בגרות במתמטיקה 35572 חורף 2026

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — אליפסה ומקום גאומטרי

נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה $A(1, 3)$ נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד הימני של האליפסה הם $(\sqrt{6.4}, 0)$ .

תרגיל 1

א. מצאו את משוואת האליפסה.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ : $a^2 =$ ____ , $b^2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ : $a^2 =$ 16 , $b^2 =$ 9.6

הפתרון:

\begin{aligned}a^2 - b^2 &= c^2 \\ &= 6.4\end{aligned}

המוקד $(c, 0)$

\frac{1}{b^2 + 6.4} + \frac{9}{b^2} = 1

$A(1, 3)$ על האליפסה

\begin{aligned}b^2 + 9(b^2 + 6.4) &= b^2(b^2 + 6.4) \Rightarrow (b^2)^2 - 3.6\,b^2 - 57.6 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים במכנה המשותף

\begin{aligned}b^2 &= \frac{3.6 + 15.6}{2} \\ &= 9.6 \\ \quad a^2 &= 16\end{aligned}

$b^2 > 0$

האליפסה: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9.6} = 1$ .

תרגיל 2

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־ $x$ . דרך הנקודה $A$ העבירו ישר העובר דרך ראשית הצירים, הנקודה $O$ . הנקודה $C$ היא נקודה כלשהי על הישר $AO$ . הנקודה $P$ היא אמצע הקטע $BC$ . ב. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ .

$y =$ ____ $x +$ ( ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 3 $x +$ ( -6 )

הפתרון:

\begin{aligned}B(4, 0) \\ \quad AO: \ y &= 3x\end{aligned}

$a = 4$ ; הישר דרך $O$ ו־ $A(1, 3)$

C(t, 3t)

נקודה כלשהי על $AO$

P\left(\frac{4 + t}{2}, \frac{3t}{2}\right)

אמצע $BC$

\begin{aligned}x &= \frac{4 + t}{2} \Rightarrow t \\ &= 2x - 4 \Rightarrow y \\ &= \frac{3(2x - 4)}{2} \\ &= 3x - 6\end{aligned}

מבטלים את הפרמטר $t$

המקום הגאומטרי: הישר $y = 3x - 6$ , מקביל ל־ $AO$ .

תרגיל 3

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־ $x$ . דרך הנקודה $A$ העבירו ישר העובר דרך ראשית הצירים, הנקודה $O$ . הנקודה $C$ היא נקודה כלשהי על הישר $AO$ . הנקודה $P$ היא אמצע הקטע $BC$ . ג. מצאו את משוואת המעגל המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם, ומשיק לישר $AO$ בנקודה $O$ .

$(x -$ ____ $)^2 + (y -$ ( ____ ) $)^2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x -$ 0.9 $)^2 + (y -$ ( -0.3 ) $)^2 =$ 0.9

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 3x \ \parallel \ y \\ &= 3x - 6\end{aligned}

שני משיקים מקבילים: המרחק ביניהם הוא קוטר המעגל

\begin{aligned}2R &= \frac{|0 - (-6)|}{\sqrt{3^2 + 1}} \\ &= \frac{6}{\sqrt{10}} \Rightarrow R^2 \\ &= \frac{9}{10} \\ &= 0.9\end{aligned}

מרחק בין ישרים מקבילים

\text{המרכז על } y = -\frac{1}{3}x

הרדיוס לנקודת ההשקה $O$ מאונך ל־ $AO$

\begin{aligned}\text{המרכז } M(h, -\tfrac{h}{3}) \text{ במרחק } R \text{ מ־} O: \ h^2 + \frac{h^2}{9} &= 0.9 \Rightarrow h \\ &= 0.9\end{aligned}

$h > 0$ : המרכז בין שני הישרים

M(0.9, -0.3)

המעגל: $(x - 0.9)^2 + (y + 0.3)^2 = 0.9$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — תיבה במערכת צירים

בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $x + 4y - 8z - 142 = 0$ , וכי $B(0, 7, 6)$ .

תרגיל 1

א. מצאו את אורך המקצוע $BB'$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

BB' \perp A'B'C'D'

בתיבה המקצוע הצדדי מאונך לפאה העליונה

\begin{aligned}BB' &= \frac{|0 + 4 \cdot 7 - 8 \cdot 6 - 142|}{\sqrt{1 + 16 + 64}} \\ &= \frac{162}{9} \\ &= 18\end{aligned}

מרחק הנקודה $B$ מהמישור

$BB' = 18$ .

תרגיל 2

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$ . אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$ , ושיעור ה־ $y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. ב. מצאו את שיעורי הקודקוד $A$ .

$A($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A($ 0 $,$ -3 $,$ 1 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}A &= (0, 7 + 2t, 6 + t) \\ \quad AB &= |t| \cdot \sqrt{0 + 4 + 1} \\ &= |t|\sqrt{5}\end{aligned}

\begin{aligned}|t|\sqrt{5} &= 5\sqrt{5} \Rightarrow t \\ &= \pm 5\end{aligned}

t = -5: \ A(0, -3, 1)

שיעור ה־ $y$ שלילי ( $t = 5$ נותן $y = 17$ )

$A(0, -3, 1)$ .

תרגיל 3

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$ . אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$ , ושיעור ה־ $y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. ג. מצאו את משוואת המישור $ABB'A'$ .

____ $x - y +$ ____ $z =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20 $x - y +$ 2 $z =$ 5

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{d} &= (0, 2, 1) \\ \quad \underline{n}_1 &= (1, 4, -8)\end{aligned}

המישור מכיל את $AB$ ואת המקצוע $BB'$ , שמקביל לנורמל של המישור העליון

\begin{aligned}\underline{n} &= \underline{d} \times \underline{n}_1 \\ &= (-20, 1, -2)\end{aligned}

וקטור מאונך לשניהם

\begin{aligned}20x - y + 2z &= d \\ \quad B(0, 7, 6): \ d &= -7 + 12 \\ &= 5\end{aligned}

A(0, -3, 1): \ 3 + 2 = 5 \ \checkmark

בדיקה

המישור $ABB'A'$ : $20x - y + 2z = 5$ .

תרגיל 4

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$ . אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$ , ושיעור ה־ $y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. נתונה נקודה $M(k, 1, 3)$ , $k$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי גודל הזווית שבין הישר $AM$ ובין הישר $AB$ הוא $60^\circ$ . ד. מצאו את הערך של $k$ (בבחינה אפשר להשאיר שורש בתשובה; כאן יש לכתוב מספר עשרוני).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.746

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= (k, 4, 2) \\ \quad \underline{d} &= (0, 2, 1)\end{aligned}

\begin{aligned}\cos 60^\circ &= \frac{|0 + 8 + 2|}{\sqrt{k^2 + 20} \cdot \sqrt{5}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הזווית בין שני ישרים

\begin{aligned}\sqrt{k^2 + 20} &= \frac{20}{\sqrt{5}} \\ &= 4\sqrt{5} \Rightarrow k^2 + 20 \\ &= 80\end{aligned}

\begin{aligned}k &= \sqrt{60} \\ &= 2\sqrt{15} \approx 7.746\end{aligned}

$k > 0$

$k = 2\sqrt{15} \approx 7.746$ .

תרגיל 5

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$ . אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$ , ושיעור ה־ $y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. נתונה נקודה $M(k, 1, 3)$ , $k$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי גודל הזווית שבין הישר $AM$ ובין הישר $AB$ הוא $60^\circ$ . נתון כי הנקודה $M$ נמצאת על המישור $DCC'D'$ . ה. מצאו את נפח התיבה. (יש לכתוב בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1549.19

הפתרון:

DCC'D' \parallel ABB'A'

פאות נגדיות בתיבה

\begin{aligned}AD &= d(M, ABB'A') \\ &= \frac{|20 \cdot 2\sqrt{15} - 1 + 6 - 5|}{\sqrt{400 + 1 + 4}} \\ &= \frac{40\sqrt{15}}{9\sqrt{5}} \\ &= \frac{40\sqrt{3}}{9}\end{aligned}

המרחק בין שתי הפאות

\begin{aligned}V &= AB \cdot BB' \cdot AD \\ &= 5\sqrt{5} \cdot 18 \cdot \frac{40\sqrt{3}}{9} \\ &= 400\sqrt{15}\end{aligned}

400\sqrt{15} \approx 1549.19

נפח התיבה: $400\sqrt{15} \approx 1549.19$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — מספרים מרוכבים ומקום גאומטרי

המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z = x + iy$ במישור גאוס המקיימות $|z - 2i| = \frac{z - \bar{z}}{2i} + 2$ .

תרגיל 1

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z = x + iy$ במישור גאוס המקיימות $|z - 2i| = \frac{z - \bar{z}}{2i} + 2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

$x^2 =$ ____ $y$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x^2 =$ 8 $y$

הפתרון:

\begin{aligned}z - \bar{z} &= 2iy \Rightarrow \frac{z - \bar{z}}{2i} \\ &= y\end{aligned}

\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = y + 2

$|z - 2i|$ הוא המרחק מהנקודה $(0, 2)$

\begin{aligned}x^2 + y^2 - 4y + 4 &= y^2 + 4y + 4 \Rightarrow x^2 \\ &= 8y\end{aligned}

מעלים בריבוע ( $y + 2 \ge 0$ )

\begin{aligned}\text{מוקד } (0, 2) \\ \ \text{מדריך } y &= -2\end{aligned}

המרחק מהמוקד שווה למרחק מהמדריך: זו הגדרת הפרבולה

המקום הגאומטרי: הפרבולה $x^2 = 8y$ .

תרגיל 2

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$ . נתון מצולע קמור $I$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4 = \frac{1}{r^4} \cdot (\cos(4\theta) + i\sin(4\theta))$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. ב. הביעו באמצעות $r$ ו־ $\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע $I$ .

א $\frac{1}{r^4}\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$
ב $\frac{1}{r}\,\text{cis}(4\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$
ג $r\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$
ד $\frac{1}{r}\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{1}{r}\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$

הפתרון:

z = \sqrt[4]{\frac{1}{r^4}}\,\text{cis}\frac{4\theta + 360^\circ k}{4}

משפט דה מואבר

\begin{aligned}\frac{1}{r}\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k) \\ \quad k &= 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{aligned}

קודקודי מצולע $I$ : $\frac{1}{r}\text{cis}\,\theta$ , $\frac{1}{r}\text{cis}(\theta + 90^\circ)$ , $\frac{1}{r}\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\text{cis}(\theta + 270^\circ)$ .

תרגיל 3

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$ . נתון מצולע קמור $I$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4 = \frac{1}{r^4} \cdot (\cos(4\theta) + i\sin(4\theta))$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. נתון מצולע $II$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$ , $-w$ , $\frac{1}{w}$ , $-\frac{1}{w}$ . ג. הביעו באמצעות $r$ ו־ $\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע $II$ .

א $r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}\,\theta$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$
ב $r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $r\,\text{cis}(-\theta)$ , $r\,\text{cis}(180^\circ - \theta)$
ג $r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(180^\circ - \theta)$
ד $r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(-\theta)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}\,\theta$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(180^\circ - \theta)$

הפתרון:

-w = r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)

$-1 = \text{cis}\,180^\circ$

\frac{1}{w} = \frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)

במנה מחסירים את הזוויות

-\frac{1}{w} = \frac{1}{r}\,\text{cis}(180^\circ - \theta)

קודקודי מצולע $II$ : $r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(180^\circ - \theta)$ .

תרגיל 4

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$ . נתון מצולע קמור $I$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4 = \frac{1}{r^4} \cdot (\cos(4\theta) + i\sin(4\theta))$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. נתון מצולע $II$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$ , $-w$ , $\frac{1}{w}$ , $-\frac{1}{w}$ . נתון כי מצולע $II$ הוא מעוין. ד. מצאו את הערך של $\theta$ (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

w, -w \ \text{ו־} \ \frac{1}{w}, -\frac{1}{w}

שני זוגות סימטריים ביחס ל־ $O$ : האלכסונים חוצים זה את זה, והמצולע מקבילית

\text{מעוין} \iff \text{האלכסונים מאונכים}

\begin{aligned}\theta - (-\theta) &= 2\theta \\ &= 90^\circ\end{aligned}

האלכסונים בכיוונים $\theta$ ו־ $-\theta$

\theta = 45^\circ

$\theta = 45^\circ$ .

תרגיל 5

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$ . נתון מצולע קמור $I$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4 = \frac{1}{r^4} \cdot (\cos(4\theta) + i\sin(4\theta))$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. נתון מצולע $II$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$ , $-w$ , $\frac{1}{w}$ , $-\frac{1}{w}$ . נתון כי מצולע $II$ הוא מעוין. נתון כי הנקודה המייצגת את $w$ נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. ה. מצאו את היחס בין שטח מצולע $II$ ובין שטח מצולע $I$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 128

הפתרון:

w = \frac{r}{\sqrt{2}} + \frac{r}{\sqrt{2}}i

$\theta = 45^\circ$

\begin{aligned}\frac{r^2}{2} &= 8 \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} \Rightarrow r \\ &= 8\sqrt{2} \\ \ r^2 &= 128\end{aligned}

מציבים ב־ $x^2 = 8y$

\begin{aligned}S_{II} &= \frac{2r \cdot \frac{2}{r}}{2} \\ &= 2\end{aligned}

מעוין: מחצית מכפלת האלכסונים $2r$ ו־ $\frac{2}{r}$

\begin{aligned}S_I &= \frac{\frac{2}{r} \cdot \frac{2}{r}}{2} \\ &= \frac{2}{r^2}\end{aligned}

מצולע $I$ ריבוע שאלכסוניו $\frac{2}{r}$

\begin{aligned}\frac{S_{II}}{S_I} &= \frac{2}{\frac{2}{r^2}} \\ &= r^2 \\ &= 128\end{aligned}

היחס הוא $128$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — פונקציה מעריכית של פונקציה

$f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x)$ . הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו־ $g(x)$ מוגדרות בתחום $x \neq 0$ . נתון כי הפונקציה $f(x)$ יורדת בתחום $x > 0$ ובתחום $x < 0$ , וכי $f'(x) \neq 0$ בכל תחום ההגדרה.

תרגיל 1

א. כתבו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $g(x)$ (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

א $g(x) > 0$ בכל תחום ההגדרה: $e^{f(x)} > 0$
ב $g(x) < 0$ בכל תחום ההגדרה: $f'(x) < 0$
ג $g(x) > 0$ ב־ $x < 0$ ו־ $g(x) < 0$ ב־ $x > 0$
דאי אפשר לדעת בלי לדעת את $f(x)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $g(x) < 0$ בכל תחום ההגדרה: $f'(x) < 0$

הפתרון:

e^{f(x)} > 0

חזקה של $e$ חיובית תמיד

f'(x) \le 0 \ \text{ו־} \ f'(x) \neq 0 \Rightarrow f'(x) < 0

$f$ יורדת בשני הקטעים

g(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x) < 0

מכפלה של חיובי בשלילי

$g(x)$ שלילית בכל תחום ההגדרה; אין לה תחום חיוביות.

תרגיל 2

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$ . ב (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$ .

א $x = 0$ בלבד
ב $x = 0$ , $y = 0$
ג $x = 0$ , $y = -1$
ד $y = 0$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = 0$ , $y = 0$

הפתרון:

g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}

$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$

x \to 0^+: \ e^{\frac{1}{x}} \to \infty \Rightarrow g \to -\infty

אסימפטוטה $x = 0$ (מימין)

x \to 0^-: \ \frac{e^{1/x}}{x^2} = t^2 e^{-t} \to 0 \ (t = -\tfrac{1}{x} \to \infty)

משמאל הגרף מתקרב לראשית

x \to \pm\infty: \ e^{\frac{1}{x}} \to 1, \ \frac{1}{x^2} \to 0 \Rightarrow g \to 0

אסימפטוטה $y = 0$

אסימפטוטות: $x = 0$ , $y = 0$ .

תרגיל 3

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$ . ב (2). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגה. (יש לכתוב את $y$ בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -0.5 $,$ -0.541 $)$

הפתרון:

g(x) = -x^{-2} e^{\frac{1}{x}}

\begin{aligned}g'(x) &= 2x^{-3}e^{\frac{1}{x}} + x^{-4}e^{\frac{1}{x}} \\ &= \frac{e^{\frac{1}{x}}(2x + 1)}{x^4}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה, $\left(e^{1/x}\right)' = -\frac{1}{x^2}e^{1/x}$

\begin{aligned}g'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

x < -\frac{1}{2}: g' < 0, \quad -\frac{1}{2} < x < 0: g' > 0

מינימום

g\left(-\frac{1}{2}\right) = -4e^{-2} \approx -0.541

מינימום ב־ $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{4}{e^2}\right) \approx (-0.5, -0.541)$ .

תרגיל 4

הגרפים I–IV

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$ . ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף IV
בגרף III
גגרף II
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף III

הפתרון:

g < 0

סעיף א

x < 0: \ 0 \searrow \min(-0.5, -0.541) \nearrow 0

סעיף ב

x > 0: \ -\infty \nearrow 0

$g' > 0$ ב־ $x > 0$

גרף III: מתחת לציר ה־ $x$ ; משמאל יורד אל המינימום ב־ $x = -0.5$ וחוזר אל הראשית, ומימין עולה מ־ $-\infty$ אל $y = 0$ . גרף I הפוך, גרף II הוא שיקופו, ובגרף IV אין מינימום.

תרגיל 5

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$ . $a$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = \frac{1}{\ln a}$ ו־ $x = \frac{1}{\ln(4a)}$ הוא $5$ . ד. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.6667

הפתרון:

\begin{aligned}\int g(x)\,dx &= \int e^{f(x)} f'(x)\,dx \\ &= e^{f(x)} \\ &= e^{\frac{1}{x}}\end{aligned}

נגזרת של $e^{f(x)}$ היא $e^{f(x)} f'(x)$

0 < \frac{1}{\ln(4a)} < \frac{1}{\ln a}

$4a > a > 1$ ; בקטע $g < 0$

\begin{aligned}S &= \left|e^{\ln a} - e^{\ln(4a)}\right| \\ &= |a - 4a| \\ &= 3a\end{aligned}

\begin{aligned}3a &= 5 \Rightarrow a \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

$a = \frac{5}{3}$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית ופונקציה קדומה

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{1}{x}\left(a + \frac{1}{(\ln x)^2}\right)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.

תרגיל 1

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x > 0$ , $x \neq$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x > 0$ , $x \neq$ 1

הפתרון:

x > 0

תחום ההגדרה של $\ln x$

\ln x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1

מכנה שונה מאפס

תחום ההגדרה: $x > 0$ , $x \neq 1$ .

תרגיל 2

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . ב. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f(x) = \frac{a}{x} + \frac{1}{x(\ln x)^2}

\begin{aligned}f'(x) &= -\frac{a}{x^2} - \frac{(\ln x)^2 + 2\ln x}{x^2(\ln x)^4} \\ &= -\frac{a}{x^2} - \frac{\ln x + 2}{x^2(\ln x)^3}\end{aligned}

$\left(x(\ln x)^2\right)' = (\ln x)^2 + 2\ln x$

\begin{aligned}f'\left(\frac{1}{e}\right) &= -ae^2 - \frac{1}{e^{-2} \cdot (-1)} \\ &= -ae^2 + e^2 \\ &= 0\end{aligned}

$\ln\frac{1}{e} = -1$

a = 1

$a = 1$ .

תרגיל 3

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . ג. מצאו פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה.

א $g(x) = \ln x - \frac{1}{\ln x} + 1$
ב $g(x) = \ln x - \frac{1}{\ln x}$
ג $g(x) = \ln x + \frac{1}{\ln x}$
ד $g(x) = \ln x - \frac{1}{(\ln x)^3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $g(x) = \ln x - \frac{1}{\ln x}$

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x(\ln x)^2}\right)dx \\ &= \ln x - \frac{1}{\ln x} + C\end{aligned}

הצבה $t = \ln x$ : $\int t^{-2}\,dt = -\frac{1}{t}$

\begin{aligned}g''(x) &= f'(x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{e}\end{aligned}

נקודת הפיתול של $g$ היא נקודת הקיצון של $f$ (סעיף ב)

\begin{aligned}g\left(\frac{1}{e}\right) &= -1 - \frac{1}{-1} + C \\ &= C \\ &= 0\end{aligned}

נקודת הפיתול על ציר ה־ $x$

$g(x) = \ln x - \frac{1}{\ln x}$ .

תרגיל 4

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $g(x)$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. ד (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$ (אם יש כאלה).

א $x = 1$ בלבד
ב $x = 1$ , $y = 1$
ג $x = 0$ , $x = 1$
ד $x = 0$ , $x = 1$ , $y = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x = 0$ , $x = 1$

הפתרון:

x \to 0^+: \ \ln x \to -\infty, \ \frac{1}{\ln x} \to 0 \Rightarrow g \to -\infty

אסימפטוטה $x = 0$

x \to 1: \ \ln x \to 0 \Rightarrow \frac{1}{\ln x} \to \pm\infty

אסימפטוטה $x = 1$

x \to \infty: \ g \to \infty

אין אסימפטוטה אופקית

אסימפטוטות: $x = 0$ , $x = 1$ .

תרגיל 5

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $g(x)$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. ד (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (יש לכתוב את שיעורי ה־ $x$ כמספרים עשרוניים, הקטן קודם.)

$($ ____ $, 0)$ , $($ ____ $, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 0.3679 $, 0)$ , $($ 2.7183 $, 0)$

הפתרון:

\begin{aligned}\ln x - \frac{1}{\ln x} &= 0 \Rightarrow (\ln x)^2 \\ &= 1\end{aligned}

כופלים ב־ $\ln x \neq 0$

\begin{aligned}\ln x &= \pm 1 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{e} \ \text{או} \ x \\ &= e\end{aligned}

נקודות החיתוך: $\left(\frac{1}{e}, 0\right)$ ו־ $(e, 0)$ .

תרגיל 6

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $g(x)$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. ד (3). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $g(x)$ (אם יש כאלה).

אעולה ב־ $0 < x < 1$ ויורדת ב־ $x > 1$
ביורדת ב־ $0 < x < \frac{1}{e}$ ועולה ב־ $x > \frac{1}{e}$
געולה ב־ $0 < x < 1$ וב־ $x > 1$ ; אין תחום ירידה
דעולה בכל תחום הגדרתה, כולל ב־ $x = 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג עולה ב־ $0 < x < 1$ וב־ $x > 1$ ; אין תחום ירידה

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= f(x) \\ &= \frac{1}{x}\left(1 + \frac{1}{(\ln x)^2}\right) > 0\end{aligned}

$x > 0$

x = 1 \notin \text{תחום ההגדרה}

שני קטעים נפרדים

$g(x)$ עולה ב־ $0 < x < 1$ ובנפרד ב־ $x > 1$ ; אין תחום ירידה.

תרגיל 7

הגרפים I–IV

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $g(x)$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף I
בגרף IV
גגרף II
דגרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף I

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 1\end{aligned}

אסימפטוטות (סעיף ד (1))

\left(\frac{1}{e}, 0\right), \ (e, 0)

חיתוך עם ציר ה־ $x$

g \nearrow

עולה בשני הקטעים

גרף I: בקטע $0 < x < 1$ עולה מ־ $-\infty$ אל $+\infty$ דרך $\left(\frac{1}{e}, 0\right)$ , ובקטע $x > 1$ עולה מ־ $-\infty$ דרך $(e, 0)$ . גרף II יורד, בגרף III יש קיצונים, ובגרף IV חסר הקטע $0 < x < 1$ .

תרגיל 8

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $g(x)$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. נתונה הפונקציה $h(x) = \ln|g(x)|$ . ו (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $h(x)$ .

א $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq e$
ב $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq 1$ , $x \neq e$
ג $x > 0$ , $x \neq 1$
ד $\frac{1}{e} < x < 1$ או $x > e$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq 1$ , $x \neq e$

הפתרון:

x > 0, \ x \neq 1

תחום ההגדרה של $g$

|g(x)| > 0 \Rightarrow g(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{e}, \ x \neq e

סעיף ד (2)

תחום ההגדרה: $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq 1$ , $x \neq e$ .

תרגיל 9

הגרפים I–IV

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $g(x)$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. נתונה הפונקציה $h(x) = \ln|g(x)|$ . ו (2). אחד מן הגרפים $I$ – $IV$ שלפניכם מתאר את הפונקציה $h(x)$ . קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

אגרף III: הגרף אינו שלילי ונוגע בציר ה־ $x$ ב־ $\frac{1}{e}$ וב־ $e$
בגרף I: ארבע אסימפטוטות אנכיות, וב־ $x \to 0^+$ הגרף שואף ל־ $-\infty$
גגרף IV: הגרף אינו שלילי, ושואף ל־ $+\infty$ בכל האסימפטוטות
דגרף II: ב־ $x = 0$ ו־ $x = 1$ שואף ל־ $+\infty$ , ב־ $\frac{1}{e}$ ו־ $e$ ל־ $-\infty$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף II: ב־ $x = 0$ ו־ $x = 1$ שואף ל־ $+\infty$ , ב־ $\frac{1}{e}$ ו־ $e$ ל־ $-\infty$

הפתרון:

|g| \to \infty \ (x \to 0^+, \ x \to 1) \Rightarrow h \to +\infty

|g| \to 0 \ (x \to \tfrac{1}{e}, \ x \to e) \Rightarrow h \to -\infty

$\ln$ של מספר חיובי ששואף ל־ $0$

\begin{aligned}h &= 0 \iff |g| \\ &= 1\end{aligned}

ב־ $h$ יש ערכים שליליים: גרפים III ו־IV נפסלים

גרף II. גרף I הוא $-h$ , גרף III הוא $|g|$ (בלי $\ln$ ), וגרף IV הוא $|h|$ .

לפתור את השאלה באתר

בגרות במתמטיקה 35572, חורף 2026 — פתרון מלא

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — אליפסה ומקום גאומטרי

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

שאלה 2 — תיבה במערכת צירים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 3 — מספרים מרוכבים ומקום גאומטרי

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 4 — פונקציה מעריכית של פונקציה

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית ופונקציה קדומה

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

תרגיל 9

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות