Le cas ACA

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

המשפט השלישי הופך את התפקידים: שתי זוויות וצלע אחת. וגם כאן המיקום קובע: הצלע היא זו שבין שתי הזוויות.

משפט חפיפה ז.צ.ז (זווית, צלע, זווית). שני משולשים השווים בהתאמה בשתי זוויות ובצלע שביניהן — חופפים.

למה זה עובד?

קחו קטע ABAB, ובכל אחד מקצותיו «נעלו» זווית. מכל קצה יוצאת קרן — ושתי הקרניים נפגשות בנקודה אחת בלבד. הנקודה הזאת היא הקודקוד השלישי, ולכן כל המשולש נקבע.

ABC
הצלע ABAB והזוויות בשני קצותיה קבועות. שתי הקרניים נפגשות בנקודה אחת בלבד — CC.

בז.צ.ז — איפה צריכה להיות הצלע?

Voir la réponse et le corrigé

בין שתי הזוויות הנתונות: זו הצלע שמחברת את שני הקודקודים שלהן. זוויות ב-AA וב-BB דורשות את הצלע ABAB.

ומה אם הצלע אינה בין הזוויות?

כאן יש קיצור דרך. סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180∘180^\circ, ולכן אם שתי זוויות שוות — גם השלישית שווה. אז קודם מחשבים את הזווית השלישית, ועכשיו הצלע כבר כן נמצאת בין שתי זוויות ידועות.

∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ BC &= EF\end{aligned}

נתון: הצלע BCBC אינה בין AA ל-BB

∠C=180∘−∠A−∠B=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית שווה גם היא

∠B, BC, ∠C\angle B ,\ BC ,\ \angle C

עכשיו BCBC בין שתי זוויות — ז.צ.ז

שלוש זוויות, בלי אף צלע, אינן מספיקות.

∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F  ⇒  חופפים\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F \;\Rightarrow\; \text{חופפים}\end{aligned}
∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E  ⇒  חופפים\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ AB &= DE \\ \ \angle B &= \angle E \;\Rightarrow\; \text{חופפים}\end{aligned}

זוויות קובעות רק את הצורה. בלי אף צלע, משולש יכול להיות קטן או גדול. צריך לפחות צלע אחת — במקום הנכון.

דוגמה מלאה

ABODC
AB∥CDAB \parallel CD, והנקודה OO היא אמצע ADAD.

דוגמה: AB∥CDAB \parallel CD, והקטעים ADAD ו-BCBC נחתכים ב-OO. נתון ש-OO אמצע ADAD. הוכיחו ש-△ABO≅△DCO\triangle ABO \cong \triangle DCO.

AB∥CDAB \parallel CD

OO אמצע ADAD

△ABO≅△DCO\triangle ABO \cong \triangle DCO

∠BAO=∠CDO\angle BAO = \angle CDO

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים — זווית

AO=DOAO = DO

OO אמצע ADAD — צלע

∠AOB=∠DOC\angle AOB = \angle DOC

זוויות קודקודיות — זווית

ז.צ.ז

שתי הזוויות לא נתונות — אחת מגיעה מהמקבילים והשנייה מהחיתוך. והצלע AOAO נמצאת בדיוק ביניהן: היא מחברת את AA ל-OO.

נתונים ∠A\angle A, ∠B\angle B והצלע BCBC. האם אפשר להשתמש בז.צ.ז?

Voir la réponse et le corrigé

כן, בצעד אחד נוסף: מחשבים ∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B. עכשיו BCBC נמצאת בין ∠B\angle B ל-∠C\angle C.

Exercices

Exercice 1

ABCDEF
שתי זוויות וצלע מסומנות בכל משולש.

לפי הסימנים בשרטוט, האם המשולשים חופפים? אם כן — לפי איזה משפט?

  1. כן, לפי ז.צ.ז
  2. כן, לפי צ.צ.צ
  3. כן, לפי צ.ז.צ
  4. לא, צריך עוד צלע
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כן, לפי ז.צ.ז

Corrigé :

∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ AB &= DE \\ \ \angle B &= \angle E\end{aligned}

זווית, צלע, זווית

מסומנות הזוויות AA ו-BB, והצלע ABAB שמחברת ביניהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ABCDEF
מסומנות שתי זוויות שוות בכל משולש.

בשרטוט מסומנים ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E. איזה נתון נוסף יאפשר להוכיח חפיפה לפי ז.צ.ז?

  1. BC=EFBC = EF
  2. ∠C=∠F\angle C = \angle F
  3. AC=DFAC = DF
  4. AB=DEAB = DE
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D AB=DEAB = DE

Corrigé :

∠A, AB, ∠B\angle A ,\ AB ,\ \angle B

הצלע שבין שתי הזוויות

הצלע שבין הזוויות AA ו-BB היא ABAB. (∠C=∠F\angle C = \angle F לא יעזור: היא נובעת ממילא מסכום הזוויות, ושלוש זוויות אינן מספיקות.)

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

אם שלוש הזוויות של משולש אחד שוות לשלוש הזוויות של משולש שני, המשולשים חופפים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F\begin{aligned}\angle A &= \angle D \\ \ \angle B &= \angle E \\ \ \angle C &= \angle F\end{aligned}

רק צורה

AB≠DEAB \neq DE

הגודל יכול להיות שונה

זוויות קובעות רק את הצורה. משולש שווה צלעות קטן ומשולש שווה צלעות גדול — אותן זוויות, ואינם חופפים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ב-△ABC\triangle ABC: ∠A=50∘\angle A = 50^\circ, ∠B=60∘\angle B = 60^\circ. ב-△DEF\triangle DEF: ∠D=50∘\angle D = 50^\circ, ∠F=70∘\angle F = 70^\circ. מה גודל ∠E\angle E (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

∠E=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\angle E &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

מחשבים לפי סכום הזוויות במשולש DEFDEF. (יוצא שגם ∠E=∠B\angle E = \angle B — שלוש הזוויות שוות. אבל בלי צלע, זו עדיין לא חפיפה.)

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בשני משולשים נתון: ∠A=∠D\angle A = \angle D, ∠B=∠E\angle B = \angle E ו-BC=EFBC = EF. מה נכון?

  1. הם לא חופפים, כי הצלע אינה בין הזוויות
  2. הם חופפים לפי צ.ז.צ
  3. הם חופפים: קודם ∠C=∠F\angle C = \angle F, ואז ז.צ.ז
  4. Impossible de savoir
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C הם חופפים: קודם ∠C=∠F\angle C = \angle F, ואז ז.צ.ז

Corrigé :

∠C=180∘−∠A−∠B=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית

∠B, BC, ∠C\angle B ,\ BC ,\ \angle C

ז.צ.ז

שתי זוויות שוות גוררות שהשלישית שווה. עכשיו BCBC נמצאת בין ∠B\angle B ל-∠C\angle C, ו-EFEF בין ∠E\angle E ל-∠F\angle F.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCD
ADAD חוצה זווית וגם מאונך ל-BCBC.

במשולש ABCABC, הקטע ADAD חוצה את הזווית AA, ו-AD⊥BCAD \perp BC (הנקודה DD על BCBC). הוכיחו: AB=ACAB = AC.

  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC
  • AD⊥BCAD \perp BC

AB=ACAB = AC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC — נתון
  2. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת
  4. AD⊥BCAD \perp BC — נתון
  5. ∠ADB=∠ADC=90∘\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ — ישרים מאונכים יוצרים זוויות ישרות
  6. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה ז.צ.ז
  7. AB=ACAB = AC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

∠BAD=∠CAD AD=AD ∠ADB=∠ADC\begin{aligned}\angle BAD &= \angle CAD \\ \ AD &= AD \\ \ \angle ADB &= \angle ADC\end{aligned}

זווית, צלע, זווית

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

ז.צ.ז

AB=ACAB = AC

צלעות מתאימות

הצלע ADAD נמצאת בין הזווית שב-AA לזווית הישרה שב-DD — בדיוק ז.צ.ז. המסקנה: משולש שבו חוצה הזווית הוא גם גובה — הוא שווה שוקיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCD
שני זוגות של צלעות מקבילות. החצים מראים מי מקביל למי.

במרובע ABCDABCD נתון AB∥DCAB \parallel DC ו-AD∥BCAD \parallel BC. הקטע ACAC הוא אלכסון. הוכיחו: AB=CDAB = CD.

  • AB∥DCAB \parallel DC
  • AD∥BCAD \parallel BC

AB=CDAB = CD

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB∥DCAB \parallel DC — נתון
  2. ∠BAC=∠DCA\angle BAC = \angle DCA — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  3. AC=CAAC = CA — צלע משותפת
  4. AD∥BCAD \parallel BC — נתון
  5. ∠BCA=∠DAC\angle BCA = \angle DAC — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
  6. △ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA — משפט חפיפה ז.צ.ז
  7. AB=CDAB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

∠BAC=∠DCA AC=CA ∠BCA=∠DAC\begin{aligned}\angle BAC &= \angle DCA \\ \ AC &= CA \\ \ \angle BCA &= \angle DAC\end{aligned}

זווית, צלע, זווית

△ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA

ז.צ.ז

AB=CDAB = CD

צלעות מתאימות

האלכסון חותך שני זוגות של מקבילים, ולכן נותן שני זוגות של זוויות מתחלפות. הצלע ACAC נמצאת ביניהן. כך מוכיחים שבמקבילית הצלעות הנגדיות שוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCD
הקשתות מראות את הזוויות השוות.

הנקודות CC ו-DD נמצאות משני צדי הקטע ABAB. נתון: ∠CAB=∠DAB\angle CAB = \angle DAB ו-∠CBA=∠DBA\angle CBA = \angle DBA. הוכיחו: AC=ADAC = AD.

  • ∠CAB=∠DAB\angle CAB = \angle DAB
  • ∠CBA=∠DBA\angle CBA = \angle DBA

AC=ADAC = AD

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠CAB=∠DAB\angle CAB = \angle DAB — נתון
  2. AB=ABAB = AB — צלע משותפת
  3. ∠CBA=∠DBA\angle CBA = \angle DBA — נתון
  4. △ABC≅△ABD\triangle ABC \cong \triangle ABD — משפט חפיפה ז.צ.ז
  5. AC=ADAC = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

∠A, AB, ∠B\angle A ,\ AB ,\ \angle B

זווית, צלע משותפת, זווית

△ABC≅△ABD\triangle ABC \cong \triangle ABD

ז.צ.ז

AC=ADAC = AD

צלעות מתאימות

הצלע המשותפת ABAB נמצאת בדיוק בין שתי הזוויות הנתונות — ב-AA וב-BB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCD
∠CAB=∠DAB=35∘\angle CAB = \angle DAB = 35^\circ, ∠CBA=∠DBA=50∘\angle CBA = \angle DBA = 50^\circ.

באותו שרטוט כמו בתרגיל הקודם: ∠CAB=∠DAB=35∘\angle CAB = \angle DAB = 35^\circ ו-∠CBA=∠DBA=50∘\angle CBA = \angle DBA = 50^\circ. מה גודל ∠ADB\angle ADB (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 95

Corrigé :

∠ADB=180∘−35∘−50∘=95∘\begin{aligned}\angle ADB &= 180^\circ - 35^\circ - 50^\circ \\ &= 95^\circ\end{aligned}

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

מהחפיפה △ABC≅△ABD\triangle ABC \cong \triangle ABD: הזווית ב-DD מתאימה לזווית ב-CC. ואפשר גם ישירות — מסכום הזוויות במשולש ABDABD.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בשני משולשים נתון ∠A=∠D\angle A = \angle D, ∠B=∠E\angle B = \angle E ו-AC=DFAC = DF. תלמיד כתב הוכחה. באיזו שורה הטעות?

∠A=∠D(נתון)\angle A = \angle D \quad (\text{נתון})
∠B=∠E(נתון)\angle B = \angle E \quad (\text{נתון})
AC=DF(נתון)AC = DF \quad (\text{נתון})
△ABC≅△DEF(ז.צ.ז)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{ז.צ.ז})
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : △ABC≅△DEF(ז.צ.ז)\triangle ABC \cong \triangle DEF \quad (\text{ז.צ.ז}) → ∠C=∠F (סכום הזוויות), ואז ז.צ.ז\angle C = \angle F \ (\text{סכום הזוויות}) ,\ \text{ואז ז.צ.ז}

Corrigé :

∠C=180∘−∠A−∠B=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= \angle F\end{aligned}

השורה החסרה

∠A, AC, ∠C\angle A ,\ AC ,\ \angle C

ז.צ.ז

המסקנה נכונה, אבל הנימוק חסר: ACAC אינה בין ∠A\angle A ל-∠B\angle B. צריך שורה נוספת — ∠C=∠F\angle C = \angle F מסכום הזוויות — ורק אז ACAC נמצאת בין ∠A\angle A ל-∠C\angle C.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCDEF
∠A=∠D=40∘\angle A = \angle D = 40^\circ, ∠B=∠E=80∘\angle B = \angle E = 80^\circ, AB=DE=5AB = DE = 5 ס״מ.

ב-△ABC\triangle ABC וב-△DEF\triangle DEF: ∠A=∠D=40∘\angle A = \angle D = 40^\circ, ∠B=∠E=80∘\angle B = \angle E = 80^\circ, AB=DE=5AB = DE = 5 ס״מ. איזו כתיבה נכונה?

  1. המשולשים אינם חופפים
  2. △ABC≅△EDF\triangle ABC \cong \triangle EDF לפי ז.צ.ז
  3. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF לפי ז.צ.ז
  4. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF לפי צ.ז.צ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF לפי ז.צ.ז

Corrigé :

∠A, AB, ∠B\angle A ,\ AB ,\ \angle B

זווית, צלע, זווית

הצלע ABAB בין ∠A\angle A ל-∠B\angle B, ו-DEDE בין ∠D\angle D ל-∠E\angle E. ההתאמה: A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ב-△ABC\triangle ABC: ∠A=45∘\angle A = 45^\circ, ∠C=75∘\angle C = 75^\circ. נתון △ABC≅△KLM\triangle ABC \cong \triangle KLM. מה גודל ∠L\angle L (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

∠B=180∘−45∘−75∘=60∘\begin{aligned}\angle B &= 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות

∠L=∠B=60∘\begin{aligned}\angle L &= \angle B \\ &= 60^\circ\end{aligned}

השנייה מול השנייה

שני צעדים: ∠B\angle B מסכום הזוויות, ואחר כך ההתאמה — LL היא האות השנייה, כמו BB.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe