Le réflexe angles · Angles · Psychométriques

Une question d'angles se reconnaît à ce qu'elle ne contient ni parallèles, ni cercle, ni côtés égaux.

On y voit deux ou trois droites qui se coupent, des demi-droites autour d'un point, un triangle dont on prolonge les côtés — et, à part, la montre.

Les annales récentes en comptent une douzaine. Les plus difficiles tombent en fin de section, avec une réponse écrite en lettres.

Ce chapitre tient en huit gestes, et tout s'y déduit de trois nombres : $90^\circ$ , $180^\circ$ et $360^\circ$ . Les parallèles et l'isocèle ont leurs propres chapitres.

Geste 1 — L'angle plat et le tour : 180° et 360°

Une droite est un angle plat : $180^\circ$ . Des angles côte à côte sur une droite, du même côté, totalisent donc $180^\circ$ .

Autour d'un point, les angles font un tour complet : $360^\circ$ . Ces deux phrases résolvent à elles seules la moitié des questions du chapitre.

\text{angle plat} = 180^\circ

des angles adjacents posés sur une droite

\text{tour} = 360^\circ

des angles adjacents autour d'un point

\alpha + \beta = 90^\circ

deux angles complémentaires : ils forment un angle droit

\alpha + \beta = 180^\circ

deux angles supplémentaires : ils forment un angle plat

Complémentaire et supplémentaire, les deux mots qu'on échange.

\text{complément de } 30^\circ = 150^\circ

\text{complément de } 30^\circ = 60^\circ

le complément complète à 90°, le supplément à 180°. C vient avant S, 90 avant 180

\text{supplément de } \alpha = 90^\circ - \alpha

\text{supplément de } \alpha = 180^\circ - \alpha

un angle obtus n'a pas de complément, mais tout angle de moins de 180° a un supplément

Un angle mesure $38^\circ$ . De combien son supplément dépasse-t-il son complément ?

Voir la réponse et le corrigé

De $90^\circ$ : $142^\circ - 52^\circ = 90^\circ$ . Et c'est vrai pour tout angle aigu, puisque $(180^\circ - \alpha) - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$ . Une question qui donne l'angle pour rien est une question qui teste ce réflexe.

Geste 2 — Deux droites, trois droites : les angles opposés par le sommet

Deux droites qui se coupent font quatre angles, et seulement deux valeurs.

Les angles opposés par le sommet — face à face — sont égaux. Deux angles voisins sont supplémentaires. Un seul angle connu donne donc les quatre.

Avec trois droites par un même point, on obtient six angles et trois valeurs.

Chaque angle a toujours son opposé par le sommet. Mais deux voisins ne sont plus supplémentaires : il faut trois angles consécutifs pour faire un angle plat.

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

trois angles consécutifs : ils s'étalent sur une demi-droite et son prolongement

2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 360^\circ

les six angles font le tour

\text{opposés par le sommet} : \text{égaux}

la seule règle qui survit, quel que soit le nombre de droites

Deux erreurs de lecture, sur la figure à trois droites.

\text{deux voisins} : \alpha + \beta = 180^\circ

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

avec trois droites, il faut trois angles consécutifs pour faire un angle plat

\text{six angles} \Rightarrow 360^\circ / 6 = 60^\circ

\text{trois valeurs, de somme } 180^\circ

les six angles ne valent 60° que si les droites sont régulièrement espacées — rien ne le dit

Un angle opposé par le sommet se vérifie sur la figure : ses deux côtés se prolongent en ligne droite de l'autre côté du sommet.

Quatre demi-droites issues de $O$ , sans rien qui dise qu'elles sont alignées deux à deux, ne font pas d'angles opposés par le sommet.

Trois droites passent par un même point. Deux angles voisins mesurent $40^\circ$ et $75^\circ$ . Que valent les six angles ?

Voir la réponse et le corrigé

$40^\circ$ , $75^\circ$ , $65^\circ$ , $40^\circ$ , $75^\circ$ , $65^\circ$ , dans l'ordre du tour. Le troisième angle consécutif complète l'angle plat : $180^\circ - 40^\circ - 75^\circ = 65^\circ$ , et chacun a son opposé par le sommet.

Geste 3 — Trois droites qui forment un triangle : l'angle extérieur

Si les trois droites ne passent pas par un même point, elles découpent un triangle.

Chaque sommet porte quatre angles : l'angle intérieur, son opposé par le sommet, et deux angles extérieurs, qui valent $180^\circ$ moins l'intérieur.

\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ

les trois angles intérieurs

\text{extérieur en } C = \widehat{A} + \widehat{B}

l'angle extérieur vaut la somme des deux intérieurs qui ne le touchent pas

e_A + e_B + e_C = 360^\circ

trois angles extérieurs, un par sommet : un tour complet

Une chasse aux angles sans parallèle. Deux droites se coupent en $O$ et forment un angle de $40^\circ$ . Une troisième les coupe en $A$ et en $B$ ; l'angle extérieur en $A$ vaut $115^\circ$ . Que vaut l'angle intérieur en $B$ ?

L'angle extérieur se lit contre le bon sommet.

\text{extérieur en } C = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B})

\text{extérieur en } C = \widehat{A} + \widehat{B}

180° moins la somme, c'est l'angle intérieur en C, pas l'extérieur

Dans un triangle, deux angles mesurent $35^\circ$ et $80^\circ$ . Que vaut l'angle extérieur au troisième sommet ?

Voir la réponse et le corrigé

$115^\circ$ : la somme des deux angles éloignés. Le piège est $65^\circ$ , l'angle intérieur.

Geste 4 — Combien d'angles faut-il connaître ?

Une forme de question revient : « quel est le nombre minimal d'angles à connaître pour calculer tous les angles de la figure ? »

Ou encore : « laquelle des données suffit pour calculer $x$ ? » La réponse se compte en informations indépendantes, pas en angles.

\text{deux droites sécantes} : 1

un angle donne les quatre

\text{trois droites concourantes} : 2

deux angles consécutifs donnent le troisième, puis les opposés

n \text{ droites concourantes} : n - 1

chaque droite ajoutée apporte une direction nouvelle

\text{trois droites en triangle} : 2

deux angles du triangle donnent le troisième, puis les douze

Une donnée ne compte que si elle est nouvelle. Connaître un angle et son opposé par le sommet, c'est connaître un seul angle. Connaître un angle intérieur et son angle extérieur, c'est encore un seul. Devant « laquelle des données suffit », barrez d'abord les options qui donnent deux fois la même information.

Activité interactive

Suffit, ou ne suffit pas ?

Trois droites passent par un même point. Chaque donnée suffit-elle pour calculer les six angles ?

Deux angles voisins : $40^\circ$ et $75^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Deux valeurs différentes : la troisième complète l'angle plat, puis chacune a son opposé.

Deux angles opposés par le sommet, de $40^\circ$ chacun.

Voir la réponse et le corrigé

C'est une seule information : un angle et son opposé sont égaux.

Deux angles séparés par un troisième : $40^\circ$ et $75^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Ce sont encore deux des trois valeurs : la troisième vaut $180^\circ - 40^\circ - 75^\circ$ .

La somme de deux angles voisins : $115^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

On connaît le troisième angle ( $65^\circ$ ), mais pas comment les deux autres se partagent $115^\circ$ .

Une donnée ne compte que si elle est nouvelle.

Faire l'activité sur elev

Trois droites passent par un même point. On connaît deux angles opposés par le sommet. Peut-on calculer les quatre autres ?

Voir la réponse et le corrigé

Non. Deux angles opposés par le sommet sont égaux : c'est une seule information, et il en faut deux. Il faut connaître deux angles de valeurs différentes — par exemple deux angles voisins.

Geste 5 — Des angles dans un rapport : compter les parts

« Deux angles supplémentaires, l'un quatre fois plus grand que l'autre », « trois angles dans le rapport $2 : 3 : 4$ » : on ne résout pas d'équation, on compte les parts.

Il faut seulement savoir quel total elles se partagent : $90^\circ$ , $180^\circ$ ou $360^\circ$ , selon la figure.

\begin{aligned}\alpha + 4\alpha &= 180^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 36^\circ\end{aligned}

supplémentaires : cinq parts pour 180°, l'autre angle vaut 144°

2 : 3 : 4 \text{ dans un triangle} : 20^\circ \text{ la part}

neuf parts pour 180° : 40°, 60° et 80°

2 : 3 : 4 \text{ autour d'un point} : 40^\circ \text{ la part}

neuf parts pour 360° : 80°, 120° et 160°

\begin{aligned}\alpha &= 4(90^\circ - \alpha) \Rightarrow \alpha \\ &= 72^\circ\end{aligned}

« quatre fois son complément » : l'angle fait quatre parts, le complément une

Un angle vaut les deux tiers de son supplément : l'angle fait deux parts, le supplément trois.

Le total, pas l'angle.

\begin{aligned}4\alpha &= 180^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\alpha + 4\alpha &= 180^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 36^\circ\end{aligned}

« α et 4α sont supplémentaires » : c'est leur SOMME qui fait 180°

2 : 3 : 4 \text{ autour d'un point} : 20^\circ \text{ la part}

360^\circ / 9 = 40^\circ

autour d'un point, le total est un tour, pas un angle plat

Autour d'un point, quatre angles sont dans le rapport $1 : 2 : 3 : 4$ . Que vaut le plus grand ?

Voir la réponse et le corrigé

$144^\circ$ . Dix parts pour $360^\circ$ , soit $36^\circ$ la part, et le plus grand angle en compte quatre.

Geste 6 — La bissectrice : diviser par deux, puis additionner

La bissectrice d'un angle le coupe en deux moitiés égales. L'examen en tire deux résultats.

Le premier : les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires sont perpendiculaires. La moitié de $180^\circ$ fait $90^\circ$ , quel que soit le partage de l'angle plat.

Le second vit dans le triangle. Les bissectrices de $\widehat{B}$ et de $\widehat{C}$ se coupent en un point $I$ , et $\widehat{BIC}$ ne dépend que de $\widehat{A}$ .

Pourquoi 90° plus la moitié de A

Dans le triangle $ABC$ , les bissectrices de $\widehat{B}$ et de $\widehat{C}$ se coupent en $I$ . Exprimer $\widehat{BIC}$ en fonction de $\widehat{A}$ .

\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A}

la somme des angles du triangle ABC

\widehat{IBC} + \widehat{ICB} = 90^\circ - \dfrac{\widehat{A}}{2}

on prend la moitié de chaque angle

\begin{aligned}\widehat{BIC} &= 180^\circ - \left(90^\circ - \dfrac{\widehat{A}}{2}\right) \\ &= 90^\circ + \dfrac{\widehat{A}}{2}\end{aligned}

la somme des angles du triangle IBC

\text{adjacents supplémentaires} : 90^\circ

l'angle entre les deux bissectrices

\text{adjacents complémentaires} : 45^\circ

la moitié d'un angle droit

\text{opposés par le sommet} : 180^\circ

les deux bissectrices sont dans le prolongement l'une de l'autre

\widehat{BIC} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{A}}{2}

deux bissectrices intérieures d'un triangle

Dans un triangle $ABC$ , les bissectrices intérieures issues de $B$ et de $C$ forment un angle $\widehat{BIC} = 118^\circ$ . Que vaut $\widehat{A}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$56^\circ$ . $118^\circ - 90^\circ = 28^\circ$ est la moitié de $\widehat{A}$ . Le piège est de répondre $62^\circ$ , le supplément de $118^\circ$ : c'est $\widehat{IBC} + \widehat{ICB}$ , une somme de deux moitiés.

Geste 7 — La montre : 30°, 6°, 0,5°

Le cadran est un tour de $360^\circ$ partagé en douze : $30^\circ$ entre deux chiffres.

La grande aiguille fait le tour en $60$ minutes : $6^\circ$ par minute. La petite fait $30^\circ$ en une heure : $0{,}5^\circ$ par minute.

C'est la petite aiguille que tout le monde oublie de faire avancer.

\theta = \left| 30h - 5{,}5m \right|

à h heures et m minutes ; si le résultat dépasse 180°, on prend 360° moins lui

3 \text{ h } 00 : 90^\circ

trois intervalles de 30°

6 \text{ h } 00 : 180^\circ

les aiguilles sont opposées

9 \text{ h } 15 : 172{,}5^\circ

270° − 90° = 180°, moins les 7,5° dont la petite aiguille a avancé

12 \text{ h } 30 : 165^\circ

la petite aiguille a déjà quitté le 12 de 15°

La petite aiguille bouge.

4 \text{ h } 30 : 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

4 \text{ h } 30 : 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

à 4 h 30, la petite aiguille est à mi-chemin entre le 4 et le 5, pas sur le 4

Les superpositions et les angles droits se comptent avec la vitesse relative. La grande aiguille rattrape la petite à $6 - 0{,}5 = 5{,}5^\circ$ par minute.

Elle lui prend un tour tous les $\dfrac{360}{5{,}5} = 65\tfrac{5}{11}$ minutes. En douze heures, les aiguilles se superposent donc onze fois, pas douze, et forment un angle droit vingt-deux fois.

À $9$ h $15$ , quel angle font les aiguilles ?

Voir la réponse et le corrigé

$172{,}5^\circ$ . La grande aiguille est sur le $3$ , à $90^\circ$ du $12$ . La petite a quitté le $9$ ( $270^\circ$ ) de $15 \cdot 0{,}5 = 7{,}5^\circ$ : elle est à $277{,}5^\circ$ . L'écart est $187{,}5^\circ$ , et l'angle entre les aiguilles est l'autre côté : $360^\circ - 187{,}5^\circ = 172{,}5^\circ$ . Répondre $180^\circ$ , c'est laisser la petite aiguille sur le $9$ .

Geste 8 — La réponse en lettres : tester une valeur

En fin de section, la question ne donne plus de nombre : « exprimer $x$ en fonction de $\alpha$ », avec quatre options en lettres.

Deux chemins : refaire la chasse aux angles avec la lettre, ou choisir une valeur de $\alpha$ , calculer la figure en nombres, et remplacer $\alpha$ dans chaque option.

OE

coupe

\widehat{AOC} = \alpha

en deux. L'angle

x

va de

OE

OD

, en passant par

OA

Dans cette figure, que vaut $x = \widehat{EOD}$ ? Quatre options : $180^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$ , $90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$ , $180^\circ - \alpha$ et $2\alpha$ .

Choisissez une valeur banale — $40^\circ$ , $20^\circ$ , $70^\circ$ — jamais $45^\circ$ , $60^\circ$ ni $90^\circ$ . Et remplacez dans les quatre options, pas seulement jusqu'à la première qui marche : si deux options donnent le même nombre, recommencez avec une seconde valeur.

La valeur trop ronde fait coïncider les options.

\begin{aligned}\alpha &= 90^\circ : 180^\circ - \dfrac{\alpha}{2} \\ &= 135^\circ \\ &= 90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}\end{aligned}

\alpha = 40^\circ : 160^\circ \neq 110^\circ

avec 90°, deux options différentes donnent le même nombre, et le test ne tranche plus

En résumé. Tout angle de ce chapitre se déduit de $90^\circ$ , $180^\circ$ et $360^\circ$ .

\text{deux droites} : 2 \text{ valeurs}

les opposés par le sommet sont égaux, deux voisins font 180°

\text{trois droites} : \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

trois angles consécutifs forment un angle plat

\text{extérieur} = \widehat{A} + \widehat{B}

la somme des deux angles intérieurs éloignés

\text{rapport} : \text{total} \div \text{parts}

compter les parts du bon total

\widehat{BIC} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{A}}{2}

et deux moitiés de 180° font 90°

30^\circ,\ 6^\circ,\ 0{,}5^\circ

la montre : par chiffre, puis par minute pour chaque aiguille

\alpha = 40^\circ

une réponse en lettres se teste avec une valeur banale

Exercices

Exercice 1

Dans la figure, trois angles adjacents sont posés sur une droite. Ils mesurent $36^\circ$ , $x$ et $2x$ . Que vaut $x$ ?

$60^\circ$
$48^\circ$
$108^\circ$
$96^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $48^\circ$

Corrigé :

36^\circ + x + 2x = 180^\circ

trois angles côte à côte sur une droite forment un angle plat

\begin{aligned}3x &= 144^\circ \Rightarrow x \\ &= 48^\circ\end{aligned}

et le troisième angle vaut $96^\circ$

La bonne réponse : « $48^\circ$ ». Les trois angles forment un angle plat. « $96^\circ$ » est l'angle $2x$ , pas $x$ . « $108^\circ$ » partage un tour de $360^\circ$ au lieu d'un angle plat. « $60^\circ$ » divise $180^\circ$ en trois en oubliant le $36^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Dans la figure, trois droites passent par un même point. Deux angles voisins mesurent $48^\circ$ et $71^\circ$ . Que vaut $x$ ?

$119^\circ$
$60^\circ$
$71^\circ$
$61^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $61^\circ$

Corrigé :

180^\circ - 48^\circ - 71^\circ = 61^\circ

le troisième angle consécutif, entre la troisième droite et le prolongement de la première

x = 61^\circ

x est son opposé par le sommet

La bonne réponse : « $61^\circ$ ». $x$ est opposé par le sommet au troisième angle consécutif. « $119^\circ$ » additionne les deux données : c'est l'angle qui les réunit, pas $x$ . « $60^\circ$ » suppose six angles égaux. « $71^\circ$ » recopie l'angle voisin de $x$ , qui n'est pas son opposé par le sommet.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Le supplément d'un angle est quatre fois plus grand que son complément. Que vaut cet angle ?

$60^\circ$
$72^\circ$
$30^\circ$
$120^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $60^\circ$

Corrigé :

180^\circ - \alpha = 4(90^\circ - \alpha)

le supplément complète à 180°, le complément à 90°

\begin{aligned}180^\circ - \alpha &= 360^\circ - 4\alpha \Rightarrow 3\alpha \\ &= 180^\circ\end{aligned}

on regroupe les α

\alpha = 60^\circ

contrôle : supplément $120^\circ$ , complément $30^\circ$ , et $120 = 4 \cdot 30$

La bonne réponse : « $60^\circ$ ». « $30^\circ$ » est le complément, « $120^\circ$ » le supplément : deux réponses à une autre question. « $72^\circ$ » résout $\alpha = 4(90^\circ - \alpha)$ — c'est l'angle lui-même qui vaudrait quatre fois son complément.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Quel angle forment les aiguilles d'une montre à $3$ h $40$ ?

$130^\circ$
$120^\circ$
$230^\circ$
$150^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $130^\circ$

Corrigé :

6 \cdot 40 = 240^\circ

la grande aiguille, mesurée depuis le 12

30 \cdot 3 + 0{,}5 \cdot 40 = 110^\circ

la petite aiguille a quitté le 3 de 20°

240^\circ - 110^\circ = 130^\circ

moins de 180° : c'est l'angle entre les aiguilles

La bonne réponse : « $130^\circ$ ». « $150^\circ$ » laisse la petite aiguille sur le $3$ . « $120^\circ$ » la place sur le $4$ : elle n'y arrivera qu'à $4$ h. « $230^\circ$ » est l'angle rentrant, de l'autre côté des aiguilles.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{A} = 64^\circ$ . Les bissectrices des angles $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ se coupent en $I$ . Que vaut $x = \widehat{BIC}$ ?

$122^\circ$
$116^\circ$
$58^\circ$
$32^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $122^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{B} + \widehat{C} &= 180^\circ - 64^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

la somme des angles du triangle

\widehat{IBC} + \widehat{ICB} = 58^\circ

la moitié de chacun

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 58^\circ \\ &= 122^\circ\end{aligned}

dans le triangle IBC — c'est bien 90° + 32°

La bonne réponse : « $122^\circ$ ». $x = 90^\circ + \dfrac{\widehat{A}}{2}$ . « $58^\circ$ » est la somme des deux demi-angles en $B$ et en $C$ , qu'on oublie de retrancher de $180^\circ$ . « $116^\circ$ » est $\widehat{B} + \widehat{C}$ . « $32^\circ$ » est la moitié de $\widehat{A}$ seule.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{A} = \alpha$ et $\widehat{B} = 2\alpha$ . On prolonge le côté $AC$ au-delà de $C$ . Que vaut l'angle extérieur $x$ marqué en $C$ ?

$2\alpha$
$180^\circ - \alpha$
$180^\circ - 3\alpha$
$3\alpha$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $3\alpha$

Corrigé :

\widehat{C} = 180^\circ - 3\alpha

l'angle intérieur en C

\begin{aligned}x &= 180^\circ - (180^\circ - 3\alpha) \\ &= 3\alpha\end{aligned}

l'extérieur complète l'intérieur à 180°

\begin{aligned}\alpha &= 30^\circ : x \\ &= 90^\circ\end{aligned}

contrôle avec une valeur : A = 30°, B = 60°, C = 90°, extérieur 90°

La bonne réponse : « $3\alpha$ ». L'angle extérieur vaut la somme des deux angles intérieurs qui ne le touchent pas : $\alpha + 2\alpha$ . « $180^\circ - 3\alpha$ » est l'angle intérieur en $C$ . « $180^\circ - \alpha$ » est l'extérieur en $A$ . « $2\alpha$ » recopie l'angle en $B$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Dans la figure, trois droites forment le triangle $ABC$ , avec $\widehat{A} = 55^\circ$ et $\widehat{B} = 70^\circ$ . Que vaut l'angle extérieur $x$ marqué en $C$ , en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 125

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 55^\circ + 70^\circ \\ &= 125^\circ\end{aligned}

l'angle extérieur vaut la somme des deux angles intérieurs éloignés

$125^\circ$ . Répondre $55^\circ$ , c'est donner l'angle intérieur en $C$ : $180^\circ - 125^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Trois droites passent par un même point. Connaître deux angles opposés par le sommet, de $40^\circ$ chacun, suffit pour calculer les six angles.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

40^\circ = 40^\circ

deux angles opposés par le sommet sont égaux : une seule information

\beta + \gamma = 140^\circ

les deux autres valeurs se partagent 140° de mille façons

Faux. Il faut deux valeurs différentes, par exemple deux angles voisins.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Dans la figure, deux angles adjacents sont posés sur une droite : $\alpha$ et $128^\circ$ . Que vaut le complément de $\alpha$ , en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 38

Corrigé :

\begin{aligned}\alpha &= 180^\circ - 128^\circ \\ &= 52^\circ\end{aligned}

les deux angles forment un angle plat

90^\circ - 52^\circ = 38^\circ

le complément complète à 90°

$38^\circ$ . Le piège est de répondre $52^\circ$ , l'angle lui-même.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Dans la figure, deux droites se coupent, et un des angles mesure $72^\circ$ . Complétez, dans l'ordre du tour.

Les quatre angles mesurent $72^\circ$ , ____°, $72^\circ$ et ____°.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Les quatre angles mesurent $72^\circ$ , 108°, $72^\circ$ et 108°.

Corrigé :

180^\circ - 72^\circ = 108^\circ

deux angles voisins sont supplémentaires

108^\circ

et l'angle opposé par le sommet au 108° vaut aussi 108°

Deux droites : quatre angles, deux valeurs.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Dans la figure, trois demi-droites partent d'un même point et forment trois angles dans le rapport $5 : 6 : 7$ . Que vaut le plus petit, en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100

Corrigé :

5 + 6 + 7 = 18

dix-huit parts

360^\circ \div 18 = 20^\circ

les angles font le tour du point : 360°

5 \times 20^\circ = 100^\circ

le plus petit compte cinq parts

$100^\circ$ . Partager $180^\circ$ donnerait $50^\circ$ : ici les angles font le tour.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Dans la figure, deux angles adjacents de $50^\circ$ et $130^\circ$ sont posés sur une droite. Leurs deux bissectrices forment un angle de $90^\circ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

25^\circ + 65^\circ = 90^\circ

la moitié de chaque angle

Vrai. Deux moitiés d'un angle plat font toujours $90^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

Associez chaque heure à l'angle des aiguilles.

$3$ h $00$
$6$ h $00$
$2$ h $30$
$1$ h $20$

$105^\circ$
$180^\circ$
$80^\circ$
$90^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $3$ h $00$ — $90^\circ$ · $6$ h $00$ — $180^\circ$ · $2$ h $30$ — $105^\circ$ · $1$ h $20$ — $80^\circ$

Corrigé :

2 \text{ h } 30 : 75^\circ \text{ et } 180^\circ

petite aiguille 30 × 2 + 0,5 × 30, grande 6 × 30

1 \text{ h } 20 : 40^\circ \text{ et } 120^\circ

petite aiguille 30 + 10, grande 6 × 20

À l'heure pile, la petite aiguille est sur son chiffre ; sinon, elle a avancé de $0{,}5^\circ$ par minute.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

Dans la figure, les droites $AB$ et $CD$ se coupent en $O$ , avec $\widehat{AOC} = \alpha$ , et $OE$ est la bissectrice de $\widehat{AOC}$ . Pour $\alpha = 50^\circ$ , que vaut $x = \widehat{EOD}$ , en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 155

Corrigé :

\widehat{EOA} = 25^\circ

la moitié de α

\begin{aligned}\widehat{AOD} &= 180^\circ - 50^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

le voisin de α sur la droite CD

\begin{aligned}x &= 25^\circ + 130^\circ \\ &= 155^\circ\end{aligned}

de OE à OD en passant par OA

$155^\circ$ , soit $180^\circ - \dfrac{50^\circ}{2}$ : la formule en lettres du cours, testée avec un nombre.

Vérifier la réponse sur elev

Geste 1 — L'angle plat et le tour : 180° et 360°

Geste 2 — Deux droites, trois droites : les angles opposés par le sommet

Geste 3 — Trois droites qui forment un triangle : l'angle extérieur

Geste 4 — Combien d'angles faut-il connaître ?

Geste 5 — Des angles dans un rapport : compter les parts

Geste 6 — La bissectrice : diviser par deux, puis additionner

Geste 7 — La montre : 30°, 6°, 0,5°

Geste 8 — La réponse en lettres : tester une valeur

Exercices

La suite se pratique sur elev