Niveau intermédiaire

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו כל מערכת הגיעה מסודרת: xx ו-yy בצד אחד, מספר בצד השני.

כאן המערכת מגיעה מבולגנת: יש סוגריים, יש נעלמים משני הצדדים, ולפעמים המספר יושב באמצע.

לפני שבוחרים שיטה — מסדרים כל משוואה לצורה ax+by=cax + by = c

שימו לב איזו שיטה נבחרה כאן: אחרי הסידור, המקדם של xx יצא זהה בשתי המשוואות — ולכן השוואת מקדמים חוסכת עבודה. הבחירה נעשית אחרי הסידור, לא לפניו.

הטעות של הרמה הזאת.

6(x−4)+4(y−1)=10⇒6x−4+4y−1=10\begin{aligned}6(x-4) + 4(y-1) &= 10 \Rightarrow 6x - 4 + 4y - 1 \\ &= 10\end{aligned}
6x−24+4y−4=106x - 24 + 4y - 4 = 10

כשפותחים סוגריים כופלים את כל מה שבפנים, לא רק את האבר הראשון.

מה עושים עם 3x=y+103x = y + 10 לפני שבוחרים שיטה?

Voir la réponse et le corrigé

מסדרים: מעבירים את yy שמאלה ומקבלים 3x−y=103x - y = 10. עכשיו רואים את המקדמים.

איזו שיטה? סורקים את המקדמים

לפני שפותרים מערכת — מה בודקים במקדמים?

Voir la réponse et le corrigé

אם יש זוג נגדי או שווה (לחיבור/חיסור מידי), או משתנה מבודד (להצבה). הבדיקה הזו חוסכת חצי עמוד חישובים.

שני ישרים, שלושה מקרים

המערכת x+y=12x+y=12 ו-x−y=4x-y=4 כשני ישרים: y=12−xy=12-x יורד, y=x−4y=x-4 עולה. הפתרון (8,4)(8,4) הוא נקודת המפגש — הנקודה היחידה שנמצאת על שניהם.

למה לפתרון של מערכת יש בדיוק נקודה אחת (בדרך כלל)?

Voir la réponse et le corrigé

כי כל משוואה היא ישר, ושני ישרים שאינם מקבילים נחתכים בנקודה אחת בדיוק. מקרים מיוחדים: מקבילים — אין פתרון; אותו ישר — אינסוף פתרונות.

Exercices

Exercice 1

פתרו את המערכת. מהו xx?

{3x−3y=−124x−7y=−28\begin{cases} 3x - 3y = -12 \\ 4x - 7y = -28 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

שיטת ההשוואה\text{שיטת ההשוואה}

כופלים את הראשונה ב-4 ואת השנייה ב-3

y=4y = 4
x=0x = 0

הפתרון הוא (0, 4)(0,\, 4). בדיקה: 3⋅0−3⋅4=−123 \cdot 0 - 3 \cdot 4 = -12.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

ובאותה מערכת — מהו yy?

{3x−3y=−124x−7y=−28\begin{cases} 3x - 3y = -12 \\ 4x - 7y = -28 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

y=4y = 4

הזוג הסדור הוא (0, 4)(0,\, 4) — ותמיד עונים על שניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו. מהו yy?

{6x+y=−44x+6y=24\begin{cases} 6x + y = -4 \\ 4x + 6y = 24 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

y=−4−6xy = -4 - 6x

ל-yy יש מקדם 1 — אז הצבה

4x+6(−4−6x)=244x + 6(-4 - 6x) = 24
x=−1.5    y=5\begin{aligned}x &= -1.5 \; \\ \; y &= 5\end{aligned}

הפתרון (−1.5, 5)(-1.5,\, 5) — ולא כל פתרון חייב להיות שלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו. מהו xx?

{−6x+4y=58−6x−2y=16\begin{cases} -6x + 4y = 58 \\ -6x - 2y = 16 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -5

Corrigé :

6y=42  ⟶  y=7\begin{aligned}6y &= 42 \;\longrightarrow\; y \\ &= 7\end{aligned}

מחסרים — ה-−6x-6x מצטמצם מייד

x=−5x = -5

כאן המקדמים כבר היו זהים — סימן ברור להשוואת מקדמים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתרו. מהו yy?

{5x+4y=−164x−5y=20\begin{cases} 5x + 4y = -16 \\ 4x - 5y = 20 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

×5  ,  ×4\times 5 \;,\; \times 4

מכפילים כדי להשוות את מקדמי yy

x=0    y=−4\begin{aligned}x &= 0 \; \\ \; y &= -4\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

סדרו קודם, ואז פתרו. מהו xx?

{10+2(2x+y)=x+173x=y+10\begin{cases} 10 + 2(2x + y) = x + 17 \\ 3x = y + 10 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

3x+2y=73x + 2y = 7

אחרי פתיחת סוגריים וסידור

3x−y=103x - y = 10
x=3    y=−1\begin{aligned}x &= 3 \; \\ \; y &= -1\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

סדרו ופתרו. מהו yy?

{3x+y−12=3yx+y=14\begin{cases} 3x + y - 12 = 3y \\ x + y = 14 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

3x−2y=123x - 2y = 12

מסדרים את הראשונה

x=8    y=6\begin{aligned}x &= 8 \; \\ \; y &= 6\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתחו סוגריים, סדרו ופתרו. מהו xx?

{6(x−4)+4(y−1)=107+x=y+10\begin{cases} 6(x - 4) + 4(y - 1) = 10 \\ 7 + x = y + 10 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

6x+4y=386x + 4y = 38

אחרי פתיחת סוגריים

x−y=3x - y = 3
x=5    y=2\begin{aligned}x &= 5 \; \\ \; y &= 2\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

פתרו. מהו yy?

{−7y−88=6x−y=4x+22\begin{cases} -7y - 88 = 6x \\ -y = 4x + 22 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -10

Corrigé :

−6x−7y=88-6x - 7y = 88

מסדרים

−4x−y=22-4x - y = 22
x=−3    y=−10\begin{aligned}x &= -3 \; \\ \; y &= -10\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פתרו. מהו xx?

{3x−8y=−78−8x+2y=34\begin{cases} 3x - 8y = -78 \\ -8x + 2y = 34 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

×1  ,  ×4\times 1 \;,\; \times 4

משווים את מקדמי yy

x=−2    y=9\begin{aligned}x &= -2 \; \\ \; y &= 9\end{aligned}
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

לפני שבוחרים שיטת פתרון, צריך לסדר את שתי המשוואות לצורה ax+by=cax + by = c.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

סידור לצורה ax+by=cax + by = c הוא מה שמאפשר להשוות בין המשוואות ולבחור שיטה. בלי זה בוחרים באפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

הפתרון של מערכת משוואות חייב להיות מספר שלם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

לא. הפתרון יכול להיות שבר או עשרוני — אין שום כלל שמחייב מספר שלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

פתרו את המערכת ומצאו את xx:

x+y=12x−y=4\begin{aligned}x + y &= 12\\x - y &= 4\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

2x=16  ⇒  x=8  y=4\begin{aligned}2x &= 16 \;\Rightarrow\; x \\ &= 8 \\ \; y &= 4\end{aligned}

מחברים את שתי המשוואות

החיבור מעלים את y: נשאר 2x=162x = 16. ובדיקה: 8 ועוד 4 הם 12, 8 פחות 4 הם 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

הצבה: במערכת y=x+2y = x + 2 וגם 2x+y=142x + y = 14 —

מציבים ומקבלים 2x + x + 2 = 14 , ולכן x = ____ ו-y = ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מציבים ומקבלים 2x + x + 2 = 14 , ולכן x = 4 ו-y = 6.

Corrigé :

3x=12  ⇒  x=4\begin{aligned}3x &= 12 \;\Rightarrow\; x \\ &= 4\end{aligned}

המשוואה הראשונה נכנסת לשנייה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

סדרו את שלבי ההצבה:

  • 2x+(x+3)=122x + (x + 3) = 12
  • 3x=93x = 9
  • x=3,  y=6x = 3,\; y = 6
  • y=x+3y = x + 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=x+3y = x + 3 · 2x+(x+3)=122x + (x + 3) = 12 · 3x=93x = 9 · x=3,  y=6x = 3,\; y = 6

Corrigé :

2×3+6=122 \times 3 + 6 = 12

מציבים, מכנסים, פותרים

y מבוטא — מציבים אותו במשוואה השנייה, וכל השאר משוואה רגילה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

שיטת החיבור — שורה אחת שגויה:

x+y=10x + y = 10
x−y=2x - y = 2
2x=82x = 8
x=4x = 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2x=82x = 8 → 2x=122x = 12

Corrigé :

(x+y)+(x−y)=10+2(x+y) + (x-y) = 10 + 2

מחברים גם את האגפים הימניים

חיבור שתי המשוואות נותן 2x=122x = 12, לא 8 — כנראה חיסרו במקום לחבר. ואז x=6,y=4x = 6, y = 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

מיינו: באיזו שיטה הכי נוח לפתור כל מערכת?

  • הצבה
  • השוואת מקדמים
  • 4x+5y=2  ,  4x−3y=184x + 5y = 2 \;,\; 4x - 3y = 18
  • 5x+3y=1  ,  2x−3y=65x + 3y = 1 \;,\; 2x - 3y = 6
  • x=2y  ,  x+y=9x = 2y \;,\; x + y = 9
  • y=4x−1  ,  3x+2y=9y = 4x - 1 \;,\; 3x + 2y = 9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=4x−1  ,  3x+2y=9y = 4x - 1 \;,\; 3x + 2y = 9 — הצבה · 5x+3y=1  ,  2x−3y=65x + 3y = 1 \;,\; 2x - 3y = 6 — השוואת מקדמים · x=2y  ,  x+y=9x = 2y \;,\; x + y = 9 — הצבה · 4x+5y=2  ,  4x−3y=184x + 5y = 2 \;,\; 4x - 3y = 18 — השוואת מקדמים

Corrigé :

y=…    x=…\begin{aligned}y &= \ldots \; \\ \; x &= \ldots\end{aligned}

נעלם מבודד: הצבה

+3y,−3y  ;  4x,4x+3y, -3y \;;\; 4x, 4x

מקדמים נגדיים או שווים: השוואת מקדמים

סורקים לפני שפותרים: נעלם מבודד מזמין הצבה, ומקדמים נגדיים או שווים מזמינים חיבור או חיסור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

מה הצורה המסודרת ax+by=cax + by = c של 2(x−3)+y=42(x - 3) + y = 4?

  1. 2x+y=102x + y = 10
  2. 2x+y=−22x + y = -2
  3. 2x−3+y=42x - 3 + y = 4
  4. 2x+y=72x + y = 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2x+y=102x + y = 10

Corrigé :

2x−6+y=42x - 6 + y = 4

פותחים סוגריים: 2⋅(−3)=−62 \cdot (-3) = -6

2x+y=102x + y = 10

מעבירים את −6-6 ימינה: הוא נהיה +6+6

שתי טעויות אורבות: לכפול רק את xx (ואז −3-3), ולשכוח להפוך סימן כשמעבירים אגף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

מסדרים את 5+3(x−y)=2x+15 + 3(x - y) = 2x + 1. שורה אחת שגויה:

5+3(x−y)=2x+15 + 3(x - y) = 2x + 1
5+3x−y=2x+15 + 3x - y = 2x + 1
x−y=−4x - y = -4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5+3x−y=2x+15 + 3x - y = 2x + 1 → 5+3x−3y=2x+15 + 3x - 3y = 2x + 1

Corrigé :

3(x−y)=3x−3y3(x - y) = 3x - 3y

ה-3 כופל גם את yy

x−3y=−4x - 3y = -4

הצורה המסודרת הנכונה

פותחים סוגריים: הכפל חל על כל האיברים שבפנים, לא רק על הראשון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

למערכת y=2x+1y = 2x + 1 ו-y=2x+5y = 2x + 5 יש פתרון אחד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

2x+1=2x+5  ⇒  1=5\begin{aligned}2x + 1 &= 2x + 5 \;\Rightarrow\; 1 \\ &= 5\end{aligned}

סתירה

אותו שיפוע וקבועים שונים: שני ישרים מקבילים. אין נקודת חיתוך, ולכן אין פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

הישרים y=3x−2y = 3x - 2 ו-y=−x+6y = -x + 6 נחתכים בנקודה אחת. מהו ה-xx שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

3x−2=−x+63x - 2 = -x + 6

בנקודת החיתוך ה-yy שווה

4x=8  ⇒  x=2\begin{aligned}4x &= 8 \;\Rightarrow\; x \\ &= 2\end{aligned}

ואז y=4y = 4

נקודת החיתוך היא הפתרון של המערכת. בדיקה: −2+6=4-2 + 6 = 4 ✓

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe