On résout ensemble · Angles · Psychométriques

Six questions, une par geste central du chapitre : trois droites concourantes, les angles dans un rapport, la montre, les bissectrices du triangle, la réponse en lettres, la chasse aux angles dans un triangle.

Chacune est d'abord résolue avec vous, un choix à chaque pas. Puis vous la rejouez dans une figure, et sa jumelle vous attend en bas de page.

À chaque pas, choisissez ce que vous feriez avant de lire les explications. Un mauvais choix ne coûte rien ici ; à l'examen, il coûte la question.

Le réflexe à installer : avant de calculer, nommez le total — $90^\circ$ , $180^\circ$ ou $360^\circ$ — que les angles de la figure se partagent. Presque toutes les erreurs de ce chapitre viennent d'un mauvais total.

1 — Trois droites, un même point

Activité interactive

Question 1 — Trois droites, un même point

Dans la figure, trois droites passent par un même point. Deux angles mesurent $52^\circ$ et $67^\circ$ . Que vaut $x$ ?

$61^\circ$

$67^\circ$

$119^\circ$

$128^\circ$

Quel angle de la figure est relié directement à $x$ ?

L'angle $y$ compris entre le $52^\circ$ et le $67^\circ$ : $x$ est son opposé par le sommet.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Les deux côtés de $x$ prolongent, de l'autre côté du point, les deux côtés de $y$ .

Le $52^\circ$ : $x$ est son opposé par le sommet.

Voir la réponse et le corrigé

L'opposé du $52^\circ$ est entre les prolongements de SES côtés. Sur la figure, c'est un voisin de $x$ , pas $x$ .

Le $67^\circ$ : $x$ et lui sont supplémentaires.

Voir la réponse et le corrigé

Avec trois droites, deux angles ne font $180^\circ$ que s'ils sont trois consécutifs. Et le $67^\circ$ n'est même pas voisin de $x$ .

x = y

On cherche donc l'angle $y$ , entre le $52^\circ$ et le $67^\circ$ .

Que vaut $y$ ?

$180^\circ - 52^\circ - 67^\circ$ : les trois angles consécutifs forment un angle plat.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le $52^\circ$ , $y$ et le $67^\circ$ s'étalent d'une demi-droite à son prolongement.

$360^\circ - 52^\circ - 67^\circ$ : les angles autour d'un point font un tour.

Voir la réponse et le corrigé

Un tour contient les SIX angles. Trois angles consécutifs n'en couvrent que la moitié.

$\dfrac{52^\circ + 67^\circ}{2}$ , la moyenne des deux.

Voir la réponse et le corrigé

Aucune règle ne place $y$ à mi-chemin des deux autres : ce serait un hasard de la figure.

\begin{aligned}y &= 180^\circ - 52^\circ - 67^\circ \\ &= 61^\circ\end{aligned}

Et $x$ , son opposé par le sommet, vaut autant.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $61^\circ$ ». « $67^\circ$ » recopie un angle donné qui n'est pas en face de $x$ . « $119^\circ$ » est $52^\circ + 67^\circ$ , l'angle qui les réunit. « $128^\circ$ » est le supplément du $52^\circ$ , comme s'il n'y avait que deux droites.

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Votre question jumelle : la première de la liste, en bas de page.

2 — Trois angles dans un rapport

Activité interactive

Question 2 — Trois angles dans un rapport

Dans la figure, trois demi-droites partent d'un même point et découpent trois angles dans le rapport $3 : 4 : 5$ . Que vaut le plus grand des trois angles ?

$150^\circ$

$75^\circ$

$120^\circ$

$30^\circ$

Quel total les trois angles se partagent-ils ?

$360^\circ$ : ils font le tour du point.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Les trois angles remplissent tout l'espace autour du point.

$180^\circ$ : trois angles font un angle plat.

Voir la réponse et le corrigé

Il faudrait que deux des demi-droites soient alignées. Ici, aucune ne prolonge une autre.

On ne peut pas savoir sans rapporteur.

Voir la réponse et le corrigé

Trois angles qui remplissent le tour font toujours $360^\circ$ , quelle que soit la figure.

3x + 4x + 5x = 360^\circ

Douze parts pour un tour.

Que vaut une part ?

$\dfrac{360^\circ}{12} = 30^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. On divise par le nombre de parts, $3 + 4 + 5$ .

$\dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

On divise par le nombre de PARTS, pas par le nombre d'angles.

$\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Le $5$ est la part du plus grand angle, pas le total des parts.

x = 30^\circ

Les angles valent $90^\circ$ , $120^\circ$ et $150^\circ$ — total $360^\circ$ .

Et le plus grand angle ?

$5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Il compte cinq parts.

$4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est l'angle du milieu.

$360^\circ - 150^\circ = 210^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est la somme des deux autres angles, pas un angle de la figure.

5x = 150^\circ

Contrôle : $90 + 120 + 150 = 360$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $150^\circ$ ». « $75^\circ$ » partage un angle plat au lieu d'un tour : $5 \cdot 15^\circ$ . « $120^\circ$ » est l'angle du milieu. « $30^\circ$ » est une part, pas un angle.

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Votre question jumelle : la deuxième de la liste.

3 — La montre à 4 h 30

Activité interactive

Question 3 — La montre à 4 h 30

Quel angle forment les aiguilles d'une montre à $4$ h $30$ ?

$45^\circ$

$60^\circ$

$30^\circ$

$315^\circ$

Où est la grande aiguille ?

Sur le $6$ , à $6 \cdot 30 = 180^\circ$ du $12$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. $6^\circ$ par minute, trente minutes : un demi-tour.

À $30^\circ$ du $12$ , puisqu'il est « et $30$ ».

Voir la réponse et le corrigé

Trente minutes ne font pas trente degrés : la grande aiguille fait $6^\circ$ par minute.

À $15^\circ$ du $12$ : $0{,}5^\circ$ par minute.

Voir la réponse et le corrigé

$0{,}5^\circ$ par minute, c'est la vitesse de la PETITE aiguille.

6 \cdot 30 = 180^\circ

La grande aiguille pointe vers le $6$ .

Et la petite aiguille ?

À $4 \cdot 30 + 30 \cdot 0{,}5 = 135^\circ$ : entre le $4$ et le $5$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. En une demi-heure, elle a fait la moitié du chemin entre deux chiffres.

Sur le $4$ , à $120^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Elle n'était sur le $4$ qu'à $4$ h pile. Depuis, trente minutes ont passé.

Sur le $5$ , à $150^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Elle n'y arrivera qu'à $5$ h.

30 \cdot 4 + 0{,}5 \cdot 30 = 135^\circ

La petite aiguille a avancé de $15^\circ$ depuis $4$ h.

Quel est l'angle entre les aiguilles ?

$180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Moins de $180^\circ$ : c'est bien l'angle demandé.

$360^\circ - 45^\circ = 315^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est l'angle rentrant, de l'autre côté. « L'angle entre les aiguilles » est le plus petit des deux.

$135^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est la position de la petite aiguille mesurée depuis le $12$ , pas un écart entre les aiguilles.

180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

Formule directe : $|30 \cdot 4 - 5{,}5 \cdot 30| = |120 - 165| = 45$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $45^\circ$ ». « $60^\circ$ » laisse la petite aiguille sur le $4$ : c'est l'erreur de loin la plus fréquente. « $30^\circ$ » la place sur le $5$ . « $315^\circ$ » est l'angle rentrant.

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Votre question jumelle : la troisième de la liste.

4 — Deux bissectrices dans un triangle

Deux arcs égaux en

B

, deux arcs égaux en

C

BI

CI

sont des bissectrices.

Activité interactive

Question 4 — Deux bissectrices dans un triangle

Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{A} = 76^\circ$ . Les bissectrices des angles $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ se coupent en $I$ . Que vaut $x = \widehat{BIC}$ ?

$128^\circ$

$104^\circ$

$52^\circ$

$38^\circ$

Que sait-on de $\widehat{B}$ et de $\widehat{C}$ ?

Leur somme : $180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. On ne connaît pas chacun des deux, et on n'en a pas besoin : seule la somme servira.

Ils valent $52^\circ$ chacun : le triangle est isocèle.

Voir la réponse et le corrigé

Rien ne dit que $AB = AC$ . La figure n'a d'ailleurs pas l'air isocèle.

Rien : sans $\widehat{B}$ , on ne peut pas conclure.

Voir la réponse et le corrigé

C'est le moment de parier que la somme suffit. Les bissectrices vont la couper en deux d'un bloc.

\begin{aligned}\widehat{B} + \widehat{C} &= 180^\circ - 76^\circ \\ &= 104^\circ\end{aligned}

La somme des angles du triangle.

Que vaut $\widehat{IBC} + \widehat{ICB}$ ?

$\dfrac{104^\circ}{2} = 52^\circ$ : la moitié de chacun.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Chaque bissectrice garde la moitié de son angle, donc la somme est coupée en deux.

$104^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Les angles du triangle $IBC$ en $B$ et en $C$ ne sont que des moitiés.

$90^\circ - 76^\circ = 14^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Aucun angle droit dans cette figure.

\widehat{IBC} + \widehat{ICB} = 52^\circ

Deux angles du petit triangle $IBC$ .

Et $x$ ?

$180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. C'est le troisième angle du triangle $IBC$ — et on retrouve $90^\circ + \dfrac{76^\circ}{2}$ .

$52^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est la somme des deux autres angles du triangle $IBC$ , pas le troisième.

$2 \cdot 52^\circ = 104^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Doubler annule la bissectrice : on retombe sur $\widehat{B} + \widehat{C}$ .

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 52^\circ \\ &= 128^\circ\end{aligned}

La formule du geste 6 : $90^\circ + 38^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $128^\circ$ ». « $104^\circ$ » est $\widehat{B} + \widehat{C}$ , ou $180^\circ - \widehat{A}$ . « $52^\circ$ » s'arrête au deuxième pas. « $38^\circ$ » est la moitié de $\widehat{A}$ , qui n'est que la moitié de la formule.

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Votre question jumelle : la quatrième de la liste.

5 — La réponse en lettres

Activité interactive

Question 5 — La réponse en lettres

Dans la figure, les droites $AB$ et $CD$ se coupent en $O$ , et $\widehat{AOC} = \alpha$ . La demi-droite $OE$ est la bissectrice de $\widehat{COB}$ . Que vaut $x = \widehat{AOE}$ ?

$90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$

$90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$

$180^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$

$180^\circ - \alpha$

Que vaut $\widehat{COB}$ ?

$180^\circ - \alpha$ : il est voisin de $\alpha$ sur la droite $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. $\widehat{AOC}$ et $\widehat{COB}$ forment l'angle plat $\widehat{AOB}$ .

$\alpha$ : il est opposé par le sommet à $\widehat{AOC}$ .

Voir la réponse et le corrigé

L'opposé de $\widehat{AOC}$ est $\widehat{BOD}$ . $\widehat{COB}$ partage le côté $OC$ avec lui : c'est un voisin.

$90^\circ - \alpha$ .

Voir la réponse et le corrigé

Ce serait le complément de $\alpha$ ; la figure n'a aucun angle droit.

\widehat{COB} = 180^\circ - \alpha

C'est l'angle que $OE$ coupe en deux.

Que vaut $\widehat{COE}$ ?

$\dfrac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. La bissectrice en garde la moitié.

$\dfrac{\alpha}{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est $\widehat{AOC}$ qu'on couperait ainsi. $OE$ coupe l'autre angle.

$180^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

On a divisé $\alpha$ par deux au lieu de diviser tout $\widehat{COB}$ .

\widehat{COE} = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}

Chaque moitié de $\widehat{COB}$ .

Et $x = \widehat{AOE}$ ?

$\alpha + 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2} = 90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. De $OA$ à $OE$ , on passe $\widehat{AOC}$ puis $\widehat{COE}$ . Contrôle avec $\alpha = 40^\circ$ : $40 + 70 = 110 = 90 + 20$ .

$90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est $\widehat{COE}$ seul : on a oublié le morceau $\widehat{AOC}$ .

$180^\circ - \alpha$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est $\widehat{COB}$ , l'angle coupé en deux, pas $x$ .

\begin{aligned}x &= \alpha + 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2} \\ &= 90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}\end{aligned}

Avec $\alpha = 40^\circ$ , les quatre options donnent $110^\circ$ , $70^\circ$ , $160^\circ$ et $140^\circ$ : une seule tombe juste.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$ ». « $90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$ » est la moitié de $\widehat{COB}$ seule. « $180^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$ » serait la réponse si $OE$ coupait en deux $\widehat{BOD}$ — la mauvaise bissectrice. « $180^\circ - \alpha$ » est l'angle $\widehat{COB}$ tout entier.

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Votre question jumelle : la cinquième de la liste.

6 — Trois droites qui forment un triangle

Activité interactive

Question 6 — Trois droites qui forment un triangle

Dans la figure, trois droites forment le triangle $ABC$ . L'angle marqué en $A$ vaut $118^\circ$ , l'angle marqué en $B$ vaut $47^\circ$ . Que vaut l'angle $x$ marqué en $C$ ?

$109^\circ$

$71^\circ$

$165^\circ$

$62^\circ$

Que vaut l'angle intérieur en $A$ ?

$180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$ : le $118^\circ$ est son voisin sur la droite $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le $118^\circ$ est entre $AC$ et le prolongement de $BA$ : il complète l'angle intérieur à $180^\circ$ .

$118^\circ$ : c'est son opposé par le sommet.

Voir la réponse et le corrigé

L'opposé serait entre les prolongements des DEUX côtés. Le $118^\circ$ touche le côté $AC$ : c'est un voisin.

$59^\circ$ : la moitié.

Voir la réponse et le corrigé

Aucune bissectrice ici. Un angle intérieur et son voisin se complètent, ils ne se partagent pas.

\begin{aligned}\widehat{A} &= 180^\circ - 118^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

L'angle extérieur en $A$ .

Et l'angle intérieur en $B$ ?

$47^\circ$ : le $47^\circ$ lui est opposé par le sommet.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Il est entre les prolongements de $AB$ et de $CB$ , face à l'angle intérieur.

$180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Le $47^\circ$ ne touche aucun côté du triangle : il est en face, pas à côté.

On ne peut pas le savoir : il n'est pas dans le triangle.

Voir la réponse et le corrigé

Un angle opposé par le sommet recopie l'angle intérieur, où qu'il soit dessiné.

\widehat{B} = 47^\circ

Opposé par le sommet.

Et $x$ ?

$62^\circ + 47^\circ = 109^\circ$ : l'angle extérieur en $C$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. $x$ est entre $CB$ et le prolongement de $AC$ : il vaut la somme des deux intérieurs éloignés.

$180^\circ - 62^\circ - 47^\circ = 71^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est l'angle intérieur en $C$ . $x$ est son voisin, de l'autre côté de $CB$ .

$118^\circ + 47^\circ = 165^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

On additionne les angles MARQUÉS, pas les angles intérieurs du triangle.

\begin{aligned}x &= 62^\circ + 47^\circ \\ &= 109^\circ\end{aligned}

Contrôle : $109^\circ + 71^\circ = 180^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $109^\circ$ ». « $71^\circ$ » est l'angle intérieur en $C$ . « $165^\circ$ » additionne les deux angles marqués tels quels. « $62^\circ$ » est l'angle intérieur en $A$ .

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Votre question jumelle : la sixième de la liste.

Si vos six jumelles tombent juste, passez aux séries : elles varient l'habillage de ces six gestes, et les combinent parfois deux par deux.

Exercices

Exercice 1

Dans la figure, trois droites passent par un même point. Deux angles mesurent $44^\circ$ et $73^\circ$ . Que vaut $x$ ?

$73^\circ$
$136^\circ$
$117^\circ$
$63^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $63^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}y &= 180^\circ - 44^\circ - 73^\circ \\ &= 63^\circ\end{aligned}

y est l'angle compris entre le 44° et le 73° : trois angles consécutifs, un angle plat

\begin{aligned}x &= y \\ &= 63^\circ\end{aligned}

x est opposé par le sommet à y

La bonne réponse : « $63^\circ$ ». Même scène que la première question. « $73^\circ$ » recopie un angle qui n'est pas en face de $x$ . « $117^\circ$ » additionne les données. « $136^\circ$ » traite la figure comme s'il n'y avait que deux droites.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Dans la figure, trois demi-droites partent d'un même point et découpent trois angles dans le rapport $2 : 3 : 4$ . Que vaut le plus grand des trois angles ?

$160^\circ$
$80^\circ$
$40^\circ$
$120^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $160^\circ$

Corrigé :

2x + 3x + 4x = 360^\circ

les trois angles font le tour du point

\begin{aligned}x &= 360^\circ / 9 \\ &= 40^\circ\end{aligned}

une part

4x = 160^\circ

le plus grand compte quatre parts

La bonne réponse : « $160^\circ$ ». « $80^\circ$ » partage un angle plat au lieu d'un tour : $4 \cdot 20^\circ$ . « $120^\circ$ » est l'angle du milieu. « $40^\circ$ » est une part.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Quel angle forment les aiguilles d'une montre à $8$ h $30$ ?

$90^\circ$
$75^\circ$
$60^\circ$
$285^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $75^\circ$

Corrigé :

6 \cdot 30 = 180^\circ

la grande aiguille est sur le 6

30 \cdot 8 + 0{,}5 \cdot 30 = 255^\circ

la petite aiguille est entre le 8 et le 9

255^\circ - 180^\circ = 75^\circ

moins de 180° : c'est l'angle cherché

La bonne réponse : « $75^\circ$ ». « $60^\circ$ » laisse la petite aiguille sur le $8$ . « $90^\circ$ » la place sur le $9$ . « $285^\circ$ » est l'angle rentrant.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{A} = 48^\circ$ . Les bissectrices des angles $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ se coupent en $I$ . Que vaut $x = \widehat{BIC}$ ?

$114^\circ$
$66^\circ$
$132^\circ$
$24^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $114^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{B} + \widehat{C} &= 180^\circ - 48^\circ \\ &= 132^\circ\end{aligned}

la somme des angles du triangle

\widehat{IBC} + \widehat{ICB} = 66^\circ

les bissectrices gardent la moitié

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 66^\circ \\ &= 114^\circ\end{aligned}

le troisième angle du triangle IBC

La bonne réponse : « $114^\circ$ ». $90^\circ + \dfrac{48^\circ}{2}$ . « $132^\circ$ » est $\widehat{B} + \widehat{C}$ . « $66^\circ$ » s'arrête à la somme des deux moitiés. « $24^\circ$ » est la moitié de $\widehat{A}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Dans la figure, les droites $AB$ et $CD$ se coupent en $O$ , et $\widehat{AOC} = \alpha$ . La demi-droite $OE$ est la bissectrice de $\widehat{BOD}$ . Que vaut $x = \widehat{COE}$ ?

$180^\circ - \alpha$
$\dfrac{\alpha}{2}$
$90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$
$180^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $180^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$

Corrigé :

\widehat{BOD} = \alpha

opposé par le sommet à AOC

\widehat{BOE} = \dfrac{\alpha}{2}

la bissectrice en garde la moitié

\begin{aligned}x &= \widehat{COB} + \widehat{BOE} \\ &= 180^\circ - \alpha + \dfrac{\alpha}{2} \\ &= 180^\circ - \dfrac{\alpha}{2}\end{aligned}

de OC à OE en passant par OB ; avec α = 40° : 140° + 20° = 160°

La bonne réponse : « $180^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$ ». Test avec $\alpha = 40^\circ$ : la figure donne $160^\circ$ , et seule cette option aussi. « $90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$ » est la réponse de la question guidée, où la bissectrice coupait l'autre angle. « $180^\circ - \alpha$ » s'arrête à $\widehat{COB}$ . « $\dfrac{\alpha}{2}$ » est $\widehat{BOE}$ seul.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Dans la figure, trois droites forment le triangle $ABC$ . L'angle marqué en $A$ vaut $124^\circ$ , l'angle marqué en $B$ vaut $38^\circ$ . Que vaut l'angle $x$ marqué en $C$ ?

$94^\circ$
$162^\circ$
$86^\circ$
$56^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $94^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{A} &= 180^\circ - 124^\circ \\ &= 56^\circ\end{aligned}

le voisin de l'angle marqué en A, sur la droite AB

\widehat{B} = 38^\circ

opposé par le sommet à l'angle marqué

\begin{aligned}x &= 56^\circ + 38^\circ \\ &= 94^\circ\end{aligned}

l'angle extérieur en C

La bonne réponse : « $94^\circ$ ». « $86^\circ$ » est l'angle intérieur en $C$ . « $162^\circ$ » additionne les angles marqués. « $56^\circ$ » est l'angle intérieur en $A$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Dans la figure, trois droites passent par un même point. Deux angles voisins mesurent $38^\circ$ et $85^\circ$ . Que vaut l'angle $x$ , le troisième angle consécutif, en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 57

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 38^\circ - 85^\circ \\ &= 57^\circ\end{aligned}

trois angles consécutifs forment un angle plat

$57^\circ$ . Retirer les deux angles d'un tour donnerait $237^\circ$ : avec trois droites, c'est l'angle plat qui compte.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Dans la figure, trois demi-droites partent d'un même point et forment trois angles dans le rapport $4 : 5 : 6$ . Complétez.

Une part vaut ____°, et le plus grand angle vaut ____°.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Une part vaut 24°, et le plus grand angle vaut 144°.

Corrigé :

4 + 5 + 6 = 15

quinze parts

360^\circ \div 15 = 24^\circ

autour du point, un tour

6 \times 24^\circ = 144^\circ

le plus grand compte six parts

Le total d'abord, les parts ensuite.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Quel angle forment les aiguilles d'une montre à $5$ h $20$ , en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

30 \times 5 + 0{,}5 \times 20 = 160^\circ

la petite aiguille, depuis le 12

6 \times 20 = 120^\circ

la grande aiguille

160^\circ - 120^\circ = 40^\circ

l'écart

$40^\circ$ . Laisser la petite aiguille sur le $5$ donnerait $30^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Dans le triangle $ABC$ de la figure, les bissectrices de $\widehat{B}$ et de $\widehat{C}$ se coupent en $I$ . Si $\widehat{BIC} = 130^\circ$ , alors $\widehat{A} = 80^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\widehat{BIC} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{A}}{2}

deux bissectrices intérieures

\begin{aligned}130^\circ - 90^\circ &= 40^\circ \\ &= \dfrac{\widehat{A}}{2}\end{aligned}

donc A vaut 80°

Vrai. Le piège serait $50^\circ$ , le supplément de $130^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Dans la figure, trois droites forment le triangle $ABC$ . L'angle marqué en $A$ vaut $125^\circ$ , l'angle marqué en $B$ vaut $50^\circ$ . Que vaut l'angle $x$ marqué en $C$ , en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 105

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{A} &= 180^\circ - 125^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

le 125° est voisin de l'angle intérieur sur la droite AB

\widehat{B} = 50^\circ

le 50° lui est opposé par le sommet

\begin{aligned}x &= 55^\circ + 50^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

l'angle extérieur en C

$105^\circ$ . Additionner les angles marqués, ou les retirer de $180^\circ$ , rate l'étape du retour à l'intérieur.

Vérifier la réponse sur elev

1 — Trois droites, un même point

2 — Trois angles dans un rapport

3 — La montre à 4 h 30

4 — Deux bissectrices dans un triangle

5 — La réponse en lettres

6 — Trois droites qui forment un triangle

Exercices

La suite se pratique sur elev