Méthode par élimination

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הגענו לשיטה הזאת מסיבה אחת: באף אחת מהמשוואות אין נעלם עם מקדם 1 או −1-1, ולכן בידוד היה מכניס שברים. אם יש נעלם כזה — חוזרים לשיטת ההצבה, שהיא הקצרה מבין השתיים.

כאן לא מבודדים כלום. במקום זה דואגים שהמקדמים של אחד הנעלמים יהיו שווים בשתי המשוואות — ואז מחברים או מחסרים ביניהן, והנעלם הזה נעלם מעצמו.

במערכת 2x+y=72x + y = 7 ו-2x−y=32x - y = 3 — מה מזמין חיבור המשוואות?

Voir la réponse et le corrigé

ה-yy מתבטל: 4x=104x = 10. חיבור אגפים מחסל משתנה כשהמקדמים נגדיים.

מקדמים שווים — מחסרים. מקדמים הפוכים בסימן — מחברים. זו כל ההחלטה, ושווה לרשום אותה בצד לפני שמתחילים.

וכשהמקדמים לא מתאימים

ברוב המקרים המקדמים לא יהיו שווים מלכתחילה, ולכן כופלים משוואה שלמה במספר כדי להשוות אותם. מותר לכפול משוואה במספר — כל עוד כופלים את כל האיברים, כולל התוצאה מימין.

הטעות שהופכת את כל המערכת ללא נכונה.

3⋅(2x+3y=11)→6x+9y=113 \cdot (2x + 3y = 11) \rightarrow 6x + 9y = 11
3⋅(2x+3y=11)→6x+9y=333 \cdot (2x + 3y = 11) \rightarrow 6x + 9y = 33

כשכופלים משוואה — כופלים גם את המספר שמימין לסימן השוויון. לשכוח אותו פירושו לשנות את המשוואה.

ולכן: השוואת מקדמים נוחה כששני הנעלמים מופיעים עם מקדמים «כבדים» ואין אף אחד עם מקדם 1 — בדיוק המקרה שבו ההצבה הייתה גוררת שברים.

במערכת 3x+2y=83x + 2y = 8 ו-x+5y=7x + 5y = 7, איך הכי נוח להשוות את המקדמים של xx?

Voir la réponse et le corrigé

כופלים את השנייה ב-33: 3x+15y=213x + 15y = 21. עכשיו ל-xx אותו מקדם בשתיהן, ומחסרים.

Exercices

Exercice 1

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{3x+2y=125x−2y=4\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

+2y,−2y+2y \quad ,\quad -2y

המקדמים של y כבר הפוכים — אין מה לכפול

8x=168x = 16

מחברים את שתי המשוואות, ו-y נעלם

x=2x = 2

On résout

y=3y = 3

ומציבים חזרה כדי למצוא את y

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=2x = 2 ו-y=3y = 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{2x+3y=113x−3y=9\begin{cases} 2x + 3y = 11 \\ 3x - 3y = 9 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

+3y,−3y+3y \quad ,\quad -3y

המקדמים של y כבר הפוכים — אין מה לכפול

5x=205x = 20

מחברים את שתי המשוואות, ו-y נעלם

x=4x = 4

On résout

y=1y = 1

ומציבים חזרה כדי למצוא את y

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=4x = 4 ו-y=1y = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{4x+3y=185x−3y=9\begin{cases} 4x + 3y = 18 \\ 5x - 3y = 9 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

+3y,−3y+3y \quad ,\quad -3y

המקדמים של y כבר הפוכים — אין מה לכפול

9x=279x = 27

מחברים את שתי המשוואות, ו-y נעלם

x=3x = 3

On résout

y=2y = 2

ומציבים חזרה כדי למצוא את y

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=3x = 3 ו-y=2y = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{3x+4y=236x−4y=22\begin{cases} 3x + 4y = 23 \\ 6x - 4y = 22 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

+4y,−4y+4y \quad ,\quad -4y

המקדמים של y כבר הפוכים — אין מה לכפול

9x=459x = 45

מחברים את שתי המשוואות, ו-y נעלם

x=5x = 5

On résout

y=2y = 2

ומציבים חזרה כדי למצוא את y

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=5x = 5 ו-y=2y = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{2x+3y=113x+2y=14\begin{cases} 2x + 3y = 11 \\ 3x + 2y = 14 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

2⋅(2x+3y=11),3⋅(3x+2y=14)2 \cdot (2x + 3y = 11) \quad ,\quad 3 \cdot (3x + 2y = 14)

כופלים כל משוואה כדי להשוות את מקדמי y

−5x=−20-5x = -20

מחסרים — y נעלם

x=4x = 4

On résout

y=1y = 1

ומציבים חזרה

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=4x = 4 ו-y=1y = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{3x+2y=164x+3y=23\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 4x + 3y = 23 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

3⋅(3x+2y=16),2⋅(4x+3y=23)3 \cdot (3x + 2y = 16) \quad ,\quad 2 \cdot (4x + 3y = 23)

כופלים כל משוואה כדי להשוות את מקדמי y

1x=21x = 2

מחסרים — y נעלם

x=2x = 2

On résout

y=5y = 5

ומציבים חזרה

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=2x = 2 ו-y=5y = 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{5x+2y=363x+4y=30\begin{cases} 5x + 2y = 36 \\ 3x + 4y = 30 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

4⋅(5x+2y=36),2⋅(3x+4y=30)4 \cdot (5x + 2y = 36) \quad ,\quad 2 \cdot (3x + 4y = 30)

כופלים כל משוואה כדי להשוות את מקדמי y

14x=8414x = 84

מחסרים — y נעלם

x=6x = 6

On résout

y=3y = 3

ומציבים חזרה

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=6x = 6 ו-y=3y = 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו את המערכת ומצאו את הערך של yy:

{4x+3y=252x+5y=37\begin{cases} 4x + 3y = 25 \\ 2x + 5y = 37 \end{cases}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

5⋅(4x+3y=25),3⋅(2x+5y=37)5 \cdot (4x + 3y = 25) \quad ,\quad 3 \cdot (2x + 5y = 37)

כופלים כל משוואה כדי להשוות את מקדמי y

14x=1414x = 14

מחסרים — y נעלם

x=1x = 1

On résout

y=7y = 7

ומציבים חזרה

בדיקה: שתי המשוואות מתקיימות עם x=1x = 1 ו-y=7y = 7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שלושה כרטיסי מבוגר ושני כרטיסי ילד עולים 190 ₪. שני כרטיסי מבוגר ושלושה כרטיסי ילד עולים 160 ₪. כמה עולה כרטיס מבוגר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

3x+2y=1902x+3y=160\begin{aligned}3x + 2y &= 190 \quad \\ \quad 2x + 3y &= 160\end{aligned}

x = מבוגר, y = ילד. אין מקדם 1 — לכן השוואת מקדמים

3⋅(3x+2y)=5702⋅(2x+3y)=320\begin{aligned}3 \cdot (3x + 2y) &= 570 \quad \\ \quad 2 \cdot (2x + 3y) &= 320\end{aligned}

משווים את מקדמי y ל-6

9x+6y=5704x+6y=320\begin{aligned}9x + 6y &= 570 \quad \\ \quad 4x + 6y &= 320\end{aligned}

ועכשיו מחסרים

5x=250⟶x=50y=20\begin{aligned}5x &= 250 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 50 \quad \\ \quad y &= 20\end{aligned}

מבוגר 50 ₪, ילד 20 ₪

כאן ההצבה הייתה גוררת שברים כבר בשלב הראשון. זה בדיוק המקרה שבו השוואת מקדמים חוסכת עבודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

3x+2y=163x + 2y = 16 ו-x−2y=0x - 2y = 0 — מהו xx? (חברו)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

4x=164x = 16

ה-y התבטל

x=4x = 4
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ובאותה מערכת — מהו yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

4−2y=0  y=2\begin{aligned}4 - 2y &= 0 \ \\ \ y &= 2\end{aligned}

החיסור העלים את xx, ומה שנשאר היא משוואה אחת פשוטה ב-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

5x+3y=215x + 3y = 21 ו-5x−y=55x - y = 5 — מהו yy? (חסרו)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

4y=164y = 16

ה-5x התבטל בחיסור

y=4y = 4
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

2x+y=102x + y = 10 ו-3x−2y=13x - 2y = 1 — מהו xx? (הכפילו את הראשונה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

4x+2y=204x + 2y = 20

כפול 2

7x=217x = 21

ואז חיבור

x=3x = 3
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

4x+6y=264x + 6y = 26 ו-4x+2y=184x + 2y = 18 — מהו yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

4y=84y = 8

חיסור

y=2y = 2
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

שיטת ההכפלה: 3x+4y=253x + 4y = 25 ו-2x+3y=182x + 3y = 18. מהו xx? (רמז: כפלו ב-3 וב-4)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

9x+12y=75  8x+12y=72\begin{aligned}9x + 12y &= 75 \ \\ \ 8x + 12y &= 72\end{aligned}
x=3x = 3

בחיסור

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

במערכת 4x+3y=104x + 3y = 10 ו-2x−3y=82x - 3y = 8, מה הצעד הנוח?

  1. לחבר את המשוואות
  2. לבודד את xx
  3. לחסר את המשוואות
  4. לכפול את השנייה ב-2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לחבר את המשוואות

Corrigé :

+3y  ,  −3y+3y \;,\; -3y

המקדמים של yy נגדיים

6x=18  ⇒  x=3\begin{aligned}6x &= 18 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

בחיבור yy נעלם

מקדמים נגדיים: מחברים. חיסור היה דווקא מכפיל את yy ולא מעלים אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

לחבר או לחסר? מיינו כל מערכת לפי הצעד שמעלים נעלם.

  • לחבר
  • לחסר
  • −3x+2y=4  ,  3x+y=5-3x + 2y = 4 \;,\; 3x + y = 5
  • 2x+5y=9  ,  3x−5y=12x + 5y = 9 \;,\; 3x - 5y = 1
  • 4x+y=9  ,  4x−3y=14x + y = 9 \;,\; 4x - 3y = 1
  • 5x+2y=12  ,  x+2y=45x + 2y = 12 \;,\; x + 2y = 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2x+5y=9  ,  3x−5y=12x + 5y = 9 \;,\; 3x - 5y = 1 — לחבר · 4x+y=9  ,  4x−3y=14x + y = 9 \;,\; 4x - 3y = 1 — לחסר · −3x+2y=4  ,  3x+y=5-3x + 2y = 4 \;,\; 3x + y = 5 — לחבר · 5x+2y=12  ,  x+2y=45x + 2y = 12 \;,\; x + 2y = 4 — לחסר

Corrigé :

+5y  ,  −5y  ⇒  ++5y \;,\; -5y \;\Rightarrow\; +

נגדיים: מחברים

4x  ,  4x  ⇒  −4x \;,\; 4x \;\Rightarrow\; -

שווים: מחסרים

מקדמים נגדיים מתבטלים בחיבור, מקדמים שווים מתבטלים בחיסור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

משווים מקדמים — שורה אחת שגויה:

2x+3y=112x + 3y = 11
3⋅(2x+3y)=3⋅113 \cdot (2x + 3y) = 3 \cdot 11
6x+9y=116x + 9y = 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6x+9y=116x + 9y = 11 → 6x+9y=336x + 9y = 33

Corrigé :

3⋅11=333 \cdot 11 = 33

כופלים גם את אגף ימין

כשכופלים משוואה, כופלים את כל האיברים, גם את המספר שמימין. אחרת זו כבר משוואה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

במערכת x+2y=8x + 2y = 8 ו-3x−2y=03x - 2y = 0, מחברים את המשוואות.

4x=4x = ____ , x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4x=4x = 8 , x=x = 2 , y=y = 3

Corrigé :

4x=8  ⇒  x=2\begin{aligned}4x &= 8 \;\Rightarrow\; x \\ &= 2\end{aligned}

+2y+2y ו-−2y-2y מתבטלים

2+2y=8  ⇒  y=3\begin{aligned}2 + 2y &= 8 \;\Rightarrow\; y \\ &= 3\end{aligned}

מציבים חזרה בראשונה

בדיקה: 3⋅2−2⋅3=03 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 0. ואחרי xx תמיד חוזרים ל-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

כדי להשוות מקדמים מותר לכפול רק את אגף שמאל של המשוואה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

3⋅(2x+3y)=3⋅113 \cdot (2x + 3y) = 3 \cdot 11

שני האגפים

כופלים את שני האגפים באותו מספר. כפל של צד אחד בלבד משנה את המשוואה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

במערכת 2x+3y=112x + 3y = 11 ו-3x+2y=143x + 2y = 14, איך משווים את המקדמים של yy?

  1. שתיהן פי 6
  2. רק הראשונה, פי 2
  3. הראשונה פי 2, השנייה פי 3
  4. הראשונה פי 3, השנייה פי 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C הראשונה פי 2, השנייה פי 3

Corrigé :

2⋅3y=6y    3⋅2y=6y\begin{aligned}2 \cdot 3y &= 6y \; \\ \; 3 \cdot 2y &= 6y\end{aligned}

שני המקדמים מגיעים ל-6

כל מקדם מוכפל במקדם של השנייה. פי 3 ופי 2 היו משווים את xx, לא את yy.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe