Série 5 — Le niveau de l'examen · Angles · Psychométriques

Dix questions comme à l'examen, de la plus simple à la plus difficile. Lancez le chrono : dix minutes en tout, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez les dix réponses avant d'ouvrir un seul corrigé ; ensuite seulement, corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Le réflexe de la série : une propriété ne suffit plus, il en faut deux ou trois à la suite. Écrivez la chaîne avant de calculer : un report entre parallèles, puis un triangle isocèle, puis un angle extérieur ; ou un angle inscrit, puis l'angle au centre, puis la somme d'un quadrilatère. Dans un cercle, marquez les arcs : un trapèze inscrit est isocèle, des cordes égales découpent des arcs égaux.

Exercices

Exercice 1

Dans la figure, les droites $t_1$ et $t_2$ sont parallèles et tangentes au cercle de centre $O$ . Une troisième tangente les coupe en $A$ et en $B$ , et $\widehat{OAB} = 32^\circ$ . Que vaut l'angle marqué en $B$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$64^\circ$
$148^\circ$
$58^\circ$
$116^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $116^\circ$

Corrigé :

2 \times 32^\circ = 64^\circ

deux tangentes issues de $A$ : $AO$ est la bissectrice de leur angle

180^\circ - 64^\circ = 116^\circ

angles intérieurs du même côté entre $t_1$ et $t_2$

La bonne réponse : « $116^\circ$ ». « $58^\circ$ » est $\widehat{OBA}$ , la moitié de l'angle marqué. « $64^\circ$ » reporte l'angle en $A$ tel quel, comme un correspondant : entre deux parallèles, ces deux angles sont supplémentaires. « $148^\circ$ » oublie de doubler : $180^\circ - 32^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Dans la figure, $A$ et $B$ sont sur une demi-droite issue de $O$ , $C$ et $D$ sur une autre, avec $OA = OC$ et $OB = OD$ . Les segments $AD$ et $BC$ se coupent en $P$ . On sait que $\widehat{AOC} = 46^\circ$ et que $\widehat{OAD} = 105^\circ$ . Que vaut $\widehat{APB}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$76^\circ$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$104^\circ$
$75^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $76^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ODA} &= 180^\circ - 46^\circ - 105^\circ \\ &= 29^\circ\end{aligned}

dans le triangle $OAD$

\begin{aligned}\triangle OAD &= \triangle OCB \;\Rightarrow\; \widehat{OBC} \\ &= \widehat{ODA} \\ &= 29^\circ\end{aligned}

deux côtés et l'angle compris en $O$ ; $B$ répond à $D$

\begin{aligned}\widehat{PAB} &= 180^\circ - 105^\circ \\ &= 75^\circ\end{aligned}

voisin de $\widehat{OAD}$

\begin{aligned}\widehat{APB} &= 180^\circ - 75^\circ - 29^\circ \\ &= 76^\circ\end{aligned}

dans le triangle $APB$

La bonne réponse : « $76^\circ$ ». « $75^\circ$ » s'arrête à $\widehat{PAB}$ . « $104^\circ$ » est $\widehat{BPD}$ , le voisin de l'angle cherché. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » ne voit pas les triangles égaux $OAD$ et $OCB$ , qui donnent l'angle en $B$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Dans la figure, $p_1 \parallel p_2$ et $q_1 \parallel q_2$ , et la droite $s$ coupe $p_1$ et $q_1$ . Les angles marqués mesurent $\alpha$ et $\beta$ . Exprimez $x$ en fonction de $\alpha$ et de $\beta$ .

$\alpha - \beta$
$180^\circ - \alpha + \beta$
$\alpha + \beta$
$180^\circ - \alpha - \beta$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $180^\circ - \alpha + \beta$

Corrigé :

\widehat{G} = \beta

correspondant de $\beta$ , de $p_2$ à $p_1$ , dans le triangle $GSR$

\widehat{S} = 180^\circ - \alpha

voisin de $\alpha$ sur $p_1$

\begin{aligned}x &= \widehat{G} + \widehat{S} \\ &= 180^\circ - \alpha + \beta\end{aligned}

$x$ est l'angle extérieur du triangle en $R$

\begin{aligned}\alpha &= 120^\circ \\ \ \beta &= 50^\circ \;\Rightarrow\; x \\ &= 110^\circ\end{aligned}

contrôle sur la figure

La bonne réponse : « $180^\circ - \alpha + \beta$ ». « $\alpha - \beta$ » fait une simple différence : c'est l'angle aigu en $R$ , le voisin de $x$ . « $180^\circ - \alpha - \beta$ » prend $\alpha$ lui-même pour l'angle du triangle en $S$ , puis calcule l'angle restant en $R$ . « $\alpha + \beta$ » applique « angle extérieur = somme des deux angles intérieurs éloignés » avec $\alpha$ au lieu de son voisin $180^\circ - \alpha$ .

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Exercice 4

$ABCD$ est un parallélogramme, avec $AD = m$ et $AB = m + 4$ (en cm). Le point $E$ est sur $DC$ , et $DE = 4$ cm. L'angle $\widehat{ADC}$ mesure $64^\circ$ . Que vaut $\widehat{ABE}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$58^\circ$
$148^\circ$
$64^\circ$
$32^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $32^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}EC &= (m + 4) - 4 \\ &= m \\ &= BC\end{aligned}

le triangle $BCE$ est isocèle

\begin{aligned}\widehat{BCE} &= 180^\circ - 64^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

deux angles voisins d'un parallélogramme

\begin{aligned}\widehat{CEB} &= \frac{180^\circ - 116^\circ}{2} \\ &= 32^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\widehat{ABE} &= \widehat{CEB} \\ &= 32^\circ\end{aligned}

alternes-internes : $AB \parallel DC$

La bonne réponse : « $32^\circ$ ». « $58^\circ$ » prend $64^\circ$ pour l'angle au sommet $C$ : $(180^\circ - 64^\circ) \div 2$ . « $64^\circ$ » reporte l'angle en $D$ sans voir le triangle isocèle. « $148^\circ$ » est $\widehat{BED}$ , le voisin de $\widehat{CEB}$ .

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Exercice 5

Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{A} = 52^\circ$ . Les bissectrices des angles extérieurs en $B$ et en $C$ se coupent en $J$ . Que vaut $\widehat{BJC}$ ?

$128^\circ$
$64^\circ$
$116^\circ$
$26^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $64^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{JBC} + \widehat{JCB} &= \frac{(180^\circ - \widehat{B}) + (180^\circ - \widehat{C})}{2} \\ &= \frac{180^\circ + 52^\circ}{2} \\ &= 116^\circ\end{aligned}

chaque bissectrice garde la moitié d'un angle extérieur, et $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ - 52^\circ$

\begin{aligned}\widehat{BJC} &= 180^\circ - 116^\circ \\ &= 64^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $64^\circ$ ». « $116^\circ$ » s'arrête à la somme des deux demi-angles extérieurs, ou applique la formule des bissectrices intérieures, $90^\circ + 26^\circ$ . « $128^\circ$ » est $\widehat{B} + \widehat{C}$ , la somme des angles intérieurs en $B$ et en $C$ . « $26^\circ$ » prend la moitié de l'angle en $A$ .

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Exercice 6

L'octogone régulier $ABCDEFGH$ est inscrit dans un cercle. Les diagonales $AC$ et $BE$ se coupent en $P$ . Que vaut $\widehat{APB}$ ?

$45^\circ$
$135^\circ$
$67{,}5^\circ$
$112{,}5^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $67{,}5^\circ$

Corrigé :

360^\circ \div 8 = 45^\circ

l'arc sous-tendu par un côté

\begin{aligned}\widehat{PAB} &= \widehat{CAB} \\ &= \frac{45^\circ}{2} \\ &= 22{,}5^\circ\end{aligned}

angle inscrit qui intercepte l'arc $BC$ , un seul côté

\begin{aligned}\widehat{PBA} &= \widehat{EBA} \\ &= \frac{4 \times 45^\circ}{2} \\ &= 90^\circ\end{aligned}

angle inscrit qui intercepte l'arc $AE$ qui ne contient pas $B$ : quatre côtés, un demi-cercle

\begin{aligned}\widehat{APB} &= 180^\circ - 22{,}5^\circ - 90^\circ \\ &= 67{,}5^\circ\end{aligned}

dans le triangle $APB$

La bonne réponse : « $67{,}5^\circ$ ». « $45^\circ$ » prend l'angle au centre d'un côté, $45^\circ$ , pour l'angle inscrit $\widehat{PAB}$ : $180^\circ - 45^\circ - 90^\circ$ . « $112{,}5^\circ$ » est $\widehat{BPC}$ , le voisin de l'angle cherché. « $135^\circ$ » est l'angle intérieur de l'octogone.

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Exercice 7

Le trapèze $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) est inscrit dans un cercle. On sait que $\widehat{ADC} = 110^\circ$ et que $\widehat{BDC} = 32^\circ$ . Que vaut $\widehat{DAC}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$70^\circ$
$78^\circ$
$32^\circ$
$38^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $38^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{BCD} &= \widehat{ADC} \\ &= 110^\circ\end{aligned}

un trapèze inscrit est isocèle : ses deux angles sur la base $DC$ sont égaux

\begin{aligned}\widehat{DBC} &= 180^\circ - 110^\circ - 32^\circ \\ &= 38^\circ\end{aligned}

dans le triangle $BDC$

\begin{aligned}\widehat{DAC} &= \widehat{DBC} \\ &= 38^\circ\end{aligned}

deux angles inscrits qui interceptent le même arc $DC$

La bonne réponse : « $38^\circ$ ». « $78^\circ$ » prend $\widehat{BCD} = 180^\circ - 110^\circ$ , comme dans un parallélogramme, puis $180^\circ - 70^\circ - 32^\circ$ . « $32^\circ$ » attribue à l'angle cherché la valeur de l'angle donné. « $70^\circ$ » calcule $\widehat{ABC}$ , l'angle opposé à $\widehat{ADC}$ dans le quadrilatère inscrit.

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Exercice 8

Les points $A$ , $B$ et $C$ sont sur un cercle de centre $O$ , avec $CA = CB$ , et $O$ est à l'intérieur du triangle $ABC$ . Les tangentes au cercle en $A$ et en $B$ se coupent en $T$ . L'angle $\widehat{OAC}$ mesure $\alpha$ . Exprimez $\widehat{ATB}$ en fonction de $\alpha$ .

$180^\circ - 4\alpha$
$180^\circ - \alpha$
$180^\circ - 2\alpha$
$4\alpha$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $180^\circ - 4\alpha$

Corrigé :

\widehat{OCA} = \alpha

$OA = OC$ : le triangle $OAC$ est isocèle

\widehat{ACB} = 2\alpha

$CA = CB$ : la droite $CO$ est l'axe de symétrie, et $\widehat{OCB} = \widehat{OCA}$

\begin{aligned}\widehat{AOB} &= 2 \times 2\alpha \\ &= 4\alpha\end{aligned}

l'angle au centre vaut le double de l'angle inscrit

\begin{aligned}\widehat{ATB} &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 4\alpha \\ &= 180^\circ - 4\alpha\end{aligned}

dans le quadrilatère $OATB$ , les rayons sont perpendiculaires aux tangentes

\begin{aligned}\alpha &= 25^\circ \;\Rightarrow\; \widehat{ATB} \\ &= 80^\circ\end{aligned}

contrôle sur une valeur

La bonne réponse : « $180^\circ - 4\alpha$ ». « $180^\circ - 2\alpha$ » prend $\alpha$ pour l'angle entier en $C$ : il oublie l'autre moitié, $\widehat{OCB}$ . « $4\alpha$ » s'arrête à l'angle au centre $\widehat{AOB}$ . « $180^\circ - \alpha$ » oublie les deux doublements : la moitié en $C$ , et l'angle au centre double de l'angle inscrit.

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Exercice 9

Le triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle, et $P$ est un point de l'arc $AB$ qui ne contient pas $C$ . On pose $X = \widehat{PAC} + \widehat{PBC}$ , $Y = \widehat{APB} + \widehat{ACB}$ et $Z = \widehat{PAC} + \widehat{ACB}$ . Laquelle des affirmations suivantes est vraie ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$X = Y$ , mais on ne peut pas savoir comment $Z$ se compare à $X$
$X = Y < Z$
$X = Y > Z$
$X = Y = Z$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $X = Y$ , mais on ne peut pas savoir comment $Z$ se compare à $X$

Corrigé :

X = 180^\circ

$A$ , $P$ , $B$ , $C$ se suivent sur le cercle : dans le quadrilatère inscrit $APBC$ , les angles opposés en $A$ et en $B$ sont supplémentaires

Y = 180^\circ

les deux autres angles opposés, en $P$ et en $C$

Z - X = \widehat{ACB} - \widehat{PBC}

selon la place de $P$ sur l'arc, $\widehat{PBC}$ passe au-dessus ou au-dessous de $\widehat{ACB}$

La bonne réponse : « $X = Y$ , mais on ne peut pas savoir comment $Z$ se compare à $X$ ». « $X = Y < Z$ » se fie à la figure, qui n'est pas à l'échelle. « $X = Y = Z$ » croit que l'égalité de deux sommes entraîne celle de la troisième. « $X = Y > Z$ » fixe la place de $P$ sans raison : elle change le signe de $Z - X$ .

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Exercice 10

Dans la figure, les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles. Les points $A$ et $F$ sont sur $d_1$ ; $B$ , $C$ et $E$ sont sur $d_2$ , et $C$ est entre $B$ et $E$ . $F$ et $C$ sont de part et d'autre de la droite $AB$ . On sait que $BA = BC$ et que $\widehat{FAB} = 40^\circ$ . Que vaut $\widehat{ACE}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$160^\circ$
$140^\circ$
$70^\circ$
$110^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $110^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \widehat{FAB} \\ &= 40^\circ\end{aligned}

alternes-internes : $d_1 \parallel d_2$

\begin{aligned}\widehat{BAC} &= \widehat{BCA} \\ &= \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

$BA = BC$ : le triangle $ABC$ est isocèle en $B$

\begin{aligned}\widehat{ACE} &= 180^\circ - 70^\circ \\ &= 110^\circ\end{aligned}

voisin de $\widehat{BCA}$ ; ou angle extérieur : $40^\circ + 70^\circ$

La bonne réponse : « $110^\circ$ ». « $70^\circ$ » s'arrête à $\widehat{BCA}$ , l'angle intérieur. « $140^\circ$ » place l'angle de $40^\circ$ à la base, en $C$ , comme si le triangle était isocèle en $A$ . « $160^\circ$ » prend les angles en $A$ et en $B$ pour supplémentaires : $\widehat{ABC} = 140^\circ$ , puis des angles de base de $20^\circ$ .

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Exercices

La suite se pratique sur elev