בגרות במתמטיקה 35581 קיץ 2026

שאלה 1 — בעיית תנועה: הולך רגל ורוכב אופניים

היישובים $A$ , $B$ ו־ $C$ נמצאים על ישר אחד. היישוב $B$ נמצא באמצע הקטע $AC$ (ראו סרטוט). הולך רגל יצא בשעה 9:00 מן היישוב $B$ והלך במהירות קבועה ליישוב $A$ . רוכב אופניים יצא בשעה 9:00 מן היישוב $B$ ורכב במהירות קבועה ליישוב $C$ . כאשר הגיע רוכב האופניים ליישוב $C$ , הוא מייד יצא חזרה ליישוב $B$ באותה המהירות שבה רכב קודם. כאשר הגיע רוכב האופניים חזרה ליישוב $B$ , עבר הולך הרגל $\frac{2}{3}$ מן המרחק בין היישוב $B$ ליישוב $A$ .

תרגיל 1

א. מצאו פי כמה גדולה המהירות של רוכב האופניים מן המהירות של הולך הרגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= d\end{aligned}

נסמן ב־ $d$ את המרחק, $B$ באמצע הקטע $AC$

t = \frac{2d}{u}

$u$ מהירות רוכב האופניים: הוא רכב מ־ $B$ ל־ $C$ וחזרה, דרך $2d$

v \cdot \frac{2d}{u} = \frac{2}{3}d

$v$ מהירות הולך הרגל: הדרך שעבר באותו הזמן $t$

\frac{2v}{u} = \frac{2}{3}

מחלקים את שני האגפים ב־ $d$

6v = 2u

כופלים בהצלבה

u = 3v

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

המהירות של רוכב האופניים גדולה פי $3$ מן המהירות של הולך הרגל.

תרגיל 2

כאשר הגיע רוכב האופניים חזרה ליישוב $B$ , הוא נח במשך שעה, ולאחר מכן יצא ליישוב $A$ באותה המהירות שבה רכב קודם. כאשר הגיע הולך הרגל ליישוב $A$ הוא מייד יצא חזרה ליישוב $B$ באותה המהירות שבה הלך קודם. $6$ דקות לאחר שיצא רוכב האופניים מן היישוב $B$ ליישוב $A$ הוא פגש את הולך הרגל שהיה בדרכו חזרה מן היישוב $A$ . נסמן ב־ $v$ את המהירות של הולך הרגל. ב. הראו כי המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ הוא $2.1v$ .

$AB = BC = d$
המהירות של רוכב האופניים היא $3v$ (סעיף א)
$6$ דקות הן $0.1$ שעה

$AC = 2.1v$

להציג את התשובה והפתרון

$t_1 = \frac{2d}{3v}$ — זמן הרכיבה מ־ $B$ ל־ $C$ וחזרה: דרך $2d$ במהירות $3v$
$T = \frac{2d}{3v} + 1 + 0.1$ — שעה של מנוחה ועוד $6$ דקות של רכיבה ליישוב $A$
$3v \cdot 0.1 = 0.3v$ — המרחק של נקודת המפגש מן היישוב $B$ : הדרך של רוכב האופניים ב־ $6$ הדקות
$vT = d + (d - 0.3v)$ — הולך הרגל הלך מ־ $B$ ל־ $A$ , ואז חזר מ־ $A$ עד נקודת המפגש
$\frac{2d}{3} + 1.1v = 2d - 0.3v$ — מציבים את $T$ ופותחים סוגריים
$1.4v = \frac{4d}{3}$ — מעבירים אגפים
$d = 1.05v$ — כופלים את שני האגפים ב־ $\frac{3}{4}$
$AC = 2.1v$ — $AC = 2d$ , כי $B$ באמצע הקטע $AC$

הפתרון:

t_1 = \frac{2d}{3v}

רוכב האופניים חוזר ל־ $B$ : דרך $2d$ במהירות $3v$ (סעיף א)

T = \frac{2d}{3v} + 1 + 0.1

שעה של מנוחה, ועוד $6$ דקות, שהן $0.1$ שעה

3v \cdot 0.1 = 0.3v

המרחק של נקודת המפגש מן היישוב $B$

vT = d + (d - 0.3v)

הולך הרגל הגיע ל־ $A$ וחזר עד נקודת המפגש

v\left(\frac{2d}{3v} + 1.1\right) = 2d - 0.3v

מציבים את $T$

\frac{2d}{3} + 1.1v = 2d - 0.3v

פותחים סוגריים

1.4v = \frac{4d}{3}

מעבירים אגפים

d = 1.05v

כופלים את שני האגפים ב־ $\frac{3}{4}$

\begin{aligned}AC &= 2d \\ &= 2.1v\end{aligned}

$B$ באמצע הקטע $AC$

\begin{aligned}\frac{d}{v} &= 1.05 < T \\ &= 1.8\end{aligned}

בדיקה: הולך הרגל אכן הגיע ל־ $A$ לפני המפגש

המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ הוא $2.1v$ .

תרגיל 3

ביום המוחרת, יצאו באותה השעה רוכב האופניים והולך הרגל מן היישוב $C$ ליישוב $A$ . רוכב האופניים רכב במהירות קטנה ב־ $1$ קמ״ש מן המהירות שלו ביום הקודם, והולך הרגל הלך במהירות גדולה ב־ $2$ קמ״ש מן המהירות שלו ביום הקודם. $45$ דקות לפני שהגיע הולך הרגל ליישוב $A$ , הגיע ליישוב זה רוכב האופניים. ג. מצאו את המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.5

הפתרון:

3v - 1, \quad v + 2

המהירויות ביום המוחרת, בקמ״ש: רוכב האופניים, הולך הרגל

\frac{2.1v}{v + 2} - \frac{2.1v}{3v - 1} = \frac{3}{4}

זמן = דרך חלקי מהירות; $45$ דקות הן $\frac{3}{4}$ שעה

8.4v(3v - 1) - 8.4v(v + 2) = 3(v + 2)(3v - 1)

כופלים את שני האגפים ב־ $4(v + 2)(3v - 1)$

25.2v^2 - 8.4v - 8.4v^2 - 16.8v = 9v^2 + 15v - 6

פותחים סוגריים

7.8v^2 - 40.2v + 6 = 0

מעבירים אגפים ומכנסים איברים דומים

13v^2 - 67v + 10 = 0

מחלקים את שני האגפים ב־ $0.6$

\begin{aligned}v &= \frac{67 \pm \sqrt{67^2 - 4 \cdot 13 \cdot 10}}{26} \\ &= \frac{67 \pm 63}{26}\end{aligned}

נוסחת השורשים

\begin{aligned}v &= 5 \\ \quad v &= \frac{2}{13}\end{aligned}

שני הפתרונות

3 \cdot \frac{2}{13} - 1 = -\frac{7}{13} < 0

$v = \frac{2}{13}$ נפסל: המהירות של רוכב האופניים אינה יכולה להיות שלילית

\begin{aligned}AC &= 2.1 \cdot 5 \\ &= 10.5\end{aligned}

מציבים $v = 5$ ב־ $AC = 2.1v$ (סעיף ב)

המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ הוא $10.5$ ק״מ. בדיקה: הולך הרגל הלך $1.5$ שעות ( $10.5$ ק״מ ב־ $7$ קמ״ש), ורוכב האופניים רכב $0.75$ שעה ( $10.5$ ק״מ ב־ $14$ קמ״ש): הפרש של $45$ דקות.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

$a_n$ היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא $q$ . $b_n$ היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא $2q$ . $c_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $c_n = a_n \cdot b_n$ לכל $n$ טבעי.

תרגיל 1

א. הוכיחו כי הסדרה $c_n$ היא הנדסית, והביעו באמצעות $q$ את מנתה.

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$b_{n+1} = b_n \cdot 2q$ לכל $n$ טבעי
$c_n = a_n \cdot b_n$ לכל $n$ טבעי

$c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

להציג את התשובה והפתרון

$c_{n+1} = a_{n+1} \cdot b_{n+1}$ — הגדרת הסדרה $c_n$ , עבור $n + 1$
$a_{n+1} \cdot b_{n+1} = a_n q \cdot b_n \cdot 2q = 2q^2 \cdot a_n b_n$ — המנות של הסדרות ההנדסיות $a_n$ ו־ $b_n$
$a_n \cdot b_n \neq 0$ — בסדרה הנדסית אין איבר ששווה ל־ $0$
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = 2q^2$ — מחלקים ב־ $c_n = a_n b_n \neq 0$ ; המנה אינה תלויה ב־ $n$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

הפתרון:

c_{n+1} = a_{n+1} \cdot b_{n+1}

הגדרת הסדרה $c_n$ , עבור $n + 1$

\begin{aligned}a_{n+1} &= a_n \cdot q \\ \quad b_{n+1} &= b_n \cdot 2q\end{aligned}

המנות של שתי הסדרות ההנדסיות

c_{n+1} = a_n q \cdot b_n \cdot 2q

מציבים

\begin{aligned}c_{n+1} &= 2q^2 \cdot a_n b_n \\ &= 2q^2 \cdot c_n\end{aligned}

מסדרים את הגורמים

\frac{c_{n+1}}{c_n} = 2q^2

מחלקים ב־ $c_n \neq 0$ : בסדרה הנדסית אין איבר ששווה ל־ $0$

היחס בין כל שני איברים סמוכים הוא הקבוע $2q^2$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$ .

תרגיל 2

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ב. מצאו את הערך של $q$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}c_1 &= a_1 \cdot b_1 \\ &= (a_1)^2\end{aligned}

$b_1 = a_1$

\begin{aligned}c_2 &= c_1 \cdot 2q^2 \\ &= 2q^2 (a_1)^2\end{aligned}

המנה של $c_n$ מסעיף א

2q^2 (a_1)^2 = \frac{1}{8}(a_1)^2

הנתון

2q^2 = \frac{1}{8}

מחלקים את שני האגפים ב־ $(a_1)^2 \neq 0$

q^2 = \frac{1}{16}

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

q = \pm\frac{1}{4}

מוציאים שורש משני האגפים

q = \frac{1}{4}

$q = -\frac{1}{4}$ נפסל: סדרה הנדסית עם מנה שלילית מחליפה סימן, ולכן אינה עולה

$q = \frac{1}{4} = 0.25$ .

תרגיל 3

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (1). האם הערך של $a_1$ הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.

אשלילי: $q < 0$ , ולכן איברי הסדרה מחליפים סימן
בחיובי: סדרה עולה מתחילה תמיד באיבר חיובי
גחיובי: $q > 0$ , ולכן כל איברי הסדרה חיוביים
דשלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$

הפתרון:

0 < q = \frac{1}{4} < 1

המנה מסעיף ב

\begin{aligned}a_{n+1} - a_n &= a_n q - a_n \\ &= a_n(q - 1)\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

a_{n+1} - a_n = -\frac{3}{4}a_n

מציבים $q = \frac{1}{4}$

a_{n+1} > a_n \iff -\frac{3}{4}a_n > 0 \iff a_n < 0

הסדרה עולה

a_1 < 0

כל האיברים באותו סימן כמו $a_1$ , כי $q > 0$

$a_1$ שלילי: ב־ $0 < q < 1$ האיברים מתקרבים ל־ $0$ , והם עולים רק כשהם שליליים.

תרגיל 4

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (2). האם הסדרה $c_n$ עולה או יורדת? נמקו את תשובתכם.

אעולה: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $2q^2 = \frac{1}{8}$ חיובית
בעולה: מכפלה של שתי סדרות עולות היא תמיד סדרה עולה
גיורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$
דיורדת: $c_1 < 0$ כי $a_1$ שלילי, והמנה היא $\frac{1}{8}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג יורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$

הפתרון:

c_1 = (a_1)^2 > 0

$b_1 = a_1 \neq 0$

\begin{aligned}2q^2 &= 2 \cdot \frac{1}{16} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

המנה של $c_n$ מסעיף א

c_{n+1} = \frac{1}{8}c_n

כל איבר הוא שמינית מקודמו

c_{n+1} < c_n

כל האיברים חיוביים, ו־ $\frac{1}{8} < 1$

הסדרה $c_n$ יורדת: איברים חיוביים שכל אחד מהם הוא שמינית מקודמו. מכפלה של שתי סדרות עולות ושליליות אינה סדרה עולה.

תרגיל 5

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . נסמן ב־ $S_1$ את סכום הסדרה $a_n$ , ב־ $S_2$ את סכום הסדרה $b_n$ וב־ $S_3$ את סכום הסדרה $c_n$ . נתון: $S_1 + S_2 + S_3 = 434$ . ד. מצאו את הערך של $a_1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -21

הפתרון:

\begin{aligned}S_1 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{4a_1}{3}\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת: $-1 < q < 1$

\begin{aligned}S_2 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 2a_1\end{aligned}

$b_1 = a_1$ , והמנה $2q = \frac{1}{2}$

\begin{aligned}S_3 &= \frac{(a_1)^2}{1 - \frac{1}{8}} \\ &= \frac{8(a_1)^2}{7}\end{aligned}

$c_1 = (a_1)^2$ , והמנה $\frac{1}{8}$

\frac{4a_1}{3} + 2a_1 + \frac{8(a_1)^2}{7} = 434

הנתון

28a_1 + 42a_1 + 24(a_1)^2 = 9114

כופלים את שני האגפים ב־ $21$

24(a_1)^2 + 70a_1 - 9114 = 0

מכנסים איברים דומים ומעבירים אגפים

12(a_1)^2 + 35a_1 - 4557 = 0

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

\begin{aligned}a_1 &= \frac{-35 \pm \sqrt{35^2 + 4 \cdot 12 \cdot 4557}}{24} \\ &= \frac{-35 \pm 469}{24}\end{aligned}

נוסחת השורשים: $\sqrt{219961} = 469$

\begin{aligned}a_1 &= -21 \\ \quad a_1 &= \frac{217}{12}\end{aligned}

שני הפתרונות

a_1 = -21

$a_1$ שלילי (סעיף ג), ולכן הפתרון החיובי נפסל

$a_1 = -21$ : מסעיף ג, $a_1$ שלילי, ולכן הפתרון החיובי נפסל.

לפתור את השאלה באתר

שאלה 3 — הסתברות: כדורים בשני שקים

בשק א׳ ובשק ב׳ יש כדורים משני סוגים: כדורים רכים וכדורים קשים. בשק א׳ יש $10$ כדורים, מתוכם $4$ כדורים רכים והשאר קשים. בשק ב׳ יש $12$ כדורים, מתוכם $x$ כדורים רכים והשאר קשים. גלית בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). נתון כי ההסתברות שגלית הוציאה שני כדורים רכים היא $\frac{41}{200}$ .

תרגיל 1

א. מצאו את הערך של $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

P(R) = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{10}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{x}{12}\right)^2

$R$ : שני כדורים רכים. נוסחת ההסתברות השלמה: כל שק בהסתברות $\frac{1}{2}$ , ושתי ההוצאות בלתי תלויות

P(R) = 0.08 + \frac{x^2}{288}

מחשבים: $\frac{1}{2} \cdot 0.16 = 0.08$

0.08 + \frac{x^2}{288} = 0.205

הנתון: $\frac{41}{200} = 0.205$

\frac{x^2}{288} = 0.125

מחסרים $0.08$ משני האגפים

x^2 = 36

כופלים את שני האגפים ב־ $288$

x = 6

מוציאים שורש; $x$ הוא מספר כדורים, ולכן $x > 0$

בשק ב׳ יש $6$ כדורים רכים ו־ $6$ כדורים קשים.

תרגיל 2

ב. ידוע שגלית הוציאה שני כדורים מאותו הסוג. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים משק א׳?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5098

הפתרון:

\begin{aligned}P(T \mid A) &= 0.4^2 + 0.6^2 \\ &= 0.52\end{aligned}

$T$ : שני כדורים מאותו הסוג. בשק א׳: שני רכים או שני קשים

\begin{aligned}P(T \mid B) &= 0.5^2 + 0.5^2 \\ &= 0.5\end{aligned}

בשק ב׳ יש $6$ רכים ו־ $6$ קשים

\begin{aligned}P(T) &= \frac{1}{2} \cdot 0.52 + \frac{1}{2} \cdot 0.5 \\ &= 0.51\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה

\begin{aligned}P(A \cap T) &= \frac{1}{2} \cdot 0.52 \\ &= 0.26\end{aligned}

בוחרים בשק א׳ ומוציאים שני כדורים מאותו הסוג

\begin{aligned}P(A \mid T) &= \frac{0.26}{0.51} \\ &= \frac{26}{51} \approx 0.5098\end{aligned}

הסתברות מותנית

$\frac{26}{51} \approx 0.51$ .

תרגיל 3

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ג. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בדיוק בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2696

הפתרון:

\begin{aligned}P(H \mid A) &= 0.6^2 \\ &= 0.36\end{aligned}

$H$ : שני כדורים קשים. בשק א׳ יש $6$ קשים מתוך $10$

\begin{aligned}P(H \mid B) &= 0.5^2 \\ &= 0.25\end{aligned}

בשק ב׳ יש $6$ קשים מתוך $12$

\begin{aligned}p &= \frac{1}{2} \cdot 0.36 + \frac{1}{2} \cdot 0.25 \\ &= 0.305\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה: שני קשים בפעם אחת

P = \binom{4}{2} p^2 (1 - p)^2

נוסחת ברנולי: $4$ פעמים בלתי תלויות

P = 6 \cdot 0.305^2 \cdot 0.695^2 \approx 0.2696

מציבים

ההסתברות היא בערך $0.27$ .

תרגיל 4

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ד. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים ובשתיים מן הפעמים רק כדורים רכים? (יש לכתוב שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.023456

הפתרון:

p_1 = 0.305

שני כדורים קשים בפעם אחת (סעיף ג)

\begin{aligned}p_2 &= \frac{41}{200} \\ &= 0.205\end{aligned}

שני כדורים רכים בפעם אחת (נתון)

\binom{4}{2} = 6

בוחרים את שתי הפעמים של הקשים; בשתי האחרות רכים

P = 6 \cdot p_1^2 \cdot p_2^2

כל סידור באותה הסתברות

P = 6 \cdot 0.305^2 \cdot 0.205^2 \approx 0.0235

מציבים

ההסתברות היא בערך $0.023$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 4 — מעגל ודלתון

בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ . $AB$ הוא קוטר במעגל. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל. הנקודה $M$ נמצאת מחוץ למעגל כך שהקטע $AM$ חותך את הקטע $CO$ בנקודה $K$ . הנקודה $E$ נמצאת על הקטע $BO$ כך שהמרובע $EMKO$ הוא דלתון $(MK = ME , OK = OE)$ .

תרגיל 1

א. הוכיחו כי $BC \parallel EK$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$OK = OE$

$BC \parallel EK$

להציג את התשובה והפתרון

$OB = OC$ — רדיוסים במעגל
$\frac{OE}{OB} = \frac{OK}{OC}$ — $OE = OK$ ו־ $OB = OC$
$\triangle OEK \sim \triangle OBC$ — משפט הדמיון צ״ז״צ: הזווית $\angle EOK = \angle BOC$ משותפת, והצלעות שלידה באותו יחס
$\angle OEK = \angle OBC$ — במשולשים דומים, הזוויות המתאימות שוות
$BC \parallel EK$ — זוויות מתאימות שוות בין הישרים $EK$ ו־ $BC$ והחותך $OB$

הפתרון:

OK = OE

נתון: $EMKO$ דלתון

OC = OB

רדיוסים במעגל

\begin{aligned}\angle OEK &= \angle OKE \\ &= \frac{180^\circ - \angle BOC}{2}\end{aligned}

המשולש $OEK$ שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות

\begin{aligned}\angle OBC &= \angle OCB \\ &= \frac{180^\circ - \angle BOC}{2}\end{aligned}

המשולש $OBC$ שווה שוקיים, עם אותה זווית ראש

\angle OEK = \angle OBC

שתי הזוויות שוות לאותו ביטוי

BC \parallel EK

זוויות מתאימות שוות

$\angle OEK = \angle OBC$ הן זוויות מתאימות, ולכן $BC \parallel EK$ .

תרגיל 2

ב. הוכיחו כי $OM \parallel AC$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$MK = ME$ , $OK = OE$

$OM \parallel AC$

להציג את התשובה והפתרון

$\triangle OME \cong \triangle OMK$ — משפט החפיפה צ״צ״צ: $OE = OK$ , $ME = MK$ , והצלע $OM$ משותפת
$\angle MOB = \angle MOC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים ( $E$ על $OB$ , $K$ על $OC$ )
$\angle MOC = \frac{1}{2}\angle BOC$ — $OM$ חוצה את $\angle BOC$
$\angle OAC = \angle OCA$ — $OA = OC$ (רדיוסים): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\angle BOC = 2\angle OCA$ — זווית חיצונית למשולש $AOC$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\angle MOC = \angle OCA$ — מצרפים את שני השוויונים
$OM \parallel AC$ — זוויות מתחלפות שוות בין הישרים $OM$ ו־ $AC$ והחותך $OC$

הפתרון:

\begin{aligned}OK &= OE \\ \quad MK &= ME \\ \quad OM &= OM\end{aligned}

נתון, וצלע משותפת

\triangle OME \cong \triangle OMK

חפיפה לפי צ.צ.צ

\begin{aligned}\angle MOB &= \angle MOC \\ &= \frac{\angle BOC}{2}\end{aligned}

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

\angle OAC = \angle OCA

$OA = OC$ רדיוסים: המשולש $AOC$ שווה שוקיים

\begin{aligned}\angle BOC &= \angle OAC + \angle OCA \\ &= 2\angle OCA\end{aligned}

זווית חיצונית למשולש $AOC$

\angle MOC = \angle OCA

מחלקים ב־ $2$

OM \parallel AC

זוויות מתחלפות שוות

$\angle MOC$ ו־ $\angle OCA$ הן זוויות מתחלפות שוות, ולכן $OM \parallel AC$ .

תרגיל 3

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $\frac{OM}{AC}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

\triangle OEK \sim \triangle OBC

דמיון לפי ז.ז: זווית משותפת $O$ , וזוויות מתאימות כי $BC \parallel EK$

\begin{aligned}\frac{OK}{OC} &= \frac{EK}{BC} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

יחס הדמיון, והנתון

OK = \frac{3}{5}R

$OC = R$ , רדיוס המעגל

\begin{aligned}KC &= R - \frac{3}{5}R \\ &= \frac{2}{5}R\end{aligned}

חיסור קטעים

\triangle KOM \sim \triangle KCA

דמיון לפי ז.ז: זוויות קודקודיות ב־ $K$ , וזוויות מתחלפות כי $OM \parallel AC$

\frac{OM}{AC} = \frac{OK}{KC}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{OM}{AC} &= \frac{\frac{3}{5}R}{\frac{2}{5}R} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

מציבים ומצמצמים ב־ $R$

$\frac{OM}{AC} = \frac{3}{2} = 1.5$ .

תרגיל 4

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . נסמן ב־ $S$ את שטח הדלתון $EMKO$ . ד. הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש $AOC$ . (יש לכתוב את המקדם כמספר עשרוני.)

$S_{AOC} =$ ____ $\cdot S$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S_{AOC} =$ 0.5556 $\cdot S$

הפתרון:

S_{OKM} = \frac{S}{2}

האלכסון $OM$ מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים

\frac{KC}{OK} = \frac{2}{3}

מסעיף ג

\begin{aligned}\frac{S_{KCA}}{S_{KOM}} &= \left(\frac{2}{3}\right)^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{KCA} &= \frac{4}{9} \cdot \frac{S}{2} \\ &= \frac{2S}{9}\end{aligned}

כופלים ב־ $\frac{S}{2}$

\begin{aligned}\frac{S_{AOK}}{S_{AKC}} &= \frac{OK}{KC} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

אותו גובה מ־ $A$ לישר $OC$

\begin{aligned}S_{AOK} &= \frac{3}{2} \cdot \frac{2S}{9} \\ &= \frac{S}{3}\end{aligned}

כופלים ב־ $\frac{2S}{9}$

\begin{aligned}S_{AOC} &= \frac{S}{3} + \frac{2S}{9} \\ &= \frac{5S}{9}\end{aligned}

חיבור שטחים

\frac{5}{9} \approx 0.556

המקדם כמספר עשרוני

$S_{AOC} = \frac{5}{9}S \approx 0.556 \cdot S$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 5 — טרפז ומעגל חסום

בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ $(AB \parallel DC)$ . נתון כי אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך הצלע $BC$ . נסמן: $AB = BC = k$ , $\angle ACB = \alpha$ , $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ .

תרגיל 1

א. הראו כי $AC = 2k \cdot \cos\alpha$ .

$AB = BC = k$
$\angle ACB = \alpha$

$AC = 2k \cdot \cos\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$ — במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = BC$ ), זוויות הבסיס שוות
$\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$ — סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$
$\frac{AC}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{k}{\sin\alpha}$ — משפט הסינוסים במשולש $ABC$ : $AC$ מול $\angle ABC$ , $BC = k$ מול $\angle BAC$
$AC = \frac{k \sin 2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2k \sin\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha}$ — $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$AC = 2k \cdot \cos\alpha$ — מצמצמים ב־ $\sin\alpha \neq 0$

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= k\end{aligned}

נתון

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle BCA \\ &= \alpha\end{aligned}

המשולש $ABC$ שווה שוקיים

\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha

סכום הזוויות במשולש

\frac{AC}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{k}{\sin\alpha}

משפט הסינוסים במשולש $ABC$

AC = \frac{k\sin 2\alpha}{\sin\alpha}

$\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha$ ; כופלים במכנה

\begin{aligned}AC &= \frac{k \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ ; מצמצמים ב־ $\sin\alpha$

דרך אחרת: הגובה מ־ $B$ לבסיס $AC$ חוצה אותו, ובמשולש ישר הזווית שנוצר $\frac{AC}{2} = k\cos\alpha$ .

תרגיל 2

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36.8699

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ACD &= \angle BAC \\ &= \alpha\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין המקבילים $AB$ ו־ $DC$

AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos\alpha

משפט הקוסינוסים במשולש $ACD$

(1.2k)^2 = (2k\cos\alpha)^2 + (2k)^2 - 2 \cdot 2k\cos\alpha \cdot 2k \cdot \cos\alpha

מציבים: $AC = 2k\cos\alpha$ מסעיף א

1.44k^2 = 4k^2\cos^2\alpha + 4k^2 - 8k^2\cos^2\alpha

פותחים סוגריים

1.44k^2 = 4k^2 - 4k^2\cos^2\alpha

מכנסים איברים דומים

1.44 = 4 - 4\cos^2\alpha

מחלקים את שני האגפים ב־ $k^2$

4\cos^2\alpha = 2.56

מעבירים אגפים

\cos^2\alpha = 0.64

מחלקים את שני האגפים ב־ $4$

\cos\alpha = 0.8

מוציאים שורש; $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ , ולכן $\cos\alpha > 0$

\alpha \approx 36.87^\circ

מחשבון

$\alpha \approx 36.87^\circ$ .

תרגיל 3

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ג. מצאו את גודל הזווית $ADC$ (בדרגות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 53.1301

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 2k \cdot 0.8 \\ &= 1.6k\end{aligned}

מציבים $\cos\alpha = 0.8$

\begin{aligned}AD^2 + AC^2 &= 1.44k^2 + 2.56k^2 \\ &= 4k^2\end{aligned}

מחשבים

\begin{aligned}DC^2 &= (2k)^2 \\ &= 4k^2\end{aligned}

נתון

\angle DAC = 90^\circ

המשפט ההפוך למשפט פיתגורס

\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 90^\circ - \alpha \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ACD$

\angle ADC \approx 90^\circ - 36.87^\circ = 53.13^\circ

מציבים את $\alpha$ מסעיף ב

$\angle ADC \approx 53.13^\circ$ .

תרגיל 4

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . המשכי הצלעות $DA$ ו־ $CB$ נחתכים בנקודה $E$ . נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש $EDC$ הוא $14$ . ד. מצאו את הערך של $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 23.3333

הפתרון:

\triangle EAB \sim \triangle EDC

$AB \parallel DC$

\begin{aligned}\frac{EA}{ED} &= \frac{EB}{EC} \\ &= \frac{AB}{DC} \\ &= \frac{k}{2k} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}ED &= 2 \cdot AD \\ &= 2.4k\end{aligned}

$A$ אמצע הקטע $ED$

\begin{aligned}EC &= 2 \cdot BC \\ &= 2k\end{aligned}

$B$ אמצע הקטע $EC$

\begin{aligned}CE &= CD \\ &= 2k\end{aligned}

המשולש $EDC$ שווה שוקיים

\begin{aligned}h &= AC \\ &= 1.6k\end{aligned}

הגובה מ־ $C$ לבסיס $ED$ : $AC \perp ED$ (סעיף ג)

\begin{aligned}S_{EDC} &= \frac{1}{2} \cdot 2.4k \cdot 1.6k \\ &= 1.92k^2\end{aligned}

שטח משולש

\begin{aligned}p &= \frac{2k + 2k + 2.4k}{2} \\ &= 3.2k\end{aligned}

חצי ההיקף

\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= \frac{1.92k^2}{3.2k} \\ &= 0.6k\end{aligned}

רדיוס המעגל החסום

0.6k = 14

נתון

\begin{aligned}k &= \frac{14}{0.6} \\ &= \frac{70}{3} \approx 23.33\end{aligned}

מחלקים את שני האגפים ב־ $0.6$

$k = \frac{70}{3} \approx 23.33$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{ax}{(x - 3)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.

תרגיל 1

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ 3 , $y =$ 0

הפתרון:

\begin{aligned}(x - 3)^2 &= 0 \iff x \\ &= 3\end{aligned}

המכנה מתאפס

a \cdot 3 = 3a \neq 0

המונה אינו מתאפס ב־ $x = 3$ , כי $a > 0$

x = 3

אסימפטוטה אנכית

\frac{ax}{(x - 3)^2} = \frac{\frac{a}{x}}{\left(1 - \frac{3}{x}\right)^2} \xrightarrow[x \to \pm\infty]{} 0

מחלקים מונה ומכנה ב־ $x^2$

y = 0

אסימפטוטה אופקית

$x = 3$ ו־ $y = 0$ .

תרגיל 2

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה.

אמקסימום $\left(-3, \frac{a}{12}\right)$
במקסימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$
גמינימום $\left(3, \frac{a}{12}\right)$
דמינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

הפתרון:

f'(x) = \frac{a(x - 3)^2 - ax \cdot 2(x - 3)}{(x - 3)^4}

נגזרת של מנה

f'(x) = \frac{a(x - 3) - 2ax}{(x - 3)^3}

מצמצמים ב־ $x - 3$

f'(x) = \frac{-a(x + 3)}{(x - 3)^3}

פותחים סוגריים ומכנסים: $ax - 3a - 2ax = -ax - 3a$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= -3\end{aligned}

$a > 0$

\begin{aligned}f(-3) &= \frac{-3a}{(-6)^2} \\ &= -\frac{a}{12}\end{aligned}

מציבים $x = -3$

x < -3: \ f'(x) < 0; \quad -3 < x < 3: \ f'(x) > 0

טבלת סימנים: ירידה ואחריה עלייה

\left(-3, -\frac{a}{12}\right)

נקודת מינימום

נקודת מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$ .

תרגיל 3

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף IV
בגרף II
גגרף I
דגרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף III

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף א (1)

f(0) = 0

נקודת החיתוך היחידה עם הצירים: $(0, 0)$

\left(-3, -\frac{a}{12}\right)

נקודת המינימום מסעיף א (2): יורדת עד $x = -3$ , ועולה עד האסימפטוטה

x > 3: \ f(x) > 0, \ f'(x) < 0

מימין לאסימפטוטה: הגרף מעל ציר ה־ $x$ , ויורד אל $y = 0$

גרף III. גרף I הוא $-f(x)$ , בגרף II האסימפטוטה האנכית היא $x = -3$ , ובגרף IV יש אסימפטוטה אופקית $y = 1$ ואין נקודת קיצון.

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= -0.5\end{aligned}

מחסרים $0.5$ משני האגפים

x > 3: \ f(x) > 0

אין שם נקודת חיתוך

x < 3: \ f(x) \ge -\frac{a}{12}

המינימום הוא הערך הקטן ביותר של $f$

-\frac{a}{12} = -0.5

נקודה אחת בדיוק: אם $-\frac{a}{12} < -0.5$ יש שתיים, ואם $-\frac{a}{12} > -0.5$ אין אף אחת

a = 6

כופלים את שני האגפים ב־ $-12$

$a = 6$ : גרף $g$ נוגע בציר ה־ $x$ בנקודה $(-3, 0)$ .

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (1). רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $h(x)$ .

אחיובית: $0 < x < 3$ ; שלילית: $x < 0$ או $x > 3$
בחיובית: $x < -3$ או $x > 3$ ; שלילית: $-3 < x < 3$
גחיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$
דחיובית: $x > -3$ , $x \neq 3$ ; שלילית: $x < -3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג חיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$

הפתרון:

g(x) = \frac{6x}{(x - 3)^2} + 0.5

מציבים $a = 6$

\begin{aligned}g(x) \ge 0 \\ \quad g(-3) &= 0\end{aligned}

ב־ $x > 3$ : $f > 0$ ; ב־ $x < 3$ : $f \ge -0.5$ , והמינימום של $g$ הוא $0$ (סעיף ג)

\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) \\ &= \frac{-6(x + 3)}{(x - 3)^3}\end{aligned}

הנגזרת מסעיף א

x < -3: \ g' < 0; \quad -3 < x < 3: \ g' > 0; \quad x > 3: \ g' < 0

טבלת סימנים

h(x) = g(x) \cdot g'(x)

$g > 0$ פרט ל־ $x = -3$ : לפונקציה $h$ הסימן של $g'$

הסימן של $h = g \cdot g'$ הוא הסימן של $g'$ : חיובית ב־ $-3 < x < 3$ , שלילית ב־ $x < -3$ או $x > 3$ .

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $h(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ בתחום $-9 \le x \le 0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.1328

הפתרון:

\begin{aligned}h(x) &= g(x) \cdot g'(x) \\ &= \left(\frac{g(x)^2}{2}\right)'\end{aligned}

נגזרת של פונקציה מורכבת

\int h(x)\,dx = \frac{g(x)^2}{2} + C

פונקציה קדומה

\begin{aligned}g(-9) &= \frac{-54}{144} + 0.5 \\ &= 0.125\end{aligned}

מציבים $x = -9$

\begin{aligned}g(-3) &= 0 \\ \quad g(0) &= 0.5\end{aligned}

מציבים $x = -3$ ו־ $x = 0$

\begin{aligned}S_1 &= -\int_{-9}^{-3} h\,dx \\ &= -\left(0 - \frac{0.125^2}{2}\right) \\ &= \frac{1}{128}\end{aligned}

$h < 0$ ב־ $-9 < x < -3$

\begin{aligned}S_2 &= \int_{-3}^{0} h\,dx \\ &= \frac{0.5^2}{2} - 0 \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

$h > 0$ ב־ $-3 < x < 0$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{128} + \frac{1}{8} \\ &= \frac{17}{128} \approx 0.1328\end{aligned}

מחברים את שני השטחים

השטח הוא $\frac{17}{128} \approx 0.133$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

נתונה הפונקציה $f(x) = (1 + \cos x) \cdot (-1 + b\cos x)$ , המוגדרת בתחום $-\pi \le x \le \pi$ . $b$ הוא פרמטר. נתון: $0 < b < 1$ .

תרגיל 1

א. האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.

אגם זוגית וגם אי־זוגית: התחום סימטרי, ו־ $f(0) = 0$
בלא זוגית ולא אי־זוגית: יש בה גם קבועים וגם $b\cos x$
גאי־זוגית: $\cos(-x) = -\cos x$ , ולכן $f(-x) = -f(x)$ לכל $x$
דזוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד זוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

הפתרון:

\cos(-x) = \cos x

קוסינוס היא פונקציה זוגית

f(-x) = \left(1 + \cos(-x)\right)\left(-1 + b\cos(-x)\right)

מציבים $-x$ ; התחום $-\pi \le x \le \pi$ סימטרי

\begin{aligned}f(-x) &= (1 + \cos x)(-1 + b\cos x) \\ &= f(x)\end{aligned}

הפונקציה זוגית

f(0) = 2(b - 1) \neq 0

היא אינה אי־זוגית: פונקציה אי־זוגית שמוגדרת ב־ $0$ מקיימת $f(0) = 0$ , ו־ $b < 1$

הפונקציה זוגית. היא לא אי־זוגית: $f(0) = 2(b - 1) \neq 0$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

א $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ ו־ $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$
ב $(-\pi, 0)$ , $(\pi, 0)$ ו־ $\left(\arccos\frac{1}{b}, 0\right)$
ג $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד
ד $(0, 0)$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד

הפתרון:

1 + \cos x = 0

הגורם הראשון מתאפס

\begin{aligned}\cos x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \pm\pi\end{aligned}

בתחום $-\pi \le x \le \pi$

-1 + b\cos x = 0

הגורם השני מתאפס

\cos x = \frac{1}{b}

מעבירים אגפים ומחלקים ב־ $b \neq 0$

\frac{1}{b} > 1

$0 < b < 1$ : אין פתרון, כי $\cos x \le 1$

(-\pi, 0), \quad (\pi, 0)

נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$

$(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ .

תרגיל 3

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = \frac{\pi}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

f'(x) = -\sin x(-1 + b\cos x) + (1 + \cos x)(-b\sin x)

נגזרת של מכפלה

f'(x) = \sin x - b\sin x\cos x - b\sin x - b\sin x\cos x

פותחים סוגריים

f'(x) = \sin x\,(1 - b - 2b\cos x)

מוציאים גורם משותף

\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}\left(1 - b - 2b \cdot \frac{1}{2}\right) \\ &= 0\end{aligned}

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת

1 - b - b = 0

מחלקים את שני האגפים ב־ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

1 - 2b = 0

מכנסים איברים דומים

2b = 1

מעבירים אגפים

b = \frac{1}{2}

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

f'(x) = \sin x\left(\frac{1}{2} - \cos x\right)

בדיקה: מציבים $b = \frac{1}{2}$ בנגזרת

0 < x < \frac{\pi}{3}: \ f' < 0; \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi: \ f' > 0

הנגזרת מחליפה סימן: ב־ $x = \frac{\pi}{3}$ יש נקודת קיצון

$b = \frac{1}{2}$ (ואכן $f'$ מחליפה שם סימן).

תרגיל 4

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (1). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

אמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$
במינימום $(0, -1)$ ; מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
גמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
דמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{3}{4}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

הפתרון:

f'(x) = \sin x\left(\frac{1}{2} - \cos x\right)

מציבים $b = \frac{1}{2}$ בנגזרת מסעיף ג

\begin{aligned}\sin x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm\pi\end{aligned}

הגורם הראשון מתאפס

\begin{aligned}\cos x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{3}\end{aligned}

הגורם השני מתאפס

\begin{aligned}f(0) &= 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= -1\end{aligned}

מציבים $x = 0$

\begin{aligned}f\left(\pm\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \\ &= -\frac{9}{8}\end{aligned}

מציבים $x = \pm\frac{\pi}{3}$

f(\pm\pi) = 0

קצות התחום

0 < x < \frac{\pi}{3}: \ f' < 0; \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi: \ f' > 0

טבלת סימנים; הפונקציה זוגית, ולכן הגרף סימטרי סביב ציר ה־ $y$

מקסימום $(0, -1)$ , מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ , ומקסימום בקצות התחום $(\pm\pi, 0)$ .

תרגיל 5

הגרפים I–IV

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף III
בגרף I
גגרף II
דגרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף II

הפתרון:

(\pm\pi, 0)

מקסימום בקצות התחום (סעיף ד (1))

\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)

שתי נקודות מינימום

(0, -1)

מקסימום נמוך בין שתי נקודות המינימום

f(x) \le 0

הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$

גרף II: שני מינימומים ב־ $\pm\frac{\pi}{3}$ ומקסימום נמוך $(0, -1)$ ביניהם. גרף IV הוא $-f(x)$ , גרף I הוא $f(x + \pi)$ , וגרף III הוא $-\sin^2 x$ .

תרגיל 6

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. נתונה הפונקציה $h(x) = f(x) + \left|f(x)\right|$ , המוגדרת בתחום $-\pi \le x \le \pi$ . נקודה $A$ היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקציה $h(x)$ . ה. האם שיעור ה־ $y$ של נקודה $A$ הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.

אשלילי: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $h(x) = 2f(x) < 0$
באי אפשר לקבוע: הערך תלוי בנקודה $A$ שנבחרה על הגרף
גחיובי: $\left|f(x)\right| \ge 0$ , ולכן $h(x) = 2\left|f(x)\right| > 0$
דשווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$

הפתרון:

1 + \cos x \ge 0

$\cos x \ge -1$

\frac{1}{2}\cos x - 1 < 0

$b = \frac{1}{2}$ , ו־ $\cos x \le 1$

f(x) \le 0

מכפלה של ביטוי אי־שלילי בביטוי שלילי

\left|f(x)\right| = -f(x)

ערך מוחלט של מספר אי־חיובי

\begin{aligned}h(x) &= f(x) - f(x) \\ &= 0\end{aligned}

מציבים

שיעור ה־ $y$ של $A$ שווה אפס: הגרף של $h(x)$ הוא הקטע $-\pi \le x \le \pi$ על ציר ה־ $x$ .

לפתור את השאלה באתר

שאלה 8 — פונקציית שורש ובעיית קיצון

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x^2 - 1}$ . נתון הישר $y = 3x - 3$ .

תרגיל 1

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \le$ ____ או $x \ge$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \le$ -1 או $x \ge$ 1

הפתרון:

x^2 - 1 \ge 0

ביטוי מתחת לשורש ריבועי אינו שלילי

(x - 1)(x + 1) \ge 0

מפרקים לגורמים

x \le -1, \quad x \ge 1

מחוץ לשני השורשים

$x \le -1$ או $x \ge 1$ .

תרגיל 2

ב. מצאו את שיעורי שתי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הישר הנתון. (יש לכתוב קודם את הנקודה ששיעור ה־ $x$ שלה קטן יותר.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 1 $,$ 0 $)$ , $($ 2.6 $,$ 4.8 $)$

הפתרון:

2\sqrt{x^2 - 1} = 3x - 3

משווים את הפונקציה לישר

3x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1

שורש אינו שלילי

4(x^2 - 1) = 9(x - 1)^2

מעלים את שני האגפים בריבוע

4x^2 - 4 = 9x^2 - 18x + 9

פותחים סוגריים

5x^2 - 18x + 13 = 0

מעבירים אגפים

\begin{aligned}x &= \frac{18 \pm \sqrt{324 - 260}}{10} \\ &= \frac{18 \pm 8}{10}\end{aligned}

נוסחת השורשים

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 2.6\end{aligned}

שני הפתרונות מקיימים $x \ge 1$

\begin{aligned}y &= 3 \cdot 1 - 3 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $x = 1$ בישר

\begin{aligned}y &= 3 \cdot 2.6 - 3 \\ &= 4.8\end{aligned}

מציבים $x = 2.6$ בישר

\begin{aligned}2\sqrt{2.6^2 - 1} &= 2 \cdot 2.4 \\ &= 4.8\end{aligned}

בדיקה: מציבים $x = 2.6$ בפונקציה

$(1, 0)$ ו־ $(2.6, 4.8)$ .

תרגיל 3

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (1). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AB$ .

$AB =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AB =$ 2 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -3 ) $t +$ 3

הפתרון:

A\left(t, 2\sqrt{t^2 - 1}\right)

$A$ על גרף הפונקציה

B(t, 3t - 3)

$B$ על הישר, באותו שיעור $x$ כמו $A$

2\sqrt{t^2 - 1} > 3t - 3

בין שתי נקודות החיתוך הגרף מעל הישר (למשל ב־ $t = 2$ : $3.46 > 3$ )

AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - (3t - 3)

הפרש שיעורי ה־ $y$

AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - 3t + 3

פותחים סוגריים

$AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - 3t + 3$ .

תרגיל 4

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (2). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AC$ . (יש לכתוב את המקדמים כמספרים עשרוניים.)

$AC =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AC =$ 0.6667 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -1 ) $t +$ 1

הפתרון:

y_C = 2\sqrt{t^2 - 1}

$C$ באותו שיעור $y$ כמו $A$

3x_C - 3 = 2\sqrt{t^2 - 1}

$C$ על הישר

3x_C = 2\sqrt{t^2 - 1} + 3

מוסיפים $3$ לשני האגפים

x_C = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} + 1

מחלקים את שני האגפים ב־ $3$

AC = x_C - t

$C$ מימין ל־ $A$ : הישר מתחת לגרף, והוא עולה

AC = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} - t + 1

מציבים

$AC = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} - t + 1$ .

תרגיל 5

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ד. מצאו את הערך של $t$ שבעבורו סכום אורכי הקטעים $AB$ ו־ $AC$ הוא מקסימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.3416

הפתרון:

L(t) = AB + AC

סכום אורכי הקטעים

\begin{aligned}L(t) &= \frac{8}{3}\sqrt{t^2 - 1} - 4t + 4 \\ \quad 1 < t < 2.6\end{aligned}

מחברים את הביטויים מסעיף ג

L'(t) = \frac{8}{3} \cdot \frac{2t}{2\sqrt{t^2 - 1}} - 4

גוזרים: נגזרת של פונקציה מורכבת

L'(t) = \frac{8t}{3\sqrt{t^2 - 1}} - 4

מצמצמים ב־ $2$

\frac{8t}{3\sqrt{t^2 - 1}} = 4

משווים את הנגזרת ל־ $0$

8t = 12\sqrt{t^2 - 1}

כופלים את שני האגפים ב־ $3\sqrt{t^2 - 1}$

2t = 3\sqrt{t^2 - 1}

מחלקים את שני האגפים ב־ $4$

4t^2 = 9(t^2 - 1)

מעלים את שני האגפים בריבוע

4t^2 = 9t^2 - 9

פותחים סוגריים

5t^2 = 9

מעבירים אגפים

t^2 = \frac{9}{5}

מחלקים את שני האגפים ב־ $5$

t = \pm\frac{3}{\sqrt{5}}

מוציאים שורש משני האגפים

t = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.342

$1 < t < 2.6$ : הפתרון השלילי נפסל

L'(1.2) > 0, \quad L'(2) < 0

$L$ עולה ואחר כך יורדת: מקסימום

$t = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34$ .

לפתור את השאלה באתר

מבנה הבחינה

הפתרונות, שאלה אחר שאלה

שאלה 1 — בעיית תנועה: הולך רגל ורוכב אופניים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

שאלה 3 — הסתברות: כדורים בשני שקים

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 4 — מעגל ודלתון

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 5 — טרפז ומעגל חסום

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 8 — פונקציית שורש ובעיית קיצון

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

לפתור את הבחינה כמו ביום הבגרות