac{1}{1 - e^x} \\ &= \frac{1}{e^x - 1}\end{aligned}

שני הביטויים שווים, ולכן $g'(x) = f(x) - e^x$ לכל $x > 0$ .

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . בנקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מעבירים אנך לציר ה־ $x$ . ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ , על ידי האנך ועל ידי הישר $x = \ln(b)$ . $b > 2$ הוא פרמטר. הביעו את תשובתכם באמצעות $b$ .

$S = b + ($ ____ $) + \ln(b - 1) - \ln b + \ln$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S = b + ($ -2 $) + \ln(b - 1) - \ln b + \ln$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= e^x + g'(x) \Rightarrow \int f(x)\,dx \\ &= e^x + g(x) \\ &= e^x - x + \ln(e^x - 1)\end{aligned}

סעיף ג (2)

f > 0 \ (x > 0)

המינימום של $f$ בתחום הוא $3$ : הגרף מעל ציר ה־ $x$

S = \left[e^x - x + \ln(e^x - 1)\right]_{\ln 2}^{\ln b}

האנך הוא $x = \ln 2$ , ו־ $\ln b > \ln 2$

= (b - \ln b + \ln(b - 1)) - (2 - \ln 2 + \ln 1)

= b - 2 + \ln(b - 1) - \ln b + \ln 2

$S = b - 2 + \ln\frac{2(b - 1)}{b}$ .

תרגיל 8

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . בנקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מעבירים אנך לציר ה־ $x$ . נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ד שווה ל־ $b - 2 + \ln(1.5)$ . ה. מצאו את הערך של $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\ln\frac{2(b - 1)}{b} = \ln 1.5

סעיף ד

\begin{aligned}2(b - 1) &= 1.5b \Rightarrow 0.5b \\ &= 2\end{aligned}

b = 4

$b > 2$

$b = 4$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a + \ln x}{x}$ , המוגדרת בתחום $x > 0$ . $a$ הוא פרמטר.

תרגיל 1

בתת־סעיפים (1)–(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

א $y = 0$ בלבד
ב $x = 0$ , $y = 0$
ג $x = 0$ , $y = a$
ד $x = 0$ , $x = e^{-a}$ , $y = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = 0$ , $y = 0$

הפתרון:

x \to 0^+: \ a + \ln x \to -\infty, \ \frac{1}{x} \to \infty \Rightarrow f \to -\infty

אסימפטוטה אנכית $x = 0$

x \to \infty: \ \frac{\ln x}{x} \to 0, \ \frac{a}{x} \to 0 \Rightarrow f \to 0

אסימפטוטה אופקית $y = 0$

אסימפטוטות: $x = 0$ , $y = 0$ , לכל ערך של $a$ .

תרגיל 2

בתת־סעיפים (1)–(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (2). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (הנקודה היא $(e^{ka}, 0)$ .)

$k =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ -1

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow a + \ln x \\ &= 0\end{aligned}

המונה מתאפס

\begin{aligned}\ln x &= -a \Rightarrow x \\ &= e^{-a}\end{aligned}

נקודת החיתוך: $(e^{-a}, 0)$ .

תרגיל 3

בתת־סעיפים (1)–(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (הנקודה היא $(e^{m + na}, e^{p + qa})$ .)

$m =$ ____ , $n =$ ____ , $p =$ ____ , $q =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $m =$ 1 , $n =$ -1 , $p =$ -1 , $q =$ 1

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (a + \ln x)}{x^2} \\ &= \frac{1 - a - \ln x}{x^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 1 - a \Rightarrow x \\ &= e^{1 - a}\end{aligned}

\begin{aligned}f(e^{1 - a}) &= \frac{a + 1 - a}{e^{1 - a}} \\ &= e^{a - 1}\end{aligned}

x < e^{1 - a}: f' > 0, \quad x > e^{1 - a}: f' < 0

מקסימום

מקסימום בנקודה $(e^{1 - a}, e^{a - 1})$ .

תרגיל 4

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף I
בגרף III
גגרף II
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף IV

הפתרון:

x \to 0^+: \ f \to -\infty; \quad x \to \infty: \ f \to 0

סעיף א (1)

0 < x < e^{1 - a}: \ f \nearrow, \quad x > e^{1 - a}: \ f \searrow

סעיף א (3): מקסימום אחד

f(e^{-a}) = 0

סעיף א (2): חיתוך אחד עם ציר ה־ $x$ , לפני המקסימום

גרף IV: עולה מ־ $-\infty$ , חותך את ציר ה־ $x$ , מגיע למקסימום ויורד אל $y = 0$ . גרף I הוא $-f$ (מינימום), בגרף II האסימפטוטה האופקית אינה ציר ה־ $x$ , וגרף III מוגדר רק בעבור $x < 0$ .

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{x}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 0$ . נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ וגרף הפונקציה $g(x)$ נחתכים בנקודה שבה $x = e^2$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}f(e^2) &= g(e^2) \Rightarrow \frac{a + 2}{e^2} \\ &= \frac{1}{e^2}\end{aligned}

\begin{aligned}a + 2 &= 1 \Rightarrow a \\ &= -1\end{aligned}

$a = -1$ .

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{x}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 0$ . נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ וגרף הפונקציה $g(x)$ נחתכים בנקודה שבה $x = e^2$ . הציבו את הערך של $a$ שמצאתם וענו על סעיפים ד–ה. נתונה הפונקציה $h(x)$ , המוגדרת בתחום $x > 0$ . גרף הפונקציה $h(x)$ עובר בנקודה $(e^5, 2.5)$ . נגזרת הפונקציה $h(x)$ מקיימת $h'(x) = f(x) - g(x)$ . ד. מצאו את הפונקציה $h(x)$ .

$h(x) =$ ____ $\ln^2 x + ($ ____ $) \ln x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $h(x) =$ 0.5 $\ln^2 x + ($ -2 $) \ln x +$ 0

הפתרון:

\begin{aligned}h'(x) &= \frac{\ln x - 1}{x} - \frac{1}{x} \\ &= \frac{\ln x - 2}{x}\end{aligned}

מציבים $a = -1$

h(x) = \frac{1}{2}\ln^2 x - 2\ln x + c

$\left(\ln^2 x\right)' = \frac{2\ln x}{x}$

\begin{aligned}h(e^5) &= \frac{25}{2} - 10 + c \\ &= 2.5 \Rightarrow c \\ &= 0\end{aligned}

הגרף עובר בנקודה $(e^5, 2.5)$

$h(x) = \frac{1}{2}\ln^2 x - 2\ln x$ .

תרגיל 7

הגרפים I–IV

אגרף III
בגרף II
גגרף I
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף I

הפתרון:

\begin{aligned}h(x) &= \frac{1}{2}\ln x(\ln x - 4) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= e^4\end{aligned}

$|h|$ נוגע בציר ה־ $x$ בשתי הנקודות

\begin{aligned}1 < x < e^4: \ h < 0 \\ \quad h(e^2) &= -2\end{aligned}

$|h(e^2)| = 2$

x \to 0^+: \ |h| \to \infty; \quad x \to \infty: \ |h| \to \infty

$\ln^2 x$ גדל מהר יותר מ־ $\ln x$

גרף I. גרף II נוגע בציר ה־ $x$ רק פעם אחת ושואף ל־ $0$ כאשר $x \to \infty$ , גרף III נוגע בציר ה־ $x$ רק ב־ $x = 1$ , וגרף IV שואף ל־ $0$ כאשר $x \to \infty$ .

לפתור את השאלה באתר

בגרות במתמטיקה 35572, חורף 2025 — פתרון מלא

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — מקום גאומטרי, מעגל ופרבולה

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 2 — פירמידה משולשת ווקטורים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 3 — מספרים מרוכבים ומצולע

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 4 — פונקציה מעריכית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות