Trouver l’équation de la droite

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כל פונקציה קווית נראית כך: y=mx+by = mx + b. כדי לכתוב משוואה של ישר צריך שני מספרים: השיפוע mm והקבוע bb. בלי אחד מהם — אין משוואה.

y=mx+by = mx + b

המצב הראשון: נתונים שיפוע ונקודה

את mm כבר יש לנו. חסר רק bb. הנקודה נמצאת על הישר, ולכן היא מקיימת את המשוואה. מציבים אותה ופותרים משוואה פשוטה.

דוגמה

ישר בעל שיפוע m=3m = 3 עובר דרך הנקודה (2,11)(2, 11). מצאו את משוואתו.

y=3x+by = 3x + b

כותבים את הצורה הכללית עם השיפוע הידוע

11=3⋅2+b11 = 3 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה: x=2, y=11

11=6+b11 = 6 + b

On calcule

b=5b = 5

ומבודדים

y=3x+5y = 3x + 5

זו המשוואה

המצב השני: נתונות שתי נקודות

כאן חסרים גם mm וגם bb. לכן עובדים בשני שלבים:

שלב 1: מוצאים את mm בנוסחה של שתי נקודות.

שלב 2: ממשיכים בדיוק כמו במצב הראשון.

דוגמה

מצאו את משוואת הישר העובר דרך A(1,5)A(1, 5) ו-B(3,11)B(3, 11).

m=11−53−1=62=3\begin{aligned}m &= \frac{11 - 5}{3 - 1} \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

5=3⋅1+b5 = 3 \cdot 1 + b

שלב 2 — מציבים אחת מהנקודות

b=2b = 2

ומבודדים

y=3x+2y = 3x + 2

זו המשוואה

בדיקה של עשר שניות: הציבו את הנקודה השנייה במשוואה שקיבלתם. השוויון לא מתקיים? יש טעות באחד השלבים.

קיצור דרך שנראה הגיוני ואינו נכון.

y=3xy = 3x
y=3x+2y = 3x + 2

שיפוע לבדו אינו מגדיר ישר — הוא מגדיר כיוון. יש אינסוף ישרים בשיפוע 3, אחד מעל השני. bb הוא מה שבוחר ביניהם.

התרגיל המלא — משתי נקודות ועד המשוואה

מקרים מיוחדים — בלי חישוב ארוך

יש תרגילים שנפתרים בשורה אחת, אם מזהים את המקרה. ישר מקביל לישר נתון? יש לו אותו mm, ונשאר רק למצוא את bb. ויש גם שני מקרים קיצוניים:

y=5xy = 5x

שיפוע 5 דרך ראשית הצירים — b=0b = 0 מיידית

y=3y = 3

מקביל לציר ה-xx דרך (−1,3)(-1, 3) — שיפוע אפס, גובה קבוע

x=−7x = -7

מקביל לציר ה-yy דרך (−7,−13)(-7, -13) — זו אינה פונקציה כלל, כותבים x=x = קבוע

ישר בשיפוע 2 עובר דרך (1,7)(1, 7). מהו bb?

Voir la réponse et le corrigé

מציבים: 7=2⋅1+b7 = 2 \cdot 1 + b, ולכן b=5b = 5. המשוואה: y=2x+5y = 2x + 5.

Exercices

Exercice 1

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(1, 5)B(3, 11)A(1,\, 5) \quad B(3,\, 11)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

m=62=3\begin{aligned}m &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

5=3⋅(1)+b5 = 3 \cdot (1) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=2b = 2

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=3x+2y = 3x + 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(0, −2)B(4, 6)A(0,\, -2) \quad B(4,\, 6)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

m=84=2\begin{aligned}m &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

−2=2⋅(0)+b-2 = 2 \cdot (0) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=−2b = -2

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=2x−2y = 2x - 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(−1, 3)B(2, −3)A(-1,\, 3) \quad B(2,\, -3)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

m=−63=−2\begin{aligned}m &= \frac{-6}{3} \\ &= -2\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

3=−2⋅(−1)+b3 = -2 \cdot (-1) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=1b = 1

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=−2x+1y = -2x + 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(2, 1)B(5, 7)A(2,\, 1) \quad B(5,\, 7)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

m=63=2\begin{aligned}m &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

1=2⋅(2)+b1 = 2 \cdot (2) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=−3b = -3

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=2x−3y = 2x - 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ישר בעל שיפוע 3 עובר דרך הנקודה (2,11)(2, 11). מהו הקבוע bb?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

11=3⋅2+b11 = 3 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה

b=5b = 5

ומבודדים

המשוואה המלאה: y=3x+5y = 3x + 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ישר בעל שיפוע −2-2 עובר דרך הנקודה (3,1)(3, 1). מהו הקבוע bb?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

1=−2⋅3+b1 = -2 \cdot 3 + b

On remplace (מציבים)

1=−6+b1 = -6 + b

On calcule

b=7b = 7

ומבודדים

שיפוע שלילי אינו אומר ש-b שלילי. אלה שני מספרים בלתי תלויים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

כמה נתונים דרושים כדי לכתוב משוואה של ישר?

  1. אחד — השיפוע
  2. אחד — נקודה כלשהי עליו
  3. שניים — שיפוע וקבוע
  4. שלושה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שניים — שיפוע וקבוע

Corrigé :

y=mx+by = mx + b

שני מספרים בלתי ידועים

שיפוע לבדו מגדיר כיוון, ונקודה לבדה מגדירה מיקום. צריך את שניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

איך בודקים במהירות שמשוואת הישר שמצאנו נכונה?

  1. אין דרך לבדוק
  2. מציבים בה את הנקודה השנייה ורואים שהיא מתקיימת
  3. בודקים שהשיפוע חיובי
  4. בודקים ש-bb שלם
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מציבים בה את הנקודה השנייה ורואים שהיא מתקיימת

Corrigé :

y2=?mx2+by_2 \stackrel{?}{=} m x_2 + b

הנקודה חייבת לשבת על הישר

הבדיקה תופסת גם טעות בשיפוע וגם טעות ב-b, בעשר שניות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מצאו את משוואת הישר ששיפועו 5 והעובר דרך ראשית הצירים.

  1. y=x+5y = x + 5
  2. y=5x+5y = 5x + 5
  3. y=5xy = 5x
  4. y=5y = 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=5xy = 5x

Corrigé :

m=5    (0,0)⇒b=0\begin{aligned}m &= 5 \\ \;\; (0, 0) \Rightarrow b &= 0\end{aligned}

דרך הראשית פירושו b=0b = 0

ראשית הצירים היא הנקודה (0,0)(0,0) — ומציבים: 0=5⋅0+b0 = 5 \cdot 0 + b, כלומר b=0b = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מצאו את משוואת הישר ששיפועו 0 והעובר דרך הנקודה (−7,−2)(-7, -2).

  1. x=−7x = -7
  2. y=−2y = -2
  3. y=−7y = -7
  4. y=−2xy = -2x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=−2y = -2

Corrigé :

m=0⇒y=b\begin{aligned}m &= 0 \Rightarrow y \\ &= b\end{aligned}

ישר אופקי

y=−2y = -2

הגובה של הנקודה — ה-yy שלה

שיפוע אפס = הישר לא עולה ולא יורד. ה-xx של הנקודה לא משנה כלום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

הישר עובר דרך (2,7)(2, 7) ומקביל לישר y=3x+2y = 3x + 2. מצאו את bb במשוואתו y=3x+by = 3x + b.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

m=3m = 3

מקבילים — אותו שיפוע

7=3⋅2+b7 = 3 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה

b=1b = 1

ולכן y=3x+1y = 3x + 1

המילה «מקביל» נותנת את mm בחינם. כל העבודה היא שורת הצבה אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מצאו את משוואת הישר העובר דרך (2,4)(2, 4) והמקביל לישר y=−5x+7y = -5x + 7.

  1. y=−5x−6y = -5x - 6
  2. y=−5x+14y = -5x + 14
  3. y=−5x+7y = -5x + 7
  4. y=5x−6y = 5x - 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=−5x+14y = -5x + 14

Corrigé :

m=−5m = -5

מקבילים

4=−5⋅2+b⇒b=14\begin{aligned}4 &= -5 \cdot 2 + b \Rightarrow b \\ &= 14\end{aligned}

הצבה

מי שבחר y=−5x+7y = -5x + 7 העתיק את הישר הנתון — אבל הוא לא עובר דרך (2,4)(2,4): −10+7=−3≠4-10+7=-3 \neq 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

מצאו את משוואת הישר העובר דרך ראשית הצירים והמקביל לישר y=−2x+5y = -2x + 5.

  1. y=−2y = -2
  2. y=5xy = 5x
  3. y=−2xy = -2x
  4. y=−2x+5y = -2x + 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=−2xy = -2x

Corrigé :

m=−2    b=0\begin{aligned}m &= -2 \\ \;\; b &= 0\end{aligned}

מקביל + דרך הראשית

שני הנתונים מתרגמים ישירות: מקביל = אותו mm, ראשית = b=0b = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

רשמו את משוואת הישר העובר דרך (−1,3)(-1, 3) והמקביל לציר ה-xx.

  1. x=−1x = -1
  2. y=−x+3y = -x + 3
  3. y=3y = 3
  4. y=3xy = 3x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=3y = 3

Corrigé :

y=3y = 3

ישר אופקי — כל הנקודות בגובה 3

מקביל לציר ה-xx = שיפוע אפס = yy קבוע. לוקחים את ה-yy של הנקודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

רשמו את משוואת הישר העובר דרך (−7,−13)(-7, -13) והמקביל לציר ה-yy.

  1. x=−13x = -13
  2. x=−7x = -7
  3. y=−13y = -13
  4. y=−7y = -7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=−7x = -7

Corrigé :

x=−7x = -7

ישר אנכי — כל הנקודות עם אותו xx

ישר אנכי אינו פונקציה — אין לו mm ואין לו bb. כותבים פשוט x=x = הערך הקבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

הישר עובר דרך A(1,8)A(1, 8) ו-B(2,10)B(2, 10). מצאו את bb במשוואתו y=mx+by = mx + b.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

m=10−82−1=2\begin{aligned}m &= \dfrac{10 - 8}{2 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע משתי הנקודות

8=2⋅1+b⇒b=6\begin{aligned}8 &= 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b \\ &= 6\end{aligned}

הצבת AA

y=2x+6y = 2x + 6

המשוואה המלאה

והאם (2,2)(2, 2) על הישר? מציבים: 2⋅2+6=10≠22 \cdot 2 + 6 = 10 \neq 2 — לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

לישר y=2x+6y = 2x + 6 — מהן נקודות החיתוך עם הצירים?

  1. (0,6)(0, 6) עם ציר yy · (−3,0)(-3, 0) עם ציר xx
  2. (0,2)(0, 2) ו-(−6,0)(-6, 0)
  3. (0,6)(0, 6) ו-(3,0)(3, 0)
  4. (6,0)(6, 0) עם ציר yy · (0,−3)(0, -3) עם ציר xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (0,6)(0, 6) עם ציר yy · (−3,0)(-3, 0) עם ציר xx

Corrigé :

x=0⇒y=6\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 6\end{aligned}

חיתוך עם ציר yy — מציבים אפס

y=0⇒2x+6=0⇒x=−3\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow 2x + 6 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

חיתוך עם ציר xx — משווים לאפס

ציר yy: מציבים x=0x=0 (מקבלים את bb!). ציר xx: פותרים y=0y=0.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe