Série 2 — Lire les angles marqués

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions comme à l'examen, de la plus simple à la plus difficile. Lancez le chrono : dix minutes en tout, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez les dix réponses avant d'ouvrir un seul corrigé ; ensuite seulement, corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Le réflexe de la série : un angle marqué n'est pas toujours celui du calcul. Avant d'écrire une équation, dites quel angle intérieur répond à chaque angle marqué : opposé par le sommet (égal), voisin sur une droite (supplémentaire), correspondant entre parallèles (égal). Et ne lisez rien sur un dessin « pas à l'échelle ».

Exercices

Exercice 1

38°xP

Dans la figure, un hexagone régulier et un octogone régulier ont un sommet commun PP et ne se chevauchent pas. Entre eux, autour de PP, on voit un angle de 38∘38^\circ et l'angle xx. Que vaut xx ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

  1. 105∘105^\circ
  2. 127∘127^\circ
  3. 67∘67^\circ
  4. 157∘157^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 67∘67^\circ

Corrigé :

4×180∘6=120∘6×180∘8=135∘\begin{aligned}\frac{4 \times 180^\circ}{6} &= 120^\circ \\ \quad \frac{6 \times 180^\circ}{8} &= 135^\circ\end{aligned}

les angles intérieurs des deux polygones

x=360∘−120∘−135∘−38∘=67∘\begin{aligned}x &= 360^\circ - 120^\circ - 135^\circ - 38^\circ \\ &= 67^\circ\end{aligned}

les quatre angles font le tour de PP

La bonne réponse : « 67∘67^\circ ». « 157∘157^\circ » prend 45∘45^\circ, l'angle extérieur de l'octogone, pour son angle intérieur. « 127∘127^\circ » prend 60∘60^\circ, l'angle du triangle équilatéral, pour celui de l'hexagone. « 105∘105^\circ » oublie l'angle de 38∘38^\circ dans le tour.

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Exercice 2

CBA

Les angles du triangle ABCABC sont dans le rapport 1:2:31 : 2 : 3, et son côté moyen mesure 636\sqrt{3} cm. Combien mesure son plus long côté ?

  1. 1818 cm
  2. 12312\sqrt{3} cm
  3. 1212 cm
  4. 939\sqrt{3} cm
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 1212 cm

Corrigé :

30∘, 60∘, 90∘30^\circ,\ 60^\circ,\ 90^\circ

six parts de 30∘30^\circ

a,a3,2aa,\quad a\sqrt{3},\quad 2a

les côtés opposés à ces trois angles

a3=63  ⇒  a=62a=12\begin{aligned}a\sqrt{3} &= 6\sqrt{3} \;\Rightarrow\; a \\ &= 6 \\ \quad 2a &= 12\end{aligned}

La bonne réponse : « 1212 cm ». « 939\sqrt{3} cm » rend les côtés proportionnels aux angles : 63×326\sqrt{3} \times \frac{3}{2}. « 1818 cm » multiplie le côté moyen par 3\sqrt{3}, comme s'il était le petit côté. « 12312\sqrt{3} cm » double le côté moyen : c'est le petit côté qu'il faut doubler.

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Exercice 3

2x + 10°3x − 20°x + 10°O

Quatre rayons partagent un disque de centre OO en quatre secteurs. L'un des angles au centre est droit ; les trois autres mesurent 2x+10∘2x + 10^\circ, 3x−20∘3x - 20^\circ et x+10∘x + 10^\circ. Combien de fois l'aire du secteur d'angle 3x−20∘3x - 20^\circ contient-elle celle du secteur d'angle x+10∘x + 10^\circ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

  1. 33
  2. 1123\frac{11}{23}
  3. 2311\frac{23}{11}
  4. 167\frac{16}{7}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2311\frac{23}{11}

Corrigé :

90∘+(2x+10∘)+(3x−20∘)+(x+10∘)=360∘90^\circ + (2x + 10^\circ) + (3x - 20^\circ) + (x + 10^\circ) = 360^\circ

le tour, angle droit compris

6x=270∘  ⇒  x=45∘\begin{aligned}6x &= 270^\circ \;\Rightarrow\; x \\ &= 45^\circ\end{aligned}
3x−20∘=115∘x+10∘=55∘\begin{aligned}3x - 20^\circ &= 115^\circ \\ \quad x + 10^\circ &= 55^\circ\end{aligned}
11555=2311\frac{115}{55} = \frac{23}{11}

le rapport des aires est celui des angles

La bonne réponse : « 2311\frac{23}{11} ». « 1123\frac{11}{23} » inverse le rapport. « 167\frac{16}{7} » oublie l'angle droit : 6x=360∘6x = 360^\circ, x=60∘x = 60^\circ, puis 160∘160^\circ contre 70∘70^\circ. « 33 » compare les coefficients de xx comme si les nombres 20∘20^\circ et 10∘10^\circ ne comptaient pas.

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Exercice 4

76°?ABCD

Dans le triangle ABCABC, AB=ACAB = AC. L'angle extérieur au sommet AA mesure 76∘76^\circ. Que vaut ABC^\widehat{ABC} ?

  1. 52∘52^\circ
  2. 104∘104^\circ
  3. On ne peut pas le savoir avec ces seules données
  4. 38∘38^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 38∘38^\circ

Corrigé :

ABC^+ACB^=76∘\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 76^\circ

l'angle extérieur en AA vaut la somme des deux angles intérieurs non adjacents

ABC^=ACB^=76∘2=38∘\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \widehat{ACB} \\ &= \frac{76^\circ}{2} \\ &= 38^\circ\end{aligned}

AB=ACAB = AC

La bonne réponse : « 38∘38^\circ ». « 52∘52^\circ » prend 76∘76^\circ pour l'angle intérieur au sommet : (180∘−76∘)÷2(180^\circ - 76^\circ) \div 2. « 104∘104^\circ » est l'angle intérieur en AA, le voisin de l'angle extérieur. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut connaître un angle de base. L'angle extérieur en donne la somme, et l'isocèle les rend égaux.

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Exercice 5

28°?OABECD

Les droites ABAB et CDCD se coupent en OO, et la demi-droite OEOE est perpendiculaire à ABAB. La demi-droite OCOC est entre OAOA et OEOE, et l'angle COE^\widehat{COE} mesure 28∘28^\circ. Que vaut BOD^\widehat{BOD} ?

  1. 56∘56^\circ
  2. 62∘62^\circ
  3. 152∘152^\circ
  4. 118∘118^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 62∘62^\circ

Corrigé :

AOC^=90∘−28∘=62∘\begin{aligned}\widehat{AOC} &= 90^\circ - 28^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

AOE^\widehat{AOE} est droit

BOD^=AOC^=62∘\begin{aligned}\widehat{BOD} &= \widehat{AOC} \\ &= 62^\circ\end{aligned}

opposés par le sommet

La bonne réponse : « 62∘62^\circ ». « 118∘118^\circ » est BOC^\widehat{BOC}, le voisin supplémentaire de BOD^\widehat{BOD}. « 152∘152^\circ » traite COE^\widehat{COE} comme le voisin d'un angle plat : 180∘−28∘180^\circ - 28^\circ. « 56∘56^\circ » double l'angle de 28∘28^\circ, comme si OEOE était une bissectrice.

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Exercice 6

β2βABC

Dans la figure, qui n'est pas à l'échelle, trois droites forment le triangle ABCABC. L'angle marqué en AA mesure β\beta, et l'angle marqué en CC mesure 2β2\beta. Comparez les angles intérieurs A^\widehat{A} et B^\widehat{B} du triangle.

  1. B^=2 A^\widehat{B} = 2\,\widehat{A}
  2. A^=B^\widehat{A} = \widehat{B}
  3. B^>A^\widehat{B} > \widehat{A}
  4. On ne peut pas le savoir avec ces seules données
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B A^=B^\widehat{A} = \widehat{B}

Corrigé :

A^=β\widehat{A} = \beta

l'angle marqué en AA est opposé par le sommet à l'angle intérieur

2β=A^+B^2\beta = \widehat{A} + \widehat{B}

l'angle marqué en CC est un angle extérieur du triangle

B^=2β−β=β=A^\begin{aligned}\widehat{B} &= 2\beta - \beta \\ &= \beta \\ &= \widehat{A}\end{aligned}

La bonne réponse : « A^=B^\widehat{A} = \widehat{B} ». « B^>A^\widehat{B} > \widehat{A} » se fie au dessin, qui n'est pas à l'échelle. « B^=2 A^\widehat{B} = 2\,\widehat{A} » prend l'angle de 2β2\beta pour B^\widehat{B} lui-même, alors qu'il vaut la somme A^+B^\widehat{A} + \widehat{B}. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut la valeur de β\beta : la relation suffit à comparer.

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Exercice 7

abcO

Trois droites se coupent en un même point. Parmi les six angles formés, on a marqué aa, bb et cc, comme dans la figure. On sait que a=b+20∘a = b + 20^\circ et que c=2bc = 2b. Que vaut cc ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

  1. 170∘170^\circ
  2. 60∘60^\circ
  3. 80∘80^\circ
  4. On ne peut pas le savoir avec ces seules données
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 80∘80^\circ

Corrigé :

a+b+c=180∘a + b + c = 180^\circ

bb est opposé par le sommet à l'angle compris entre aa et cc : les trois font un demi-tour

(b+20∘)+b+2b=180∘  ⇒  b=40∘\begin{aligned}(b + 20^\circ) + b + 2b &= 180^\circ \;\Rightarrow\; b \\ &= 40^\circ\end{aligned}
c=2×40∘=80∘\begin{aligned}c &= 2 \times 40^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « 80∘80^\circ ». « 170∘170^\circ » fait porter le tour complet sur les trois angles : 4b+20∘=360∘4b + 20^\circ = 360^\circ, b=85∘b = 85^\circ. « 60∘60^\circ » est aa, pas cc. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il manque un angle : l'opposition par le sommet donne la troisième équation.

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Exercice 8

2α3α4α?CABDE

Dans la figure, les segments ADAD et BEBE se coupent en CC. Dans le triangle ABCABC, A^=2α\widehat{A} = 2\alpha et B^=3α\widehat{B} = 3\alpha ; dans le triangle CDECDE, D^=4α\widehat{D} = 4\alpha. Exprimez E^\widehat{E} en fonction de α\alpha.

  1. 180∘−9α180^\circ - 9\alpha
  2. 2α2\alpha
  3. α\alpha
  4. 3α3\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C α\alpha

Corrigé :

ACB^=DCE^\widehat{ACB} = \widehat{DCE}

opposés par le sommet

2α+3α=4α+E^2\alpha + 3\alpha = 4\alpha + \widehat{E}

chacun de ces deux angles vaut 180∘180^\circ moins les deux autres angles de son triangle

E^=α\widehat{E} = \alpha

La bonne réponse : « α\alpha ». « 3α3\alpha » suppose AB∥DEAB \parallel DE et prend E^\widehat{E} pour l'alterne-interne de B^\widehat{B} : rien ne dit que ces droites sont parallèles. « 2α2\alpha » fait la même supposition avec la mauvaise correspondance, E^=A^\widehat{E} = \widehat{A}. « 180∘−9α180^\circ - 9\alpha » prend les deux angles en CC pour supplémentaires, alors qu'ils sont opposés par le sommet.

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Exercice 9

Dans un triangle, les angles mesurent α\alpha, β\beta et γ\gamma, et γ\gamma est plus grand que α\alpha et plus grand que β\beta. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

  1. γ\gamma est un angle obtus
  2. α+β>γ\alpha + \beta > \gamma
  3. α\alpha et β\beta sont des angles aigus
  4. α=β\alpha = \beta
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C α\alpha et β\beta sont des angles aigus

Corrigé :

α≥90∘  ⇒  γ>90∘  ⇒  α+γ>180∘\alpha \geq 90^\circ \;\Rightarrow\; \gamma > 90^\circ \;\Rightarrow\; \alpha + \gamma > 180^\circ

impossible : α\alpha est donc aigu, et β\beta de même

(α,β,γ)=(60∘,50∘,70∘)(\alpha, \beta, \gamma) = (60^\circ, 50^\circ, 70^\circ)

γ\gamma aigu et α≠β\alpha \neq \beta : deux options tombent

(α,β,γ)=(50∘,30∘,100∘)(\alpha, \beta, \gamma) = (50^\circ, 30^\circ, 100^\circ)

α+β<γ\alpha + \beta < \gamma : la dernière tombe

La bonne réponse : « α\alpha et β\beta sont des angles aigus ». « γ\gamma est un angle obtus » croit que le plus grand angle d'un triangle est forcément obtus. « α=β\alpha = \beta » confond « tous deux plus petits que γ\gamma » avec « égaux ». « α+β>γ\alpha + \beta > \gamma » n'est vrai que si γ\gamma est aigu.

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Exercice 10

d₁d₂58°113°?ABP

Dans la figure, les droites d1d_1 et d2d_2 sont parallèles. Deux sécantes se coupent en PP et coupent d1d_1 en AA et en BB. Les angles marqués sur d2d_2 mesurent 58∘58^\circ et 113∘113^\circ. Que vaut APB^\widehat{APB} ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

  1. 125∘125^\circ
  2. 9∘9^\circ
  3. 55∘55^\circ
  4. 67∘67^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 55∘55^\circ

Corrigé :

PAB^=58∘\widehat{PAB} = 58^\circ

correspondant de l'angle de 58∘58^\circ

PBA^=180∘−113∘=67∘\begin{aligned}\widehat{PBA} &= 180^\circ - 113^\circ \\ &= 67^\circ\end{aligned}

l'angle de 113∘113^\circ est le correspondant de l'angle extérieur en BB

APB^=180∘−58∘−67∘=55∘\begin{aligned}\widehat{APB} &= 180^\circ - 58^\circ - 67^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « 55∘55^\circ ». « 9∘9^\circ » prend 113∘113^\circ pour l'angle intérieur en BB : il fallait son supplémentaire. « 67∘67^\circ » s'arrête à PBA^\widehat{PBA}. « 125∘125^\circ » est le voisin de APB^\widehat{APB} sur une sécante, son supplémentaire.

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