Périmètre et aire

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ראינו שההיקף נכפל ב- $k$ כמו כל צלע.

עם השטח קורה משהו אחר. זו הנקודה הכי מפתיעה בפרק.

\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2

השטח נכפל ב- $k$ בריבוע. הגדלנו פי 3? ההיקף פי 3, והשטח פי 9.

יחס הדמיון 1:3. מהו יחס השטחים?

Voir la réponse et le corrigé

1:9 — יחס הדמיון בריבוע. השטח גדל בשני ממדים בבת אחת.

למה דווקא בריבוע

שטח משולש הוא בסיס כפול גובה, חלקי 2. בהגדלה פי $k$ גם הבסיס וגם הגובה נמתחים פי $k$ — שניהם.

שטח נמדד בשני כיוונים, וכל כיוון נמתח פי $k$ — לכן $k \times k = k^2$ ואין כאן כלל לשנן.

מגדילים משולש פי 4. פי כמה גדל השטח שלו?

Voir la réponse et le corrigé

פי 16, כי הבסיס פי 4 וגם הגובה פי 4: $4^2 = 16$

ובכיוון ההפוך

לפעמים נותנים את יחס השטחים, ומבקשים את יחס הצלעות.

אז עושים את הפעולה ההפוכה לריבוע: מוציאים שורש.

הטעות שנופלים בה כמעט תמיד בפעם הראשונה.

\text{יחס שטחים 9} \quad \rightarrow\quad \text{צלע גדולה פי 9}

\text{יחס שטחים 9} \quad \rightarrow\quad \text{צלע גדולה פי 3}

יחס השטחים הוא כבר בריבוע. כדי לחזור לצלעות מוציאים שורש, ולא משתמשים בו כמו שהוא.

יחס השטחים של שני משולשים דומים הוא 25. פי כמה גדולה הצלע?

Voir la réponse et le corrigé

פי 5: $\sqrt{25} = 5$ — לא פי 25.

שלושת היחסים ביחד

Exercices

Exercice 1

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 9. צלע במשולש הגדול היא 12 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}k^2 &= 9 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 3\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

12 : 3 = 4

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-9 במקום ב-3. יחס השטחים כבר בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 4. צלע במשולש הגדול היא 10 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}k^2 &= 4 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 2\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

10 : 2 = 5

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-4 במקום ב-2. יחס השטחים כבר בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 16. צלע במשולש הגדול היא 12 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}k^2 &= 16 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 4\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

12 : 4 = 3

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-16 במקום ב-4. יחס השטחים כבר בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 25. צלע במשולש הגדול היא 10 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}k^2 &= 25 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 5\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

10 : 5 = 2

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-25 במקום ב-5. יחס השטחים כבר בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 9. צלע במשולש הגדול היא 18 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}k^2 &= 9 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 3\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

18 : 3 = 6

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-9 במקום ב-3. יחס השטחים כבר בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 4. צלע במשולש הגדול היא 14 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

\begin{aligned}k^2 &= 4 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 2\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

14 : 2 = 7

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-4 במקום ב-2. יחס השטחים כבר בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

שני משולשים דומים ביחס דמיון 4. שטח הקטן הוא 5 סמ״ר. מה שטח הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80

Corrigé :

\begin{aligned}k^2 &= 4^2 \\ &= 16\end{aligned}

השטח נכפל ביחס בריבוע

5 \times 16 = 80

ולא פי 4

ההיקף היה נכפל פי 4 בלבד. השטח נכפל פי 16, כי הוא נמתח בשני כיוונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

משולש הוגדל פי 3. מה קרה להיקף ולשטח?

ההיקף פי 9, השטח פי 3
שניהם פי 9
ההיקף פי 3, השטח פי 9
שניהם פי 3

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ההיקף פי 3, השטח פי 9

Corrigé :

P \times 3

היקף הוא סכום אורכים

S \times 3^2 = S \times 9

שטח הוא מכפלת שני אורכים

זה ההבדל היחיד שצריך לזכור בפרק, והוא נובע ישירות מכך ששטח נמדד בשני כיוונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 25. מהו יחס הדמיון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}k^2 &= 25 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 5\end{aligned}

משטח לצלע — שורש

משטח לצלע מוציאים שורש; מצלע לשטח מעלים בריבוע. שני כיוונים של אותו קשר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

יחס דמיון 2:5 — מהו יחס השטחים? (כתבו את הגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

\begin{aligned}2^2 &= 4 \\ \quad 5^2 &= 25\end{aligned}

כל צד של היחס — בריבוע

יחס השטחים הוא $4:25$ — והגדול הוא 25.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

יחס שטחים 9:16 — מהו יחס הדמיון? (כתבו את הגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\sqrt{16} = 4

מול 3

מהשטחים אל הצלעות — שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

שטח המשולש הקטן 5 סמ״ר ויחס הדמיון 3. מהו שטח הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

\begin{aligned}k^2 &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

השטח פי $k$ בריבוע

5 \times 9 = 45

פי תשע — לא פי שלוש

מי שכופל ב-3 מקבל 15: זה מה שקורה להיקף, לא לשטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

יחס ההיקפים של דומים 2:7. מהו יחס הדמיון? (הגדול)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

2:7

ההיקף גדל בדיוק כמו הצלעות

היקף — כמו יחס הדמיון; שטח — בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

מגדילים משולש פי 2 — פי כמה גדל שטחו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

2^2 = 4

הבסיס פי 2, וגם הגובה פי 2

ההיקף גדל פי היחס, אבל השטח גדל פי היחס בריבוע — כי הוא נמדד בשני ממדים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

שטחי דומים 12 ו-48. צלע בקטן 5 — המתאימה בגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

\frac{48}{12} = 4

יחס השטחים

\sqrt{4} = 2

יחס הדמיון — שורש

5 \times 2 = 10

הצלע בגדול

המלכודת: לכפול את 5 ב-4. יחס השטחים הוא כבר בריבוע, ולצלע חוזרים דרך השורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

אותה צורה, וכל צלע פי

k

מלבן צלעותיו $a$ ו- $b$ ומלבן שני הדומה לו ביחס $k$ — צלעותיו $ka$ ו- $kb$ — הוכיחו שיחס השטחים הוא $k^2$

מלבן ראשון: צלעות $a, b$
מלבן שני: צלעות $ka, kb$

$\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$

Voir la réponse et le corrigé

$S_1 = a \cdot b$ — שטח מלבן — אורך כפול רוחב
$S_2 = ka \cdot kb$ — שטח מלבן — אורך כפול רוחב
$S_2 = k^2 \cdot ab$ — סידור הגורמים: $k \cdot k = k^2$
$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{k^2 \cdot ab}{ab}$ — חלוקה ב- $S_1$
$\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$ — צמצום $ab$ — כל צלע גדלה פי $k$ והשטח פי $k$ פעמיים

Corrigé :

\begin{aligned}S_1 &= ab \quad \\ \quad S_2 &= ka \cdot kb \\ &= k^2 ab\end{aligned}

שטח מלבן בשני המלבנים

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{k^2 ab}{ab} \\ &= k^2\end{aligned}

מחלקים ומצמצמים

כל צלע גדלה פי $k$ והשטח הוא מכפלה של שתי צלעות — לכן הוא גדל פי $k$ פעמיים, כלומר פי $k^2$

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 3, ושטח הקטן 8 סמ״ר. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

k = 3

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}S_2 &= 8 \times 3 \\ &= 24\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $S_2 = 8 \times 3 = 24$ → $S_2 = 8 \times 9 = 72$

Corrigé :

\begin{aligned}S_2 &= 8 \times 9 \\ &= 72\end{aligned}

השטח פי $k^2$

השורה השנייה אמרה פי 9, והשלישית כפלה רק פי 3. 24 הוא מה שהיה יוצא להיקף, לא לשטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

אם מגדילים משולש פי 2, גם השטח שלו גדל פי 2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

2^2 = 4

השטח פי 4

הבסיס פי 2 והגובה פי 2 — לכן השטח פי $2 \times 2 = 4$

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

משולש הוגדל פי $k$ — התאימו כל $k$ לשינוי בשטח.

$k = 2$
$k = 3$
$k = 5$
$k = 10$

שטח פי 100
שטח פי 25
שטח פי 4
שטח פי 9

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $k = 2$ — שטח פי 4 · $k = 3$ — שטח פי 9 · $k = 5$ — שטח פי 25 · $k = 10$ — שטח פי 100

Corrigé :

k \to k^2

כל $k$ — בריבוע

שטח גדל פי $k^2$ כי הבסיס פי $k$ וגם הגובה פי $k$

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

בסיס של משולש 6 ס״מ, והגובה אליו 4 ס״מ. מגדילים את המשולש פי 3. מהו שטח המשולש המוגדל, בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 108

Corrigé :

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

השטח המקורי

k^2 = 9

השטח גדל פי 9

12 \times 9 = 108

או ישירות: $\frac{18 \cdot 12}{2} = 108$

שתי הדרכים נותנות 108: לחשב את השטח החדש מבסיס 18 וגובה 12, או לכפול את 12 ב- $k^2 = 9$

Vérifier la réponse sur elev

Les mots de la leçon

היקף: hekef périmètre
צלע: tsela côté
שטח: shetaḥ aire
נקודה: nekuda point
פי: pi fois (plus, moins)
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon rapport de similitude
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim rapport des aires
ממד: meimad dimension
משולש: meshulash triangle
בסיס: basis base
כפול: kaful fois
גובה: gova hauteur
חלקי: ḥalkei divisé par
יחס: yaḥas rapport
פעולה הפוכה: pe’ula hafukha opération inverse
ריבוע: ribua carré
שורש: shoresh racine carrée
משולשים דומים: meshulashim domim triangles semblables
סמ״ר (סנטימטר רבוע): sentimeter ravua centimètre carré (cm²)
חשבו: ḥishvu calculez
סכום: skhum somme
מכפלה: makhpela produit
נובע: nove’a découle, il s’ensuit
כתבו: kitvu écrivez
מצאו: mits’u trouvez, déterminez
מלכודת: malkodet piège
מלבן: malben rectangle
הוכיחו: hokhiḥu démontrez
נוסחה: nusḥa formule
גורם: gorem facteur
צמצום: tsimtsum simplification
שגוי: shagui erroné, faux
בדקו: bidku vérifiez
התאימו: hat’imu associez, reliez
ס״מ (סנטימטר): sentimeter centimètre (cm)

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elev Découvrir elev pour cette classe