Série 3 — Reporter un angle · Angles · Psychométriques

Dix questions comme à l'examen, de la plus simple à la plus difficile. Lancez le chrono : dix minutes en tout, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez les dix réponses avant d'ouvrir un seul corrigé ; ensuite seulement, corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Le réflexe de la série : suivez l'angle de proche en proche, et nommez à chaque pas la raison du report — correspondant, alterne-interne, opposé par le sommet, triangle égal. Dans un cercle, un angle inscrit vaut la moitié de son arc ; un angle au centre vaut son arc.

Exercices

Exercice 1

Quatre demi-droites issues d'un point $O$ forment autour de lui quatre angles, dans le rapport $1 : 3 : 4 : 7$ . De combien de degrés le plus grand de ces angles dépasse-t-il le plus petit ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$72^\circ$
$144^\circ$
$168^\circ$
$24^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $144^\circ$

Corrigé :

360^\circ \div 15 = 24^\circ

quinze parts font le tour

\begin{aligned}7 \times 24^\circ - 24^\circ &= 6 \times 24^\circ \\ &= 144^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $144^\circ$ ». « $72^\circ$ » partage $180^\circ$ au lieu de $360^\circ$ : les quatre angles font le tour du point. « $168^\circ$ » est le plus grand angle, pas l'écart. « $24^\circ$ » est le plus petit angle.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Quel est le plus petit des angles que forment les deux aiguilles d'une montre à $11$ h $40$ ?

$70^\circ$
$90^\circ$
$250^\circ$
$110^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $110^\circ$

Corrigé :

40 \times 6^\circ = 240^\circ

la grande aiguille, comptée depuis le $12$

11 \times 30^\circ + 40 \times 0{,}5^\circ = 350^\circ

la petite aiguille a quitté le $11$

350^\circ - 240^\circ = 110^\circ

La bonne réponse : « $110^\circ$ ». « $90^\circ$ » laisse la petite aiguille sur le $11$ . « $250^\circ$ » est le grand angle. « $70^\circ$ » fait reculer la petite aiguille de $20^\circ$ au lieu de l'avancer.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Dans la figure, $O$ est le centre du cercle. L'angle inscrit $\widehat{ACB}$ mesure $35^\circ$ et l'angle au centre $\widehat{POQ}$ mesure $105^\circ$ . Quel est le rapport de la longueur de l'arc $AB$ en gras à celle de l'arc $PQ$ en gras ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$\frac{3}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$
$3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{2}{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}\overset{\frown}{AB} &= 2 \times 35^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

un angle inscrit vaut la moitié de l'arc qu'il intercepte

\overset{\frown}{PQ} = 105^\circ

un angle au centre vaut son arc

\frac{70}{105} = \frac{2}{3}

sur un même cercle, les longueurs des arcs suivent leurs angles

La bonne réponse : « $\frac{2}{3}$ ». « $\frac{1}{3}$ » compare $35^\circ$ à $105^\circ$ sans doubler l'angle inscrit. « $3$ » fait la même erreur et inverse le rapport. « $\frac{3}{2}$ » inverse le rapport.

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Exercice 4

Dans la figure, les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles, et la sécante $s$ les coupe en $A$ et en $C$ . Du point $D$ de $d_1$ , on trace $DH$ , perpendiculaire à $d_2$ , et $DK$ , perpendiculaire à $s$ ; $D$ et $H$ sont du même côté de $s$ , et $K$ est entre $A$ et $C$ . L'angle marqué en $A$ , entre la demi-droite $AD$ et le prolongement de $s$ au-delà de $A$ , mesure $128^\circ$ . Que vaut $\widehat{HDK}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$52^\circ$
$142^\circ$
$128^\circ$
$38^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $52^\circ$

Corrigé :

\widehat{HCK} = 128^\circ

correspondant de l'angle marqué en $A$

\begin{aligned}\widehat{HDK} &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 128^\circ \\ &= 52^\circ\end{aligned}

la somme des angles du quadrilatère $DHCK$

La bonne réponse : « $52^\circ$ ». « $128^\circ$ » prend pour l'angle en $C$ le supplémentaire du correspondant, $52^\circ$ , et trouve $128^\circ$ en $D$ . « $38^\circ$ » applique la somme d'un triangle, $180^\circ - 90^\circ - 52^\circ$ , à un quadrilatère. « $142^\circ$ » ne retranche qu'un des deux angles droits : $360^\circ - 90^\circ - 128^\circ$ .

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Exercice 5

Dans la figure, les droites $t_1$ et $t_2$ sont parallèles et tangentes au cercle de centre $O$ . Une troisième tangente les coupe en $A$ et en $B$ . L'angle marqué en $A$ mesure $70^\circ$ . Que vaut $\widehat{OBA}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$110^\circ$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$55^\circ$
$35^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $55^\circ$

Corrigé :

180^\circ - 70^\circ = 110^\circ

l'angle en $B$ entre $BA$ et $t_2$ : angles intérieurs du même côté entre deux parallèles

\begin{aligned}\widehat{OBA} &= \frac{110^\circ}{2} \\ &= 55^\circ\end{aligned}

deux tangentes issues de $B$ : le centre est sur la bissectrice de leur angle

La bonne réponse : « $55^\circ$ ». « $35^\circ$ » prend la moitié de l'angle en $A$ : c'est $\widehat{OAB}$ . « $110^\circ$ » garde l'angle entier en $B$ au lieu de sa moitié. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut le rayon ou le point de contact : les parallèles et la bissectrice suffisent.

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Exercice 6

Dans la figure, les points $A$ et $B$ sont sur une demi-droite issue de $O$ , et les points $C$ et $D$ sur une autre. $OA = OC$ et $AB = CD$ . Les segments $AD$ et $CB$ se coupent en $P$ . L'angle $\widehat{AOC}$ mesure $40^\circ$ et $\widehat{OBC}$ mesure $30^\circ$ . Que vaut $\widehat{DAB}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$110^\circ$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$150^\circ$
$70^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $70^\circ$

Corrigé :

OB = OD

$OA = OC$ et $AB = CD$

\begin{aligned}\triangle OAD &= \triangle OCB \;\Rightarrow\; \widehat{ODA} \\ &= \widehat{OBC} \\ &= 30^\circ\end{aligned}

deux côtés égaux et l'angle compris en $O$ ; $D$ répond à $B$

\begin{aligned}\widehat{DAB} &= 40^\circ + 30^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

angle extérieur en $A$ du triangle $OAD$

La bonne réponse : « $70^\circ$ ». « $110^\circ$ » est $\widehat{OAD}$ , l'angle intérieur, pas son voisin. « $150^\circ$ » associe $\widehat{OAD}$ à $\widehat{OBC}$ sans suivre la correspondance des côtés : $\widehat{OAD} = 30^\circ$ , puis $180^\circ - 30^\circ$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » ne voit pas les deux triangles égaux $OAD$ et $OCB$ .

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Exercice 7

Dans la figure, $p_1 \parallel p_2$ et $q_1 \parallel q_2$ , et la droite $s$ les coupe toutes les quatre. Les angles marqués mesurent $\alpha$ et $\beta$ . Exprimez $x$ en fonction de $\alpha$ et de $\beta$ .

$\alpha + \beta$
$180^\circ - \beta$
$\beta - \alpha$
$180^\circ - \alpha - \beta$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $180^\circ - \alpha - \beta$

Corrigé :

x + \alpha + \beta = 180^\circ

$\alpha$ se reporte de $p_1$ sur $p_2$ , et $\beta$ de $q_1$ sur $q_2$ , par angles correspondants : avec $x$ , ce sont les trois angles du triangle formé par $p_2$ , $q_2$ et $s$

x = 180^\circ - \alpha - \beta

\begin{aligned}\alpha &= 50^\circ \\ \ \beta &= 70^\circ \;\Rightarrow\; x \\ &= 60^\circ\end{aligned}

contrôle sur la figure

La bonne réponse : « $180^\circ - \alpha - \beta$ ». « $\alpha + \beta$ » est l'angle extérieur voisin de $x$ , son supplémentaire. « $\beta - \alpha$ » reporte $\beta$ comme son supplémentaire : $180^\circ - \alpha - (180^\circ - \beta)$ . « $180^\circ - \beta$ » oublie $\alpha$ et prend $x$ pour le voisin de $\beta$ sur une droite.

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Exercice 8

$ABCD$ est un parallélogramme, avec $AD = a$ et $AB = a + 2$ (en cm). Le point $E$ est sur $AB$ , et $EB = 2$ cm. L'angle $\widehat{DAB}$ mesure $70^\circ$ . Que vaut $\widehat{EDC}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$55^\circ$
$70^\circ$
$35^\circ$
$125^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $55^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}AE &= (a + 2) - 2 \\ &= a \\ &= AD\end{aligned}

le triangle $ADE$ est isocèle

\begin{aligned}\widehat{AED} &= \widehat{ADE} \\ &= \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} \\ &= 55^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\widehat{EDC} &= \widehat{AED} \\ &= 55^\circ\end{aligned}

alternes-internes : $AB \parallel DC$

La bonne réponse : « $55^\circ$ ». « $70^\circ$ » reporte l'angle en $A$ sans voir le triangle isocèle. « $125^\circ$ » est $\widehat{DEB}$ , le voisin de $\widehat{AED}$ . « $35^\circ$ » coupe l'angle de $70^\circ$ en deux.

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Exercice 9

Dans la figure, les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles. Deux sécantes se coupent en $P$ , entre les deux droites ; l'une coupe $d_1$ en $A$ , l'autre en $B$ . L'angle $\widehat{PAB}$ mesure $64^\circ$ . La sécante $BP$ coupe $d_2$ en $D$ , la sécante $AP$ la coupe en $C$ , et l'angle entre $DP$ et la demi-droite de $d_2$ qui part de $D$ du côté opposé à $C$ mesure $131^\circ$ . Que vaut $\widehat{APB}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$49^\circ$
$67^\circ$
$113^\circ$
$82^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $67^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{PDC} &= 180^\circ - 131^\circ \\ &= 49^\circ\end{aligned}

le voisin de l'angle de $131^\circ$ , dans le triangle du bas

\widehat{PBA} = 49^\circ

alterne-interne de cet angle, entre $d_1$ et $d_2$

\begin{aligned}\widehat{APB} &= 180^\circ - 64^\circ - 49^\circ \\ &= 67^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $67^\circ$ ». « $49^\circ$ » s'arrête à $\widehat{PBA}$ . « $113^\circ$ » est le voisin de $\widehat{APB}$ , son supplémentaire. « $82^\circ$ » fait la différence $131^\circ - 49^\circ$ : l'angle de $131^\circ$ moins le mauvais angle.

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Exercice 10

Le polygone régulier à neuf côtés $ABCDEFGHI$ est inscrit dans un cercle. Que vaut $\widehat{AEB}$ ?

$140^\circ$
$40^\circ$
$20^\circ$
$70^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $20^\circ$

Corrigé :

360^\circ \div 9 = 40^\circ

l'arc $AB$ , sous-tendu par un côté

\begin{aligned}\widehat{AEB} &= \frac{40^\circ}{2} \\ &= 20^\circ\end{aligned}

angle inscrit qui intercepte cet arc

La bonne réponse : « $20^\circ$ ». « $40^\circ$ » est l'angle au centre d'un côté, pas l'angle inscrit. « $140^\circ$ » est l'angle intérieur du polygone. « $70^\circ$ » prend la moitié de l'angle intérieur.

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Exercices

La suite se pratique sur elev