Ce qui compte comme justification

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הטור של הטענה הוא בדרך כלל הקל. מה שמפיל תלמידים הוא הטור השני, הנימוק.

נימוק תקף בא רק משלושה מקורות, ואין רביעי:

11

נתון — משהו שהשאלה עצמה מסרה. רושמים פשוט «נתון».

22

הגדרה או משפט שלמדנו בכיתה. למשל «הצלעות הנגדיות במקבילית שוות».

33

שורה קודמת באותה הוכחה, שכבר הוכחנו.

השאלה אומרת ש-ADAD תיכון. מה הנימוק ליד BD=DCBD = DC?

Voir la réponse et le corrigé

הגדרת התיכון, ולא «נתון». הנתון הוא ש-ADAD תיכון. את BD=DCBD = DC מסיקים מההגדרה: תיכון חוצה את הצלע שמולו.

בדיקה מהירה לפני שמגישים: עוברים על הטור השני, ושואלים על כל נימוק «מאיפה זה?». התשובה חייבת להיות «מהשאלה», «ממשפט או הגדרה», או «משורה קודמת». אחרת הנימוק לא יתקבל.

נימוקים שחוזרים כמעט בכל הוכחה

AC=CAAC = CA

«צלע משותפת» — שני המשולשים חולקים את אותה צלע.

∠1=∠2\angle 1 = \angle 2

«זוויות קודקודיות שוות» — כששני ישרים נחתכים.

AB∥CDAB \parallel CD

«זוויות מתחלפות שוות» או «זוויות מתאימות שוות» — בין מקבילים.

AM=MBAM = MB

«תיכון חוצה את הצלע שמולו» — מתוך ההגדרה.

שני ישרים נחתכים בציור. איזה זוג שווה מחכה שם, בלי שום נתון?

Voir la réponse et le corrigé

זוויות קודקודיות. הנימוק: «זוויות קודקודיות שוות». כמו צלע משותפת, זה זוג שהציור נותן בחינם.

ומה לא מתקבל

שלוש הצורות שנפסלות תמיד, גם כשהטענה עצמה נכונה.

«רואים בציור»\text{«רואים בציור»}
«זוויות קודקודיות שוות»\text{«זוויות קודקודיות שוות»}

הציור אינו ראיה. במבחן הוא לפעמים מצויר בכוונה לא מדויק — בדיוק כדי לתפוס את מי שמסתמך עליו.

«מדדתי בסרגל»\text{«מדדתי בסרגל»}
«נתון»\text{«נתון»}

מדידה היא לא הוכחה. היא נכונה לציור אחד; הוכחה צריכה להיות נכונה לכל ציור שמקיים את הנתונים.

«ברור» / «כי ככה»\text{«ברור» / «כי ככה»}
שם המשפט המדויק\text{שם המשפט המדויק}

אם המשפט באמת ידוע — אפשר לרשום את שמו. אם לא זוכרים את שמו, זה סימן שהשורה עוד לא מוכחת.

«נתון» — האם זה נימוק כשר?

Voir la réponse et le corrigé

כן, והחזק מכולם. מה שהשאלה נתנה לא דורש הצדקה. אחריו: הגדרות, משפטים, וטענות שכבר הוכחו.

מותר לכתוב «זה נראה שווה בשרטוט» כנימוק?

Voir la réponse et le corrigé

אסור. השרטוט ממחיש אבל לא מוכיח — הוא מצויר ביד ולא בקנה מידה מדויק. נימוק חוקי הוא רק נתון, הגדרה, או משפט שהוכח. זה כל ההבדל בין למדוד ולהוכיח.

הקלידו מילה שאתם רואים בשאלה — אלכסונים, מקביל, שווה שוקיים — והרשימה תצטמצם למשפטים שמדברים עליה. נימוק תקף בא תמיד מהרשימה הזאת.

Exercices

Exercice 1

בהוכחה רשמנו את הטענה AC=CAAC = CA. מה הנימוק?

  1. נתון
  2. צלע משותפת לשני המשולשים
  3. הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
  4. רואים בציור
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B צלע משותפת לשני המשולשים

Corrigé :

AC=CAAC = CA

אותה צלע ממש, נמצאת בשני המשולשים

השורה הזו נראית מיותרת, אבל היא נחוצה: בלעדיה יש רק שתי צלעות ואי אפשר לטעון צ.צ.צ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

איזה מהבאים אינו נימוק תקף?

  1. נתון
  2. זוויות קודקודיות שוות
  3. מדדתי בסרגל וקיבלתי אותו אורך
  4. הוכח בשורה הקודמת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C מדדתי בסרגל וקיבלתי אותו אורך

Corrigé :

מדידה≠הוכחה\text{מדידה} \neq \text{הוכחה}

מדידה תקפה לציור אחד בלבד

הוכחה חייבת להיות נכונה לכל ציור שמקיים את הנתונים, לא רק לזה שמודפס בדף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCDPQEF
הישרים ABAB ו-CDCD מקבילים, והישר EFEF חותך את שניהם.

שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי. מה הנימוק לכך שזוג זוויות מתחלפות שוות?

  1. זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות
  2. סכום הזוויות במשולש הוא 180°
  3. נתון
  4. זוויות קודקודיות שוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות

Corrigé :

AB∥CD⇒∠1=∠2AB \parallel CD \Rightarrow \angle 1 = \angle 2

המקבילות היא התנאי

בלי המקבילות אין שוויון. לכן הנימוק חייב להזכיר אותה במפורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כמה מקורות אפשריים יש לנימוק בהוכחה?

  1. אין הגבלה, כל הסבר הגיוני מתקבל
  2. שלושה — נתון, משפט או הגדרה, ושורה שכבר הוכחה
  3. שניים — נתון וציור
  4. אחד — רק נתון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שלושה — נתון, משפט או הגדרה, ושורה שכבר הוכחה

Corrigé :

נתון/משפט/שורה קודמת\text{נתון} \quad /\quad \text{משפט} \quad /\quad \text{שורה קודמת}

ואין רביעי

הרשימה הסגורה הזו היא בדיוק מה שהופך את הבדיקה למהירה: על כל שורה שואלים «מאיפה זה?».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCD
ADAD תיכון לצלע BCBC.

הטענה: BD=DCBD = DC, כאשר ADAD תיכון במשולש ABCABC. מה הנימוק?

  1. תיכון חוצה את הצלע שמולו
  2. תיכון מאונך לצלע שמולו
  3. צלע משותפת
  4. תיכון חוצה את הזווית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A תיכון חוצה את הצלע שמולו

Corrigé :

BD=DCBD = DC

זו ההגדרה של תיכון

מאונך זה גובה, חוצה זווית זה חוצה זווית — שלושה קטעים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCD
ADAD גובה לצלע BCBC.

«AD גובה» ולכן «הזווית ADB ישרה». מהו הנימוק?

  1. הגדרת הגובה
  2. Théorème de Pythagore
  3. נתון
  4. צ.ז.צ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A הגדרת הגובה

Corrigé :

AD⊥BCAD \perp BC

גובה מאונך לצלע שמולו: זו ההגדרה

הנימוק הוא הגדרת הגובה: גובה הוא קטע מאונך לצלע שמולו. לכן ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

«זוויות קודקודיות שוות» — איזה סוג נימוק?

  1. נתון
  2. הגדרה
  3. השערה
  4. משפט
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D משפט

Corrigé :

משפט\text{משפט}

הוכח פעם אחת, ומשמש תמיד

«זוויות קודקודיות שוות» הוכח פעם אחת, ומאז הוא נימוק: זה משפט, לא נתון ולא הגדרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מה הנימוק לכך שצלע משותפת שווה לעצמה?

  1. פיתגורס
  2. «צלע משותפת»
  3. נתון
  4. אין צורך
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B «צלע משותפת»

Corrigé :

משותפת\text{משותפת}

אותה צלע בשני המשולשים

«צלע משותפת» הוא נימוק שלם בפני עצמו — הצלע היא אותה צלע פיזית בשני המשולשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מתי מותר לכתוב «נתון»?

  1. על כל דבר נכון
  2. על מה שרואים בציור
  3. רק על מה שכתוב בשאלה
  4. אף פעם
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C רק על מה שכתוב בשאלה

Corrigé :

נתון=מה שכתוב בשאלה\text{נתון} = \text{מה שכתוב בשאלה}

ולא מה שנראה בציור

מה שנראה בציור ואינו כתוב בשאלה צריך הוכחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

«בציור זה נראה שווה» — נימוק כשר?

  1. רק בציור מדויק
  2. לא
  3. כן
  4. רק במבחן
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לא

Corrigé :

ציור≠נימוק\text{ציור} \neq \text{נימוק}

השרטוט אינו מדויק

לא. הציור מכוון את המחשבה, אבל אינו הוכחה: ייתכן שהוא מצויר לא מדויק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCDO
שני האלכסונים של המקבילית נפגשים ב-OO.

במקבילית ABCDABCD נתון שהאלכסונים נחתכים בנקודה OO. הוכיחו: AO=OCAO = OC.

  • ABCDABCD מקבילית
  • ACAC ו-BDBD נחתכים ב-OO

AO=OCAO = OC

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=CDAB = CD — הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
  2. AB∥CDAB \parallel CD — הצלעות הנגדיות במקבילית מקבילות
  3. ∠BAO=∠DCO\angle BAO = \angle DCO — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
  4. ∠ABO=∠CDO\angle ABO = \angle CDO — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
  5. △ABO≅△CDO\triangle ABO \cong \triangle CDO — משפט חפיפה ז.צ.ז
  6. AO=OCAO = OC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מיינו: אילו נימוקים מתקבלים בהוכחה?

  • מתקבל
  • לא מתקבל
  • ברור
  • הוכח בשורה 3
  • זוויות קודקודיות שוות
  • מדדתי בסרגל
  • נתון
  • רואים בציור
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : נתון — מתקבל · זוויות קודקודיות שוות — מתקבל · הוכח בשורה 3 — מתקבל · מדדתי בסרגל — לא מתקבל · רואים בציור — לא מתקבל · ברור — לא מתקבל

Corrigé :

נתון , משפט או הגדרה , שורה קודמת\text{נתון} \ ,\ \text{משפט או הגדרה} \ ,\ \text{שורה קודמת}

שלושת המקורות

מדידה, ציור ו«ברור» אינם מקור. כל אחד מהם יכול להטעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

ABCD
המקבילית ABCDABCD והאלכסון ACAC.

הוכחה ש-△ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA במקבילית ABCDABCD. נימוק אחד פסול: מצאו אותו.

AB=CD  ∣  צלעות נגדיות במקבילית{AB = CD} \;|\; \text{צלעות נגדיות במקבילית}
BC=DA  ∣  רואים בציור{BC = DA} \;|\; \text{רואים בציור}
AC=CA  ∣  צלע משותפת{AC = CA} \;|\; \text{צלע משותפת}
△ABC≅△CDA  ∣  צ.צ.צ{\triangle ABC \cong \triangle CDA} \;|\; \text{צ.צ.צ}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : BC=DA  ∣  רואים בציור{BC = DA} \;|\; \text{רואים בציור} → BC=DA  ∣  צלעות נגדיות במקבילית{BC = DA} \;|\; \text{צלעות נגדיות במקבילית}

Corrigé :

BC=DABC = DA

גם הזוג הזה הוא צלעות נגדיות במקבילית

הטענה נכונה, אבל «רואים בציור» אינו נימוק. הנימוק הוא אותו משפט כמו בשורה הראשונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

התאימו לכל טענה את הנימוק שלה.

  • ∠1=∠2\angle 1 = \angle 2, כששני ישרים נחתכים
  • BM=MCBM = MC, כש-AMAM תיכון
  • AC=ACAC = AC, בשני המשולשים
  • ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ, כש-ADAD גובה
  • הגדרת הגובה
  • הגדרת התיכון
  • זוויות קודקודיות שוות
  • צלע משותפת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠1=∠2\angle 1 = \angle 2, כששני ישרים נחתכים — זוויות קודקודיות שוות · BM=MCBM = MC, כש-AMAM תיכון — הגדרת התיכון · AC=ACAC = AC, בשני המשולשים — צלע משותפת · ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ, כש-ADAD גובה — הגדרת הגובה

Corrigé :

טענה↔נימוק\text{טענה} \leftrightarrow \text{נימוק}

לכל שורה המקור שלה

שני נימוקים כאן הם הגדרות (תיכון, גובה), ושניים הם זוגות שהציור נותן: קודקודיות וצלע משותפת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

בשורה 5 של הוכחה מותר לכתוב בטור הנימוק: «הוכח בשורה 2».

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

שורה קודמת\text{שורה קודמת}

המקור השלישי של נימוק

נכון. מה שכבר הוכח למעלה מותר לצטט. רק שורה מתחת אסור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

ADOBC
AB∥CDAB \parallel CD, ו-OO אמצע ADAD.

הקטעים ADAD ו-BCBC נחתכים בנקודה OO. נתון: AB∥CDAB \parallel CD ו-AO=ODAO = OD. הוכיחו: AB=CDAB = CD.

  • AB∥CDAB \parallel CD
  • AO=ODAO = OD

AB=CDAB = CD

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB∥CDAB \parallel CD — נתון
  2. ∠BAO=∠CDO\angle BAO = \angle CDO — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
  3. AO=ODAO = OD — נתון
  4. ∠AOB=∠DOC\angle AOB = \angle DOC — זוויות קודקודיות שוות
  5. △ABO≅△DCO\triangle ABO \cong \triangle DCO — משפט חפיפה ז.צ.ז
  6. AB=CDAB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)

Corrigé :

∠BAO=∠CDO\angle BAO = \angle CDO

מתחלפות, כי AB∥CDAB \parallel CD

∠AOB=∠DOC\angle AOB = \angle DOC

קודקודיות

△ABO≅△DCO\triangle ABO \cong \triangle DCO

ז.צ.ז, הצלע AO=ODAO = OD בין שתי הזוויות

AB=CDAB = CD

צלעות מתאימות

כל נימוק כאן בא ממקור אחר: שני נתונים, שני משפטים, ושתי שורות שנשענות על שורות קודמות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe