La médiane relative à l’hypoténuse · Le triangle rectangle · Kita ח

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

זהו אחד המשפטים הקצרים והשימושיים ביותר: במשולש ישר זווית, התיכון אל היתר שווה לחצי היתר.

CM = \frac{AB}{2}

למה זה נכון

ההסבר הוא המעגל: כל משולש ישר זווית «יושב» על מעגל שהיתר שלו הוא הקוטר. אמצע היתר הוא לכן מרכז המעגל, ושלושת הקודקודים נמצאים עליו — במרחק רדיוס אחד. התיכון הוא בדיוק הרדיוס הזה, כלומר חצי קוטר.

זה גם מסביר עובדה שנראית מוזרה: אמצע היתר נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים. שלוש נקודות על מעגל אחד — אותו רדיוס לכולן.

המשפט ההפוך

גם הכיוון ההפוך נכון, והוא דרך הוכחה מלאה: אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית אותה צלע — אז המשולש ישר זווית, והזווית הישרה נמצאת מול אותה צלע.

שימוש ישיר

במשולש ישר זווית היתר הוא 26. מהו התיכון אליו?

CM = \frac{26}{2}

לפי המשפט

CM = 13

וזהו — בלי פיתגורס ובלי אורכי הניצבים

התיכון הנכון.

\text{כל תיכון} = \tfrac{1}{2} \text{הצלע שמולו}

\text{רק התיכון ליתר}

המשפט מדבר אך ורק על התיכון אל היתר. שני התיכונים האחרים במשולש הזה אינם מקיימים אותו.

במשולש ישר זווית היתר 10. מה אורך התיכון ליתר?

Voir la réponse et le corrigé

5 — חצי היתר, תמיד. זו התכונה המיוחדת של התיכון ליתר במשולש ישר זווית.

ולמה זה נכון?

Voir la réponse et le corrigé

כי התיכון ליתר שווה למרחק מכל שלושת הקודקודים — הוא רדיוס המעגל החוסם, שמרכזו באמצע היתר.

Exercices

Exercice 1

במשולש ישר זווית היתר הוא 18. מהו התיכון אליו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

\begin{aligned}CM &= \frac{18}{2} \\ &= 9\end{aligned}

המשפט: התיכון ליתר שווה למחציתו

בלי פיתגורס ובלי אורכי הניצבים — המשפט מספיק לבדו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

התיכון ליתר במשולש ישר זווית הוא 7.5. מהו היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

7.5 = \frac{AB}{2}

מציבים במשפט

AB = 15

כופלים ב-2

הכיוון ההפוך — פשוט כפל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש התיכון לצלע שווה למחצית אותה צלע. מה אפשר להסיק?

המשולש שווה צלעות
המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול אותה צלע
המשולש שווה שוקיים
אי אפשר להסיק דבר

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול אותה צלע

Corrigé :

\begin{aligned}CM &= \tfrac{1}{2}AB \Rightarrow \angle C \\ &= 90°\end{aligned}

המשפט ההפוך

זו דרך הוכחה מלאה — שימושית כשנתונה נקודת אמצע ואין אף זווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש ישר זווית הניצבים 9 ו-12. מהו התיכון ליתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.5

Corrigé :

\begin{aligned}AB^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

קודם פיתגורס למציאת היתר

AB = 15

מוציאים שורש

\begin{aligned}CM &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

ואז המשפט

שני משפטים בשרשרת — פיתגורס ואז התיכון ליתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מדוע אמצע היתר נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים?

זה לא נכון
כי המשולש שווה שוקיים
כי שלושתם על מעגל שהיתר הוא קוטרו
כי הניצבים שווים

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כי שלושתם על מעגל שהיתר הוא קוטרו

Corrigé :

\begin{aligned}CM &= AM \\ &= BM \\ &= r\end{aligned}

שלושתם רדיוסים של אותו מעגל

אמצע היתר הוא מרכז המעגל, והתיכון הוא הרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

יתר 16 — מהו התיכון ליתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

16 : 2 = 8

חצי היתר

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

התיכון ליתר 7.5 — מהו היתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

7.5 \times 2 = 15

התיכון ליתר שווה למחצית היתר — לכן הכפלה בשתיים מחזירה את היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

התיכון ליתר יוצא מ…

מחוץ למשולש
זווית חדה
קודקוד הזווית הישרה
אמצע היתר

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C קודקוד הזווית הישרה

Corrigé :

90° \rightarrow \text{אמצע היתר}

התיכון יוצא מקודקוד הזווית הישרה ומגיע לאמצע היתר. שם, ורק שם, הוא שווה למחצית היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש ישר זווית התיכון ליתר 6.5 וניצב אחד 5. מהו הניצב השני? (רמז: היתר קודם)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

6.5 \times 2 = 13

היתר

13^2 - 5^2 = 144

\sqrt{144} = 12

התיכון פותח את הדלת — פיתגורס גומר את העבודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

המרחק מאמצע היתר לשלושת הקודקודים…

שווה רק לשניים
אינסופי
שווה לשלושתם
שונה לכל אחד

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שווה לשלושתם

Corrigé :

R

אמצע היתר — מרכז המעגל החוסם

זו הסיבה העמוקה שהתיכון ליתר הוא חצי היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

M

הוא אמצע שני האלכסונים

AC

ו-

BD

במשולש $ABC$ הזווית $\angle B = 90^\circ$ , ו- $M$ אמצע היתר $AC$ . מאריכים את $BM$ עד לנקודה $D$ כך ש- $BM = MD$ . הוכיחו: $ABCD$ מלבן.

$\angle B = 90^\circ$
$AM = MC$
$BM = MD$

$ABCD$ מלבן

Voir la réponse et le corrigé

$AM = MC$ — נתון — $M$ אמצע $AC$
$BM = MD$ — נתון
$ABCD$ מקבילית — מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית
$\angle B = 90^\circ$ — נתון
$ABCD$ מלבן — מקבילית שבה זווית אחת ישרה היא מלבן

Vérifier la réponse sur elev

למה זה נכון

המשפט ההפוך

Exercices

La suite se pratique sur elev