Entraînement : triangles isométriques

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כאן מתרגלים את כל הפרק: לזהות משפט לפי הסימנים, לכתוב את החפיפה בסדר הנכון, לחשב — ובעיקר להוכיח. התרגילים מסודרים בסדרות, מהקל אל הקשה.

ארבעת המשפטים — בכרטיס אחד

צ.צ.צ\text{צ.צ.צ}

שלוש צלעות שוות בהתאמה

צ.ז.צ\text{צ.ז.צ}

שתי צלעות, והזווית הכלואה ביניהן

ז.צ.ז\text{ז.צ.ז}

שתי זוויות, והצלע שביניהן

צ.צ.ז\text{צ.צ.ז}

שתי צלעות, והזווית שמול הגדולה מביניהן

שני צירופים שנראים כמו משפט — ואינם.

צ.צ.ז — זווית מול הצלע הקטנה\text{צ.צ.ז — זווית מול הצלע הקטנה}
צ.צ.ז — זווית מול הצלע הגדולה\text{צ.צ.ז — זווית מול הצלע הגדולה}

כשהזווית נמצאת מול הצלע הקטנה מבין השתיים, יכולים להתאים לנתונים שני משולשים שונים.

ז.ז.ז — שלוש זוויות\text{ז.ז.ז — שלוש זוויות}
ז.צ.ז — שתי זוויות וצלע\text{ז.צ.ז — שתי זוויות וצלע}

זוויות קובעות רק צורה, לא גודל. צריך לפחות צלע אחת.

איך מוצאים את הדרך להוכחה

רוב ההוכחות בפרק נבנות מאותן אבנים. לפני שכותבים שורה אחת, מחפשים בשרטוט:

11

צלע משותפת או זווית משותפת לשני המשולשים.

22

זוויות קודקודיות — איפה ששני קטעים נחתכים.

33

זוויות מתחלפות — איפה שיש ישרים מקבילים.

44

מה שהנתונים «מתרגמים» לשוויון: אמצע נותן שני קטעים שווים, חוצה זווית נותן שתי זוויות שוות, מאונך נותן זוויות ישרות.

55

ואם המטרה היא צלע או זווית — מחפשים שני משולשים שכל אחד מכיל אחד מהם. מוכיחים שהם חופפים, ואז «צלעות מתאימות» או «זוויות מתאימות».

המטרה בתרגיל היא להוכיח AB=CDAB = CD. מה הצעד הראשון?

Voir la réponse et le corrigé

לחפש שני משולשים — אחד שהצלע ABAB היא צלע שלו, ואחד שהצלע CDCD היא צלע שלו — ולבדוק אם אפשר להוכיח שהם חופפים.

Exercices

סדרה א — איזה משפט?

Exercice 1

ABCDEF

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.ז.צ
  2. צ.צ.צ
  3. צ.צ.ז
  4. אין מספיק נתונים לחפיפה
  5. ז.צ.ז
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B צ.צ.צ

Corrigé :

AB=DE BC=EF CA=FD\begin{aligned}AB &= DE \\ \ BC &= EF \\ \ CA &= FD\end{aligned}

שלוש צלעות — צ.צ.צ

שלושה זוגות של צלעות, אף זווית: צ.צ.צ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCPQR

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.צ.צ
  2. ז.צ.ז
  3. אין מספיק נתונים לחפיפה
  4. צ.ז.צ
  5. צ.צ.ז
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D צ.ז.צ

Corrigé :

BC, ∠C, CABC ,\ \angle C ,\ CA

צלע, זווית כלואה, צלע

הצלעות המסומנות הן BCBC ו-CACA, והן נפגשות ב-CC. הזווית המסומנת היא ∠C\angle C — כלואה ביניהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCKLM

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.צ.ז
  2. צ.ז.צ
  3. אין מספיק נתונים לחפיפה
  4. ז.צ.ז
  5. צ.צ.צ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ז.צ.ז

Corrigé :

∠B, BC, ∠C\angle B ,\ BC ,\ \angle C

זווית, צלע, זווית

הזוויות המסומנות הן ∠B\angle B ו-∠C\angle C, והצלע המסומנת היא BCBC — בדיוק ביניהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCDEF
AB=DE=5AB = DE = 5, BC=EF=7BC = EF = 7.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. אין מספיק נתונים לחפיפה
  2. צ.צ.ז
  3. צ.צ.צ
  4. ז.צ.ז
  5. צ.ז.צ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A אין מספיק נתונים לחפיפה

Corrigé :

AB, BC  →  ∠BAB ,\ BC \;\to\; \angle B

הזווית הכלואה הייתה צריכה להיות ∠B\angle B

∠C מול AB=5<7\angle C \text{ מול } AB = 5 < 7

מול הצלע הקטנה — לא צ.צ.ז

הצלעות המסומנות הן ABAB ו-BCBC, והן נפגשות ב-BB. הזווית המסומנת היא ∠C\angle C — לא כלואה, ולכן אין צ.ז.צ. והיא מול AB=5AB = 5, הצלע הקטנה מבין השתיים, ולכן גם צ.צ.ז אינו חל: ייתכנו שני משולשים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCDEF

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.ז.צ
  2. אין מספיק נתונים לחפיפה
  3. צ.צ.ז
  4. צ.צ.צ
  5. ז.צ.ז
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אין מספיק נתונים לחפיפה

Corrigé :

∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F\end{aligned}

אין אף צלע — אין חפיפה

שלוש זוויות שוות ואף צלע: הצורה זהה, אבל הגודל לא נקבע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCDEF

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.ז.צ
  2. צ.צ.צ
  3. אין מספיק נתונים לחפיפה
  4. צ.צ.ז
  5. ז.צ.ז
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : E ז.צ.ז

Corrigé :

∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B

הזווית השלישית שווה

∠B, BC, ∠C\angle B ,\ BC ,\ \angle C

ז.צ.ז

הצלע המסומנת BCBC אינה בין ∠A\angle A ל-∠B\angle B. אבל שתי זוויות שוות גוררות שגם ∠C=∠F\angle C = \angle F — ועכשיו BCBC בין ∠B\angle B ל-∠C\angle C. לכן ז.צ.ז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCD
המשולשים ABCABC ו-ADCADC.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. ז.צ.ז
  2. צ.ז.צ
  3. צ.צ.ז
  4. אין מספיק נתונים לחפיפה
  5. צ.צ.צ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : E צ.צ.צ

Corrigé :

AB=AD BC=DC AC=AC\begin{aligned}AB &= AD \\ \ BC &= DC \\ \ AC &= AC\end{aligned}

שלוש צלעות

מסומנים שני זוגות של צלעות, והזוג השלישי מגיע מהשרטוט: ACAC היא צלע משותפת. שלוש צלעות — צ.צ.צ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABOCD
המשולשים AOBAOB ו-CODCOD.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. אין מספיק נתונים לחפיפה
  2. צ.ז.צ
  3. צ.צ.צ
  4. צ.צ.ז
  5. ז.צ.ז
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B צ.ז.צ

Corrigé :

AO=CO ∠AOB=∠COD BO=DO\begin{aligned}AO &= CO \\ \ \angle AOB &= \angle COD \\ \ BO &= DO\end{aligned}

צ.ז.צ

שני זוגות של צלעות מסומנים, והזווית מגיעה מהשרטוט: ∠AOB=∠COD\angle AOB = \angle COD קודקודיות. היא כלואה בין הצלעות המסומנות — צ.ז.צ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABODC
המשולשים ABOABO ו-DCODCO. AB∥CDAB \parallel CD.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.ז.צ
  2. צ.צ.ז
  3. אין מספיק נתונים לחפיפה
  4. צ.צ.צ
  5. ז.צ.ז
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : E ז.צ.ז

Corrigé :

∠BAO, AO, ∠AOB\angle BAO ,\ AO ,\ \angle AOB

זווית, צלע, זווית

צלע אחת מסומנת. שתי הזוויות מגיעות מהשרטוט: ∠BAO=∠CDO\angle BAO = \angle CDO מתחלפות, ו-∠AOB=∠DOC\angle AOB = \angle DOC קודקודיות. הצלע AOAO נמצאת ביניהן — ז.צ.ז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ABCDEF

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.צ.צ
  2. אין מספיק נתונים לחפיפה
  3. צ.צ.ז
  4. צ.ז.צ
  5. ז.צ.ז
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אין מספיק נתונים לחפיפה

Corrigé :

AB=DE CA=FD\begin{aligned}AB &= DE \\ \ CA &= FD\end{aligned}

שתי צלעות בלבד — אין מספיק נתונים

רק שני זוגות של צלעות, בלי זווית ובלי צלע שלישית. אפשר לפתוח את הזווית ב-AA יותר או פחות — ולקבל משולשים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCDEF
AB=DE=5AB = DE = 5, BC=EF=7BC = EF = 7.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. צ.צ.צ
  2. ז.צ.ז
  3. צ.צ.ז
  4. אין מספיק נתונים לחפיפה
  5. צ.ז.צ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C צ.צ.ז

Corrigé :

∠A מול BC=7>5\angle A \text{ מול } BC = 7 > 5

מול הצלע הגדולה

צ.צ.ז\text{צ.צ.ז}

הזווית המסומנת, ∠A\angle A, אינה כלואה בין ABAB ל-BCBC — אבל היא מול BC=7BC = 7, הצלע הגדולה מבין השתיים. זה משפט חפיפה צ.צ.ז.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — סדר הכתיבה

Exercice 12

ABCTRS
הקשתות מראות אילו זוויות מתאימות.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?

  1. △ABC≅△TRS\triangle ABC \cong \triangle TRS
  2. △ABC≅△STR\triangle ABC \cong \triangle STR
  3. △ABC≅△TSR\triangle ABC \cong \triangle TSR
  4. △ABC≅△RST\triangle ABC \cong \triangle RST
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A △ABC≅△TRS\triangle ABC \cong \triangle TRS

Corrigé :

A↔T, B↔R, C↔SA \leftrightarrow T ,\ B \leftrightarrow R ,\ C \leftrightarrow S

לפי הקשתות: קשת אחת ב-AA וב-TT, שתיים ב-BB וב-RR, שלוש ב-CC וב-SS.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

ABCNLM
הקווים מראים אילו צלעות מתאימות. המשולש השני הפוך.

המשולשים בשרטוט חופפים. איזו כתיבה נכונה?

  1. △BCA≅△MNL\triangle BCA \cong \triangle MNL
  2. △BCA≅△NLM\triangle BCA \cong \triangle NLM
  3. △BCA≅△LMN\triangle BCA \cong \triangle LMN
  4. △BCA≅△LNM\triangle BCA \cong \triangle LNM
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C △BCA≅△LMN\triangle BCA \cong \triangle LMN

Corrigé :

B↔L, C↔M, A↔NB \leftrightarrow L ,\ C \leftrightarrow M ,\ A \leftrightarrow N

שימו לב: השם הראשון מתחיל ב-BB. מוצאים את בן־הזוג של BB (בין קו אחד לשני קווים) — זה LL. אחר כך של CC — MM, ושל AA — NN.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתון △MNP≅△RST\triangle MNP \cong \triangle RST. איזו טענה נכונה?

  1. MN=STMN = ST
  2. NP=STNP = ST
  3. ∠N=∠T\angle N = \angle T
  4. MP=RSMP = RS
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B NP=STNP = ST

Corrigé :

N↔S, P↔TN \leftrightarrow S ,\ P \leftrightarrow T
NP=STNP = ST

NPNP מחברת את הקודקוד השני לשלישי, וכך גם STST.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתון △ABC≅△FED\triangle ABC \cong \triangle FED, ו-AB=9AB = 9, BC=12BC = 12, AC=10AC = 10 ס״מ. מה אורך EFEF (בס״מ)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

F↔A, E↔B, D↔CF \leftrightarrow A ,\ E \leftrightarrow B ,\ D \leftrightarrow C
EF=BA=9\begin{aligned}EF &= BA \\ &= 9\end{aligned}

לפי המיקום: F↔AF \leftrightarrow A ו-E↔BE \leftrightarrow B. לכן EFEF מתאימה ל-BABA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

נתון △ABC≅△XYZ\triangle ABC \cong \triangle XYZ. איזו כתיבה אומרת בדיוק אותו דבר?

  1. △BCA≅△ZXY\triangle BCA \cong \triangle ZXY
  2. △ACB≅△XYZ\triangle ACB \cong \triangle XYZ
  3. △CAB≅△ZXY\triangle CAB \cong \triangle ZXY
  4. △CAB≅△XYZ\triangle CAB \cong \triangle XYZ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C △CAB≅△ZXY\triangle CAB \cong \triangle ZXY

Corrigé :

C↔Z, A↔X, B↔YC \leftrightarrow Z ,\ A \leftrightarrow X ,\ B \leftrightarrow Y

בכתיבה △CAB≅△ZXY\triangle CAB \cong \triangle ZXY עדיין C↔ZC \leftrightarrow Z, A↔XA \leftrightarrow X, B↔YB \leftrightarrow Y — אותה התאמה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ABCD

בדלתון שבשרטוט AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. השלימו: △ABC≅△ ?\triangle ABC \cong \triangle \ ?

  1. △DAC\triangle DAC
  2. △ADC\triangle ADC
  3. △CDA\triangle CDA
  4. △ACD\triangle ACD
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B △ADC\triangle ADC

Corrigé :

A↔A, B↔D, C↔CA \leftrightarrow A ,\ B \leftrightarrow D ,\ C \leftrightarrow C

AA מול AA ו-CC מול CC — הם משותפים. ו-BB מול DD, כי AB=ADAB = AD.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — נכון או לא נכון

Exercice 18

במשפט צ.ז.צ, הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות השוות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

צלע, ∠, צלע\text{צלע} ,\ \angle ,\ \text{צלע}

הזווית באמצע, בין שתי הצלעות

זו בדיוק המשמעות של «כלואה». זווית אחרת אינה מספיקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

שני משולשים ישרי זווית עם יתר שווה — חופפים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

32+42=253^2 + 4^2 = 25
12.5+12.5=2512.5 + 12.5 = 25

אותו יתר, ניצבים אחרים

יתר אחד וזווית ישרה אינם מספיקים: משולש עם ניצבים 3 ו-4 ומשולש עם ניצבים 12.5\sqrt{12.5} ו-12.5\sqrt{12.5} — לשניהם יתר 5, והם שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

שני משולשים שווי צלעות, שבשניהם הצלע היא 4 ס״מ, חופפים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

4=4=4\begin{aligned}4 &= 4 \\ &= 4\end{aligned}

שלוש צלעות שוות — צ.צ.צ

שלוש הצלעות שוות — כולן 4 ס״מ. זה צ.צ.צ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

אם △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF וגם △DEF≅△KLM\triangle DEF \cong \triangle KLM, אז △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

AB=DE=KL\begin{aligned}AB &= DE \\ &= KL\end{aligned}

וכך כל צלע וכל זווית

△ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM

כל צלע של ABCABC שווה לצלע המתאימה ב-DEFDEF, וזו שווה לצלע המתאימה ב-KLMKLM. כך גם הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

אם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה וגם זווית אחת שווה, המשולשים חופפים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

AB=DE BC=EF ∠A=∠D\begin{aligned}AB &= DE \\ \ BC &= EF \\ \ \angle A &= \angle D\end{aligned}

זווית שאינה כלואה — מספיקה רק אם היא מול הצלע הגדולה

רק אם הזווית כלואה בין שתי הצלעות (צ.ז.צ), או אם היא מול הצלע הגדולה מביניהן (צ.צ.ז). כשהיא מול הצלע הקטנה, ייתכנו שני משולשים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

שני משולשים ישרי זווית, שבהם שני הניצבים שווים בהתאמה, חופפים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

ניצב, 90∘, ניצב\text{ניצב} ,\ 90^\circ ,\ \text{ניצב}

צ.ז.צ

הזווית הישרה נמצאת בדיוק בין שני הניצבים — היא כלואה. זה צ.ז.צ.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ד — חישובים

Exercice 24

ABCD
AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD, ∠BAC=32∘\angle BAC = 32^\circ.

בדלתון ABCDABCD: AB=ADAB = AD, CB=CDCB = CD, ו-∠BAC=32∘\angle BAC = 32^\circ. מה גודל ∠BAD\angle BAD (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

∠DAC=∠BAC=32∘\begin{aligned}\angle DAC &= \angle BAC \\ &= 32^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

∠BAD=32∘+32∘=64∘\begin{aligned}\angle BAD &= 32^\circ + 32^\circ \\ &= 64^\circ\end{aligned}

מהחפיפה △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC (צ.צ.צ): ∠DAC=∠BAC\angle DAC = \angle BAC. הזווית BADBAD היא הסכום של שתיהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

ABOCD

הקטעים ACAC ו-BDBD נחתכים ב-OO, ו-OO אמצע שניהם. נתון AO=4AO = 4, BO=3BO = 3, AB=5AB = 5 ס״מ. מה היקף המשולש CODCOD (בס״מ)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

CO=AO=4 DO=BO=3 CD=AB=5\begin{aligned}CO &= AO \\ &= 4 \\ \ DO &= BO \\ &= 3 \\ \ CD &= AB \\ &= 5\end{aligned}

צלעות מתאימות

4+3+5=124 + 3 + 5 = 12

△AOB≅△COD\triangle AOB \cong \triangle COD לפי צ.ז.צ, ולכן ההיקפים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

ABCD

במשולש ABCABC: AB=ACAB = AC, והנקודה DD היא אמצע BCBC. נתון ∠BAC=50∘\angle BAC = 50^\circ. מה גודל ∠BAD\angle BAD (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

זוויות מתאימות

∠BAD=50∘:2=25∘\begin{aligned}\angle BAD &= 50^\circ : 2 \\ &= 25^\circ\end{aligned}

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD לפי צ.צ.צ, ולכן ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 27

ABMP

הקטע PMPM מאונך ל-ABAB ועובר באמצע שלו, MM. נתון PA=6.5PA = 6.5 ס״מ ו-AB=5AB = 5 ס״מ. מה היקף המשולש PABPAB (בס״מ)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

PB=PA=6.5\begin{aligned}PB &= PA \\ &= 6.5\end{aligned}

צלעות מתאימות

6.5+6.5+5=186.5 + 6.5 + 5 = 18

△PMA≅△PMB\triangle PMA \cong \triangle PMB לפי צ.ז.צ, ולכן PB=PAPB = PA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

ABCD

במרובע ABCDABCD: AB∥DCAB \parallel DC ו-AD∥BCAD \parallel BC. נתון AB=7AB = 7 ס״מ ו-BC=4BC = 4 ס״מ. מה היקף המרובע (בס״מ)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22

Corrigé :

CD=7 DA=4\begin{aligned}CD &= 7 \\ \ DA &= 4\end{aligned}

צלעות מתאימות

7+4+7+4=227 + 4 + 7 + 4 = 22

האלכסון ACAC יוצר △ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA לפי ז.צ.ז (שני זוגות של זוויות מתחלפות). לכן CD=ABCD = AB ו-DA=BCDA = BC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 29

ABCD
∠BAC=∠DAC=40∘\angle BAC = \angle DAC = 40^\circ.

בשרטוט: AB=ADAB = AD ו-∠BAC=∠DAC=40∘\angle BAC = \angle DAC = 40^\circ. נתון ∠ABC=70∘\angle ABC = 70^\circ. מה גודל ∠BCD\angle BCD (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 140

Corrigé :

∠ACB=180∘−40∘−70∘=70∘\begin{aligned}\angle ACB &= 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות

∠ACD=∠ACB=70∘\begin{aligned}\angle ACD &= \angle ACB \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

∠BCD=70∘+70∘=140∘\begin{aligned}\angle BCD &= 70^\circ + 70^\circ \\ &= 140^\circ\end{aligned}

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC לפי צ.ז.צ (ACAC משותפת). לכן ∠ACD=∠ACB\angle ACD = \angle ACB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 30

ABCDEF
AE=BFAE = BF, ∠ADE=25∘\angle ADE = 25^\circ.

בריבוע ABCDABCD, הנקודה EE על ABAB והנקודה FF על BCBC, ו-AE=BFAE = BF. נתון ∠ADE=25∘\angle ADE = 25^\circ. מה גודל ∠BAF\angle BAF (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

∠BAF=∠ADE=25∘\begin{aligned}\angle BAF &= \angle ADE \\ &= 25^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

△DAE≅△ABF\triangle DAE \cong \triangle ABF לפי צ.ז.צ. ההתאמה: D↔AD \leftrightarrow A, A↔BA \leftrightarrow B, E↔FE \leftrightarrow F — ולכן ∠ADE\angle ADE מתאימה ל-∠BAF\angle BAF.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 31

ABCD

במשולש ABCABC, הקטע ADAD חוצה את ∠A\angle A ומאונך ל-BCBC. נתון ∠B=62∘\angle B = 62^\circ. מה גודל ∠C\angle C (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 62

Corrigé :

∠C=∠B=62∘\begin{aligned}\angle C &= \angle B \\ &= 62^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD לפי ז.צ.ז, ולכן ∠C\angle C מתאימה ל-∠B\angle B.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 32

ABCDEF

הנקודות AA, BB, CC, DD על ישר אחד, ו-AB=CD=3AB = CD = 3, BC=4BC = 4 ס״מ. נתון AE=DF=5AE = DF = 5 ו-CE=BF=6CE = BF = 6 ס״מ. מה היקף המשולש DFBDFB (בס״מ)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

DB=3+4=7\begin{aligned}DB &= 3 + 4 \\ &= 7\end{aligned}
5+6+7=185 + 6 + 7 = 18

היקף DFBDFB

קודם DB=DC+CB=7DB = DC + CB = 7, ואז פשוט מחברים. (המשולשים AECAEC ו-DFBDFB חופפים לפי צ.צ.צ — ולכן גם AC=7AC = 7.)

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 33

ABCD

הנקודות CC ו-DD משני צדי ABAB. נתון ∠CAB=∠DAB=30∘\angle CAB = \angle DAB = 30^\circ ו-∠CBA=∠DBA=45∘\angle CBA = \angle DBA = 45^\circ. מה גודל ∠CAD\angle CAD (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

∠CAD=30∘+30∘=60∘\begin{aligned}\angle CAD &= 30^\circ + 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית CADCAD מורכבת משתי הזוויות שב-AA, משני צדי ABAB.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ה — הוכחות

Exercice 34

PAQB

הנקודות PP ו-QQ משני צדי הקטע ABAB. נתון PA=PBPA = PB ו-QA=QBQA = QB. הוכיחו: ∠APQ=∠BPQ\angle APQ = \angle BPQ.

  • PA=PBPA = PB
  • QA=QBQA = QB

∠APQ=∠BPQ\angle APQ = \angle BPQ

Voir la réponse et le corrigé
  1. PA=PBPA = PB — נתון
  2. QA=QBQA = QB — נתון
  3. PQ=PQPQ = PQ — צלע משותפת
  4. △PAQ≅△PBQ\triangle PAQ \cong \triangle PBQ — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠APQ=∠BPQ\angle APQ = \angle BPQ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

△PAQ≅△PBQ\triangle PAQ \cong \triangle PBQ

צ.צ.צ

∠APQ=∠BPQ\angle APQ = \angle BPQ

זוויות מתאימות

הזוויות אינן בנתונים — מגיעים אליהן דרך חפיפה עם הצלע המשותפת PQPQ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 35

ABCD

במעוין ABCDABCD כל הצלעות שוות. הוכיחו: ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC.

  • AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

זוויות מתאימות

המסקנה: במעוין, האלכסון חוצה את הזוויות שבקצותיו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 36

BECFAD

הנקודות BB, EE, CC, FF על ישר אחד, בסדר הזה. נתון: BE=CFBE = CF, AB=DEAB = DE ו-AC=DFAC = DF. הוכיחו: ∠A=∠D\angle A = \angle D.

  • BE=CFBE = CF
  • AB=DEAB = DE
  • AC=DFAC = DF

∠A=∠D\angle A = \angle D

Voir la réponse et le corrigé
  1. BE=CFBE = CF — נתון
  2. BC=EFBC = EF — הוספנו לשני קטעים שווים את אותו קטע
  3. AB=DEAB = DE — נתון
  4. AC=DFAC = DF — נתון
  5. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF — משפט חפיפה צ.צ.צ
  6. ∠A=∠D\angle A = \angle D — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

BC=BE+EC=CF+EC=EF\begin{aligned}BC &= BE + EC \\ &= CF + EC \\ &= EF\end{aligned}
△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF

צ.צ.צ

∠A=∠D\angle A = \angle D

זוויות מתאימות

הצלע השלישית מתקבלת בחיבור: לקטעים השווים BEBE ו-CFCF מוסיפים את ECEC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 37

ABCD

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, והקטע ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC (הנקודה DD על BCBC). הוכיחו: BD=CDBD = CD.

  • AB=ACAB = AC
  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC

BD=CDBD = CD

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC — נתון
  3. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  4. AD=ADAD = AD — צלע משותפת
  5. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BD=CDBD = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD\begin{aligned}AB &= AC \\ \ \angle BAD &= \angle CAD \\ \ AD &= AD\end{aligned}

צ.ז.צ

BD=CDBD = CD

צלעות מתאימות

המסקנה: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש הוא גם תיכון — הוא מגיע לאמצע הבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 38

ABMCD

הקטעים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה MM. נתון AM=MBAM = MB ו-CM=MDCM = MD. הוכיחו: ∠CAM=∠DBM\angle CAM = \angle DBM.

  • AM=MBAM = MB
  • CM=MDCM = MD

∠CAM=∠DBM\angle CAM = \angle DBM

Voir la réponse et le corrigé
  1. AM=BMAM = BM — נתון
  2. ∠AMC=∠BMD\angle AMC = \angle BMD — זוויות קודקודיות שוות
  3. CM=DMCM = DM — נתון
  4. △AMC≅△BMD\triangle AMC \cong \triangle BMD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. ∠CAM=∠DBM\angle CAM = \angle DBM — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

△AMC≅△BMD\triangle AMC \cong \triangle BMD

צ.ז.צ

∠CAM=∠DBM\angle CAM = \angle DBM

זוויות מתאימות

הזווית ב-MM מגיעה מהחיתוך: זוויות קודקודיות. היא כלואה בין AMAM ל-CMCM, ובין BMBM ל-DMDM.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 39

ABDCE

נתון: AB=ADAB = AD, AC=AEAC = AE ו-∠BAD=∠CAE\angle BAD = \angle CAE (ראו שרטוט). הוכיחו: BC=DEBC = DE.

  • AB=ADAB = AD
  • AC=AEAC = AE
  • ∠BAD=∠CAE\angle BAD = \angle CAE

BC=DEBC = DE

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠BAD=∠CAE\angle BAD = \angle CAE — נתון
  2. ∠BAC=∠DAE\angle BAC = \angle DAE — הוספנו לשתי זוויות שוות את אותה זווית
  3. AB=ADAB = AD — נתון
  4. AC=AEAC = AE — נתון
  5. △BAC≅△DAE\triangle BAC \cong \triangle DAE — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BC=DEBC = DE — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=∠DAE\begin{aligned}\angle BAC &= \angle BAD + \angle DAC \\ &= \angle CAE + \angle DAC \\ &= \angle DAE\end{aligned}
△BAC≅△DAE\triangle BAC \cong \triangle DAE

צ.ז.צ

BC=DEBC = DE

צלעות מתאימות

הזווית הכלואה אינה נתונה. מקבלים אותה בחיבור: לזוויות השוות ∠BAD\angle BAD ו-∠CAE\angle CAE מוסיפים את ∠DAC\angle DAC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 40

ABCDM

נתון מלבן ABCDABCD, והנקודה MM היא אמצע ABAB. הוכיחו: MD=MCMD = MC.

  • ABCDABCD מלבן
  • MM אמצע ABAB

MD=MCMD = MC

Voir la réponse et le corrigé
  1. MM אמצע ABAB — נתון
  2. AM=BMAM = BM — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  3. ∠A=∠B=90∘\angle A = \angle B = 90^\circ — במלבן כל הזוויות ישרות
  4. AD=BCAD = BC — במלבן הצלעות הנגדיות שוות
  5. △AMD≅△BMC\triangle AMD \cong \triangle BMC — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. MD=MCMD = MC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

AM=BM ∠A=∠B AD=BC\begin{aligned}AM &= BM \\ \ \angle A &= \angle B \\ \ AD &= BC\end{aligned}

צ.ז.צ

MD=MCMD = MC

צלעות מתאימות

המלבן נותן זוויות ישרות וצלעות נגדיות שוות, והאמצע נותן את הצלע השלישית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 41

ABCDO

האלכסונים של המרובע ABCDABCD נחתכים ב-OO, ו-OO אמצע של שניהם. הוכיחו: AD∥BCAD \parallel BC.

  • AO=OCAO = OC
  • BO=ODBO = OD

AD∥BCAD \parallel BC

Voir la réponse et le corrigé
  1. AO=COAO = CO — נתון
  2. ∠AOD=∠COB\angle AOD = \angle COB — זוויות קודקודיות שוות
  3. DO=BODO = BO — נתון
  4. △AOD≅△COB\triangle AOD \cong \triangle COB — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. ∠OAD=∠OCB\angle OAD = \angle OCB — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. AD∥BCAD \parallel BC — אם זוויות מתחלפות שוות, הישרים מקבילים

Corrigé :

△AOD≅△COB\triangle AOD \cong \triangle COB

צ.ז.צ

∠OAD=∠OCB\angle OAD = \angle OCB

זוויות מתאימות

AD∥BCAD \parallel BC

זוויות מתחלפות שוות

כאן החפיפה היא רק כלי: היא נותנת זוויות מתחלפות שוות, ומהן — מקבילות. שימו לב להבדל בין «מקבילים ⇐ זוויות מתחלפות שוות» לבין הכיוון ההפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 42

ABOCD

נתון AB∥CDAB \parallel CD. הקטעים ADAD ו-BCBC נחתכים ב-OO, ו-OO היא אמצע BCBC. הוכיחו: AO=DOAO = DO.

  • AB∥CDAB \parallel CD
  • OO אמצע BCBC

AO=DOAO = DO

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB∥CDAB \parallel CD — נתון
  2. ∠ABO=∠DCO\angle ABO = \angle DCO — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  3. OO אמצע BCBC — נתון
  4. BO=COBO = CO — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  5. ∠AOB=∠DOC\angle AOB = \angle DOC — זוויות קודקודיות שוות
  6. △ABO≅△DCO\triangle ABO \cong \triangle DCO — משפט חפיפה ז.צ.ז
  7. AO=DOAO = DO — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

∠ABO, BO, ∠AOB\angle ABO ,\ BO ,\ \angle AOB

ז.צ.ז

AO=DOAO = DO

צלעות מתאימות

זווית מהמקבילים, צלע מהאמצע, וזווית מהחיתוך — והצלע BOBO נמצאת בין שתי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 43

ABCD

במרובע ABCDABCD, האלכסון ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD וגם את ∠BCD\angle BCD. הוכיחו: AB=ADAB = AD.

  • ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD
  • ACAC חוצה את ∠BCD\angle BCD

AB=ADAB = AD

Voir la réponse et le corrigé
  1. ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD — נתון
  2. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת
  4. ACAC חוצה את ∠BCD\angle BCD — נתון
  5. ∠BCA=∠DCA\angle BCA = \angle DCA — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  6. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה ז.צ.ז
  7. AB=ADAB = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

∠BAC, AC, ∠BCA\angle BAC ,\ AC ,\ \angle BCA

ז.צ.ז

AB=ADAB = AD

צלעות מתאימות

שני חוצי זווית נותנים שתי זוויות, והצלע המשותפת ACAC נמצאת ביניהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 44

BCMAD

נתון AB⊥BCAB \perp BC ו-DC⊥BCDC \perp BC. הנקודה MM היא אמצע BCBC, ו-∠AMB=∠DMC\angle AMB = \angle DMC. הוכיחו: AM=DMAM = DM.

  • AB⊥BCAB \perp BC
  • DC⊥BCDC \perp BC
  • MM אמצע BCBC
  • ∠AMB=∠DMC\angle AMB = \angle DMC

AM=DMAM = DM

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB⊥BCAB \perp BC — נתון
  2. DC⊥BCDC \perp BC — נתון
  3. ∠ABM=∠DCM=90∘\angle ABM = \angle DCM = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זוויות ישרות
  4. MM אמצע BCBC — נתון
  5. BM=CMBM = CM — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  6. ∠AMB=∠DMC\angle AMB = \angle DMC — נתון
  7. △ABM≅△DCM\triangle ABM \cong \triangle DCM — משפט חפיפה ז.צ.ז
  8. AM=DMAM = DM — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

∠B, BM, ∠BMA\angle B ,\ BM ,\ \angle BMA

ז.צ.ז

AM=DMAM = DM

צלעות מתאימות

הצלע BMBM נמצאת בין הזווית הישרה שב-BB לזווית שב-MM — ז.צ.ז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 45

BCAD

הנקודות AA ו-DD באותו צד של BCBC. נתון ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB ו-∠ACB=∠DBC\angle ACB = \angle DBC. הוכיחו: AB=DCAB = DC.

  • ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB
  • ∠ACB=∠DBC\angle ACB = \angle DBC

AB=DCAB = DC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB — נתון
  2. BC=CBBC = CB — צלע משותפת
  3. ∠ACB=∠DBC\angle ACB = \angle DBC — נתון
  4. △ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB — משפט חפיפה ז.צ.ז
  5. AB=DCAB = DC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

∠ABC, BC, ∠ACB\angle ABC ,\ BC ,\ \angle ACB

ז.צ.ז

△ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB
AB=DCAB = DC

צלעות מתאימות

שני המשולשים חולקים את BCBC, והזוויות הנתונות נמצאות בשני קצותיה. ההתאמה «מתהפכת»: B↔CB \leftrightarrow C.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 46

ABCDO

בדלתון ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. האלכסונים נחתכים ב-OO. הוכיחו: BO=DOBO = DO. (רמז: צריך שתי חפיפות.)

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD

BO=DOBO = DO

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠BAO=∠DAO\angle BAO = \angle DAO — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  6. AO=AOAO = AO — צלע משותפת
  7. △ABO≅△ADO\triangle ABO \cong \triangle ADO — משפט חפיפה צ.ז.צ
  8. BO=DOBO = DO — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ

∠BAO=∠DAO\angle BAO = \angle DAO

זוויות מתאימות

△ABO≅△ADO\triangle ABO \cong \triangle ADO

צ.ז.צ

BO=DOBO = DO

צלעות מתאימות

החפיפה הראשונה (הגדולה) לא נותנת את BOBO — אבל היא נותנת זווית. עם הזווית הזאת עוברים לחפיפה שנייה, קטנה, שבה BOBO ו-DODO הן צלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 47

ABCDE

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. הנקודה DD היא אמצע BCBC, והנקודה EE על הקטע ADAD. הוכיחו: EB=ECEB = EC. (רמז: צריך שתי חפיפות.)

  • AB=ACAB = AC
  • DD אמצע BCBC
  • EE על ADAD

EB=ECEB = EC

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. DD אמצע BCBC — נתון
  3. BD=CDBD = CD — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  4. AD=ADAD = AD — צלע משותפת
  5. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.צ.צ
  6. ∠BAE=∠CAE\angle BAE = \angle CAE — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  7. AE=AEAE = AE — צלע משותפת
  8. △ABE≅△ACE\triangle ABE \cong \triangle ACE — משפט חפיפה צ.ז.צ
  9. EB=ECEB = EC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

צ.צ.צ

∠BAE=∠CAE\angle BAE = \angle CAE
△ABE≅△ACE\triangle ABE \cong \triangle ACE

צ.ז.צ

EB=ECEB = EC

מהחפיפה הראשונה «קוצרים» את הזווית ב-AA, ואיתה עוברים למשולשים הקטנים ABEABE ו-ACEACE.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 48

ABCDEF
AC=BDAC = BD (הקטעים הארוכים).

הנקודות AA, BB, CC, DD על ישר אחד, בסדר הזה. נתון AC=BDAC = BD, AE=DFAE = DF ו-∠EAB=∠FDC\angle EAB = \angle FDC. הוכיחו: BE=CFBE = CF.

  • AC=BDAC = BD
  • AE=DFAE = DF
  • ∠EAB=∠FDC\angle EAB = \angle FDC

BE=CFBE = CF

Voir la réponse et le corrigé
  1. AC=BDAC = BD — נתון
  2. AB=DCAB = DC — החסרנו משני קטעים שווים את אותו קטע
  3. ∠EAB=∠FDC\angle EAB = \angle FDC — נתון
  4. AE=DFAE = DF — נתון
  5. △ABE≅△DCF\triangle ABE \cong \triangle DCF — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BE=CFBE = CF — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

AB=AC−BC=BD−BC=DC\begin{aligned}AB &= AC - BC \\ &= BD - BC \\ &= DC\end{aligned}
△ABE≅△DCF\triangle ABE \cong \triangle DCF

צ.ז.צ

BE=CFBE = CF

צלעות מתאימות

כאן מחסירים: מהקטעים השווים ACAC ו-BDBD מורידים את הקטע המשותף BCBC, ונשארים ABAB ו-DCDC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 49

BCAD

נתון AB=DCAB = DC ו-AC=DBAC = DB (ראו שרטוט). הוכיחו: ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB.

  • AB=DCAB = DC
  • AC=DBAC = DB

∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=DCAB = DC — נתון
  2. AC=DBAC = DB — נתון
  3. BC=CBBC = CB — צלע משותפת
  4. △ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

△ABC≅△DCB\triangle ABC \cong \triangle DCB

צ.צ.צ

∠ABC=∠DCB\angle ABC = \angle DCB

זוויות מתאימות

שני המשולשים חולקים את הבסיס BCBC. זו הדרך להוכיח שבטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 50

BDMAC

הקטעים ABAB ו-CDCD מאונכים ל-BDBD, ו-AB=CDAB = CD. הנקודה MM היא אמצע BDBD. הוכיחו: MA=MCMA = MC.

  • AB⊥BDAB \perp BD
  • CD⊥BDCD \perp BD
  • AB=CDAB = CD
  • MM אמצע BDBD

MA=MCMA = MC

Voir la réponse et le corrigé
  1. MM אמצע BDBD — נתון
  2. BM=DMBM = DM — אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים
  3. AB⊥BDAB \perp BD — נתון
  4. CD⊥BDCD \perp BD — נתון
  5. ∠ABM=∠CDM=90∘\angle ABM = \angle CDM = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זוויות ישרות
  6. AB=CDAB = CD — נתון
  7. △ABM≅△CDM\triangle ABM \cong \triangle CDM — משפט חפיפה צ.ז.צ
  8. MA=MCMA = MC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

AB, ∠B, BMAB ,\ \angle B ,\ BM

צ.ז.צ

MA=MCMA = MC

צלעות מתאימות

הזווית הישרה ב-BB כלואה בין ABAB ל-BMBM, וזו שב-DD — בין CDCD ל-DMDM.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 51

ABCDE

במשולש ABCABC, הקטע ADAD הוא תיכון לצלע BCBC. מאריכים את ADAD מעבר ל-DD עד הנקודה EE, כך ש-DE=ADDE = AD. הוכיחו: BE=ACBE = AC.

  • ADAD תיכון לצלע BCBC
  • DE=ADDE = AD

BE=ACBE = AC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ADAD תיכון לצלע BCBC — נתון
  2. BD=CDBD = CD — תיכון מגיע לאמצע הצלע שמולו
  3. ∠BDE=∠CDA\angle BDE = \angle CDA — זוויות קודקודיות שוות
  4. DE=DADE = DA — נתון
  5. △BDE≅△CDA\triangle BDE \cong \triangle CDA — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BE=ACBE = AC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

BD=CD ∠BDE=∠CDA DE=DA\begin{aligned}BD &= CD \\ \ \angle BDE &= \angle CDA \\ \ DE &= DA\end{aligned}

צ.ז.צ

BE=ACBE = AC

צלעות מתאימות

זה תרגיל מוכר מאוד — «הכפלת התיכון». הקטע AEAE והצלע BCBC חוצים זה את זה ב-DD, בדיוק כמו בפרפר.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ו — מצאו את הטעות

Exercice 52

ABCD

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD חוצה את ∠A\angle A. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

AB=AC(נתון)AB = AC \quad (\text{נתון})
∠BAD=∠CAD(חוצה זווית)\angle BAD = \angle CAD \quad (\text{חוצה זווית})
AD=AD(צלע משותפת)AD = AD \quad (\text{צלע משותפת})
△ABD≅△ADC(צ.ז.צ)\triangle ABD \cong \triangle ADC \quad (\text{צ.ז.צ})
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : △ABD≅△ADC(צ.ז.צ)\triangle ABD \cong \triangle ADC \quad (\text{צ.ז.צ}) → △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

Corrigé :

A↔A, B↔C, D↔DA \leftrightarrow A ,\ B \leftrightarrow C ,\ D \leftrightarrow D

המשפט נכון, אבל ההתאמה לא: BB מתאים ל-CC, ו-DD מתאים ל-DD. בכתיבה △ADC\triangle ADC האות DD עומדת מול BB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 53

ABOCD

הקטעים ACAC ו-BDBD נחתכים ב-OO, ו-OO אמצע שניהם. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

AO=CO(נתון)AO = CO \quad (\text{נתון})
∠AOB=∠COD(זוויות מתחלפות)\angle AOB = \angle COD \quad (\text{זוויות מתחלפות})
BO=DO(נתון)BO = DO \quad (\text{נתון})
△AOB≅△COD(צ.ז.צ)\triangle AOB \cong \triangle COD \quad (\text{צ.ז.צ})
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠AOB=∠COD(זוויות מתחלפות)\angle AOB = \angle COD \quad (\text{זוויות מתחלפות}) → ∠AOB=∠COD(זוויות קודקודיות)\angle AOB = \angle COD \quad (\text{זוויות קודקודיות})

Corrigé :

∠AOB=∠COD\angle AOB = \angle COD

זוויות קודקודיות, לא מתחלפות

השוויון נכון, אבל הנימוק לא: אין כאן ישרים מקבילים. הזוויות שוות כי הן קודקודיות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 54

ABCD

בדלתון ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

AB=AD(נתון)AB = AD \quad (\text{נתון})
CB=CD(נתון)CB = CD \quad (\text{נתון})
AC=BD(צלע משותפת)AC = BD \quad (\text{צלע משותפת})
△ABC≅△ADC(צ.צ.צ)\triangle ABC \cong \triangle ADC \quad (\text{צ.צ.צ})
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AC=BD(צלע משותפת)AC = BD \quad (\text{צלע משותפת}) → AC=AC(צלע משותפת)AC = AC \quad (\text{צלע משותפת})

Corrigé :

AC=ACAC = AC

הצלע המשותפת לשני המשולשים

הצלע המשותפת היא ACAC — היא שייכת לשני המשולשים. BDBD אינה צלע של אף אחד מהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 55

בשני משולשים נתון AB=DEAB = DE, ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

AB=DE(נתון)AB = DE \quad (\text{נתון})
∠A=∠D(נתון)\angle A = \angle D \quad (\text{נתון})
∠B=∠E(נתון)\angle B = \angle E \quad (\text{נתון})
△ABC≅△DEF(צ.ז.צ)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{צ.ז.צ})
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : △ABC≅△DEF(צ.ז.צ)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{צ.ז.צ}) → △ABC≅△DEF(ז.צ.ז)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{ז.צ.ז})

Corrigé :

∠A, AB, ∠B\angle A ,\ AB ,\ \angle B

זווית, צלע, זווית — ז.צ.ז

החפיפה נכונה, אבל המשפט לא: נתונות שתי זוויות והצלע שביניהן — זה ז.צ.ז.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe