La banque de théorèmes

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ראינו שנימוק תקף הוא נתון, שורה קודמת או משפט שלמדנו. הרשימה כאן היא המשפטים האלה: מה שמותר לצטט בלי להוכיח.

המשפטים כתובים כאן במילים המדויקות שבהן הם מנוסחים. זו לא קפדנות מיותרת: הנימוק נבדק לפי מה שכתוב, ולכן כדאי להעתיק את הניסוח ולא לנסח מחדש.

הקלידו מילה שאתם רואים בשאלה — אלכסונים, מקביל, שווה שוקיים — והרשימה תצטמצם למשפטים שמדברים עליה.

מצאתם ברשימה משפט שמסתיים בדיוק בצ.ל. שלכם. מה בודקים לפני שכותבים אותו?

Voir la réponse et le corrigé

שכל מה שהמשפט דורש כבר כתוב בטבלה, מעליו: נתון, או שורה שכבר הוכחנו.

כמה משפטים מותר לצטט בשמם בלבד, בלי לנסח: משפט פיתגורס, משפט תאלס (וההפוך שלו, והמורחב), משפט חוצה הזווית, ארבעת משפטי החפיפה, משפטי הדמיון, וזווית בין משיק ומיתר.

כל שאר המשפטים: כותבים את הניסוח המדויק.

שתי מלכודות ברשימה עצמה.

חפיפה לפי צ.ז.ז.\text{חפיפה לפי צ.ז.ז.}
להראות שהזווית השלישית שווה, ואז ז.צ.ז.\text{להראות שהזווית השלישית שווה, ואז ז.צ.ז.}

אין משפט חפיפה צ.ז.ז. — זו הערה מפורשת ברשימה הרשמית. מי שמשתמש בו מאבד את כל הסעיף.

«לפי המשפט שלמדנו»\text{«לפי המשפט שלמדנו»}
הניסוח המדויק של המשפט\text{הניסוח המדויק של המשפט}

נימוק חייב לזהות איזה משפט. «כמו שלמדנו» אינו מזהה כלום.

משפט ומשפט הפוך

המשפט ההפוך מחליף בין התנאי למסקנה. «אם א, אז ב» הופך ל«אם ב, אז א».

מה ההבדל בין משפט למשפט הפוך?

Voir la réponse et le corrigé

המשפט: מ-א נובע ב. ההפוך: מ-ב נובע א — וצריך הוכחה נפרדת. יש משפטים שההפוך שלהם פשוט לא נכון.

Exercices

Exercice 1

אילו משפטים מותר לצטט בשמם בלבד, בלי לנסח אותם?

  1. פיתגורס, תאלס, חוצה הזווית, משפטי החפיפה והדמיון, וזווית בין משיק ומיתר
  2. אף משפט — תמיד צריך לנסח
  3. כל המשפטים
  4. רק משפט פיתגורס
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A פיתגורס, תאלס, חוצה הזווית, משפטי החפיפה והדמיון, וזווית בין משיק ומיתר

Corrigé :

רשימה סגורה\text{רשימה סגורה}

כך נקבע ברשימה הרשמית

כל שאר המשפטים — יש לנסח במדויק, במילים שלהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

האם קיים משפט חפיפה צ.ז.ז.?

  1. כן, הוא אחד מארבעת משפטי החפיפה
  2. כן, אבל רק במשולש ישר זווית
  3. לא
  4. כן, אבל רק בכיתה ט
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא

Corrigé :

∠3=180°−∠1−∠2\angle_3 = 180° - \angle_1 - \angle_2

סכום הזוויות קובע את השלישית

⇒ז.צ.ז.\Rightarrow \text{ז.צ.ז.}

ואז החפיפה חוקית

זו הערה מפורשת ברשימה הרשמית, ולא דקדוק: צ.ז.ז. אינו משפט. צריך להראות שהזווית השלישית שווה ואז להשתמש בז.צ.ז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCDPQEF
AB∥CDAB \parallel CD, והישר EFEF חותך את שניהם.

בהוכחה כתבתם «AB∥CDAB \parallel CD ולכן הזוויות שוות». מה חסר?

  1. לצייר את הישרים
  2. שום דבר, זה מספיק
  3. לציין את אורך הצלעות
  4. לציין איזה זוג
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לציין איזה זוג

Corrigé :

זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות\text{זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות}

הניסוח המלא

הנימוק חייב לזהות את המשפט המדויק — «הזוויות שוות» לבדו אינו משפט. מתאימות או מתחלפות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

משפט: «אם שווה צלעות אז שווה זוויות». מהו ההפוך?

  1. אותו משפט
  2. אם שווה זוויות אז שווה צלעות
  3. אין הפוך
  4. אם לא שווה צלעות אז לא שווה זוויות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אם שווה זוויות אז שווה צלעות

Corrigé :

⇐\Leftarrow

מחליפים כיוון

ההפוך מחליף בין התנאי למסקנה: «אם שווה זוויות, אז שווה צלעות». כאן הוא גם נכון, אבל זה משפט נפרד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

משפט נכון שההפוך שלו שגוי — יש כזה?

  1. כן
  2. רק באלגברה
  3. רק בגאומטריה
  4. לא, הפוך תמיד נכון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כן

Corrigé :

ריבוע⇒מלבן\text{ריבוע} \Rightarrow \text{מלבן}

המשפט נכון

מלבן⇏ריבוע\text{מלבן} \nRightarrow \text{ריבוע}

ההפוך לא נכון: מלבן של 2 על 5 אינו ריבוע

כן. «אם ריבוע, אז מלבן» נכון. «אם מלבן, אז ריבוע» לא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABC
זוויות הבסיס ∠B\angle B ו-∠C\angle C שוות.

זוויות בסיס שוות במשולש. איזה משפט מהבנק מסיק שהוא שווה שוקיים?

  1. סכום זוויות
  2. Théorème de Pythagore
  3. המשפט ההפוך לזוויות הבסיס
  4. צ.ז.צ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C המשפט ההפוך לזוויות הבסיס

Corrigé :

∠=∠⇒צלעות=\angle = \angle \Rightarrow \text{צלעות} =

מהזוויות אל הצלעות

זהו המשפט ההפוך: לא «שווה שוקיים ⟵ זוויות שוות», אלא הכיוון השני. שני משפטים נפרדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

למה חשוב לדעת אם משתמשים במשפט או בהפוך שלו?

  1. ההפוך חזק יותר
  2. זה לא חשוב
  3. כי הם דורשים נתונים שונים
  4. המשפט ארוך יותר
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כי הם דורשים נתונים שונים

Corrigé :

⇒≠⇐\Rightarrow \ne \Leftarrow

שני כיוונים, שני משפטים

המשפט מתחיל מצלעות, ההפוך מזוויות — לבחור נכון לפי מה שיש ביד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

«תיכון חוצה את הצלע» — משפט או הגדרה?

  1. משפט
  2. השערה
  3. נתון
  4. הגדרה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הגדרה

Corrigé :

הגדרת תיכון\text{הגדרת תיכון}

פירוש המילה

זו המשמעות של המילה — לא תוצאה שהוכחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-ADAD חוצה את זווית הראש.

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש — מה הוא עוד?

  1. קטע אמצעים
  2. תיכון וגובה לבסיס
  3. אלכסון
  4. רק חוצה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B תיכון וגובה לבסיס

Corrigé :

התלכדות\text{התלכדות}

חוצה זווית הראש הוא גם תיכון וגם גובה

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון וגם גובה — שלושה תפקידים בקטע אחד. רק שם זה קורה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

איזה משפט נותן שוויון צלעות בלי חפיפה?

  1. פיתגורס
  2. ז.צ.ז
  3. מול זוויות שוות צלעות שוות
  4. צ.צ.צ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מול זוויות שוות צלעות שוות

Corrigé :

∠⇒צלע\angle \Rightarrow \text{צלע}

במשולש אחד

במשולש אחד: מול זוויות שוות יש צלעות שוות. אין צורך בשני משולשים ובחפיפה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCDE
שני קטעים נמתחים מקצות הבסיס אל הנקודות DD ו-EE.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC, כך ש-AD=AEAD = AE. הוכיחו: BE=CDBE = CD.

  • AB=ACAB = AC
  • AD=AEAD = AE

BE=CDBE = CD

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. AD=AEAD = AE — נתון
  3. ∠A=∠A\angle A = \angle A — angle (זווית) commun aux deux triangles
  4. △ABE≅△ACD\triangle ABE \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. BE=CDBE = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מיינו: הגדרה או משפט?

  • הגדרה
  • משפט
  • גובה מאונך לצלע שמולו
  • זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות
  • זוויות קודקודיות שוות
  • חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  • סכום הזוויות במשולש הוא 180°
  • תיכון חוצה את הצלע שמולו
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תיכון חוצה את הצלע שמולו — הגדרה · גובה מאונך לצלע שמולו — הגדרה · חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות — הגדרה · זוויות קודקודיות שוות — משפט · סכום הזוויות במשולש הוא 180° — משפט · זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות — משפט

Corrigé :

הגדרה=פירוש המילה\text{הגדרה} = \text{פירוש המילה}

משפט = תוצאה שהוכחה

הגדרה אומרת מה המילה מתארת. משפט הוא תוצאה שמישהו הוכיח, ומאז מותר לצטט אותה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

אם משפט נכון, גם המשפט ההפוך לו נכון תמיד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

קודקודיות⇒שוות\text{קודקודיות} \Rightarrow \text{שוות}

המשפט נכון

שוות⇏קודקודיות\text{שוות} \nRightarrow \text{קודקודיות}

ההפוך לא נכון

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות, ואינן קודקודיות. דוגמה נגדית אחת מספיקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

התאימו לכל משפט את המשפט ההפוך לו.

  • אם במשולש שתי צלעות שוות, אז הזוויות שמולן שוות
  • אם שני ישרים מקבילים, אז הזוויות המתחלפות ביניהם שוות
  • אם מרובע הוא מקבילית, אז האלכסונים שלו חוצים זה את זה
  • אם במשולש שתי זוויות שוות, אז הצלעות שמולן שוות
  • אם האלכסונים של מרובע חוצים זה את זה, אז הוא מקבילית
  • אם זוויות מתחלפות בין שני ישרים שוות, אז הישרים מקבילים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אם במשולש שתי צלעות שוות, אז הזוויות שמולן שוות — אם במשולש שתי זוויות שוות, אז הצלעות שמולן שוות · אם שני ישרים מקבילים, אז הזוויות המתחלפות ביניהם שוות — אם זוויות מתחלפות בין שני ישרים שוות, אז הישרים מקבילים · אם מרובע הוא מקבילית, אז האלכסונים שלו חוצים זה את זה — אם האלכסונים של מרובע חוצים זה את זה, אז הוא מקבילית

Corrigé :

א⇒ב\text{א} \Rightarrow \text{ב}

המשפט

ב⇒א\text{ב} \Rightarrow \text{א}

ההפוך

בכל זוג, מה שהיה «אז» עובר ל«אם». שלושת ההפוכים כאן נכונים, וכל אחד הוא משפט נפרד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

במשפט החפיפה צ.צ.ז, הזווית השווה נמצאת מול הצלע הגדולה מבין שתי הצלעות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

צ.צ.ז\text{צ.צ.ז}

זווית מול הצלע הגדולה

נכון. כשהזווית מול הצלע הקטנה, ייתכנו שני משולשים שונים, ואין חפיפה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe