Série 5 — Le niveau de l'examen · Cercle, disque · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Ne croyez pas la figure : un angle qui a l'air plus grand, un point qui a l'air au milieu ne prouvent rien. Chaque égalité vient d'une règle — angle inscrit, tangente perpendiculaire au rayon, symétrie d'une figure inscrite. Et quand une quantité dépend d'un choix que l'énoncé laisse libre, « on ne peut pas le savoir » est la bonne réponse.

Exercices

Exercice 1

Deux cercles de même centre ont pour rayons $R$ et $r$ , avec $r < R$ . L'aire de la couronne comprise entre eux est le triple de l'aire du petit disque. La figure n'est pas à l'échelle. Que vaut $r$ ?

$\frac{R}{4}$
$\frac{R\sqrt{3}}{2}$
$\frac{R}{2}$
$\frac{R}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{R}{2}$

Corrigé :

\pi R^2 - \pi r^2 = 3\pi r^2

\pi R^2 = 4\pi r^2

le petit disque est le quart du grand

\begin{aligned}r &= \sqrt{\tfrac{1}{4}}\,R \\ &= \tfrac{R}{2}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{R}{2}$ ». « $\frac{R}{4}$ » oublie la racine : $r^2 = \frac{R^2}{4}$ donne $r = \frac{R}{2}$ . « $\frac{R}{3}$ » prend le rapport des aires, $1$ pour $3$ , pour un rapport de rayons. « $\frac{R\sqrt{3}}{2}$ » attribue au petit disque la part de la couronne, $\frac{3}{4}$ du grand disque.

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Exercice 2

Dans un cercle de rayon $13$ , deux cordes parallèles mesurent $24$ et $10$ . Quelle est la distance entre ces deux cordes ?

$14$
$17$
$7$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Corrigé :

\sqrt{13^2 - 12^2} = 5

la distance du centre à la corde de 24 : le rayon perpendiculaire la coupe en son milieu

\sqrt{13^2 - 5^2} = 12

la distance du centre à la corde de 10

\begin{aligned}12 - 5 &= 7 \quad \text{ou} \quad 12 + 5 \\ &= 17\end{aligned}

du même côté du centre, ou de part et d'autre : les deux figures existent

La bonne réponse : « On ne peut pas le savoir avec ces seules données ». « $7$ » suppose les deux cordes du même côté du centre ; l'énoncé ne le dit pas. « $17$ » suppose les deux cordes de part et d'autre du centre ; l'énoncé ne le dit pas. « $14$ » soustrait les longueurs des cordes, $24 - 10$ : une différence de longueurs n'est pas une distance.

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Exercice 3

D'un point $P$ situé à $10$ du centre $O$ d'un cercle, on mène les tangentes $PA$ et $PB$ , et $\widehat{APB} = 60^\circ$ . Quelle est l'aire du quadrilatère $OAPB$ ?

$25\sqrt{3}$
$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
$50\sqrt{3}$
$50$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $25\sqrt{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{APO} &= \tfrac{60^\circ}{2} \\ &= 30^\circ\end{aligned}

O est sur la bissectrice de l'angle des deux tangentes

\begin{aligned}OA &= \tfrac{10}{2} \\ &= 5 \\ \quad PA &= 5\sqrt{3}\end{aligned}

le triangle OAP est rectangle en A, d'angles 30° et 60°

2 \times \tfrac{5 \times 5\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}

les deux triangles OAP et OBP

La bonne réponse : « $25\sqrt{3}$ ». « $50\sqrt{3}$ » oublie le facteur $\frac{1}{2}$ dans l'aire des deux triangles rectangles. « $\frac{25\sqrt{3}}{2}$ » ne compte qu'un des deux triangles $OAP$ et $OBP$ . « $50$ » multiplie $OP$ par le rayon : $OP$ n'est pas perpendiculaire à $OA$ .

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Exercice 4

Le pentagone régulier $ABCDE$ est inscrit dans un cercle, et $P$ est un point du petit arc $AB$ , autre que $A$ et $B$ . Que vaut $\widehat{APB}$ ?

$108^\circ$
$144^\circ$
$72^\circ$
$36^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $144^\circ$

Corrigé :

\tfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ

le petit arc AB

360^\circ - 72^\circ = 288^\circ

P est sur le petit arc : l'angle en P intercepte le grand arc AB

\begin{aligned}\widehat{APB} &= \tfrac{288^\circ}{2} \\ &= 144^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $144^\circ$ ». « $36^\circ$ » prend la moitié de l'arc $AB$ qui contient $P$ ; l'angle inscrit intercepte l'arc qui ne contient pas son sommet. « $108^\circ$ » donne l'angle intérieur du pentagone. « $72^\circ$ » donne l'angle au centre qui intercepte le côté $AB$ .

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Exercice 5

La droite $d$ est tangente en $T$ au cercle de centre $O$ et de rayon $r$ . Une demi-droite issue de $O$ coupe le cercle en $M$ et la droite $d$ en $E$ , avec $ME = \frac{r}{2}$ . Quelle est la distance du point $M$ à la droite $OT$ ?

$\frac{r\sqrt{5}}{2}$
$\frac{2r}{3}$
$\frac{r\sqrt{5}}{3}$
$\frac{r}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{r\sqrt{5}}{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}OE &= r + \tfrac{r}{2} \\ &= \tfrac{3r}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}TE &= \sqrt{\tfrac{9r^2}{4} - r^2} \\ &= \tfrac{r\sqrt{5}}{2}\end{aligned}

la tangente est perpendiculaire au rayon OT : Pythagore

\begin{aligned}\tfrac{MH}{TE} &= \tfrac{OM}{OE} \\ &= \tfrac{2}{3}\end{aligned}

MH et TE sont perpendiculaires à OT, donc parallèles (Thalès)

\begin{aligned}MH &= \tfrac{2}{3} \times \tfrac{r\sqrt{5}}{2} \\ &= \tfrac{r\sqrt{5}}{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{r\sqrt{5}}{3}$ ». « $\frac{r\sqrt{5}}{2}$ » donne $TE$ , sans passer au petit triangle. « $\frac{2r}{3}$ » donne $OH$ , l'autre côté du petit triangle, où $H$ est le projeté de $M$ sur $OT$ . « $\frac{r}{2}$ » recopie la longueur $ME$ , comme si la figure était un carré.

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Exercice 6

Le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$ , avec $AB = AC = 6$ ; le demi-cercle de diamètre $BC$ passe par $A$ . Vers l'extérieur, on trace les demi-cercles de diamètres $AB$ et $AC$ . Quelle est l'aire totale des deux zones grisées, situées dans les petits demi-cercles et hors du grand ?

$18$
$36$
$9$
$0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $18$

Corrigé :

\begin{aligned}BC^2 &= 6^2 + 6^2 \\ &= 72\end{aligned}

Pythagore

2 \times \tfrac{\pi \times 3^2}{2} = 9\pi

les deux petits demi-disques, de rayon 3

\tfrac{\pi \times 72 / 4}{2} = 9\pi

le grand demi-disque, de rayon au carré 72/4 = 18

9\pi + \tfrac{6 \times 6}{2} - 9\pi = 18

zones grisées = petits demi-disques + triangle − grand demi-disque

La bonne réponse : « $18$ ». « $0$ » retranche le grand demi-disque des deux petits et oublie le triangle, qui est sous le grand arc mais hors des petits demi-disques. « $36$ » compte l'aire du triangle sans la diviser par $2$ . « $9$ » ne compte qu'une des deux zones grisées.

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Exercice 7

Le trapèze $ABCD$ , de bases $AB$ et $CD$ , est inscrit dans un cercle. On donne $\widehat{ADB} = 50^\circ$ et $\widehat{ABD} = 25^\circ$ . Que vaut $\widehat{DAC}$ ?

$55^\circ$
$25^\circ$
$80^\circ$
$105^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $80^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{DAB} &= 180^\circ - 50^\circ - 25^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

dans le triangle ABD

\begin{aligned}\widehat{CAB} &= \widehat{DBA} \\ &= 25^\circ\end{aligned}

un trapèze inscrit est isocèle : il est symétrique par rapport à la médiatrice de AB

\begin{aligned}\widehat{DAC} &= 105^\circ - 25^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $80^\circ$ ». « $105^\circ$ » donne l'angle $\widehat{DAB}$ entier, sans retirer $\widehat{CAB}$ . « $25^\circ$ » attribue à l'angle cherché la valeur d'un angle donné. « $55^\circ$ » retire de $\widehat{DAB}$ l'angle de $50^\circ$ , qui n'est pas en $A$ .

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Exercice 8

$A$ , $B$ et $C$ sont trois points du plan, avec $AB = BC = CA = 6$ . Combien de points $P$ du plan vérifient $PA = PB = PC = 6$ ?

Deux
Aucun
Une infinité
Un seul

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B Aucun

Corrigé :

\begin{aligned}PA &= PB \\ &= PC\end{aligned}

P est le centre du cercle qui passe par A, B et C — un seul point possible

\tfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46

ce centre est à cette distance des sommets

2\sqrt{3} \neq 6

aucun point ne convient

La bonne réponse : « Aucun ». « Un seul » pense au centre du triangle ; il est à égale distance des trois sommets, mais à $2\sqrt{3}$ d'eux, pas à $6$ . « Deux » pense à l'espace, où deux points conviennent, de part et d'autre du plan ; ici on reste dans le plan. « Une infinité » imagine les points d'un cercle plus grand ; mais un point à égale distance de $A$ , $B$ et $C$ est le centre du cercle qui passe par eux.

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Exercice 9

$A$ , $B$ et $C$ sont trois points d'un cercle de centre $O$ , avec $AB = AC$ et $\widehat{BAC} = x$ , où $x < 90^\circ$ . Exprimez $\widehat{ABO}$ en fonction de $x$ .

$\frac{x}{2}$
$90^\circ - \frac{x}{2}$
$2x$
$90^\circ - x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{x}{2}$

Corrigé :

\widehat{BOC} = 2x

l'angle au centre est le double de l'angle inscrit

\begin{aligned}\widehat{OBC} &= \tfrac{180^\circ - 2x}{2} \\ &= 90^\circ - x\end{aligned}

le triangle OBC est isocèle (deux rayons)

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \tfrac{180^\circ - x}{2} \\ &= 90^\circ - \tfrac{x}{2}\end{aligned}

le triangle ABC est isocèle (AB = AC)

\begin{aligned}\widehat{ABO} &= \left(90^\circ - \tfrac{x}{2}\right) - (90^\circ - x) \\ &= \tfrac{x}{2}\end{aligned}

la différence des deux angles de base

La bonne réponse : « $\frac{x}{2}$ ». « $90^\circ - x$ » s'arrête à l'angle de base $\widehat{OBC}$ du triangle isocèle $OBC$ . « $90^\circ - \frac{x}{2}$ » donne l'angle $\widehat{ABC}$ entier du triangle $ABC$ . « $2x$ » donne l'angle au centre $\widehat{BOC}$ .

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Exercice 10

Les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont, dans cet ordre, sur un cercle. On pose $X = \widehat{ABD} + \widehat{ACB}$ , $Y = \widehat{ACD} + \widehat{ADB}$ et $Z = \widehat{BAC} + \widehat{CBD}$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

Aucune de ces affirmations n'est nécessairement vraie
$X = Y$
$X = Z$
$X > Z$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $X = Y$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ABD} &= \widehat{ACD} \\ \quad \widehat{ACB} &= \widehat{ADB}\end{aligned}

deux angles inscrits qui interceptent le même arc (AD, puis AB) sont égaux : X = Y

\begin{aligned}X &= 180^\circ - \widehat{BAD} \\ \quad Z &= 180^\circ - \widehat{BCD}\end{aligned}

dans les triangles ABD et BCD, car BAC = BDC

X - Z = \widehat{BCD} - \widehat{BAD}

rien ne compare ces deux angles opposés : X peut être plus grand que Z, égal ou plus petit

La bonne réponse : « $X = Y$ ». « $X = Z$ » généralise l'égalité $X = Y$ ; $Z$ ne partage aucun arc avec $X$ . « $X > Z$ » lit la figure, où $X$ a l'air plus grand ; la figure ne fixe pas les arcs. « Aucune de ces affirmations n'est nécessairement vraie » ne voit pas que $X$ et $Y$ sont faits de deux paires d'angles inscrits qui interceptent les mêmes arcs.

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Exercices

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