Série 1 — Les totaux : droite, tour, triangle · Angles · Psychométriques

Dix questions comme à l'examen, de la plus simple à la plus difficile. Lancez le chrono : dix minutes en tout, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez les dix réponses avant d'ouvrir un seul corrigé ; ensuite seulement, corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Le réflexe de la série : nommez le total avant de calculer — $180^\circ$ sur une droite, $360^\circ$ autour d'un point, $180^\circ$ dans un triangle. Puis vérifiez que vous comptez tous les angles qui s'y partagent : l'angle droit d'un secteur, la petite aiguille qui avance, le second polygone.

Exercices

Exercice 1

Dans la figure, trois droites se coupent en un même point $O$ . Deux des six angles formés mesurent $48^\circ$ et $71^\circ$ . Que vaut l'angle $x$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$109^\circ$
$132^\circ$
$241^\circ$
$61^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $61^\circ$

Corrigé :

48^\circ + 71^\circ + y = 180^\circ

l'angle de $71^\circ$ est opposé par le sommet à l'angle voisin de $48^\circ$ ; avec le troisième angle $y$ , ces trois angles consécutifs font un demi-tour

\begin{aligned}y &= 180^\circ - 48^\circ - 71^\circ \\ &= 61^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}x &= y \\ &= 61^\circ\end{aligned}

$x$ est opposé par le sommet à $y$

La bonne réponse : « $61^\circ$ ». « $109^\circ$ » traite $x$ et l'angle de $71^\circ$ comme deux voisins supplémentaires, ce qui n'est vrai qu'avec deux droites : $180^\circ - 71^\circ$ . « $132^\circ$ » fait la même erreur avec l'angle de $48^\circ$ . « $241^\circ$ » fait porter le tour complet sur trois angles seulement : $360^\circ - 48^\circ - 71^\circ$ . Il en faut six pour un tour, ou trois consécutifs pour un demi-tour.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Une demi-droite issue d'un point d'une droite partage l'angle plat en deux angles, $x$ et $y$ . L'angle $x$ vaut les trois cinquièmes de l'angle $y$ . Combien mesure $x$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$33{,}75^\circ$
$112{,}5^\circ$
$108^\circ$
$67{,}5^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $67{,}5^\circ$

Corrigé :

x : y = 3 : 5

$x$ fait trois parts, $y$ en fait cinq

180^\circ \div 8 = 22{,}5^\circ

les huit parts se partagent l'angle plat

\begin{aligned}x &= 3 \times 22{,}5^\circ \\ &= 67{,}5^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $67{,}5^\circ$ ». « $112{,}5^\circ$ » est $y$ , l'autre angle. « $108^\circ$ » prend les trois cinquièmes de $180^\circ$ : la fraction porte sur $y$ , pas sur l'angle plat. « $33{,}75^\circ$ » partage $90^\circ$ au lieu de $180^\circ$ : les deux angles sont supplémentaires, pas complémentaires.

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Exercice 3

Dans la figure, deux pentagones réguliers ont un sommet commun $P$ et ne se chevauchent pas. Entre eux, autour de $P$ , on voit un angle de $47^\circ$ et l'angle $x$ . Que vaut $x$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$144^\circ$
$97^\circ$
$73^\circ$
$169^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $97^\circ$

Corrigé :

\frac{(5 - 2) \times 180^\circ}{5} = 108^\circ

l'angle intérieur d'un pentagone régulier

\begin{aligned}x &= 360^\circ - 2 \times 108^\circ - 47^\circ \\ &= 97^\circ\end{aligned}

les quatre angles font le tour de $P$

La bonne réponse : « $97^\circ$ ». « $73^\circ$ » prend l'angle d'un hexagone régulier, $120^\circ$ , pour celui du pentagone. « $169^\circ$ » prend $72^\circ$ , l'angle extérieur du pentagone, pour son angle intérieur. « $144^\circ$ » oublie l'angle de $47^\circ$ dans le tour.

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Exercice 4

Quel est le plus petit des angles que forment les deux aiguilles d'une montre à $2$ h $50$ ?

$145^\circ$
$215^\circ$
$120^\circ$
$150^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $145^\circ$

Corrigé :

50 \times 6^\circ = 300^\circ

la grande aiguille, comptée depuis le $12$

2 \times 30^\circ + 50 \times 0{,}5^\circ = 85^\circ

la petite aiguille a quitté le $2$ depuis $50$ minutes

\begin{aligned}300^\circ - 85^\circ &= 215^\circ \;\Rightarrow\; 360^\circ - 215^\circ \\ &= 145^\circ\end{aligned}

le plus petit des deux angles

La bonne réponse : « $145^\circ$ ». « $120^\circ$ » laisse la petite aiguille sur le $2$ : elle avance de $0{,}5^\circ$ par minute. « $150^\circ$ » pose la petite aiguille sur le $3$ , l'heure qui approche. « $215^\circ$ » est le grand angle entre les aiguilles, pas le plus petit.

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Exercice 5

Quatre rayons partagent un disque en quatre secteurs. L'un des angles au centre est droit, et les trois autres sont dans le rapport $2 : 3 : 5$ . Combien de fois l'aire du plus grand secteur contient-elle l'aire du secteur droit ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$\frac{3}{2}$
$2$
$\frac{2}{3}$
$\frac{5}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{3}{2}$

Corrigé :

360^\circ - 90^\circ = 270^\circ

ce que se partagent les trois autres secteurs

\begin{aligned}270^\circ \div 10 &= 27^\circ \;\Rightarrow\; 5 \times 27^\circ \\ &= 135^\circ\end{aligned}

dix parts ; le plus grand secteur en a cinq

\frac{135^\circ}{90^\circ} = \frac{3}{2}

l'aire d'un secteur est proportionnelle à son angle

La bonne réponse : « $\frac{3}{2}$ ». « $2$ » oublie l'angle droit dans le tour : $360^\circ \div 10 = 36^\circ$ , puis $180^\circ$ contre $90^\circ$ . « $\frac{2}{3}$ » inverse le rapport. « $\frac{5}{2}$ » compare le plus grand des trois secteurs au plus petit, pas au secteur droit.

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Exercice 6

Les points $A$ , $O$ et $C$ sont alignés, et la demi-droite $OB$ forme avec $OA$ un angle de $64^\circ$ . $OD$ est la bissectrice de $\widehat{AOB}$ , et $OE$ celle de $\widehat{BOC}$ . Que vaut $\widehat{DOE}$ ?

$122^\circ$
$90^\circ$
$58^\circ$
$32^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $90^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{BOC} &= 180^\circ - 64^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

voisin de $\widehat{AOB}$ sur la droite $AC$

\begin{aligned}\widehat{DOE} &= \frac{64^\circ}{2} + \frac{116^\circ}{2} \\ &= 32^\circ + 58^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

la moitié de l'angle plat, où que soit $OB$

La bonne réponse : « $90^\circ$ ». « $32^\circ$ » ne garde que la moitié de $\widehat{AOB}$ . « $58^\circ$ » ne garde que la moitié de $\widehat{BOC}$ . « $122^\circ$ » additionne $64^\circ$ et $58^\circ$ : il oublie de couper $\widehat{AOB}$ en deux.

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Exercice 7

Les angles du triangle $ABC$ sont dans le rapport $1 : 2 : 3$ . Son plus long côté mesure $18$ cm. Combien mesure son plus court côté ?

$6$ cm
$36$ cm
$9$ cm
$9\sqrt{3}$ cm

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $9$ cm

Corrigé :

180^\circ \div 6 = 30^\circ

les angles valent $30^\circ$ , $60^\circ$ et $90^\circ$

\frac{18}{2} = 9

dans ce triangle, l'hypoténuse mesure le double du petit côté, celui qui fait face à l'angle de $30^\circ$

La bonne réponse : « $9$ cm ». « $6$ cm » rend les côtés proportionnels aux angles : $18 \div 3$ . Les côtés ne suivent pas le rapport des angles. « $9\sqrt{3}$ cm » est le côté moyen, opposé à l'angle de $60^\circ$ . « $36$ cm » double l'hypoténuse au lieu de la diviser par deux.

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Exercice 8

Dans le triangle $ABC$ , $AB = AC$ . On prolonge le côté $BA$ au-delà de $A$ jusqu'au point $D$ . Que vaut le rapport $\dfrac{\widehat{DAC}}{\widehat{ABC}}$ ?

$2$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$1$
$\frac{1}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $2$

Corrigé :

\widehat{DAC} = \widehat{ABC} + \widehat{ACB}

l'angle extérieur en $A$ vaut la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents

\begin{aligned}\widehat{ACB} &= \widehat{ABC} \;\Rightarrow\; \widehat{DAC} \\ &= 2\,\widehat{ABC}\end{aligned}

$AB = AC$ : les angles de base sont égaux

La bonne réponse : « $2$ ». « $1$ » prend l'angle extérieur pour un seul des deux angles non adjacents. « $\frac{1}{2}$ » inverse le rapport. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit que le rapport dépend de l'angle au sommet. Il vaut $2$ pour tout triangle isocèle.

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Exercice 9

Dans la figure, on a prolongé les côtés du triangle $ABC$ . Les angles extérieurs marqués en $A$ et en $B$ mesurent $105^\circ$ et $140^\circ$ . Que vaut l'angle intérieur $x$ en $C$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$35^\circ$
$75^\circ$
$115^\circ$
$65^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $65^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{A} &= 180^\circ - 105^\circ \\ &= 75^\circ \\ \quad \widehat{B} &= 180^\circ - 140^\circ \\ &= 40^\circ\end{aligned}

chaque angle marqué est le voisin d'un angle intérieur

\begin{aligned}x &= 180^\circ - 75^\circ - 40^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

105^\circ + 140^\circ - 180^\circ = 65^\circ

le raccourci : deux angles extérieurs moins $180^\circ$

La bonne réponse : « $65^\circ$ ». « $115^\circ$ » est l'angle extérieur en $C$ , $360^\circ - 105^\circ - 140^\circ$ , pas l'angle intérieur. « $35^\circ$ » fait la simple différence $140^\circ - 105^\circ$ . « $75^\circ$ » est l'angle intérieur en $A$ .

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Exercice 10

Dans le triangle $ABC$ , $AB = AC$ et $\widehat{BAC} = \alpha$ . On prolonge $BC$ au-delà de $C$ jusqu'au point $D$ . Exprimez $\widehat{ACD}$ en fonction de $\alpha$ .

$180^\circ - \alpha$
$180^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$
$90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$
$90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ACB} &= \frac{180^\circ - \alpha}{2} \\ &= 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

les deux angles de base sont égaux

\begin{aligned}\widehat{ACD} &= 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \\ &= 90^\circ + \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

voisin de $\widehat{ACB}$ sur la droite $BD$

\begin{aligned}\alpha &= 40^\circ \;\Rightarrow\; \widehat{ACD} \\ &= 110^\circ\end{aligned}

contrôle : les angles de base valent alors $70^\circ$

La bonne réponse : « $90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$ ». « $90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$ » est l'angle de base $\widehat{ACB}$ , pas son voisin. « $180^\circ - \alpha$ » suppose que l'angle de base vaut lui aussi $\alpha$ . « $180^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$ » prend la moitié de $\alpha$ pour l'angle de base.

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Exercices

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