Le triangle 30-60-90

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

יש משולש ישר זווית אחד שחוזר כל כך הרבה, שנתנו לו שם: משולש הזהב. אלה המשולשים שזוויותיהם 30°30°, 60°60° ו-90°90°.

המשפט: במשולש הזהב, הצלע שמול הזווית 90°90° שווה לפעמיים הצלע שמול הזווית 30°30°.

היתר=2×הצלע שמול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 30°

כלומר: הצלע הקטנה ביותר — זו שמול הזווית הקטנה ביותר — היא בדיוק מחצית היתר. די להכיר צלע אחת כדי לדעת מיד את השנייה.

למה זה עובד

זה לא מקרי. הזוויות הן שקובעות את צורת המשולש, והצורה קובעת את היחסים בין הצלעות. שני משולשי זהב, קטן וגדול, הם תמיד דומים — ולכן היחס ביניהם קבוע.

זו בדיוק המסקנה של פרק הדמיון: זוויות שוות פירושן יחסים שווים. משולש הזהב הוא המקרה השימושי ביותר של הכלל הזה.

והצלע השלישית

את הצלע שמול ה-60°60° אין צורך לזכור — מוצאים אותה במשפט פיתגורס, כמו כל צלע חסרה.

הצלע שמול 30°30° היא 5. מהן שתי הצלעות האחרות?

קודם היתר לפי המשפט, ואז הצלע השלישית לפי פיתגורס.

היתר=2×5=10\begin{aligned}\text{היתר} &= 2 \times 5 \\ &= 10\end{aligned}

לפי משפט משולש הזהב

52+b2=1025^2 + b^2 = 10^2

ואז פיתגורס

b2=100−25=75⟶b≈8.66\begin{aligned}b^2 &= 100 - 25 \\ &= 75 \quad \longrightarrow\quad b \approx 8.66\end{aligned}

ומוציאים שורש

שימו לב שהצלע השלישית כמעט אף פעם אינה מספר שלם, וזה תקין לגמרי. הכתיב המדויק שלה דורש שורשים — נושא של פרק אחר.

הטעות שנובעת מבלבול בין הצלעות.

היתר=2×הצלע שמול 60°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 60°
היתר=2×הצלע שמול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 30°

הכפל הוא ביחס לצלע הקטנה — זו שמול הזווית הקטנה. הצלע שמול 60°60° גדולה ממנה, ואין לה יחס פשוט ליתר.

עכשיו נתרגל בשני הכיוונים.

במשולש 30-60-90 היתר 10. מהו הניצב מול ה-30?

Voir la réponse et le corrigé

5 — חצי היתר, תמיד. זו התכונה המרכזית של משולש הזהב.

Exercices

Exercice 1

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 3 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

2×3=62 \times 3 = 6

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש זהב, אורך היתר הוא 6 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

62=3\frac{6}{2} = 3

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 5 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

2×5=102 \times 5 = 10

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש זהב, אורך היתר הוא 10 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

102=5\frac{10}{2} = 5

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 7 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

2×7=142 \times 7 = 14

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש זהב, אורך היתר הוא 14 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

142=7\frac{14}{2} = 7

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 9 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

2×9=182 \times 9 = 18

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש זהב, אורך היתר הוא 18 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

182=9\frac{18}{2} = 9

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 12 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

2×12=242 \times 12 = 24

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש זהב, אורך היתר הוא 24 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

242=12\frac{24}{2} = 12

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 20 ס״מ. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

2×20=402 \times 20 = 40

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במשולש זהב, אורך היתר הוא 40 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

402=20\frac{40}{2} = 20

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

אילו זוויות יש במשולש זהב?

  1. 30°30°, 30°30°, 120°120°
  2. 45°45°, 45°45°, 90°90°
  3. 30°30°, 60°60°, 90°90°
  4. 60°60°, 60°60°, 60°60°
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 30°30°, 60°60°, 90°90°

Corrigé :

30+60+90=18030 + 60 + 90 = 180

וסכום הזוויות מתקיים

זהו המשולש שהזוויות שלו קובעות יחס פשוט במיוחד בין הצלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

לאיזו צלע היתר שווה פי שניים?

  1. לאף אחת מהן
  2. לשתי הצלעות
  3. לצלע שמול 30°30°
  4. לצלע שמול 60°60°
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לצלע שמול 30°30°

Corrigé :

היתר=2×מול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{מול } 30°

הצלע הקטנה ביותר

הזווית הקטנה ביותר נמצאת תמיד מול הצלע הקטנה ביותר. הבלבול עם הצלע שמול 60° הוא הטעות הנפוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

מדוע היחס נשאר קבוע גם כשהמשולש גדל?

  1. כי הזוויות קובעות את הצורה, וכל משולשי הזהב דומים
  2. זו הגדרה שרירותית
  3. זה נכון רק במשולשים קטנים
  4. כי כל המשולשים חופפים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כי הזוויות קובעות את הצורה, וכל משולשי הזהב דומים

Corrigé :

זוויות שוות→דמיון\text{זוויות שוות} \rightarrow \text{דמיון}

לפי משפט ז.ז

שני משולשי זהב הם תמיד דומים לפי ז.ז — ובמשולשים דומים היחס בין הצלעות קבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

במשולש זהב, הצלע שמול 30° היא 6 ס״מ. מה היקף המשולש? (עגלו לשלם הקרוב)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 28

Corrigé :

היתר=2×6=12\begin{aligned}\text{היתר} &= 2 \times 6 \\ &= 12\end{aligned}

לפי משפט משולש הזהב

62+b2=122⟶b≈10.396^2 + b^2 = 12^2 \quad \longrightarrow\quad b \approx 10.39

הצלע השלישית לפי פיתגורס

6+12+10.39≈286 + 12 + 10.39 \approx 28

ומחברים את שלוש הצלעות

שני המשפטים בשאלה אחת: משולש הזהב נותן את היתר, ופיתגורס את הצלע החסרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ABCD
שני משולשי זהב זה בתוך זה — הגדול ABCABC, והקטן ABDABD.

במשולש ABCABC נתון ∠B=90∘\angle B = 90^\circ ו-∠C=30∘\angle C = 30^\circ. הקטע BDBD הוא גובה ליתר ACAC. הוכיחו כי AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2}.

  • ∠B=90∘\angle B = 90^\circ
  • ∠C=30∘\angle C = 30^\circ
  • BDBD גובה ליתר ACAC

AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2}

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠B=90∘\angle B = 90^\circ — נתון
  2. ∠C=30∘\angle C = 30^\circ — נתון
  3. BDBD גובה ליתר ACAC — נתון
  4. ∠A=60∘\angle A = 60^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  5. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — גובה מאונך לצלע שאליה הוא מגיע
  6. ∠ABD=30∘\angle ABD = 30^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  7. AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2} — הניצב מול זווית של 30∘30^\circ שווה למחצית היתר

Corrigé :

∠A=180∘−90∘−30∘=60∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית החסרה במשולש הגדול

∠ABD=180∘−90∘−60∘=30∘\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ \\ &= 30^\circ\end{aligned}

ובמשולש הקטן ABDABD

AD=AB2AD = \frac{AB}{2}

הניצב מול 30∘30^\circ

הגובה מהזווית הישרה יצר משולש זהב קטן בתוך הגדול. זה הטריק שחוזר בכל התרגילים מהסוג הזה: לחפש את משולש הזהב הנסתר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe