Série 4 — Lettres et comparaisons · Angles · Psychométriques

Dix questions comme à l'examen, de la plus simple à la plus difficile. Lancez le chrono : dix minutes en tout, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez les dix réponses avant d'ouvrir un seul corrigé ; ensuite seulement, corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Le réflexe de la série : devant des options en lettres, donnez une valeur banale à la lettre ( $\alpha = 40^\circ$ ), calculez la figure en nombres et testez les quatre options. Devant une comparaison, cherchez la relation exacte avant de regarder le dessin : « on ne peut pas savoir » n'est juste que si deux figures permises donnent deux réponses différentes.

Exercices

Exercice 1

Dans la figure, qui n'est pas à l'échelle, trois droites forment le triangle $ABC$ . L'angle marqué en $A$ mesure $3\theta$ , et l'angle marqué en $B$ mesure $\theta$ . Comparez l'angle intérieur $\widehat{C}$ au double de l'angle intérieur $\widehat{B}$ .

$\widehat{C} < 2\,\widehat{B}$
$\widehat{C} = 3\,\widehat{B}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$\widehat{C} = 2\,\widehat{B}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\widehat{C} = 2\,\widehat{B}$

Corrigé :

\widehat{B} = \theta

l'angle marqué en $B$ est opposé par le sommet à l'angle intérieur

3\theta = \widehat{B} + \widehat{C}

l'angle marqué en $A$ est un angle extérieur du triangle

\begin{aligned}\widehat{C} &= 3\theta - \theta \\ &= 2\theta \\ &= 2\,\widehat{B}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\widehat{C} = 2\,\widehat{B}$ ». « $\widehat{C} = 3\,\widehat{B}$ » prend l'angle extérieur en $A$ pour $\widehat{C}$ lui-même. « $\widehat{C} < 2\,\widehat{B}$ » se fie au dessin, qui n'est pas à l'échelle. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut la valeur de $\theta$ : la relation suffit.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Trois droites se coupent en un même point. Parmi les six angles formés, on a marqué $a$ , $b$ et $c$ , comme dans la figure. On sait que $a = 3b$ et que $c = b + 40^\circ$ . Que vaut $a$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$28^\circ$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$84^\circ$
$192^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $84^\circ$

Corrigé :

a + b + c = 180^\circ

$b$ est opposé par le sommet à l'angle compris entre $a$ et $c$

\begin{aligned}3b + b + (b + 40^\circ) &= 180^\circ \;\Rightarrow\; b \\ &= 28^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}a &= 3 \times 28^\circ \\ &= 84^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $84^\circ$ ». « $192^\circ$ » fait porter le tour complet sur les trois angles : $5b + 40^\circ = 360^\circ$ , $b = 64^\circ$ . « $28^\circ$ » est $b$ , pas $a$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il manque une donnée : l'opposition par le sommet fournit l'équation qui manque.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Dans la figure, les segments $AD$ et $BE$ se coupent en $C$ . Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{A} = \widehat{B} = \alpha$ ; dans le triangle $CDE$ , $\widehat{D} = 2x$ et $\widehat{E} = x$ . Exprimez $x$ en fonction de $\alpha$ .

$\dfrac{4\alpha}{3}$
$\dfrac{2\alpha}{3}$
$\alpha$
$60^\circ - \dfrac{2\alpha}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\dfrac{2\alpha}{3}$

Corrigé :

\widehat{ACB} = \widehat{DCE}

opposés par le sommet

\alpha + \alpha = 2x + x

les deux autres angles de chaque triangle ont donc la même somme

x = \frac{2\alpha}{3}

La bonne réponse : « $\dfrac{2\alpha}{3}$ ». « $\alpha$ » traite $\widehat{E}$ et $\widehat{B}$ comme égaux, comme si $AB$ et $DE$ étaient parallèles. « $60^\circ - \dfrac{2\alpha}{3}$ » prend les deux angles en $C$ pour supplémentaires : $(180^\circ - 2\alpha) + (180^\circ - 3x) = 180^\circ$ . « $\dfrac{4\alpha}{3}$ » calcule $\widehat{D} = 2x$ au lieu de $x$ .

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Exercice 4

Dans le triangle $ABC$ , l'angle $\widehat{C}$ est plus grand que $\widehat{A}$ et plus grand que $\widehat{B}$ . Laquelle des affirmations suivantes est impossible ?

$\widehat{C}$ est un angle aigu
$\widehat{C} = 90^\circ$
$\widehat{A} = \widehat{B}$
$\widehat{A}$ est un angle obtus

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\widehat{A}$ est un angle obtus

Corrigé :

\widehat{A} > 90^\circ \;\Rightarrow\; \widehat{C} > 90^\circ \;\Rightarrow\; \widehat{A} + \widehat{C} > 180^\circ

un triangle a au plus un angle qui n'est pas aigu, et c'est le plus grand

(\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}) = (55^\circ, 55^\circ, 70^\circ)

$\widehat{C}$ aigu et $\widehat{A} = \widehat{B}$ : possible

(\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}) = (50^\circ, 40^\circ, 90^\circ)

$\widehat{C}$ droit : possible

La bonne réponse : « $\widehat{A}$ est un angle obtus ». « $\widehat{C}$ est un angle aigu » est possible : croire le plus grand angle forcément obtus est le piège. « $\widehat{A} = \widehat{B}$ » est possible : deux angles plus petits que $\widehat{C}$ peuvent être égaux entre eux. « $\widehat{C} = 90^\circ$ » est possible, dans un triangle rectangle en $C$ .

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Exercice 5

Dans la figure, $O$ est le centre du cercle. L'angle au centre $\widehat{AOB}$ mesure $70^\circ$ et l'angle inscrit $\widehat{CED}$ mesure $50^\circ$ . L'arc $AB$ en gras mesure $14$ cm. Combien mesure l'arc $CD$ en gras ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$10$ cm
$28$ cm
$9{,}8$ cm
$20$ cm

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $20$ cm

Corrigé :

\begin{aligned}\overset{\frown}{CD} &= 2 \times 50^\circ \\ &= 100^\circ\end{aligned}

l'angle inscrit vaut la moitié de son arc

\frac{14}{70} \times 100 = 20

les longueurs des arcs suivent leurs angles

La bonne réponse : « $20$ cm ». « $10$ cm » compare l'angle inscrit à l'angle au centre sans le doubler : $14 \times \frac{50}{70}$ . « $9{,}8$ cm » inverse le rapport : $14 \times \frac{70}{100}$ . « $28$ cm » double la longueur de l'arc au lieu de doubler l'angle inscrit.

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Exercice 6

Dans la figure, les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles. Le segment $AB$ les joint, et $AH$ est perpendiculaire à $d_2$ . L'angle marqué en $A$ mesure $118^\circ$ . Que vaut $\widehat{HAB}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$28^\circ$
$56^\circ$
$62^\circ$
$152^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $28^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ABH} &= 180^\circ - 118^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

le voisin de l'angle de $118^\circ$ est alterne-interne de $\widehat{ABH}$

\begin{aligned}\widehat{HAB} &= 180^\circ - 90^\circ - 62^\circ \\ &= 28^\circ\end{aligned}

le triangle $AHB$ est rectangle en $H$

118^\circ - 90^\circ = 28^\circ

le raccourci : $AH$ est aussi perpendiculaire à $d_1$

La bonne réponse : « $28^\circ$ ». « $62^\circ$ » s'arrête à $\widehat{ABH}$ . « $152^\circ$ » est le supplémentaire de la réponse, l'angle voisin. « $56^\circ$ » fait la simple différence $118^\circ - 62^\circ$ .

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Exercice 7

Dans le triangle $ABC$ , les bissectrices des angles $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ se coupent en $I$ . L'angle $\widehat{A}$ mesure $\alpha$ . Exprimez $\widehat{BIC}$ en fonction de $\alpha$ .

$90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$
$\alpha$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$

Corrigé :

\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ - \alpha

\begin{aligned}\widehat{IBC} + \widehat{ICB} &= \frac{180^\circ - \alpha}{2} \\ &= 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

chaque bissectrice garde la moitié de son angle

\begin{aligned}\widehat{BIC} &= 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \\ &= 90^\circ + \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

La bonne réponse : « $90^\circ + \dfrac{\alpha}{2}$ ». « $90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$ » s'arrête à la somme des deux demi-angles. « $\alpha$ » oublie de diviser par deux : il retranche $\widehat{B} + \widehat{C}$ entiers. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut connaître $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ séparément : seule leur somme compte.

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Exercice 8

Le trapèze $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) est inscrit dans un cercle. Ses diagonales se coupent en $P$ , et $\widehat{ABD} = 25^\circ$ . Que vaut $\widehat{APD}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$155^\circ$
$50^\circ$
$25^\circ$
$130^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $50^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\overset{\frown}{AD} &= \overset{\frown}{BC} \;\Rightarrow\; \widehat{BAC} \\ &= \widehat{ABD} \\ &= 25^\circ\end{aligned}

un trapèze inscrit est isocèle : $AD = BC$ , et les angles inscrits sur ces deux arcs sont égaux

\begin{aligned}\widehat{APB} &= 180^\circ - 25^\circ - 25^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

dans le triangle $APB$

\begin{aligned}\widehat{APD} &= 180^\circ - 130^\circ \\ &= 50^\circ\end{aligned}

voisin de $\widehat{APB}$

La bonne réponse : « $50^\circ$ ». « $25^\circ$ » attribue à l'angle cherché la valeur de l'angle donné. « $130^\circ$ » est $\widehat{APB}$ , le voisin de l'angle cherché. « $155^\circ$ » prend l'angle cherché pour le supplémentaire de l'angle donné : $180^\circ - 25^\circ$ .

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Exercice 9

Les points $A$ , $B$ et $C$ sont sur un cercle de centre $O$ , avec $AB = AC$ et $\widehat{BAC} = \alpha$ . Exprimez $\widehat{OBA}$ en fonction de $\alpha$ .

$\dfrac{\alpha}{2}$
$90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$
$\alpha$
$90^\circ - \alpha$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{\alpha}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{BOC} &= 2\alpha \;\Rightarrow\; \widehat{OBC} \\ &= \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

angle au centre, et $OB = OC$

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \frac{180^\circ - \alpha}{2} \\ &= 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

$AB = AC$

\begin{aligned}\widehat{OBA} &= \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) - (90^\circ - \alpha) \\ &= \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

la différence des deux angles de base

La bonne réponse : « $\dfrac{\alpha}{2}$ ». « $90^\circ - \alpha$ » s'arrête à l'angle de base du triangle $OBC$ . « $90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$ » est l'angle $\widehat{ABC}$ tout entier. « $\alpha$ » prend l'angle entier en $A$ : $OA$ est la bissectrice de $\widehat{BAC}$ , et $\widehat{OBA} = \widehat{OAB} = \frac{\alpha}{2}$ .

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Exercice 10

Le quadrilatère $ABCD$ est inscrit dans un cercle, et ses diagonales sont tracées. On pose $X = \widehat{BAC} + \widehat{ABD}$ , $Y = \widehat{BDC} + \widehat{ACD}$ et $Z = \widehat{CAD} + \widehat{ABD}$ . Laquelle des affirmations suivantes est vraie ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$X = Y < Z$
$X = Y$ , mais on ne peut pas savoir comment $Z$ se compare à $X$
$X = Y = Z$
$X = Y > Z$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $X = Y$ , mais on ne peut pas savoir comment $Z$ se compare à $X$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{BAC} &= \widehat{BDC} \\ \quad \widehat{ABD} &= \widehat{ACD}\end{aligned}

angles inscrits qui interceptent les mêmes arcs, $BC$ et $AD$

X = Y

\begin{aligned}Z - X &= \widehat{CAD} - \widehat{BAC} \\ &= \frac{\overset{\frown}{CD} - \overset{\frown}{BC}}{2}\end{aligned}

le signe dépend des arcs $CD$ et $BC$ , que rien ne fixe

La bonne réponse : « $X = Y$ , mais on ne peut pas savoir comment $Z$ se compare à $X$ ». « $X = Y = Z$ » croit que l'égalité de deux sommes entraîne celle de la troisième. « $X = Y < Z$ » se fie à la figure, où l'arc $CD$ paraît plus grand que l'arc $BC$ . « $X = Y > Z$ » suppose l'inverse sur les arcs, sans raison.

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Exercices

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