בגרות במתמטיקה 35572 קיץ 2026, מועד ב׳

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — פרבולה, משיק ומעגל

נתון הישר $y = x$ ונתונה הפרבולה $y^2 = 2px$ . $p$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $A$ נמצאת ברביע הראשון, והיא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר.

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $p$ את שיעורי הנקודה $A$ .

$A($ ____ $p ,$ ____ $p)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A($ 2 $p ,$ 2 $p)$

הפתרון:

x^2 = 2px

מציבים $y = x$ במשוואת הפרבולה

\begin{aligned}x(x - 2p) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 2p\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

A(2p, 2p)

ברביע הראשון $x > 0$ , ו־ $y = x$

$A(2p, 2p)$ .

תרגיל 2

נסמן ב־ $\ell$ את המשיק לפרבולה בנקודה $A$ . הנקודה $F$ היא מוקד הפרבולה. מעגל $I$ שמרכזו בנקודה $F$ משיק לישר $\ell$ בנקודה $B$ . ב. הביעו באמצעות $p$ את משוואת מעגל $I$ .

$(x -$ ____ $p)^2 + y^2 =$ ____ $p^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x -$ 0.5 $p)^2 + y^2 =$ 1.25 $p^2$

הפתרון:

\begin{aligned}y \cdot 2p &= p(x + 2p) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + p\end{aligned}

משוואת משיק לפרבולה $y y_0 = p(x + x_0)$ בנקודה $A(2p, 2p)$

\ell: \ x - 2y + 2p = 0

כותבים את המשיק בצורה כללית

F\left(\frac{p}{2}, 0\right)

מוקד הפרבולה $y^2 = 2px$

\begin{aligned}R &= \frac{\left|\frac{p}{2} - 0 + 2p\right|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} \\ &= \frac{\frac{5p}{2}}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{2}p\end{aligned}

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז $F$ אל המשיק $\ell$

\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{5}{4}p^2

$R^2 = \frac{5}{4}p^2$

מעגל $I$ : $\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{5}{4}p^2$ .

תרגיל 3

נסמן ב־ $\ell$ את המשיק לפרבולה בנקודה $A$ . הנקודה $F$ היא מוקד הפרבולה. מעגל $I$ שמרכזו בנקודה $F$ משיק לישר $\ell$ בנקודה $B$ . ג. הראו כי הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה־ $y$ .

$\ell$ משיק לפרבולה $y^2 = 2px$ בנקודה $A(2p, 2p)$
$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ מרכז מעגל $I$
מעגל $I$ משיק ל־ $\ell$ בנקודה $B$

הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה־ $y$

להציג את התשובה והפתרון

$\ell: \ y = \frac{1}{2}x + p$ — משוואת משיק לפרבולה בנקודה $(x_0, y_0)$ : $y y_0 = p(x + x_0)$
$FB \perp \ell$ — רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה
שיפוע $FB$ הוא $-2$ — מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$
$FB: \ y = -2x + p$ — ישר ששיפועו $-2$ ועובר דרך $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$
$B(0, p)$ — נקודת החיתוך של $\ell$ ו־ $FB$ : $\frac{1}{2}x + p = -2x + p$
הנקודה $B$ נמצאת על ציר ה־ $y$ — שיעור ה־ $x$ של $B$ הוא $0$

הפתרון:

\ell: \ y = \frac{1}{2}x + p

סעיף ב

FB \perp \ell \Rightarrow m_{FB} = -2

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה

\begin{aligned}FB: \ y &= -2\left(x - \frac{p}{2}\right) \\ &= -2x + p\end{aligned}

ישר דרך $F$

\begin{aligned}\frac{1}{2}x + p &= -2x + p \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

נקודת החיתוך $B$

B(0, p)

$B(0, p)$ : שיעור ה־ $x$ שלה הוא $0$ , ולכן היא על ציר ה־ $y$ .

תרגיל 4

נסמן ב־ $\ell$ את המשיק לפרבולה בנקודה $A$ . הנקודה $F$ היא מוקד הפרבולה. מעגל $I$ שמרכזו בנקודה $F$ משיק לישר $\ell$ בנקודה $B$ . נתון: $AB = 4\sqrt{5}$ . ד. מצאו את הערך של $p$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{(2p - 0)^2 + (2p - p)^2} \\ &= \sqrt{5p^2} \\ &= \sqrt{5}\,p\end{aligned}

מרחק בין $A(2p, 2p)$ ל־ $B(0, p)$

\sqrt{5}\,p = 4\sqrt{5}

נתון

p = 4

$p = 4$ .

תרגיל 5

נסמן ב־ $\ell$ את המשיק לפרבולה בנקודה $A$ . הנקודה $F$ היא מוקד הפרבולה. מעגל $I$ שמרכזו בנקודה $F$ משיק לישר $\ell$ בנקודה $B$ . נתון: $AB = 4\sqrt{5}$ . ה. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים מבפנים למעגל $I$ ואורך הרדיוס שלהם הוא $2\sqrt{5} - 3$ .

$(x -$ ____ $)^2 + y^2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x -$ 2 $)^2 + y^2 =$ 9

הפתרון:

\begin{aligned}F(2, 0) \\ \quad R_I &= \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 4 \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

מציבים $p = 4$ בסעיף ב

2\sqrt{5} - 3 < 2\sqrt{5}

הרדיוס קטן מרדיוס מעגל $I$ : המעגלים נמצאים בתוכו

\begin{aligned}d &= R_I - r \\ &= 2\sqrt{5} - (2\sqrt{5} - 3) \\ &= 3\end{aligned}

מעגלים המשיקים מבפנים: המרחק בין המרכזים שווה להפרש הרדיוסים

(x - 2)^2 + y^2 = 9

כל המרכזים במרחק $3$ מ־ $F$ : מעגל

המקום הגאומטרי: $(x - 2)^2 + y^2 = 9$ , מעגל שמרכזו $F(2, 0)$ ורדיוסו $3$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — פירמידה ווקטורים

בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. המקצוע $AS$ הוא גובה בפירמידה. אורך המקצוע $AS$ שווה לאורך צלע הריבוע $ABCD$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SD$ כך ש־ $SE = \frac{3}{4} \cdot SD$ . הנקודה $N$ מקיימת: $\overrightarrow{SN} = k \cdot \overrightarrow{SC}$ . $k$ הוא פרמטר. נסמן: $\overrightarrow{AS} = \underline{w}$ , $\overrightarrow{AB} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{AD} = \underline{u}$ .

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $\underline{w}$ , $\underline{v}$ , $\underline{u}$ ו־ $k$ את הווקטור $\overrightarrow{EN}$ .

א $\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}$
ב $\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + k\underline{u} + (1 - k)\underline{w}$
ג $\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{u} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{w}$
ד $\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k + \frac{3}{4}\right)\underline{u} - \left(k + \frac{3}{4}\right)\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{SC} &= \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \\ &= -\underline{w} + \underline{v} + \underline{u}\end{aligned}

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \underline{u}$ בריבוע

\begin{aligned}\overrightarrow{SD} &= \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AD} \\ &= \underline{u} - \underline{w}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{EN} &= \overrightarrow{ES} + \overrightarrow{SN} \\ &= -\frac{3}{4}\overrightarrow{SD} + k\overrightarrow{SC}\end{aligned}

= -\frac{3}{4}(\underline{u} - \underline{w}) + k(\underline{u} + \underline{v} - \underline{w})

מציבים

= k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}

מכנסים איברים

$\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}$ .

תרגיל 2

נתון: $\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|$ . ב. מצאו את הערך של $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}|\underline{u}| &= |\underline{v}| \\ &= |\underline{w}| \\ &= a \\ \quad \underline{u} \cdot \underline{v} &= \underline{u} \cdot \underline{w} \\ &= \underline{v} \cdot \underline{w} \\ &= 0\end{aligned}

ריבוע, ו־ $AS$ גובה שאורכו כאורך הצלע

\left|\overrightarrow{EN}\right|^2 = k^2a^2 + \left(k - \frac{3}{4}\right)^2a^2 + \left(\frac{3}{4} - k\right)^2a^2

סעיף א: שלושה וקטורים מאונכים זה לזה

k^2 + 2\left(k - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{6}{16}

נתון, מחלקים ב־ $a^2$

\begin{aligned}3k^2 - 3k + \frac{9}{8} &= \frac{3}{8} \Rightarrow k^2 - k + \frac{1}{4} \\ &= 0\end{aligned}

פותחים סוגריים

\begin{aligned}\left(k - \frac{1}{2}\right)^2 &= 0 \Rightarrow k \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$k = \frac{1}{2}$ : הנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $SC$ .

תרגיל 3

נתון: $\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|$ . הציבו $k = \frac{1}{2}$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־ $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 12, 0)$ . הקודקוד $D$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , והקודקוד $S$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (1). מצאו את שיעורי הנקודות $N$ ו־ $E$ .

$N($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $E($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $N($ 6 $,$ 6 $,$ 6 $)$ , $E($ 9 $,$ 0 $,$ 3 $)$

הפתרון:

D(12, 0, 0), \quad S(0, 0, 12), \quad C(12, 12, 0)

צלע הריבוע $12$ , ו־ $AS = 12$ ; $C = B + \overrightarrow{AD}$

\begin{aligned}N &= S + \frac{1}{2}\overrightarrow{SC} \\ &= \frac{S + C}{2} \\ &= (6, 6, 6)\end{aligned}

אמצע $SC$

\begin{aligned}E &= S + \frac{3}{4}\overrightarrow{SD} \\ &= (0, 0, 12) + \frac{3}{4}(12, 0, -12) \\ &= (9, 0, 3)\end{aligned}

$N(6, 6, 6)$ , $E(9, 0, 3)$ .

תרגיל 4

נתון: $\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|$ . הציבו $k = \frac{1}{2}$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־ $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 12, 0)$ . הקודקוד $D$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , והקודקוד $S$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (2). מצאו את משוואת המישור $ENB$ .

____ $x +$ ____ $y - z =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3 $x +$ 2 $y - z =$ 24

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{EN} &= (-3, 6, 3) \\ \quad \overrightarrow{EB} &= (-9, 12, -3)\end{aligned}

שני וקטורים במישור

\begin{aligned}\underline{n} &= \overrightarrow{EN} \times \overrightarrow{EB} \\ &= (-54, -36, 18) \parallel (3, 2, -1)\end{aligned}

וקטור נורמל: מכפלה וקטורית, או פתרון $\underline{n} \cdot \overrightarrow{EN} = \underline{n} \cdot \overrightarrow{EB} = 0$

\begin{aligned}3x + 2y - z &= d \\ \quad B(0, 12, 0): \ d &= 24\end{aligned}

מציבים נקודה

\begin{aligned}E: 27 + 0 - 3 &= 24 \\ \quad N: 18 + 12 - 6 &= 24\end{aligned}

בדיקה

המישור $ENB$ : $3x + 2y - z = 24$ .

תרגיל 5

נתון: $\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|$ . הציבו $k = \frac{1}{2}$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־ $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 12, 0)$ . הקודקוד $D$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , והקודקוד $S$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ד. האם נפח הפירמידה $SENB$ גדול מנפח הפירמידה $CENB$ , קטן ממנו או שווה לו? נמקו את תשובתכם.

אגדול: הנקודה $S$ רחוקה מהמישור $ENB$ יותר מהנקודה $C$
באי אפשר לדעת: הנקודות $S$ ו־ $C$ נמצאות משני צדי המישור $ENB$
גשווה: בסיס משותף $ENB$ , ו־ $S$ ו־ $C$ באותו מרחק מהמישור $ENB$
דקטן: הנקודה $C$ רחוקה מהמישור $ENB$ יותר מהנקודה $S$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שווה: בסיס משותף $ENB$ , ו־ $S$ ו־ $C$ באותו מרחק מהמישור $ENB$

הפתרון:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{ENB} \cdot h

לשתי הפירמידות הבסיס $ENB$ ; הגובה הוא המרחק של הקודקוד הרביעי מהמישור

\begin{aligned}d(S) &= \frac{|0 + 0 - 12 - 24|}{\sqrt{14}} \\ &= \frac{36}{\sqrt{14}}\end{aligned}

מרחק $S(0, 0, 12)$ מהמישור $3x + 2y - z - 24 = 0$

\begin{aligned}d(C) &= \frac{|36 + 24 - 0 - 24|}{\sqrt{14}} \\ &= \frac{36}{\sqrt{14}}\end{aligned}

מרחק $C(12, 12, 0)$

\begin{aligned}V_{SENB} &= V_{CENB} \\ &= 108\end{aligned}

בדיקה: $\frac{1}{6}\left|\det\right|$ של שלושה וקטורים מכל קודקוד

הנפחים שווים. דרך קצרה: המישור $ENB$ עובר דרך $N$ , אמצע הקטע $SC$ , ולכן $S$ ו־ $C$ נמצאות משני צדיו באותו מרחק. שהן משני צדי המישור אינו משנה את הגובה.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — מספרים מרוכבים

נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1 = r \cdot (\cos\alpha + i \cdot \sin\alpha)$ , $z_2 = \frac{1}{r} \cdot (\cos(\alpha + 90^\circ) + i \cdot \sin(\alpha + 90^\circ))$ , $w = z_1 \cdot z_2 + \frac{z_1}{z_2}$ . $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ , $r > 0$ . הנקודה $A$ מייצגת את המספר $w$ במישור גאוס. נתון כי שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ הוא $-1$ .

תרגיל 1

א. מצאו את הערך של $\alpha$ (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

\begin{aligned}z_1 \cdot z_2 &= r \cdot \frac{1}{r}\,\text{cis}(2\alpha + 90^\circ) \\ &= -\sin 2\alpha + i\cos 2\alpha\end{aligned}

במכפלה: כופלים את הגדלים ומחברים את הזוויות

\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= r^2\,\text{cis}(-90^\circ) \\ &= -r^2 i\end{aligned}

במנה: מחלקים את הגדלים ומחסירים את הזוויות

w = -\sin 2\alpha + i(\cos 2\alpha - r^2)

מחברים

\begin{aligned}-\sin 2\alpha &= -1 \Rightarrow \sin 2\alpha \\ &= 1\end{aligned}

שיעור ה־ $x$ של $A$ הוא החלק הממשי

\begin{aligned}2\alpha &= 90^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

$0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$

$\alpha = 45^\circ$ .

תרגיל 2

נתון כי הנקודה $A$ נמצאת על הישר $y = -1$ . ב. מצאו את הערך של $r$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}w &= -1 + i(\cos 90^\circ - r^2) \\ &= -1 - r^2 i\end{aligned}

מציבים $\alpha = 45^\circ$

\begin{aligned}-r^2 &= -1 \Rightarrow r \\ &= 1\end{aligned}

החלק המדומה הוא שיעור ה־ $y$ ; $r > 0$

$r = 1$ , ולכן $w = -1 - i$ .

תרגיל 3

נתון כי הנקודה $A$ נמצאת על הישר $y = -1$ . נתונה המשוואה $z^4 = 128 \cdot (z_1 \cdot w)^2$ . $z$ הוא משתנה מרוכב. ג. מצאו את ארבעת הפתרונות של המשוואה.

א $4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)$ ו־ $\pm 4$
ב $4\,\text{cis}(90^\circ k)$
ג $2\sqrt{2}\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)$
ד $4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)$

הפתרון:

\begin{aligned}z_1 &= \text{cis}\,45^\circ \\ \quad w &= -1 - i \\ &= \sqrt{2}\,\text{cis}\,225^\circ\end{aligned}

סעיפים א–ב

\begin{aligned}z_1 \cdot w &= \sqrt{2}\,\text{cis}\,270^\circ \\ &= -\sqrt{2}\,i\end{aligned}

\begin{aligned}128 \cdot (z_1 w)^2 &= 128 \cdot (-2) \\ &= -256 \\ &= 256\,\text{cis}\,180^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}z &= \sqrt[4]{256}\,\text{cis}\frac{180^\circ + 360^\circ k}{4} \\ &= 4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)\end{aligned}

משפט דה מואבר, $k = 0, 1, 2, 3$

\begin{aligned}z &= 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i \\ \ -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i \\ \ -2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i \\ \ 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i\end{aligned}

$4\cos 45^\circ = 2\sqrt{2}$

ארבעת הפתרונות: $4\,\text{cis}\,45^\circ$ , $4\,\text{cis}\,135^\circ$ , $4\,\text{cis}\,225^\circ$ , $4\,\text{cis}\,315^\circ$ .

תרגיל 4

נתון כי הנקודה $A$ נמצאת על הישר $y = -1$ . נתונה המשוואה $z^4 = 128 \cdot (z_1 \cdot w)^2$ . $z$ הוא משתנה מרוכב. הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. כל אחת מן הנקודות $B$ ו־ $C$ מייצגת פתרון אחד מבין הפתרונות שמצאתם בסעיף ג. הנקודה $B$ נמצאת ברביע הראשון והנקודה $C$ נמצאת ברביע השני. המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z = x + iy$ במישור גאוס המקיימות $|z| = b$ חותך את החלק החיובי של ציר ה־ $y$ בנקודה $K$ . $b$ הוא מספר ממשי חיובי. נתון כי שטח המרובע $CKBO$ הוא $7\sqrt{2}$ . ד. מצאו את הערך של $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.5

הפתרון:

B(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}), \quad C(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})

סעיף ג

|z| = b: \ \text{מעגל שמרכזו } O \text{ ורדיוסו } b \Rightarrow K(0, b)

\begin{aligned}CB &= 4\sqrt{2} \\ \quad OK &= b \\ \quad CB \perp OK\end{aligned}

$CB$ מקביל לציר ה־ $x$ , ו־ $OK$ על ציר ה־ $y$

\begin{aligned}S_{CKBO} &= \frac{OK \cdot CB}{2} \\ &= \frac{b \cdot 4\sqrt{2}}{2} \\ &= 2\sqrt{2}\,b\end{aligned}

מרובע שאלכסוניו מאונכים: מחצית מכפלת האלכסונים

\begin{aligned}2\sqrt{2}\,b &= 7\sqrt{2} \Rightarrow b \\ &= 3.5\end{aligned}

$b = 3.5$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} + a$ . $a$ הוא פרמטר.

תרגיל 1

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \neq$ ____ , $x \neq \ln$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \neq$ 0 , $x \neq \ln$ 5

הפתרון:

e^x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0

מכנה שונה מאפס

e^x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq \ln 5

תחום ההגדרה: $x \neq 0$ , $x \neq \ln 5$ .

תרגיל 2

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ . הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.

א $x = 0$ , $x = \ln 5$ , $y = a$ , $y = a + 2$
ב $x = 0$ , $x = \ln 5$ , $y = a$ , $y = a - 2$
ג $x = 0$ , $x = \ln 5$ , $y = a$ בלבד
ד $x = 1$ , $x = 5$ , $y = a$ , $y = a - 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = 0$ , $x = \ln 5$ , $y = a$ , $y = a - 2$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x &= \ln 5\end{aligned}

המכנים מתאפסים והמונים לא: אסימפטוטות אנכיות

x \to \infty: \ e^x \to \infty \Rightarrow f(x) \to 0 + 0 + a = a

x \to -\infty: \ e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to \frac{1}{-1} + \frac{5}{-5} + a = a - 2

אנכיות: $x = 0$ , $x = \ln 5$ . אופקיות: $y = a$ (ב־ $+\infty$ ) ו־ $y = a - 2$ (ב־ $-\infty$ ).

תרגיל 3

ב. הוכיחו כי פונקציית הנגזרת $f'(x)$ שלילית בכל תחום הגדרתה.

$f(x) = \frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} + a$
תחום ההגדרה: $x \neq 0$ , $x \neq \ln 5$

$f'(x) < 0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x) = -\frac{e^x}{(e^x - 1)^2} - \frac{5e^x}{(e^x - 5)^2}$ — נגזרת של $\frac{c}{g(x)}$ היא $-\frac{c \cdot g'(x)}{g^2(x)}$ , ו־ $(e^x)' = e^x$
$e^x > 0$ לכל $x$ — תכונת הפונקציה המעריכית
$(e^x - 1)^2 > 0$ ו־ $(e^x - 5)^2 > 0$ בתחום ההגדרה — ריבוע של מספר שונה מאפס
$\frac{e^x}{(e^x - 1)^2} > 0$ ו־ $\frac{5e^x}{(e^x - 5)^2} > 0$ — מנה של מספרים חיוביים
$f'(x) < 0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה — סכום של שני מספרים שליליים

הפתרון:

f'(x) = -\frac{e^x}{(e^x - 1)^2} - \frac{5e^x}{(e^x - 5)^2}

הנגזרת של $a$ היא $0$

e^x > 0, \quad (e^x - 1)^2 > 0, \quad (e^x - 5)^2 > 0

בתחום ההגדרה

f'(x) < 0

שני מחוברים שליליים

כל אחד משני המחוברים שלילי, ולכן $f'(x) < 0$ בכל תחום ההגדרה.

תרגיל 4

נתון כי הישר $y = 2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ . ג. מצאו את שני הערכים האפשריים של $a$ .

$a_1 =$ ____ , $a_2 =$ ____ ( $a_1 < a_2$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a_1 =$ 2 , $a_2 =$ 4 ( $a_1 < a_2$ )

הפתרון:

\begin{aligned}y &= a \ \text{או} \ y \\ &= a - 2\end{aligned}

סעיף א (2): האסימפטוטות האופקיות

\begin{aligned}a &= 2 \quad \text{או} \quad a - 2 \\ &= 2 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a = 2$ או $a = 4$ .

תרגיל 5

נתון כי הישר $y = 2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ . הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ו. ד. הראו כי $f(x) = \frac{2e^{2x} - 6e^x}{e^{2x} - 6e^x + 5}$ .

$f(x) = \frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} + 2$

$f(x) = \frac{2e^{2x} - 6e^x}{e^{2x} - 6e^x + 5}$

להציג את התשובה והפתרון

$(e^x - 1)(e^x - 5) = e^{2x} - 6e^x + 5$ — פתיחת סוגריים: $e^x \cdot e^x = e^{2x}$
$\frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} = \frac{(e^x - 5) + 5(e^x - 1)}{e^{2x} - 6e^x + 5} = \frac{6e^x - 10}{e^{2x} - 6e^x + 5}$ — מכנה משותף
$f(x) = \frac{6e^x - 10 + 2(e^{2x} - 6e^x + 5)}{e^{2x} - 6e^x + 5}$ — כותבים את $2$ עם אותו מכנה
$f(x) = \frac{2e^{2x} - 6e^x}{e^{2x} - 6e^x + 5}$ — מכנסים איברים דומים במונה

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} &= \frac{e^x - 5 + 5e^x - 5}{(e^x - 1)(e^x - 5)} \\ &= \frac{6e^x - 10}{e^{2x} - 6e^x + 5}\end{aligned}

מכנה משותף

\begin{aligned}f(x) &= \frac{6e^x - 10 + 2e^{2x} - 12e^x + 10}{e^{2x} - 6e^x + 5} \\ &= \frac{2e^{2x} - 6e^x}{e^{2x} - 6e^x + 5}\end{aligned}

קיבלנו את הביטוי הנדרש.

תרגיל 6

נתון כי הישר $y = 2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ . הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ו. ה (1). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$(\ln$ ____ $, \ 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(\ln$ 3 $, \ 0)$

הפתרון:

\begin{aligned}2e^{2x} - 6e^x &= 2e^x(e^x - 3) \\ &= 0\end{aligned}

מונה שווה לאפס (סעיף ד)

\begin{aligned}e^x > 0 \Rightarrow e^x &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3\end{aligned}

$\ln 3$ בתחום ההגדרה: $0 < \ln 3 < \ln 5$

נקודת החיתוך: $(\ln 3, 0)$ .

תרגיל 7

הגרפים I–IV

נתון כי הישר $y = 2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ . הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ו. ה (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף II
בגרף III
גגרף I
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף II

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= \ln 5 \\ \ y &= 0 \ (x \to -\infty) \\ \ y &= 2 \ (x \to \infty)\end{aligned}

האסימפטוטות (סעיף א, $a = 2$ )

f'(x) < 0

הפונקציה יורדת בכל קטע של תחום ההגדרה (סעיף ב)

(\ln 3, 0)

חיתוך יחיד עם ציר ה־ $x$ , בין $0$ ל־ $\ln 5$ (סעיף ה (1))

גרף II: בכל אחד משלושת הקטעים הגרף יורד; משמאל מתחת לאסימפטוטה $y = 0$ , באמצע מ־ $+\infty$ ל־ $-\infty$ דרך $(\ln 3, 0)$ , ומימין מ־ $+\infty$ אל $y = 2$ . גרף I עולה, גרף III יורד מתחת ל־ $y = -2$ , וגרף IV שיקוף שבו הקטע השמאלי מתחיל מעל ציר ה־ $x$ .

תרגיל 8

נתון כי הישר $y = 2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ . הציבו $a = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ו. ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישר $x = \ln 2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2877

הפתרון:

\begin{aligned}f(\ln 2) &= 1 - \frac{5}{3} + 2 \\ &= \frac{4}{3} > 0\end{aligned}

בין $\ln 2$ ל־ $\ln 3$ הגרף מעל ציר ה־ $x$

\int \frac{c}{e^x - c}\,dx = \ln|e^x - c| - x

גוזרים: $\frac{e^x}{e^x - c} - 1 = \frac{c}{e^x - c}$

\begin{aligned}F(x) &= \ln|e^x - 1| - x + \ln|e^x - 5| - x + 2x \\ &= \ln|(e^x - 1)(e^x - 5)|\end{aligned}

פונקציה קדומה של $f$

\begin{aligned}S &= F(\ln 3) - F(\ln 2) \\ &= \ln|2 \cdot (-2)| - \ln|1 \cdot (-3)| \\ &= \ln 4 - \ln 3\end{aligned}

S = \ln\frac{4}{3} \approx 0.288

השטח: $\ln\frac{4}{3} \approx 0.288$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

נתונה הפונקציה $f(x) = 8 \cdot \ln(x^2 + 7) - 2x$ , המוגדרת לכל $x$ .

תרגיל 1

א. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. (יש לכתוב את הנקודה שבה $x$ קטן יותר ראשונה, ואת $y$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 1 $,$ 14.64 $)$ , $($ 7 $,$ 18.2 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{16x}{x^2 + 7} - 2 \\ &= \frac{-2x^2 + 16x - 14}{x^2 + 7} \\ &= \frac{-2(x - 1)(x - 7)}{x^2 + 7}\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= 7\end{aligned}

x < 1: f' < 0 \quad 1 < x < 7: f' > 0 \quad x > 7: f' < 0

סימן המונה: פרבולה הפוכה

(1, \ 8\ln 8 - 2) \approx (1, 14.64): \ \min

יורדת ואחר כך עולה

(7, \ 8\ln 56 - 14) \approx (7, 18.20): \ \max

עולה ואחר כך יורדת

מינימום ב־ $(1, 8\ln 8 - 2) \approx (1, 14.64)$ , מקסימום ב־ $(7, 8\ln 56 - 14) \approx (7, 18.20)$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה והקעירות כלפי מטה של הפונקציה $f(x)$ . (יש לכתוב את הקצוות כמספרים עשרוניים.)

קעירות כלפי מעלה: ____ $< x <$ ____ ; קעירות כלפי מטה: $x <$ ____ או $x >$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: קעירות כלפי מעלה: -2.6458 $< x <$ 2.6458 ; קעירות כלפי מטה: $x <$ -2.6458 או $x >$ 2.6458

הפתרון:

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{16(x^2 + 7) - 16x \cdot 2x}{(x^2 + 7)^2} \\ &= \frac{16(7 - x^2)}{(x^2 + 7)^2}\end{aligned}

נגזרת של $\frac{16x}{x^2 + 7}$

f''(x) > 0 \iff -\sqrt{7} < x < \sqrt{7}

המכנה חיובי

\sqrt{7} \approx 2.646

קעירות כלפי מעלה ב־ $-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$ ; קעירות כלפי מטה ב־ $x < -\sqrt{7}$ או $x > \sqrt{7}$ .

תרגיל 3

הגרפים I–IV

ידוע כי הפונקציה $f(x)$ חותכת את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף III
בגרף II
גגרף IV
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף III

הפתרון:

x \to -\infty: f \to \infty, \quad x \to \infty: f \to -\infty

האיבר $-2x$ גדל מהר מ־ $8\ln(x^2 + 7)$

\min(1, 14.64), \quad \max(7, 18.20)

סעיף א

x = \pm\sqrt{7}

נקודות פיתול (סעיף ב)

גרף III: יורד עד המינימום ב־ $x = 1$ , עולה עד המקסימום ב־ $x = 7$ , ויורד אל $-\infty$ וחוצה את ציר ה־ $x$ פעם אחת (ליד $x \approx 26$ ). גרף II הוא שיקופו, בגרף I הקיצונים מתחלפים, ובגרף IV הפונקציה אינה חותכת את ציר ה־ $x$ בתחום המוצג.

תרגיל 4

ידוע כי הפונקציה $f(x)$ חותכת את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד. נתונה הפונקציה $g(x) = \ln(f(x) - 18)$ , המוגדרת בתחום שבו $f(x) > 18$ . ד (1). כמה אסימפטוטות מאונכות לציר ה־ $x$ יש לפונקציה $g(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

אשתיים: משני צדי המקסימום $x = 7$ , שבו $f(7) \approx 18.2 > 18$
באחת: רק בקטע $x < 1$ מתקיים $f(x) > 18$
גאין: $g(x)$ מוגדרת לכל $x$
דשלוש: הישר $y = 18$ חותך את גרף $f$ בשלוש נקודות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שלוש: הישר $y = 18$ חותך את גרף $f$ בשלוש נקודות

הפתרון:

x < 1: \ f \searrow \text{ מ־}\infty \text{ עד } 14.64 \Rightarrow f = 18 \text{ פעם אחת } (x \approx -0.84)

סעיף א

1 < x < 7: \ f \nearrow \text{ עד } 18.20 > 18 \Rightarrow \text{ פעם אחת } (x \approx 5.67)

x > 7: \ f \searrow \text{ אל } -\infty \Rightarrow \text{ פעם אחת } (x \approx 8.43)

f(x) \to 18^+ \Rightarrow \ln(f(x) - 18) \to -\infty

בקצות תחום ההגדרה של $g$

יש שלוש אסימפטוטות אנכיות, אחת בכל נקודה שבה $f(x) = 18$ .

תרגיל 5

ידוע כי הפונקציה $f(x)$ חותכת את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד. נתונה הפונקציה $g(x) = \ln(f(x) - 18)$ , המוגדרת בתחום שבו $f(x) > 18$ . ד (2). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגה. (יש לכתוב את $y$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 7 $,$ -1.6 $)$

הפתרון:

g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x) - 18}

נגזרת של $\ln$ של פונקציה

\begin{aligned}g'(x) &= 0 \iff f'(x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 7\end{aligned}

f(1) \approx 14.64 < 18

$x = 1$ אינו בתחום ההגדרה של $g$

g(7) = \ln(8\ln 56 - 32) \approx \ln 0.2028 \approx -1.60

\text{ליד } x = 7: \ g' \text{ עוברת מחיובית לשלילית}

$f - 18 > 0$ , והסימן של $g'$ הוא הסימן של $f'$

מקסימום ב־ $(7, \ln(8\ln 56 - 32)) \approx (7, -1.60)$ .

תרגיל 6

הגרפים I–IV

ידוע כי הפונקציה $f(x)$ חותכת את ציר ה־ $x$ בנקודה אחת בלבד. נתונה הפונקציה $g(x) = \ln(f(x) - 18)$ , המוגדרת בתחום שבו $f(x) > 18$ . ד (3). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף I
בגרף IV
גגרף III
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף IV

הפתרון:

x < -0.84 \ \text{או} \ 5.67 < x < 8.43

תחום ההגדרה (סעיף ד (1))

x \to -\infty: g \to \infty

$f \to \infty$

\max(7, -1.60)

סעיף ד (2)

גרף IV: ענף שמאלי שיורד מ־ $+\infty$ אל $-\infty$ ליד $x \approx -0.84$ , וקשת קטנה בין שתי אסימפטוטות סביב $x = 7$ , שכולה מתחת לציר ה־ $x$ (המקסימום $-1.60$ ). גרף I הפוך, בגרף II הקשת חסרה אסימפטוטות, ובגרף III אין קשת.

לפתור את השאלה באתר

בגרות במתמטיקה 35572, קיץ 2026, מועד ב׳ — פתרון מלא

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — פרבולה, משיק ומעגל

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 2 — פירמידה ווקטורים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 3 — מספרים מרוכבים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

תרגיל 8

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות