בגרות במתמטיקה 35572, קיץ 2025 — פתרון מלא

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $t$ את רדיוס המעגל.

$R = \sqrt{k - t}$ : $k =$ ____

תרגיל 2

הישר $y = x$ משיק למעגל. ב. מצאו את הערך של $t$.

תרגיל 3

הישר $y = x$ משיק למעגל. הזיזו את מעגל $I$ שמאלה כך שהתקבל מעגל $II$ שמרכזו בראשית הצירים $O$. $A$ היא נקודה כלשהי על מעגל $II$ כך ש־$-1.5 \le y_A \le 1.5$. דרך נקודה $A$ מעבירים מיתר $AB$ המאונך לציר ה־$y$. נקודה $P$ נמצאת על המיתר $AB$ כך שמתקיים $AB = 2 \cdot PO$. ג. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המתקבלות באופן זה נמצא על אליפסה, ומצאו את משוואתה.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ : $a^2 =$ ____ , $b^2 =$ ____

תרגיל 4

הישר $y = x$ משיק למעגל. הזיזו את מעגל $I$ שמאלה כך שהתקבל מעגל $II$ שמרכזו בראשית הצירים $O$. $A$ היא נקודה כלשהי על מעגל $II$ כך ש־$-1.5 \le y_A \le 1.5$. דרך נקודה $A$ מעבירים מיתר $AB$ המאונך לציר ה־$y$. נקודה $P$ נמצאת על המיתר $AB$ כך שמתקיים $AB = 2 \cdot PO$. הנקודה $K$ היא המוקד הימני, והנקודה $F$ היא המוקד השמאלי של האליפסה שמצאתם בסעיף ג. $C$ היא נקודה כלשהי על האליפסה כך שמתקבל משולש $CKF$. ד. חשבו את היקף המשולש $CKF$. (בבחינה אפשר להשאיר שורש בתשובה; כאן יש לכתוב מספר עשרוני בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

תרגיל 5

הישר $y = x$ משיק למעגל. הזיזו את מעגל $I$ שמאלה כך שהתקבל מעגל $II$ שמרכזו בראשית הצירים $O$. $A$ היא נקודה כלשהי על מעגל $II$ כך ש־$-1.5 \le y_A \le 1.5$. דרך נקודה $A$ מעבירים מיתר $AB$ המאונך לציר ה־$y$. נקודה $P$ נמצאת על המיתר $AB$ כך שמתקיים $AB = 2 \cdot PO$. הנקודה $K$ היא המוקד הימני, והנקודה $F$ היא המוקד השמאלי של האליפסה שמצאתם בסעיף ג. $C$ היא נקודה כלשהי על האליפסה כך שמתקבל משולש $CKF$. ה. האם קיימת נקודה $C$ שבעבורה שטח המשולש $CKF$ הוא $3$? נמקו את תשובתכם.

1. אכן: היקף המשולש קבוע, ולכן כל שטח אפשרי
2. בלא: השטח הגדול ביותר הוא $1.5$
3. גלא: השטח הגדול ביותר הוא $2.25$
4. דכן: בנקודה $C(0, 1.5)$ השטח הוא $3$

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־$\underline{w}$ את הווקטור $\overrightarrow{SM}$.

1. א$\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$
2. ב$\overrightarrow{SM} = -\frac{1}{2}\underline{u} - \frac{1}{2}\underline{v} + \underline{w}$
3. ג$\overrightarrow{SM} = \underline{u} + \underline{v} - \underline{w}$
4. ד$\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}\underline{u} - \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$

תרגיל 2

נתון כי $\overrightarrow{SM}$ מאונך ל־$\overrightarrow{DB}$. ב. הוכיחו כי $|\underline{u}| = |\underline{v}|$.

• $\overrightarrow{SM} \perp \overrightarrow{DB}$
• $SA$ גובה הפירמידה
• $\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$

$|\underline{u}| = |\underline{v}|$

תרגיל 3

נתון כי $\overrightarrow{SM}$ מאונך ל־$\overrightarrow{DB}$. נתון: $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 5, 0)$ , $S(0, 0, 6)$ , $D(3, p, 0)$ , $p > 0$. ג. מצאו את שיעורי הנקודות $D$ ו־$C$.

$D($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $C($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

תרגיל 4

נתון כי $\overrightarrow{SM}$ מאונך ל־$\overrightarrow{DB}$. נתון: $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 5, 0)$ , $S(0, 0, 6)$ , $D(3, p, 0)$ , $p > 0$. דרך האלכסון $AC$ מעבירים מישור המקביל למקצוע $SD$. המישור חותך את המקצוע $SB$ בנקודה $K$. ד. מצאו את משוואת המישור. (יש לכתוב את המשוואה כך שהמקדם של $x$ הוא $18$.)

$18x + ($ ____ $) y +$ ____ $z =$ ____

תרגיל 5

נתון כי $\overrightarrow{SM}$ מאונך ל־$\overrightarrow{DB}$. נתון: $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 5, 0)$ , $S(0, 0, 6)$ , $D(3, p, 0)$ , $p > 0$. דרך האלכסון $AC$ מעבירים מישור המקביל למקצוע $SD$. המישור חותך את המקצוע $SB$ בנקודה $K$. ה. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם. I. הישר $KM$ מקביל לישר $SD$. II. כל ישר שמאונך למישור $ACK$ , מאונך לישר $SD$.

1. אשתי הטענות אינן נכונות
2. בI לא נכונה, II נכונה
3. גI נכונה, II לא נכונה
4. דשתי הטענות נכונות

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $x$ ו־$y$ את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z = x + iy$ במישור גאוס המקיימות $|z| = |z - (2 + 2i)|$.

$y =$ ____ $x +$ ____

תרגיל 2

$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2 - z(2 + 2i) + 4i = 0$. $A$ ו־$B$ הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה. ב. הראו כי הנקודות $A$ ו־$B$ נמצאות על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א.

• $z^2 - z(2 + 2i) + 4i = 0$
• המקום הגאומטרי: $x + y = 2$

$A$ ו־$B$ נמצאות על הישר $x + y = 2$

תרגיל 3

$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2 - z(2 + 2i) + 4i = 0$. $A$ ו־$B$ הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה. הנקודות $C$ ו־$D$ נמצאות על הצירים כך ש־$ABCD$ הוא ריבוע. סובבו את הריבוע $ABCD$ סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). כל שמונה הנקודות (הנקודות $A$, $B$, $C$ ו־$D$ וארבע הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה $z^n = b$ , שבה $n$ הוא מספר טבעי ו־$b$ הוא מספר ממשי. ג (1). מצאו את הערך של $b$ ואת הערך של $\alpha$ בעבור $n = 8$.

$b =$ ____ , $\alpha =$ ____ $^\circ$

תרגיל 4

$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2 - z(2 + 2i) + 4i = 0$. $A$ ו־$B$ הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה. הנקודות $C$ ו־$D$ נמצאות על הצירים כך ש־$ABCD$ הוא ריבוע. סובבו את הריבוע $ABCD$ סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). כל שמונה הנקודות (הנקודות $A$, $B$, $C$ ו־$D$ וארבע הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה $z^n = b$ , שבה $n$ הוא מספר טבעי ו־$b$ הוא מספר ממשי. ג (2). מצאו ערך אפשרי של $n$ בעבור $\alpha = 15^\circ$ , ומצאו את הערך של $b$ המתאים לו. (יש לכתוב את הערך הקטן ביותר האפשרי של $n$.)

$n =$ ____ , $b = 2^k$ , $k =$ ____

תרגיל 1

ענו על התת־סעיפים (1)–(3) בעבור $a > 0$ ובעבור $a < 0$. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

1. א$a > 0$: $x \neq \ln a$ ; $a < 0$: $x \neq \ln(-a)$
2. ב$a > 0$: $x > \ln a$ ; $a < 0$: כל $x$
3. ג$a > 0$: $x \neq \ln a$ ; $a < 0$: כל $x$
4. ד$a > 0$: כל $x$ ; $a < 0$: $x \neq \ln(-a)$

תרגיל 2

ענו על התת־סעיפים (1)–(3) בעבור $a > 0$ ובעבור $a < 0$. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לציר ה־$y$ של הפונקציה $f(x)$.

1. א$a > 0$: $y = 0$ , $y = -1$ ; $a < 0$: $y = 0$ , $y = -1$
2. ב$a > 0$: $y = 0$ , $y = 1$ ; $a < 0$: $y = 0$ , $y = 1$
3. ג$a > 0$: $x = \ln a$ , $y = 0$ , $y = -1$ ; $a < 0$: $y = 0$ , $y = -1$
4. ד$a > 0$: $y = 0$ ; $a < 0$: $y = 0$

תרגיל 3

ענו על התת־סעיפים (1)–(3) בעבור $a > 0$ ובעבור $a < 0$. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (3). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).

1. א$a > 0$: עולה ב־$x < \ln a$ ויורדת ב־$x > \ln a$ ; $a < 0$: יורדת לכל $x$
2. ב$a > 0$: יורדת ב־$x < \ln a$ וב־$x > \ln a$ ; $a < 0$: עולה לכל $x$
3. ג$a > 0$: עולה ב־$x < \ln a$ וב־$x > \ln a$ ; $a < 0$: יורדת לכל $x$
4. ד$a > 0$: עולה ב־$x < \ln a$ וב־$x > \ln a$ ; $a < 0$: עולה לכל $x$

תרגיל 4

ב. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$ בעבור $a = 3$ ואיזה מן הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ בעבור $a = -3$. נמקו את קביעותיכם.

1. א$a = 3$: גרף II ; $a = -3$: גרף III
2. ב$a = 3$: גרף I ; $a = -3$: גרף III
3. ג$a = 3$: גרף II ; $a = -3$: אף אחד מן הגרפים
4. ד$a = 3$: גרף II ; $a = -3$: גרף IV