D’où vient le 30-60-90

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

משולש הזהב אינו צורה מיוחדת שמישהו המציא. הוא בדיוק חצי משולש שווה צלעות — וברגע שרואים את זה, גם הזוויות וגם יחס הצלעות מובנים מאליהם.

מאיפה הזוויות

במשולש שווה צלעות כל הזוויות הן 60 מעלות. כשמורידים גובה:

90°90°

הגובה מאונך לבסיס — וזו הזווית הישרה.

60°60°

זווית הבסיס נשארת כמו שהייתה. הגובה לא נגע בה.

30°30°

וזווית הראש נחצית — כי במשולש שווה צלעות הגובה הוא גם חוצה זווית. חצי מ-60 הוא 30.

בדיקה: 90+60+30=18090 + 60 + 30 = 180. הזוויות מסתדרות, וזה לא במקרה — הן נובעות מהחיתוך.

ומאיפה יחס הצלעות

נסמן את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x. הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא x.

2x2x

היתר — הוא צלע של המשולש המקורי, ולא השתנה.

xx

הצלע מול ה-30° — חצי הבסיס.

x3x\sqrt{3}

והגובה עצמו — יוצא מפיתגורס.

(2x)2−x2=4x2−x2=3x2=x3\begin{aligned}\sqrt{(2x)^2 - x^2} &= \sqrt{4x^2 - x^2} \\ &= \sqrt{3x^2} \\ &= x\sqrt{3}\end{aligned}

ומכאן היחס שכדאי לזכור בעל פה: 1 : √3 : 2 — מול ה-30, מול ה-60, ומול ה-90.

הסדר לא שרירותי: הצלע הגדולה יושבת מול הזווית הגדולה. 30 מקבל את 1, 60 מקבל את √3 (בערך 1.73), ו-90 מקבל את 2.

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

10. היתר הוא תמיד פי 2 מהצלע שמול ה-30 — כי הוא היה צלע של שווה הצלעות, וזו הייתה חציה.

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°?

Voir la réponse et le corrigé

535\sqrt{3}, בערך 8.66. זה הגובה של המשולש שווה הצלעות המקורי.

מדוע הצלע מול ה-30 היא בדיוק מחצית היתר?

Voir la réponse et le corrigé

כי היא חצי הבסיס של שווה הצלעות, והיתר הוא צלע שלמה — ובשווה צלעות הבסיס והצלע שווים. חצי מול שלם.

שתי הטעויות של משולש הזהב.

הצלע מול 60°=2x\text{הצלע מול } 60° = 2x
=x3= x\sqrt{3}

פי 2 שייך ליתר, מול הזווית הישרה. מול ה-60 יושב שורש 3.

כל משולש ישר זווית הוא משולש זהב\text{כל משולש ישר זווית הוא משולש זהב}
רק אם יש בו זווית של 30°\text{רק אם יש בו זווית של 30°}

בלי זווית של 30 (או 60) היחסים האלה אינם תקפים כלל.

Exercices

Exercice 1

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

5×2=105 \times 2 = 10

היתר פי 2

כי היא חצי הבסיס והיתר צלע שלמה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.66

Corrigé :

53≈8.665\sqrt{3} \approx 8.66

זה הגובה של שווה הצלעות המקורי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

היתר במשולש זהב הוא 14. מה אורך הצלע מול ה-30°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

14:2=714 : 2 = 7

מחצית היתר

הכיוון ההפוך — חילוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

צלע משולש שווה צלעות היא 12. מה אורך הגובה שלו? (עגלו לשתי ספרות)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.39

Corrigé :

12:2=612 : 2 = 6

חצי הבסיס

63≈10.396\sqrt{3} \approx 10.39

הגובה הוא הצלע מול ה-60 בחצי המשולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמה זוויות של 60° יש במשולש שווה צלעות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

180:3=60180 : 3 = 60

וכשחוצים אותו, אחת מהן נחצית ל-30.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מדוע הגובה במשולש שווה צלעות הוא גם חוצה זווית?

  1. הוא לא — זו טעות
  2. זו הגדרה
  3. כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד
  4. רק במקרה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד

Corrigé :

שווה שוקיים⇒גובה=חוצה=תיכון\begin{aligned}\text{שווה שוקיים} \Rightarrow \text{גובה} &= \text{חוצה} \\ &= \text{תיכון}\end{aligned}

ומכאן שזווית הראש נחצית ל-30.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו יחס הצלעות במשולש זהב, לפי סדר הזוויות 30, 60, 90?

  1. 1:2:31 : 2 : \sqrt{3}
  2. 1:3:21 : \sqrt{3} : 2
  3. 1:2:31 : 2 : 3
  4. 2:3:12 : \sqrt{3} : 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 1:3:21 : \sqrt{3} : 2

Corrigé :

1:3:21 : \sqrt{3} : 2

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה — תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש 30-60-90 היתר 14. הניצב מול 30?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

14:2=714 : 2 = 7

חצי היתר

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הניצב מול 30 הוא 4.5 — מהו היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

4.5×2=94.5 \times 2 = 9

הניצב שמול 30° שווה למחצית היתר — משפט שחוסך את כל החישוב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חצי משולש שווה צלעות שצלעו 12: מהו הניצב הקצר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

12:2=612 : 2 = 6

הגובה חוצה את הבסיס

משולש הזהב הוא חצי שווה-צלעות — משם כל תכונותיו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe