Inconnue au dénominateur

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הפרק האחרון, והמסקרן ביותר: ה-xx עבר לגור במכנה. וזה משנה הכול — כי יש מספר אחד שהוא אסור לו להיות, ואם לא נשים לב, נגיש תשובה שאין לה שום משמעות. לכן יש צעד אחד שעושים עוד לפני שמתחילים לפתור.

12x=4\frac{12}{x} = 4

תחום ההגדרה — קודם כול

אסור לחלק באפס. לכן המכנה לא יכול להיות אפס לעולם, וזה מוציא מראש ערכים מסוימים של xx. אוסף הערכים שכן מותרים נקרא תחום ההגדרה.

12x=4⟶x≠0\frac{12}{x} = 4 \quad \longrightarrow\quad x \neq 0

את תחום ההגדרה כותבים בהתחלה, לפני הפתרון — לא בסוף. הוא חלק מהתשובה, וברוב המבחנים יש עליו ניקוד בפני עצמו.

וכשהמכנה מורכב יותר, מאפסים אותו כדי למצוא מה אסור:

5x−3=1⟶x−3≠0⟶x≠3\frac{5}{x - 3} = 1 \quad \longrightarrow\quad x - 3 \neq 0 \quad \longrightarrow\quad x \neq 3

מה תחום ההגדרה של המשוואה 7x+5=1\frac{7}{x + 5} = 1?

Voir la réponse et le corrigé

x≠−5x \ne -5: מאפסים את המכנה, x+5=0x + 5 = 0, ומקבלים x=−5x = -5. זה הערך היחיד שאסור.

ואיך פותרים

פתרו: 12x=4\frac{12}{x} = 4

אותה שיטה כמו בפרק הקודם — כופלים במכנה.

x≠0x \neq 0

קודם כול תחום ההגדרה

12=4x12 = 4x

כופלים את שני האגפים ב-xx

x=3x = 3

ופותרים כרגיל

3≠0✓3 \neq 0 \quad \checkmark

ובודקים שהפתרון נמצא בתחום ההגדרה

המקרה שבו אין פתרון

ולפעמים קורה דבר מוזר: הפתרון שמתקבל הוא בדיוק הערך האסור. במקרה כזה הוא נפסל, ולמשוואה אין פתרון.

פתרו: xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}

הפתרון שמתקבל נופל בדיוק על הערך האסור.

x≠2x \neq 2

תחום ההגדרה

x=2x = 2

הפתרון שמתקבל

אין פתרון\text{אין פתרון}

אבל 2 אסור — ולכן הוא נפסל

זו בדיוק הסיבה שכותבים את תחום ההגדרה בהתחלה. בלעדיו היינו מוסרים 2 כתשובה — תשובה שמכניסה אפס למכנה, כלומר חסרת משמעות.

הטעות שעולה נקודות גם כשהחישוב נכון.

5x−3=1→x=8\begin{aligned}\frac{5}{x-3} &= 1 \quad \rightarrow\quad x \\ &= 8\end{aligned}
x≠35x−3=1→x=8✓\begin{aligned}x \neq 3 \quad \quad \quad \frac{5}{x-3} &= 1 \quad \rightarrow\quad x \\ &= 8 \quad \checkmark\end{aligned}

החישוב זהה, אבל בלי תחום ההגדרה התשובה אינה שלמה. הוא נדרש גם כשהפתרון בסוף מתקבל.

רמה מתקדמת — שתי שברים משני הצדדים

עד עכשיו היה שבר אחד. כשיש שבר מול שבר, הדרך המהירה היא כפל בהצלבה: מונה של זה כפול מכנה של זה.

שבר מול שבר

פתרו: 20x−1=25x\frac{20}{x-1} = \frac{25}{x}.

x≠1 , x≠0x \neq 1 \ , \ x \neq 0

תחום הגדרה — שני מכנים, שני תנאים

20x=25(x−1)20x = 25(x - 1)

כפל בהצלבה

20x=25x−2520x = 25x - 25

פותחים סוגריים

x=5x = 5

ובודקים: בתחום ✓

שני מכנים בינומיים

פתרו: 2x+45x−3=56\frac{2x+4}{5x-3} = \frac{5}{6}.

5x−3≠0 ⇒ x≠355x - 3 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq \tfrac{3}{5}

תחום הגדרה — גם שבר!

6(2x+4)=5(5x−3)6(2x + 4) = 5(5x - 3)

כפל בהצלבה

12x+24=25x−1512x + 24 = 25x - 15

פותחים

39=13x ⇒ x=3\begin{aligned}39 &= 13x \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

רמה מתקדמת — כמה איברים עם xx במכנה

כשה-xx יושב בכמה מכנים, לא מצליבים — כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף, בדיוק כמו בפרק של המכנה המספרי. המכנה המשותף של 6x6x ו-2x2x הוא 6x6x.

מכנה משותף עם נעלם

פתרו: 17x+36x−x+92x=1\frac{17x+3}{6x} - \frac{x+9}{2x} = 1.

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

17x+3−3(x+9)=6x17x + 3 - 3(x + 9) = 6x

כפלנו ב-6x6x: השבר השני הוכפל פי 3

17x+3−3x−27=6x17x + 3 - 3x - 27 = 6x

סוגריים — לב הזהירות: המינוס נכנס לשניהם

14x−24=6x14x - 24 = 6x

מכנסים

8x=24 ⇒ x=3\begin{aligned}8x &= 24 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

ברמה הזאת רוב הטעויות אינן בשברים אלא במינוס שלפני השבר השני: הוא כופל את כל המונה, ולכן חייבים סוגריים — −3(x+9)-3(x+9), לא −3x+9-3x+9.

עכשיו נתרגל — מהקל אל הקשה. אחרי התרגילים נסכם את ארבעת השלבים יחד.

במשוואה עם xx במכנה — מה חובה לבדוק בסוף?

Voir la réponse et le corrigé

שהפתרון אינו מאפס את המכנה. אם כן — הוא פסול, והמשוואה אולי בלי פתרון.

Exercices

Exercice 1

מהו הערך ש-xx אינו יכול לקבל במשוואה הבאה?

12x=4\frac{12}{x} = 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

x≠0x \neq 0

המכנה לא יכול להתאפס

אסור לחלק באפס. זה כל תחום ההגדרה כאן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו ומצאו את xx:

12x=4\frac{12}{x} = 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x≠0x \neq 0

קודם כול תחום ההגדרה

12=4x12 = 4x

כופלים את שני האגפים ב-x

x=3x = 3

ובודקים ש-3 שונה מאפס

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה, ולכן הוא מתקבל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו הערך ש-xx אינו יכול לקבל?

5x−3=1\frac{5}{x - 3} = 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x−3≠0⟶x≠3x - 3 \neq 0 \quad \longrightarrow\quad x \neq 3

מאפסים את המכנה כדי לדעת מה אסור

כשהמכנה מורכב, משווים אותו לאפס ופותרים — התוצאה היא הערך האסור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו ומצאו את xx:

5x−3=1\frac{5}{x - 3} = 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

x≠3x \neq 3

תחום ההגדרה

5=x−35 = x - 3

כופלים ב-(x-3)

x=8✓x = 8 \quad \checkmark

ו-8 מותר

גם כשהפתרון מתקבל, תחום ההגדרה נכתב. הוא חלק מהתשובה, לא בדיקה בדיעבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו הערך ש-xx אינו יכול לקבל?

xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x−2≠0⟶x≠2x - 2 \neq 0 \quad \longrightarrow\quad x \neq 2

שני המכנים זהים

שימו לב לתשובה הזאת — היא תחזור בשאלה הבאה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו הפתרון של המשוואה הבאה?

xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}
  1. x=0x = 0
  2. x=2x = 2
  3. אין פתרון
  4. כל מספר הוא פתרון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C אין פתרון

Corrigé :

x≠2x \neq 2

תחום ההגדרה

x=2x = 2

הפתרון שמתקבל מהחישוב

נפסל\text{נפסל}

אבל הוא בדיוק הערך האסור

זה המקרה שבשבילו כותבים את תחום ההגדרה בהתחלה. בלעדיו היינו מוסרים 2 — תשובה שמכניסה אפס למכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו ומצאו את xx:

20x=5\frac{20}{x} = 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x≠0x \neq 0

תחום ההגדרה

20=5x⟶x=4\begin{aligned}20 &= 5x \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 4\end{aligned}

כופלים ופותרים

בדיקה: 20:4=520 : 4 = 5. תמיד להציב חזרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו ומצאו את xx:

6x+1=2\frac{6}{x + 1} = 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x≠−1x \neq -1

תחום ההגדרה — מאפסים את המכנה

6=2(x+1)6 = 2(x + 1)

כופלים ב-(x+1)

6=2x+2⟶x=2\begin{aligned}6 &= 2x + 2 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 2\end{aligned}

פותחים סוגריים ופותרים

שימו לב שהופיעו כאן שני שלבים מהפרקים הקודמים: מכנה וסוגריים. כל פרק נשען על הקודמים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פתרו ומצאו את xx:

x+8x=3\frac{x + 8}{x} = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

x+8=3xx + 8 = 3x

כופלים ב-xx

8=2x ⇒ x=4\begin{aligned}8 &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 124=3\frac{12}{4} = 3 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פתרו ומצאו את xx:

xx−4=3\frac{x}{x - 4} = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

x≠4x \neq 4

תחום הגדרה

x=3(x−4)x = 3(x - 4)

On multiplie par le dénominateur (מכנה)

x=3x−12 ⇒ x=6\begin{aligned}x &= 3x - 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 62=3\frac{6}{2} = 3 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

פתרו ומצאו את xx:

x−5x−3−12=0\frac{x - 5}{x - 3} - \frac{1}{2} = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

x≠3x \neq 3

תחום הגדרה

x−5x−3=12\frac{x - 5}{x - 3} = \frac{1}{2}

מעבירים אגף — שבר מול שבר

2(x−5)=x−32(x - 5) = x - 3

כפל בהצלבה

2x−10=x−3 ⇒ x=7\begin{aligned}2x - 10 &= x - 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 24=12\frac{2}{4} = \frac{1}{2} ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

פתרו ומצאו את xx:

3x−2=1x\frac{3}{x - 2} = \frac{1}{x}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

x≠2 , x≠0x \neq 2 \ , \ x \neq 0

שני מכנים — שני תנאים

3x=x−23x = x - 2

כפל בהצלבה

2x=−2 ⇒ x=−1\begin{aligned}2x &= -2 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1\end{aligned}

בתחום ✓

פתרון שלילי הוא פתרון גמור — בודקים: 3−3=1−1\frac{3}{-3} = \frac{1}{-1} ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

פתרו ומצאו את xx:

52x−1−134x+1=0\frac{5}{2x - 1} - \frac{13}{4x + 1} = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x≠12 , x≠−14x \neq \tfrac{1}{2} \ , \ x \neq -\tfrac{1}{4}

תחום הגדרה — גם שברים

52x−1=134x+1\frac{5}{2x-1} = \frac{13}{4x+1}

מעבירים אגף

5(4x+1)=13(2x−1)5(4x + 1) = 13(2x - 1)

הצלבה

20x+5=26x−13 ⇒ x=3\begin{aligned}20x + 5 &= 26x - 13 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 55=1313\frac{5}{5} = \frac{13}{13} ✓ — שניהם 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

פתרו ומצאו את xx:

2x+12=58−14\frac{2}{x} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} - \frac{1}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -16

Corrigé :

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

58−14−12=−18\frac{5}{8} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}

קודם מסדרים את המספרים

2x=−18\frac{2}{x} = -\frac{1}{8}

נשאר שבר מול שבר

16=−x ⇒ x=−16\begin{aligned}16 &= -x \ \Rightarrow \ x \\ &= -16\end{aligned}

הצלבה, ובתחום ✓

מסדרים את צד המספרים לפני שנוגעים ב-xx — ככה המשוואה מתקצרת לשורה אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

פתרו ומצאו את xx:

−14x+12=−12x−12-\frac{14}{x} + \frac{1}{2} = -\frac{12}{x} - \frac{1}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

−14x+12x=−1-\frac{14}{x} + \frac{12}{x} = -1

שברי ה-xx שמאלה, המספרים ימינה

−2x=−1-\frac{2}{x} = -1

מכנסים — אותו מכנה

x=2x = 2

בתחום ✓

שברים בעלי אותו מכנה מתכנסים כמו איברים דומים: −14+12=−2-14+12=-2 על אותו xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

פתרו ומצאו את xx:

17x+36x−x+92x=1\frac{17x + 3}{6x} - \frac{x + 9}{2x} = 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

17x+3−3(x+9)=6x17x + 3 - 3(x + 9) = 6x

כפל ב-6x6x — המכנה המשותף

14x−24=6x14x - 24 = 6x

המינוס נכנס לסוגריים!

8x=24 ⇒ x=3\begin{aligned}8x &= 24 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

הטעות הקלאסית כאן: −3x+27-3x + 27 במקום −3x−27-3x - 27. המינוס כופל את כל המונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

פתרו ומצאו את xx:

x−8x+4+25=x−2x+4\frac{x - 8}{x + 4} + \frac{2}{5} = \frac{x - 2}{x + 4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

x≠−4x \neq -4

תחום הגדרה

x−8x+4−x−2x+4=−25\frac{x - 8}{x + 4} - \frac{x - 2}{x + 4} = -\frac{2}{5}

שברי המכנה הזהה — לאותו אגף

−6x+4=−25\frac{-6}{x + 4} = -\frac{2}{5}

מכנסים: (x−8)−(x−2)=−6(x-8)-(x-2) = -6

−30=−2(x+4) ⇒ x=11\begin{aligned}-30 &= -2(x + 4) \ \Rightarrow \ x \\ &= 11\end{aligned}

הצלבה, ובתחום ✓

הרגע היפה: xx נעלם מהמונה — (x−8)−(x−2)(x-8)-(x-2) הוא פשוט −6-6 — והמשוואה מתקפלת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

מתי כותבים את תחום ההגדרה?

  1. רק אם הפתרון יוצא מוזר
  2. לא חייבים לכתוב אותו
  3. בהתחלה, לפני שפותרים
  4. בסוף, אחרי שמוצאים את הפתרון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C בהתחלה, לפני שפותרים

Corrigé :

תחום הגדרה→פתרון→בדיקה\text{תחום הגדרה} \rightarrow \text{פתרון} \rightarrow \text{בדיקה}

הסדר הנכון

הוא נכתב בהתחלה ומקבל ניקוד בפני עצמו. וכשהפתרון נופל עליו — הוא מה שמאפשר לפסול אותו.

Vérifier la réponse sur elev

אתגר — מתוך עבודת הקיץ של סוף כיתה ח׳

Exercice 19

רשמו תחום הצבה ופתרו: xx−2=4\frac{x}{x - 2} = 4. מה הפתרון?

  1. אין פתרון
  2. x=8x = 8
  3. x=83x = \frac{8}{3}
  4. x=2x = 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x=83x = \frac{8}{3}

Corrigé :

x≠2x \neq 2

תחום ההצבה

x=4(x−2)x = 4(x - 2)

כופלים ב-(x−2)(x - 2)

x=4x−8  ⇒  3x=8\begin{aligned}x &= 4x - 8 \;\Rightarrow\; 3x \\ &= 8\end{aligned}

פותחים סוגריים

x=83x = \frac{8}{3}

והוא בתחום — 83≠2\frac{8}{3} \neq 2

התשובה לא חייבת להיות מספר שלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

רשמו תחום הצבה ופתרו:

x−9x=56\frac{x - 9}{x} = \frac{5}{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 54

Corrigé :

x≠0x \neq 0

תחום ההצבה

6(x−9)=5x6(x - 9) = 5x

כופלים ב-6x6x (כפל בהצלבה)

6x−54=5x6x - 54 = 5x

פותחים סוגריים

x=54x = 54

והוא בתחום ✓

בדיקה: 4554=56\frac{45}{54} = \frac{5}{6} ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

רשמו תחום הצבה ופתרו (אפשר לענות במספר עשרוני):

2−x2x−5=13\frac{2 - x}{2x - 5} = \frac{1}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.2

Corrigé :

2x−5≠0  ⇒  x≠2.52x - 5 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq 2.5

תחום ההצבה

3(2−x)=2x−53(2 - x) = 2x - 5

כפל בהצלבה

6−3x=2x−56 - 3x = 2x - 5

פותחים סוגריים

11=5x  ⇒  x=2.2\begin{aligned}11 &= 5x \;\Rightarrow\; x \\ &= 2.2\end{aligned}

ו-2.2≠2.52.2 \neq 2.5 ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

מה הפתרון של 6x=6x−3\frac{6}{x} = \frac{6}{x - 3}?

  1. x=3x = 3
  2. אין פתרון
  3. כל מספר חוץ מ-0 ו-3
  4. x=0x = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אין פתרון

Corrigé :

x≠0,  x≠3x \neq 0, \; x \neq 3

תחום ההצבה

6(x−3)=6x6(x - 3) = 6x

כפל בהצלבה

6x−18=6x  ⇒  −18=0\begin{aligned}6x - 18 &= 6x \;\Rightarrow\; -18 \\ &= 0\end{aligned}

ה-xx נעלם — שוויון שקרי

שני שברים עם אותו מונה ומכנים שונים לעולם אינם שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

מה הפתרון של 4x+16x+4=4\frac{4x + 16}{x + 4} = 4?

  1. כל מספר
  2. אין פתרון
  3. כל מספר חוץ מ-(−4)(-4)
  4. x=4x = 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כל מספר חוץ מ-(−4)(-4)

Corrigé :

x≠−4x \neq -4

תחום ההצבה

4x+16=4(x+4)4x + 16 = 4(x + 4)

כופלים ב-(x+4)(x + 4)

4x+16=4x+164x + 16 = 4x + 16

שוויון שנכון תמיד

כל מספר מקיים את המשוואה — חוץ מ-(−4)(-4), שמאפס את המכנה. בלי תחום ההצבה הייתם עונים «כל מספר», וזו טעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

רשמו תחום הצבה ופתרו: 6x−2=12x\frac{6}{x - 2} = \frac{1}{2x}

  1. x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; x=211x = \frac{2}{11}
  2. x≠2x \neq 2 ; x=−211x = -\frac{2}{11}
  3. x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; x=−211x = -\frac{2}{11}
  4. x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; אין פתרון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; x=−211x = -\frac{2}{11}

Corrigé :

x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2

שני מכנים — שני ערכים אסורים

12x=x−212x = x - 2

כפל בהצלבה

11x=−2  ⇒  x=−211\begin{aligned}11x &= -2 \;\Rightarrow\; x \\ &= -\frac{2}{11}\end{aligned}

והוא בתחום ✓

תחום ההצבה כולל את כל המכנים — גם את 2x2x.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

x=3x = 3 יכול להיות פתרון של המשוואה 5x−3=1\frac{5}{x - 3} = 1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x−3=0  ⇒  x=3\begin{aligned}x - 3 &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

הערך שמאפס את המכנה — הוא מחוץ לתחום

ב-x=3x = 3 המכנה מתאפס, ולכן x=3x = 3 מחוץ לתחום ההצבה — הוא לעולם לא פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe