Trouver le chemin

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

המבנה כבר ידוע. השאלה האמיתית: מה לרשום בשורות? רוב התלמידים מתחילים מהנתונים, ומקווים להגיע.

הכיוון היעיל הוא ההפוך: מתחילים מהצ.ל.

ארבעה צעדים

11

מסמנים על הציור כל נתון: צלעות שוות בקו, זוויות שוות בקשת, זווית ישרה בריבוע קטן.

22

קוראים את הצ.ל. ושואלים: איזה משפט מסיים במסקנה כזאת?

33

בודקים מה חסר למשפט הזה. אלה בדיוק השורות שצריך להוכיח קודם.

44

רושמים מלמעלה למטה — הנתונים ראשונים, המסקנה אחרונה.

הצ.ל. הוא «AD=AEAD = AE». איזה כלי מסיים כמעט תמיד בשוויון של שתי צלעות?

Voir la réponse et le corrigé

חפיפת משולשים. מוכיחים ששני משולשים חופפים, ואז הצלעות שוות כי הן מתאימות במשולשים חופפים.

אם הצ.ל. הוא «שתי צלעות שוות» או «שתי זוויות שוות» — כמעט תמיד הדרך עוברת דרך חפיפת משולשים. מוכיחים חפיפה, ואז הצלעות או הזוויות שוות «כי הן מתאימות במשולשים חופפים».

מתכננים מהסוף

מאיפה מתחילים לתכנן הוכחה?

Voir la réponse et le corrigé

מהסוף. מה רוצים להוכיח? איזה משפט נותן בדיוק את זה? ואז — אילו תנאים חסרים לו, וצועדים אחורה עד הנתונים.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC), ADAD הוא תיכון לבסיס. הוכיחו ש-∠B=∠C\angle B = \angle C.

AB=ACAB = AC

ADAD תיכון לבסיס BCBC

∠B=∠C\angle B = \angle C

נתון

BD=DCBD = DC

תיכון חוצה את הצלע שמולו

AD=DAAD = DA

צלע משותפת

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

צ.צ.צ

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

קראו את הטבלה מלמטה למעלה, וראו איך היא נבנתה: רצינו זוויות שוות ← לכן חיפשנו חפיפה ← לכן אספנו שלוש צלעות. שלוש השורות הראשונות אינן «התחלה» — הן מה שהמשפט בשורה הרביעית דרש.

שימו לב שהשורה האחרונה זהה בדיוק לצ.ל.. זו הבדיקה הפשוטה ביותר שההוכחה הושלמה: אם השורה האחרונה אינה הצ.ל., עוד לא סיימנו.

כותבים מלמעלה למטה

בכתיבה, כל שורה נשענת רק על מה שמעליה. שורה שצריכה שורה אחרת באה אחריה.

לפני שכותבים את השורה הראשונה של הוכחה — מה שואלים?

Voir la réponse et le corrigé

שלוש שאלות, אחורה: מה צריך להוכיח? איזה משפט מסיים בדיוק בטענה כזאת? ומה המשפט הזה דורש? מתכננים מהסוף להתחלה — וכותבים מההתחלה לסוף.

Exercices

Exercice 1

הצ.ל. הוא «AB=ACAB = AC». באיזו דרך כדאי לפתוח?

  1. להניח ש-AB=ACAB = AC ולבדוק אם מתקבלת סתירה
  2. להוכיח חפיפת משולשים שבהם הצלעות האלה מתאימות
  3. לחשב את שטח המשולש
  4. למדוד את שתי הצלעות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B להוכיח חפיפת משולשים שבהם הצלעות האלה מתאימות

Corrigé :

△1≅△2⇒צלעות מתאימות שוות\triangle_1 \cong \triangle_2 \Rightarrow \text{צלעות מתאימות שוות}

הדרך הסטנדרטית

כמעט כל צ.ל. מהצורה «שתי צלעות שוות» או «שתי זוויות שוות» עובר דרך חפיפה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מה תמיד צריכה להיות השורה האחרונה בטבלה?

  1. הציור
  2. שם המשפט שהשתמשנו בו
  3. בדיוק מה שרשום בצ.ל.
  4. הנתון האחרון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C בדיוק מה שרשום בצ.ל.

Corrigé :

שורה אחרונה=צ.ל.\text{שורה אחרונה} = \text{צ.ל.}

שם ההוכחה נסגרת

אם השורה האחרונה אינה הצ.ל., ההוכחה לא הסתיימה — גם אם כל השורות נכונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מאיפה מומלץ להתחיל את התכנון של ההוכחה?

  1. מהציור בלבד
  2. מהשורה האמצעית
  3. מהנתון הראשון, ולהמשיך לפי הסדר
  4. מהצ.ל., ולשאול איזה משפט מסתיים במסקנה כזו
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D מהצ.ל., ולשאול איזה משפט מסתיים במסקנה כזו

Corrigé :

צ.ל.→משפט→מה חסר\text{צ.ל.} \rightarrow \text{משפט} \rightarrow \text{מה חסר}

עובדים אחורה

הנתונים נכתבים ראשונים בטבלה — אבל נבחרים אחרונים בחשיבה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-ADAD תיכון לבסיס.

בהוכחה של משולש שווה שוקיים עם תיכון לבסיס, איזה משפט חפיפה מסיים את ההוכחה?

  1. A-A
  2. צ.צ.צ
  3. Théorème de Pythagore
  4. רק סכום הזוויות במשולש
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B צ.צ.צ

Corrigé :

AB=ACBD=DCAD=DA\begin{aligned}AB &= AC \\ \quad BD &= DC \\ \quad AD &= DA\end{aligned}

שלוש צלעות שוות בהתאמה

שתי הצלעות מהנתון ומהתיכון, והשלישית היא הצלע המשותפת — לכן צ.צ.צ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

סימון הנתונים על הציור לפני שמתחילים לכתוב:

  1. אסור במבחן
  2. מספיק כדי לקבל את מלוא הנקודות
  3. עוזר למצוא את הדרך, אבל אינו מחליף נימוק
  4. מיותר לגמרי
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C עוזר למצוא את הדרך, אבל אינו מחליף נימוק

Corrigé :

ציור→כיוון,לא ראיה\text{ציור} \rightarrow \text{כיוון} ,\quad \text{לא ראיה}

כלי עבודה, לא הצדקה

לסמן — כן, בהחלט. להסתמך על מה שנראה בציור ולא נתון — לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

המטרה: להוכיח שוויון זוויות. איזה כלי ראשון שוקלים?

  1. חפיפת משולשים (ואז זמ״ח)
  2. אין כלי
  3. פיתגורס
  4. שטחים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A חפיפת משולשים (ואז זמ״ח)

Corrigé :

≅→זמ״ח\cong \rightarrow \text{זמ״ח}

חפיפה, ואז זוויות מתאימות

כדי להוכיח שוויון זוויות, הכלי הראשון הוא חפיפה: מוכיחים שני משולשים חופפים, ומסיקים «זוויות מתאימות במשולשים חופפים».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לחפיפה חסר זוג שלישי. מה הצעד?

  1. למדוד בסרגל
  2. לחפש צלע משותפת או זוויות קודקודיות
  3. לוותר
  4. להניח שחופפים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לחפש צלע משותפת או זוויות קודקודיות

Corrigé :

צלע משותפת , זוויות קודקודיות\text{צלע משותפת} \ ,\ \text{זוויות קודקודיות}

זוגות שהציור נותן

הצלע המשותפת והזוויות הקודקודיות הן זוגות שהציור נותן בחינם, בלי שום נתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מה כותבים בסוף הוכחה?

  1. סוף
  2. מש״ל
  3. תודה
  4. בערך
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מש״ל

Corrigé :

מה שצריך להוכיח\text{מה שצריך להוכיח}

ראשי התיבות של מש״ל

מש״ל — «מה שצריך היה להוכיח». זה מה שסוגר את ההוכחה ומראה שהגענו בדיוק ליעד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכחה «עובדת» רק במקרה של הציור — טובה?

  1. תלוי במורה
  2. כן
  3. לא
  4. אם הציור מדויק
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא

Corrigé :

לכל ציור\text{לכל ציור}

לא רק לציור שבדף

לא. הוכחה חייבת לעבוד לכל ציור שמקיים את הנתונים, לא רק לזה שבדף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שתי דרכי הוכחה שונות לאותה טענה — מצב תקין?

  1. רק אם קצרות
  2. אסור
  3. כן, לגמרי
  4. לא, יש דרך אחת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כן, לגמרי

Corrigé :

✓\checkmark

כל דרך נכונה מתקבלת

כן. לאותה טענה יש לפעמים כמה דרכים, וכל הוכחה נכונה מתקבלת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCDE
DD ו-EE יושבות על הבסיס, במרחקים שווים מהקצוות.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. הנקודות DD ו-EE על הבסיס BCBC כך ש-BD=ECBD = EC. הוכיחו: AD=AEAD = AE.

  • AB=ACAB = AC
  • BD=ECBD = EC

AD=AEAD = AE

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠B=∠C\angle B = \angle C — זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות
  3. BD=ECBD = EC — נתון
  4. △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. AD=AEAD = AE — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Associez, reliez (התאימו) chaque cas à ce qu'il indique

  • 22
  • 33
  • 44
  • בודקים מה חסר למשפט הזה. אלה בדיוק השורות שצריך להוכיח קודם.
  • קוראים את הצ.ל. ושואלים: איזה משפט מסיים במסקנה כזאת?
  • רושמים מלמעלה למטה — הנתונים ראשונים, המסקנה אחרונה.
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22 — קוראים את הצ.ל. ושואלים: איזה משפט מסיים במסקנה כזאת? · 33 — בודקים מה חסר למשפט הזה. אלה בדיוק השורות שצריך להוכיח קודם. · 44 — רושמים מלמעלה למטה — הנתונים ראשונים, המסקנה אחרונה.

Corrigé :

צ.ל.→משפט→מה חסר→כתיבה\text{צ.ל.} \rightarrow \text{משפט} \rightarrow \text{מה חסר} \rightarrow \text{כתיבה}

מתכננים מהסוף, כותבים מההתחלה

קוראים את הצ.ל., מחפשים משפט שמסתיים בו, בודקים מה הוא דורש, ורק אז כותבים מלמעלה למטה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

סדרו את שלבי התכנון של הוכחה, מהראשון לאחרון.

  • בודקים מה המשפט דורש
  • כותבים את הטבלה מלמעלה למטה
  • מוצאים את מה שהוא דורש בנתונים ובציור
  • מחפשים משפט שמסתיים בצ.ל.
  • קוראים את הצ.ל.
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : קוראים את הצ.ל. · מחפשים משפט שמסתיים בצ.ל. · בודקים מה המשפט דורש · מוצאים את מה שהוא דורש בנתונים ובציור · כותבים את הטבלה מלמעלה למטה

Corrigé :

צ.ל.→משפט→מה חסר\text{צ.ל.} \rightarrow \text{משפט} \rightarrow \text{מה חסר}

מתכננים מהסוף

נתון→⋯→צ.ל.\text{נתון} \rightarrow \dots \rightarrow \text{צ.ל.}

כותבים מההתחלה

החשיבה הולכת מהסוף להתחלה. רק הכתיבה, בצעד האחרון, הולכת מההתחלה לסוף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

ABCDE
DD ו-EE אמצעי השוקיים.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. הנקודה DD אמצע ABAB, והנקודה EE אמצע ACAC. הוכיחו: BE=CDBE = CD.

  • AB=ACAB = AC
  • DD אמצע ABAB ו-EE אמצע ACAC

BE=CDBE = CD

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. BD=CEBD = CE — חצאים של צלעות שוות (DD ו-EE אמצעים)
  3. ∠DBC=∠ECB\angle DBC = \angle ECB — זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות
  4. BC=CBBC = CB — צלע משותפת
  5. △DBC≅△ECB\triangle DBC \cong \triangle ECB — משפט חפיפה צ.ז.צ
  6. BE=CDBE = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)

Corrigé :

BE=CDBE = CD

מהסוף: צלעות מתאימות

△DBC≅△ECB\triangle DBC \cong \triangle ECB

באילו משולשים? אלה שמכילים את BEBE ואת CDCD

BD=CE ∠DBC=∠ECB BC=CB\begin{aligned}BD &= CE \\ \ \angle DBC &= \angle ECB \\ \ BC &= CB\end{aligned}

מה צ.ז.צ דורש

התכנון הלך מהסוף: BEBE ו-CDCD צלעות במשולשים ECBECB ו-DBCDBC, ואת שלושת הזוגות מצאנו בנתונים ובציור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

בתכנון מהסוף, מותר להשתמש בצ.ל. עצמו כדי למצוא את הזוג השלישי לחפיפה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

צ.ל.≠נימוק\text{צ.ל.} \neq \text{נימוק}

אותו עוד לא הוכחנו

הצ.ל. הוא היעד, לא כלי בדרך. הזוג השלישי בא מנתון, ממשפט, או מהציור: צלע משותפת, זוויות קודקודיות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

ABCDE
DD ו-EE על הבסיס, BD=ECBD = EC.

נתון AB=ACAB = AC, ו-BD=ECBD = EC על הבסיס. מתכננים להוכיח AD=AEAD = AE דרך △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE (צ.ז.צ). מה כבר נתון, ומה צריך להסיק קודם?

  • כבר נתון
  • צריך להסיק קודם
  • ∠B=∠C\angle B = \angle C
  • △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE
  • AB=ACAB = AC
  • BD=ECBD = EC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB=ACAB = AC — כבר נתון · BD=ECBD = EC — כבר נתון · ∠B=∠C\angle B = \angle C — צריך להסיק קודם · △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE — צריך להסיק קודם

Corrigé :

∠B=∠C\angle B = \angle C

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים

△ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE

צ.ז.צ

צ.ז.צ דורש זווית בין שתי הצלעות. היא לא נתונה: מסיקים אותה ממשפט זוויות הבסיס, ורק אז את החפיפה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe