בגרות במתמטיקה 35572 קיץ 2026

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — פרבולה, משיק ומעגל

נתונה פרבולה שמשוואתה $y^2 = 54x$ . בנקודה $A$ , שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו $\frac{3}{4}$ .

תרגיל 1

א. מצאו את שיעורי הנקודה $A$ .

$A($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A($ 24 $,$ 36 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}2y \cdot y' &= 54 \Rightarrow y' \\ &= \frac{27}{y}\end{aligned}

גוזרים את משוואת הפרבולה (או: $y y_0 = 27(x + x_0)$ )

\begin{aligned}\frac{27}{y_A} &= \frac{3}{4} \Rightarrow y_A \\ &= 36\end{aligned}

שיפוע המשיק בנקודה $A$

\begin{aligned}x_A &= \frac{36^2}{54} \\ &= 24\end{aligned}

מציבים במשוואת הפרבולה

$A(24, 36)$ .

תרגיל 2

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה $M$ . נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה $A$ , וכי ציר ה־ $y$ משיק למעגל כך ששיעור ה־ $x$ של הנקודה $M$ קטן משיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ב (1). מצאו את משוואת הישר $AM$ . (יש לכתוב את השיפוע כמספר עשרוני.)

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -1.3333 $x +$ 68

הפתרון:

AM \perp \text{המשיק} \Rightarrow m_{AM} = -\frac{4}{3}

הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y - 36 &= -\frac{4}{3}(x - 24) \Rightarrow y \\ &= -\frac{4}{3}x + 68\end{aligned}

ישר דרך $A(24, 36)$

$AM$ : $y = -\frac{4}{3}x + 68$ .

תרגיל 3

$(x -$ ____ $)^2 + (y -$ ____ $)^2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x -$ 15 $)^2 + (y -$ 48 $)^2 =$ 225

הפתרון:

\begin{aligned}M\left(m, -\frac{4}{3}m + 68\right) \\ \quad R &= m\end{aligned}

המרכז על $AM$ ; ציר ה־ $y$ משיק, ולכן הרדיוס הוא שיעור ה־ $x$ של $M$ ( $m > 0$ )

(24 - m)^2 + \left(\frac{4}{3}m - 32\right)^2 = m^2

$MA = R$

\begin{aligned}\frac{25}{9}(24 - m)^2 &= m^2 \Rightarrow \frac{5}{3}|24 - m| \\ &= m\end{aligned}

$\frac{4}{3}m - 32 = \frac{4}{3}(m - 24)$

\begin{aligned}m < 24: \ 5(24 - m) &= 3m \Rightarrow m \\ &= 15\end{aligned}

שיעור ה־ $x$ של $M$ קטן מ־ $24$

\begin{aligned}M(15, 48) \\ \quad R &= 15\end{aligned}

המעגל: $(x - 15)^2 + (y - 48)^2 = 225$ .

תרגיל 4

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה $M$ . נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה $A$ , וכי ציר ה־ $y$ משיק למעגל כך ששיעור ה־ $x$ של הנקודה $M$ קטן משיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . נקודה $B$ היא נקודה כלשהי על המעגל. דרך נקודה $B$ מעבירים משיק למעגל. נקודה $P$ נמצאת על המשיק כך ש־ $BP = 36$ . ג (1). מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המתקבלות באופן זה.

$(x -$ ____ $)^2 + (y -$ ____ $)^2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x -$ 15 $)^2 + (y -$ 48 $)^2 =$ 1521

הפתרון:

MB \perp BP

רדיוס מאונך למשיק

\begin{aligned}MP^2 &= MB^2 + BP^2 \\ &= 15^2 + 36^2 \\ &= 1521 \\ &= 39^2\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $MBP$

(x - 15)^2 + (y - 48)^2 = 1521

כל הנקודות $P$ במרחק $39$ מ־ $M$

המקום הגאומטרי: מעגל שמרכזו $M(15, 48)$ ורדיוסו $39$ : $(x - 15)^2 + (y - 48)^2 = 1521$ .

תרגיל 5

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה $M$ . נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה $A$ , וכי ציר ה־ $y$ משיק למעגל כך ששיעור ה־ $x$ של הנקודה $M$ קטן משיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . נקודה $B$ היא נקודה כלשהי על המעגל. דרך נקודה $B$ מעבירים משיק למעגל. נקודה $P$ נמצאת על המשיק כך ש־ $BP = 36$ . ג (2). האם על המקום הגאומטרי שמצאתם יש שתי נקודות שהמרחק ביניהן הוא $80$ ? נמקו את תשובתכם.

אלא: המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על המקום הגאומטרי הוא $39$
בלא: קוטר המעגל הוא $78 < 80$
גכן: המעגל גדול, ויש עליו נקודות בכל מרחק
דכן: המרחק בין שתי נקודות קצה של קוטר הוא $80$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא: קוטר המעגל הוא $78 < 80$

הפתרון:

\begin{aligned}R &= 39 \Rightarrow 2R \\ &= 78\end{aligned}

המיתר הארוך ביותר במעגל הוא הקוטר

78 < 80

לא. כל מרחק בין שתי נקודות על המעגל הוא לכל היותר $78$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — תיבה ווקטורים

בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AA'} = \underline{w}$ , $\overrightarrow{AB} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{AD} = \underline{u}$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BB'$ .

תרגיל 1

א. הביעו את $\overrightarrow{EA}$ ו־ $\overrightarrow{EC}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ .

א $\overrightarrow{EA} = \underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{EC} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w}$
ב $\overrightarrow{EA} = -\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{EC} = \underline{u} - \underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$
ג $\overrightarrow{EA} = -\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{EC} = \underline{u} - \frac{1}{2}\underline{w}$
ד $\overrightarrow{EA} = -\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{EC} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\overrightarrow{EA} = -\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{EC} = \underline{u} - \frac{1}{2}\underline{w}$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{EB} &= \frac{1}{2}\overrightarrow{B'B} \\ &= -\frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}

$E$ אמצע $BB'$ , ו־ $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AA'} = \underline{w}$

\begin{aligned}\overrightarrow{EA} &= \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BA} \\ &= -\frac{1}{2}\underline{w} - \underline{v}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{EC} &= \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BC} \\ &= -\frac{1}{2}\underline{w} + \underline{u}\end{aligned}

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \underline{u}$

$\overrightarrow{EA} = -\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{EC} = \underline{u} - \frac{1}{2}\underline{w}$ .

תרגיל 2

הנקודה $M$ מקיימת $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} + \frac{1}{12}\underline{w}$ . ב. הביעו את $\overrightarrow{EM}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ . (יש לכתוב את המקדמים כמספרים עשרוניים.)

$\overrightarrow{EM} =$ ____ $\underline{u} +$ ( ____ ) $\underline{v} +$ ( ____ ) $\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\overrightarrow{EM} =$ 0.1667 $\underline{u} +$ ( -0.6667 ) $\underline{v} +$ ( -0.4167 ) $\underline{w}$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{EM} &= \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BM} \\ &= -\frac{1}{2}\underline{w} + \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} + \frac{1}{12}\underline{w}\end{aligned}

= \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} - \frac{5}{12}\underline{w}

$-\frac{6}{12} + \frac{1}{12} = -\frac{5}{12}$

$\overrightarrow{EM} = \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} - \frac{5}{12}\underline{w}$ .

תרגיל 3

הנקודה $M$ מקיימת $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} + \frac{1}{12}\underline{w}$ . נתון: $\overrightarrow{EM} = a \cdot \overrightarrow{EA} + b \cdot \overrightarrow{EC}$ . $a$ ו־ $b$ הם פרמטרים. ג (1). מצאו את הערך של $a$ ואת הערך של $b$ . (יש לכתוב כמספרים עשרוניים.)

$a =$ ____ , $b =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a =$ 0.6667 , $b =$ 0.1667

הפתרון:

a(-\underline{v} - \tfrac{1}{2}\underline{w}) + b(\underline{u} - \tfrac{1}{2}\underline{w}) = b\underline{u} - a\underline{v} - \tfrac{a + b}{2}\underline{w}

סעיף א

\begin{aligned}b &= \frac{1}{6} \\ \quad -a &= -\frac{2}{3} \\ \quad -\frac{a + b}{2} &= -\frac{5}{12}\end{aligned}

משווים מקדמים: $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ אינם במישור אחד

\begin{aligned}a &= \frac{2}{3} \\ \ b &= \frac{1}{6}: \quad \frac{a + b}{2} \\ &= \frac{5}{12} \ \checkmark\end{aligned}

המשוואה השלישית מתקיימת

$a = \frac{2}{3}$ , $b = \frac{1}{6}$ .

תרגיל 4

הנקודה $M$ מקיימת $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} + \frac{1}{12}\underline{w}$ . נתון: $\overrightarrow{EM} = a \cdot \overrightarrow{EA} + b \cdot \overrightarrow{EC}$ . $a$ ו־ $b$ הם פרמטרים. ג (2). האם הנקודה $M$ נמצאת במישור $AEC$ ? נמקו את תשובתכם.

אכן: $\overrightarrow{EM}$ הוא צירוף של $\overrightarrow{EA}$ ו־ $\overrightarrow{EC}$
באי אפשר לדעת בלי לדעת את אורכי המקצועות
גלא: $\overrightarrow{EM}$ אינו מקביל ל־ $\overrightarrow{EA}$ ואינו מקביל ל־ $\overrightarrow{EC}$
דלא: הנקודה $M$ נמצאת בתוך התיבה, והמישור $AEC$ הוא פאה שלה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כן: $\overrightarrow{EM}$ הוא צירוף של $\overrightarrow{EA}$ ו־ $\overrightarrow{EC}$

הפתרון:

\overrightarrow{EM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{EA} + \frac{1}{6}\overrightarrow{EC}

סעיף ג (1)

M = E + \frac{2}{3}\overrightarrow{EA} + \frac{1}{6}\overrightarrow{EC}

הצגה פרמטרית של המישור $AEC$

כן: $M$ נמצאת במישור $AEC$ .

תרגיל 5

הנקודה $M$ מקיימת $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} + \frac{1}{12}\underline{w}$ . נתון: $\overrightarrow{EM} = a \cdot \overrightarrow{EA} + b \cdot \overrightarrow{EC}$ . $a$ ו־ $b$ הם פרמטרים. נתון כי $\left|\underline{w}\right| = 4$ והווקטור $\overrightarrow{BM}$ מאונך למישור $AEC$ . ד. מצאו את הערך של $\left|\underline{v}\right|$ ואת הערך של $\left|\underline{u}\right|$ .

$\left|\underline{v}\right| =$ ____ , $\left|\underline{u}\right| =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\left|\underline{v}\right| =$ 1 , $\left|\underline{u}\right| =$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= \underline{u} \cdot \underline{w} \\ &= \underline{v} \cdot \underline{w} \\ &= 0\end{aligned}

מקצועות של תיבה מאונכים זה לזה

\begin{aligned}\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{EA} &= \frac{2}{3}|\underline{v}|^2 - \frac{1}{24}|\underline{w}|^2 \\ &= \frac{2}{3}|\underline{v}|^2 - \frac{2}{3} \\ &= 0\end{aligned}

וקטור מאונך למישור מאונך לכל וקטור במישור

|\underline{v}| = 1

\begin{aligned}\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{EC} &= \frac{1}{6}|\underline{u}|^2 - \frac{1}{24}|\underline{w}|^2 \\ &= \frac{1}{6}|\underline{u}|^2 - \frac{2}{3} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}|\underline{u}|^2 &= 4 \Rightarrow |\underline{u}| \\ &= 2\end{aligned}

$\left|\underline{v}\right| = 1$ , $\left|\underline{u}\right| = 2$ .

תרגיל 6

הנקודה $M$ מקיימת $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} + \frac{1}{12}\underline{w}$ . נתון: $\overrightarrow{EM} = a \cdot \overrightarrow{EA} + b \cdot \overrightarrow{EC}$ . $a$ ו־ $b$ הם פרמטרים. נתון כי $\left|\underline{w}\right| = 4$ והווקטור $\overrightarrow{BM}$ מאונך למישור $AEC$ . ה. חשבו את המרחק בין הנקודה $B$ ובין המישור $AEC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8165

הפתרון:

M \in AEC, \quad BM \perp AEC

סעיף ג (2) והנתון: $M$ היא היטל $B$ על המישור

\begin{aligned}\left|\overrightarrow{BM}\right|^2 &= \frac{1}{36} \cdot 4 + \frac{4}{9} \cdot 1 + \frac{1}{144} \cdot 16 \\ &= \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

וקטורים מאונכים זה לזה

\begin{aligned}d &= \sqrt{\frac{2}{3}} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.816\end{aligned}

המרחק: $\frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.816$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — מספרים מרוכבים

נתונה המשוואה $z^3 = -64$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.

תרגיל 1

א. מצאו את כל פתרונות המשוואה.

א $-4$ בלבד
ב $4$ , $-2 + 2\sqrt{3}\,i$ , $-2 - 2\sqrt{3}\,i$
ג $-4$ , $2 + 2\sqrt{3}\,i$ , $2 - 2\sqrt{3}\,i$
ד $-4$ , $2 + 2i$ , $2 - 2i$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $-4$ , $2 + 2\sqrt{3}\,i$ , $2 - 2\sqrt{3}\,i$

הפתרון:

-64 = 64\,\text{cis}\,180^\circ

\begin{aligned}z &= 4\,\text{cis}\frac{180^\circ + 360^\circ k}{3} \\ &= 4\,\text{cis}(60^\circ + 120^\circ k)\end{aligned}

משפט דה מואבר, $k = 0, 1, 2$

\begin{aligned}z &= 2 + 2\sqrt{3}\,i \\ \quad -4 \\ \quad 2 - 2\sqrt{3}\,i\end{aligned}

$4\cos 60^\circ = 2$ , $4\sin 60^\circ = 2\sqrt{3}$

הפתרונות: $4\,\text{cis}\,60^\circ = 2 + 2\sqrt{3}i$ , $4\,\text{cis}\,180^\circ = -4$ , $4\,\text{cis}\,300^\circ = 2 - 2\sqrt{3}i$ .

תרגיל 2

$\alpha_1 =$ ____ $^\circ$ , $\alpha_2 =$ ____ $^\circ$ ( $\alpha_1 < \alpha_2$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\alpha_1 =$ 60 $^\circ$ , $\alpha_2 =$ 120 $^\circ$ ( $\alpha_1 < \alpha_2$ )

הפתרון:

4\alpha - \alpha = 180^\circ \cdot k

נקודות על ישר דרך $O$ : הזוויות שוות או נבדלות ב־ $180^\circ$

\alpha = 60^\circ \cdot k

\begin{aligned}50^\circ < \alpha < 130^\circ \Rightarrow \alpha &= 60^\circ \ \text{או} \ \alpha \\ &= 120^\circ\end{aligned}

$\alpha = 60^\circ$ או $\alpha = 120^\circ$ .

תרגיל 3

$\alpha =$ ____ $^\circ$ , $r =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\alpha =$ 60 $^\circ$ , $r =$ 4

הפתרון:

\text{הפתרונות: } 4\,\text{cis}\,60^\circ, \ 4\,\text{cis}\,180^\circ, \ 4\,\text{cis}\,300^\circ

סעיף א

\alpha \in \{60^\circ, 120^\circ\}

סעיף ב

\begin{aligned}\alpha &= 60^\circ \\ \quad r &= 4\end{aligned}

הזווית היחידה המשותפת

$\alpha = 60^\circ$ , $r = 4$ , כלומר $w_1 = 2 + 2\sqrt{3}i$ .

תרגיל 4

נתונים שני מספרים מרוכבים: $w_1 = r \cdot (\cos\alpha + i \cdot \sin\alpha)$ , $w_2 = 2r \cdot (\cos 4\alpha + i \cdot \sin 4\alpha)$ , $50^\circ < \alpha < 130^\circ$ . שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים $w_1$ ו־ $w_2$ נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים $O$ במישור גאוס. נתון כי $w_1$ הוא אחד מן הפתרונות שמצאתם בסעיף א. נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: $w_3 = 4 \cdot i$ , $w_4 = \frac{8}{i}$ . $ABCD$ הוא מרובע קמור. הקודקוד $A$ מיוצג על ידי המספר $w_1$ , הקודקוד $B$ מיוצג על ידי המספר $w_3$ , הקודקוד $C$ מיוצג על ידי המספר $w_2$ , והקודקוד $D$ מיוצג על ידי המספר $w_4$ . ד. הראו כי שטח המרובע $ABCD$ הוא $36$ .

$w_1 = 4\,\text{cis}\,60^\circ$ , $w_2 = 8\,\text{cis}\,240^\circ$
$w_3 = 4i$ , $w_4 = \frac{8}{i}$

$S_{ABCD} = 36$

להציג את התשובה והפתרון

$A(2, 2\sqrt{3})$ , $C(-4, -4\sqrt{3})$ — מעבר מהצגה קוטבית להצגה אלגברית
$B(0, 4)$ , $D(0, -8)$ — $\frac{8}{i} = \frac{8i}{i^2} = -8i$
$BD = 12$ , והאלכסון $BD$ על ציר ה־ $y$ — מרחק בין שתי נקודות על ציר ה־ $y$
$S_{ABD} = \frac{12 \cdot 2}{2} = 12$ , $S_{CBD} = \frac{12 \cdot 4}{2} = 24$ — שטח משולש: הגובה לבסיס $BD$ הוא המרחק של הקודקוד מציר ה־ $y$
$S_{ABCD} = 36$ — האלכסון $BD$ מחלק את המרובע הקמור לשני משולשים

הפתרון:

\begin{aligned}A &= w_1 \\ &= 2 + 2\sqrt{3}i \\ \quad C &= w_2 \\ &= 8\,\text{cis}\,240^\circ \\ &= -4 - 4\sqrt{3}i\end{aligned}

\begin{aligned}B &= 4i \\ \quad D &= \frac{8}{i} \\ &= -8i\end{aligned}

BD = 12

שני הקודקודים על ציר ה־ $y$

\begin{aligned}S &= \frac{12 \cdot 2}{2} + \frac{12 \cdot 4}{2} \\ &= 12 + 24 \\ &= 36\end{aligned}

שני משולשים על הבסיס $BD$

שטח המרובע $ABCD$ הוא $36$ .

תרגיל 5

נתונים שני מספרים מרוכבים: $w_1 = r \cdot (\cos\alpha + i \cdot \sin\alpha)$ , $w_2 = 2r \cdot (\cos 4\alpha + i \cdot \sin 4\alpha)$ , $50^\circ < \alpha < 130^\circ$ . שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים $w_1$ ו־ $w_2$ נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים $O$ במישור גאוס. נתון כי $w_1$ הוא אחד מן הפתרונות שמצאתם בסעיף א. נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: $w_3 = 4 \cdot i$ , $w_4 = \frac{8}{i}$ . $ABCD$ הוא מרובע קמור. הקודקוד $A$ מיוצג על ידי המספר $w_1$ , הקודקוד $B$ מיוצג על ידי המספר $w_3$ , הקודקוד $C$ מיוצג על ידי המספר $w_2$ , והקודקוד $D$ מיוצג על ידי המספר $w_4$ . $u$ הוא מספר מרוכב. הנקודה $E$ , שמיוצגת על ידי המספר $u$ , נמצאת ברביע הראשון על חוצה הזווית $BOA$ . נתון כי $|u| > 1$ , $\bar{u} + \frac{1}{u} = 5.2 \cdot (\cos 285^\circ + i \cdot \sin 285^\circ)$ . ה. מצאו את המספר המרוכב $u$ . (יש לכתוב אותו בהצגה קוטבית $u = \rho(\cos\beta + i\sin\beta)$ .)

$\rho =$ ____ , $\beta =$ ____ $^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\rho =$ 5 , $\beta =$ 75 $^\circ$

הפתרון:

\angle BOA: \ OA \text{ בזווית } 60^\circ, \ OB \text{ בזווית } 90^\circ

$A = w_1$ , $B = 4i$

\beta = 75^\circ

חוצה הזווית

\begin{aligned}\bar{u} &= \rho\,\text{cis}(-75^\circ) \\ \quad \frac{1}{u} &= \frac{1}{\rho}\,\text{cis}(-75^\circ)\end{aligned}

\bar{u} + \frac{1}{u} = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\text{cis}\,285^\circ

$-75^\circ$ ו־ $285^\circ$ הן אותה זווית

\begin{aligned}\rho + \frac{1}{\rho} &= 5.2 \Rightarrow \rho^2 - 5.2\rho + 1 \\ &= 0 \Rightarrow \rho \\ &= 5 \ \text{או} \ \rho \\ &= 0.2\end{aligned}

\rho = 5

$|u| > 1$

$u = 5(\cos 75^\circ + i\sin 75^\circ) \approx 1.294 + 4.830i$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = x^n \cdot (3 - \ln x)$ , המוגדרת בתחום $x > 0$ . $n$ הוא פרמטר טבעי.

תרגיל 1

א. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (הנקודה היא $(e^k, 0)$ .)

$k =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 3

הפתרון:

x^n > 0 \ \text{לכל } x > 0

\begin{aligned}3 - \ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^3\end{aligned}

נקודת החיתוך: $(e^3, 0)$ .

תרגיל 2

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x = 1$ הוא $2$ . ב. מצאו את הערך של $n$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= n x^{n-1}(3 - \ln x) + x^n \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) \\ &= x^{n-1}(3n - n\ln x - 1)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(1) &= 3n - 1 \\ &= 2\end{aligned}

$\ln 1 = 0$

n = 1

$n = 1$ .

תרגיל 3

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x = 1$ הוא $2$ . הציבו $n = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (הנקודה היא $(e^k, y_0)$ ; כתבו את $y_0$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$k =$ ____ , $y_0 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 2 , $y_0 =$ 7.39

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= x(3 - \ln x) \\ \quad f'(x) &= 3 - \ln x - 1 \\ &= 2 - \ln x\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

x < e^2: f' > 0, \quad x > e^2: f' < 0

$\ln x$ עולה

\begin{aligned}f(e^2) &= e^2(3 - 2) \\ &= e^2 \approx 7.39\end{aligned}

מקסימום ב־ $(e^2, e^2) \approx (7.39, 7.39)$ .

תרגיל 4

הגרפים I–IV

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x = 1$ הוא $2$ . הציבו $n = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף III
בגרף IV
גגרף I
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף I

הפתרון:

x \to 0^+: \ x(3 - \ln x) \to 0

$x\ln x \to 0$

\max(e^2, e^2) \approx (7.39, 7.39)

סעיף ג

(e^3, 0) \approx (20.1, 0), \quad x \to \infty: f \to -\infty

סעיף א

גרף I: יוצא מהראשית, עולה עד המקסימום $(e^2, e^2)$ , יורד, חוצה את ציר ה־ $x$ ב־ $e^3$ ויורד אל $-\infty$ . גרף II הפוך, גרף III מתחיל בגובה $3$ ולא בראשית, וגרף IV פרבולה עם מינימום.

תרגיל 5

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x = 1$ הוא $2$ . הציבו $n = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . ה (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ . (התחום הוא $x > 0$ , $x \neq e^k$ .)

$k =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 3

הפתרון:

x > 0

תחום ההגדרה של $f$

f(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq e^3

סעיף א

תחום ההגדרה: $x > 0$ , $x \neq e^3$ .

תרגיל 6

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x = 1$ הוא $2$ . הציבו $n = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . ה (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$ .

א $x = e^3$ בלבד
ב $x = e^3$ , $y = 0$
ג $x = 0$ , $x = e^2$ , $y = 0$
ד $x = 0$ , $x = e^3$ , $y = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x = 0$ , $x = e^3$ , $y = 0$

הפתרון:

x \to 0^+: \ f(x) \to 0^+ \Rightarrow g(x) \to \infty

אסימפטוטה $x = 0$

x \to e^3: \ f(x) \to 0 \Rightarrow g(x) \to \pm\infty

אסימפטוטה $x = e^3$

x \to \infty: \ f(x) \to -\infty \Rightarrow g(x) \to 0

אסימפטוטה $y = 0$

אסימפטוטות: $x = 0$ , $x = e^3$ , $y = 0$ .

תרגיל 7

הגרפים I–IV

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x = 1$ הוא $2$ . הציבו $n = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . ה (3). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף II
בגרף IV
גגרף III
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף III

הפתרון:

0 < x < e^3: \ g > 0, \quad x > e^3: \ g < 0

הסימן של $g$ הוא הסימן של $f$

\min\left(e^2, \frac{1}{e^2}\right)

מקסימום של $f$ חיובית הוא מינימום של $\frac{1}{f}$

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= e^3 \\ \ y &= 0\end{aligned}

סעיף ה (2)

גרף III: בין $0$ ל־ $e^3$ הגרף חיובי, יורד מ־ $+\infty$ עד המינימום $\left(e^2, \frac{1}{e^2}\right)$ ועולה אל $+\infty$ ; אחרי $e^3$ הוא שלילי ועולה אל $y = 0$ . גרף I הפוך, בגרף II האסימפטוטות במקום אחר, וגרף IV אינו שלילי לעולם.

תרגיל 8

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x = 1$ הוא $2$ . הציבו $n = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . $a$ הוא פרמטר, $1 < a < 3$ . נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = e$ ו־ $x = e^a$ הוא $\ln 10$ . ו. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.8

הפתרון:

e < x < e^a < e^3 \Rightarrow g(x) > 0

הגרף מעל ציר ה־ $x$

\int \frac{dx}{x(3 - \ln x)} = -\ln(3 - \ln x)

הצבה $t = \ln x$ , $dt = \frac{dx}{x}$

\begin{aligned}S &= -\ln(3 - a) + \ln(3 - 1) \\ &= \ln\frac{2}{3 - a}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{2}{3 - a} &= 10 \Rightarrow 3 - a \\ &= 0.2 \Rightarrow a \\ &= 2.8\end{aligned}

נתון: $S = \ln 10$

$a = 2.8$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — פונקציה מעריכית ולוגריתמית

נתונה הפונקציה $f(x) = 4e^x - x + 9 \cdot \ln(4 - e^x)$ .

תרגיל 1

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x < \ln$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x < \ln$ 4

הפתרון:

4 - e^x > 0 \Rightarrow e^x < 4 \Rightarrow x < \ln 4

הביטוי שבתוך הלוגריתם חיובי

תחום ההגדרה: $x < \ln 4$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).

א $x = \ln 4$ בלבד
ב $x = \ln 4$ , $y = 9\ln 4$
גאין אסימפטוטות
ד $x = \ln 4$ , $y = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x = \ln 4$ בלבד

הפתרון:

x \to (\ln 4)^-: \ \ln(4 - e^x) \to -\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty

אסימפטוטה אנכית

x \to -\infty: \ 4e^x \to 0, \ 9\ln(4 - e^x) \to 9\ln 4, \ -x \to \infty

אין אסימפטוטה אופקית: $f(x) \to \infty$

אסימפטוטה אחת: $x = \ln 4$ .

תרגיל 3

ב. הראו כי $f'(x) = \frac{-4(e^x - 1)^2}{4 - e^x}$ .

$f(x) = 4e^x - x + 9\ln(4 - e^x)$

$f'(x) = \frac{-4(e^x - 1)^2}{4 - e^x}$

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x) = 4e^x - 1 - \frac{9e^x}{4 - e^x}$ — נגזרת של $\ln(g(x))$ היא $\frac{g'(x)}{g(x)}$ , ו־ $(4 - e^x)' = -e^x$
$f'(x) = \frac{(4e^x - 1)(4 - e^x) - 9e^x}{4 - e^x}$ — מכנה משותף
$f'(x) = \frac{-4e^{2x} + 8e^x - 4}{4 - e^x}$ — פתיחת סוגריים: $16e^x - 4e^{2x} - 4 + e^x - 9e^x$
$f'(x) = \frac{-4(e^x - 1)^2}{4 - e^x}$ — הוצאת גורם משותף $-4$ ונוסחת הכפל המקוצר

הפתרון:

f'(x) = 4e^x - 1 + 9 \cdot \frac{-e^x}{4 - e^x}

= \frac{16e^x - 4e^{2x} - 4 + e^x - 9e^x}{4 - e^x} = \frac{-4e^{2x} + 8e^x - 4}{4 - e^x}

= \frac{-4(e^{2x} - 2e^x + 1)}{4 - e^x} = \frac{-4(e^x - 1)^2}{4 - e^x}

קיבלנו את הביטוי הנדרש.

תרגיל 4

ג (1). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).

איורדת בכל תחום הגדרתה, $x < \ln 4$
בעולה ב־ $x < 0$ ויורדת ב־ $0 < x < \ln 4$
גיורדת ב־ $x < 0$ ועולה ב־ $0 < x < \ln 4$
דעולה בכל תחום הגדרתה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א יורדת בכל תחום הגדרתה, $x < \ln 4$

הפתרון:

(e^x - 1)^2 \ge 0, \quad 4 - e^x > 0

בתחום ההגדרה

\begin{aligned}f'(x) \le 0 \\ \quad f'(x) &= 0 \iff x \\ &= 0\end{aligned}

סעיף ב

\text{הנגזרת אינה מחליפה סימן ב־} x = 0

נקודה אחת שבה $f' = 0$ אינה עוצרת את הירידה

הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה. ב־ $x = 0$ המשיק אופקי, אבל אין שם קיצון.

תרגיל 5

ג (2). מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ המקביל לציר ה־ $x$ . (יש לכתוב בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 13.89

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

משיק מקביל לציר ה־ $x$ : שיפוע $0$

f(0) = 4 - 0 + 9\ln 3 \approx 13.89

המשיק: $y = 4 + 9\ln 3 \approx 13.89$ .

תרגיל 6

הגרפים I–IV

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף IV
בגרף III
גגרף I
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף II

הפתרון:

\begin{aligned}x < \ln 4 \\ \quad x &= \ln 4\end{aligned}

תחום ואסימפטוטה (סעיף א)

f \searrow, \quad (0, 4 + 9\ln 3)

יורדת, ומשיק אופקי ב־ $x = 0$ (סעיף ג)

x \to -\infty: f \to \infty

גרף II: יורד בכל התחום, משטח לרגע ב־ $(0, 13.89)$ ויורד אל $-\infty$ ליד $x = \ln 4$ . גרף I הוא שיקוף (התחום מימין), בגרף III יש מקסימום, וגרף IV עולה.

תרגיל 7

ה (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .

א $x = \ln 4$ , $y = 0$
ב $x = \ln 4$ , $y = -1$
ג $x = \ln 4$ , $y = -4$
ד $x = \ln 4$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = \ln 4$ , $y = -1$

הפתרון:

x \to (\ln 4)^-: \ 4 - e^x \to 0^+ \Rightarrow f'(x) \to -\infty

x \to -\infty: \ e^x \to 0 \Rightarrow f'(x) \to \frac{-4 \cdot 1}{4} = -1

אסימפטוטות: $x = \ln 4$ , $y = -1$ .

תרגיל 8

הגרפים I–IV

ה (2). לפונקציה $f(x)$ יש נקודת פיתול אחת בלבד. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ בתחום $x < \ln 4$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף III
בגרף I
גגרף II
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף IV

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) \le 0 \\ \quad f'(0) &= 0\end{aligned}

סעיף ב

\begin{aligned}y &= -1 \ (x \to -\infty) \\ \quad x &= \ln 4\end{aligned}

סעיף ה (1)

\begin{aligned}\max f' &= f'(0) \\ &= 0\end{aligned}

נקודת הפיתול היחידה של $f$ היא ב־ $x = 0$ , והיא קיצון של $f'$

גרף IV: מתחיל ליד $y = -1$ , עולה עד $(0, 0)$ ונוגע בציר ה־ $x$ , ויורד אל $-\infty$ ליד $x = \ln 4$ . גרף I הפוך, גרף II חוצה את ציר ה־ $x$ , ובגרף III המקסימום מתחת לציר.

תרגיל 9

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + ax$ , שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . $a$ הוא פרמטר. ו. היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , ומצאו בעבור אילו ערכים של $a$ יש לפונקציה $g(x)$ שתי נקודות קיצון. נמקו את תשובתכם.

____ $< a <$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0 $< a <$ 1

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) + a \\ &= 0 \iff f'(x) \\ &= -a\end{aligned}

\text{קיצון: } f' \text{ חוצה את הישר } y = -a

הנגזרת $g'$ מחליפה סימן

-1 < -a < 0

רק אז הישר $y = -a$ חוצה את גרף $f'$ פעמיים: פעם ב־ $x < 0$ ופעם ב־ $0 < x < \ln 4$

0 < a < 1

$0 < a < 1$ . ל־ $-a \le -1$ יש חיתוך אחד, ול־ $-a = 0$ הישר רק נוגע ב־ $(0, 0)$ .

לפתור את השאלה באתר

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — פרבולה, משיק ומעגל

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 2 — תיבה ווקטורים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 3 — מספרים מרוכבים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 4 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

שאלה 5 — פונקציה מעריכית ולוגריתמית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

תרגיל 9

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות