Série 4 — Ce qui ne dépend pas de la figure · Cercle, disque · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

À ce niveau, la figure cache une égalité qu'on ne lit pas : deux tangentes égales, deux rayons qui font un losange, un chemin dont la forme ne change pas la longueur. Avant de cocher « on ne peut pas le savoir », cherchez la quantité qui ne dépend pas de ce qui reste libre.

Exercices

Exercice 1

Une croix est formée de cinq carrés de côté $3$ : un carré central et quatre carrés collés à ses côtés. Un cercle passe par les quatre sommets du carré central. Quelle est l'aire de la partie grisée de la croix, hors du disque ?

$45 - 9\pi$
$45 - \frac{9\pi}{4}$
$36 - \frac{9\pi}{2}$
$45 - \frac{9\pi}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $45 - \frac{9\pi}{2}$

Corrigé :

5 \times 3^2 = 45

l'aire de la croix

\begin{aligned}R^2 &= \left(\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 \\ &= \tfrac{9}{2}\end{aligned}

la diagonale du carré central est un diamètre

45 - \tfrac{9\pi}{2}

le disque entier est dans la croix : ses parties hors du carré central restent dans les bras

La bonne réponse : « $45 - \frac{9\pi}{2}$ ». « $45 - \frac{9\pi}{4}$ » prend le côté du carré pour le diamètre : le diamètre est la diagonale. « $45 - 9\pi$ » prend le côté du carré pour le rayon. « $36 - \frac{9\pi}{2}$ » oublie le carré central dans l'aire de la croix.

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Exercice 2

D'un point $P$ , on mène deux tangentes $PA$ et $PB$ au cercle de centre $O$ ; elles sont perpendiculaires, et $OP = 6\sqrt{2}$ . La zone grisée est limitée par les segments $PA$ et $PB$ et par le grand arc $AB$ . Quelle est son aire ?

$36 + 27\pi$
$36 + 9\pi$
$36 + 36\pi$
$72 + 54\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $36 + 27\pi$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{OAP} &= \widehat{OBP} \\ &= \widehat{APB} \\ &= 90^\circ \\ \; OA &= OB\end{aligned}

les rayons aux points de contact sont perpendiculaires aux tangentes : OAPB est un carré

\begin{aligned}r &= \tfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= 6\end{aligned}

OP est la diagonale du carré de côté r

6^2 + \tfrac{3}{4}\pi \times 6^2 = 36 + 27\pi

le carré, plus les trois quarts du disque situés hors du carré

La bonne réponse : « $36 + 27\pi$ ». « $36 + 36\pi$ » ajoute le disque entier au carré $OAPB$ : le quart de disque compris dans le carré est alors compté deux fois. « $72 + 54\pi$ » prend $OP = 6\sqrt{2}$ pour le rayon ; c'est la diagonale du carré $OAPB$ . « $36 + 9\pi$ » ajoute au carré un quart de disque au lieu des trois quarts qui sont hors du carré.

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Exercice 3

Un hexagone régulier est circonscrit à un cercle de rayon $r$ : ses six côtés sont tangents au cercle. Quelle est la longueur d'un côté de l'hexagone ?

$r$
$\frac{2r\sqrt{3}}{3}$
$2r$
$\frac{r\sqrt{3}}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{2r\sqrt{3}}{3}$

Corrigé :

r = \tfrac{a\sqrt{3}}{2}

l'hexagone se découpe en six triangles équilatéraux de côté a, dont la hauteur est le rayon inscrit

\begin{aligned}a &= \tfrac{2r}{\sqrt{3}} \\ &= \tfrac{2r\sqrt{3}}{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{2r\sqrt{3}}{3}$ ». « $r$ » prend le cercle inscrit pour le cercle circonscrit, dont le rayon égale le côté. « $\frac{r\sqrt{3}}{2}$ » multiplie par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ au lieu de diviser : c'est la hauteur d'un triangle équilatéral de côté $r$ . « $2r$ » prend le diamètre du cercle pour le côté.

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Exercice 4

Deux coureurs partent ensemble d'un point $A$ d'une piste circulaire de rayon $30$ m et courent dans le même sens, l'un à $7$ m/s, l'autre à $4$ m/s. Après combien de secondes se trouvent-ils pour la première fois aux deux extrémités d'un même diamètre ?

$10\pi$
$\frac{30\pi}{11}$
$20\pi$
$20$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $10\pi$

Corrigé :

\tfrac{2\pi \times 30}{2} = 30\pi

ils sont diamétralement opposés quand le plus rapide a un demi-tour d'avance

7 - 4 = 3

dans le même sens, l'avance grandit de 3 m par seconde

\tfrac{30\pi}{3} = 10\pi

La bonne réponse : « $10\pi$ ». « $20\pi$ » attend que le plus rapide ait un tour d'avance : c'est le moment où il rattrape l'autre. « $\frac{30\pi}{11}$ » additionne les vitesses, comme s'ils couraient en sens opposés. « $20$ » divise le diamètre, $60$ m, par l'écart des vitesses : les coureurs suivent la piste, pas le diamètre.

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Exercice 5

La droite $d$ est tangente en $A$ au cercle de centre $O$ . La corde $AB$ fait avec $d$ l'angle de $70^\circ$ marqué sur la figure, et $C$ est un point de l'arc $AB$ situé dans cet angle. Que vaut $\widehat{ACB}$ ?

$110^\circ$
$70^\circ$
$35^\circ$
$140^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $110^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{OAB} &= 90^\circ - 70^\circ \\ &= 20^\circ\end{aligned}

le rayon OA est perpendiculaire à la tangente

\begin{aligned}\widehat{AOB} &= 180^\circ - 2 \times 20^\circ \\ &= 140^\circ\end{aligned}

le triangle OAB est isocèle

\begin{aligned}\widehat{ACB} &= \tfrac{360^\circ - 140^\circ}{2} \\ &= 110^\circ\end{aligned}

C est sur le petit arc : l'angle intercepte le grand arc AB, de 220°

La bonne réponse : « $110^\circ$ ». « $70^\circ$ » lit l'angle inscrit sur le mauvais arc : un point de l'arc compris dans l'angle regarde l'autre arc. « $140^\circ$ » donne l'angle au centre $\widehat{AOB}$ . « $35^\circ$ » prend l'angle de $70^\circ$ pour un angle au centre et le divise par $2$ .

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Exercice 6

Dans un rectangle $ABCD$ , $AB = 11$ et $AD = 9$ . Un cercle de rayon $3$ est tangent aux côtés $AB$ et $AD$ . Quelle est la plus courte distance entre le sommet $C$ et un point du cercle ?

$\sqrt{145} - 3$
$10$
$\sqrt{202} - 3$
$7$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $7$

Corrigé :

O = (3, 3)

à un rayon de AB et de AD, A étant l'origine

\begin{aligned}11 - 3 &= 8 \\ \quad 9 - 3 &= 6\end{aligned}

les écarts jusqu'à C(11, 9)

\begin{aligned}OC &= \sqrt{8^2 + 6^2} \\ &= 10\end{aligned}

Pythagore

10 - 3 = 7

le point du cercle le plus proche de C est sur le segment OC

La bonne réponse : « $7$ ». « $10$ » donne la distance de $C$ au centre, sans retrancher le rayon. « $\sqrt{145} - 3$ » place le centre sur le côté $AB$ , comme s'il n'était tangent qu'à $AD$ : écarts de $8$ et $9$ . « $\sqrt{202} - 3$ » mesure depuis le sommet $A$ , comme si le centre y était.

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Exercice 7

Deux cercles de même rayon sont tangents extérieurement en $T$ . Deux droites perpendiculaires passent par $T$ : la première recoupe les cercles en $A$ et en $B$ , la seconde en $C$ et en $D$ , où $A$ et $C$ sont sur le premier cercle. On donne $AB = 16$ et $CD = 12$ . Quel est le rayon des cercles ?

On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$4$
$10$
$5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $5$

Corrigé :

\begin{aligned}TA &= TB \\ &= \tfrac{16}{2} \\ &= 8 \\ \quad TC &= TD \\ &= \tfrac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

la symétrie de centre T échange les deux cercles : T est le milieu des deux cordes

\widehat{ATC} = 90^\circ

un angle droit inscrit dans le premier cercle : AC est un diamètre

\begin{aligned}AC &= \sqrt{8^2 + 6^2} \\ &= 10 \;\Rightarrow\; r \\ &= 5\end{aligned}

La bonne réponse : « $5$ ». « $10$ » prend $AC$ , le diamètre, pour le rayon. « $4$ » croit que la corde $TA$ passe par le centre et la prend pour un diamètre. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » ne voit pas l'angle droit inscrit : il fait de $AC$ un diamètre.

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Exercice 8

$A$ et $B$ sont deux points d'un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ , avec $\widehat{AOB} = 90^\circ$ . Un chemin relie $A$ à $B$ à l'intérieur du quart de disque : comme sur la figure, il n'est fait que de segments parallèles à $OA$ ou à $OB$ , et il ne revient jamais en arrière. Le nombre et la taille de ses marches ne sont pas connus. Quel est le rapport entre la longueur de l'arc $AB$ et celle du chemin ?

$\frac{\pi}{4}$
$\frac{\pi}{2}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$\frac{\pi\sqrt{2}}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{\pi}{4}$

Corrigé :

r + r = 2r

les segments parallèles à OA mesurent r en tout, ceux parallèles à OB aussi

\tfrac{2\pi r}{4} = \tfrac{\pi r}{2}

l'arc d'un angle au centre de 90° est un quart du périmètre

\tfrac{\pi r / 2}{2r} = \tfrac{\pi}{4}

La bonne réponse : « $\frac{\pi}{4}$ ». « $\frac{\pi}{2}$ » prend la longueur du chemin égale au rayon $r$ au lieu de $2r$ . « $\frac{\pi\sqrt{2}}{4}$ » compare l'arc à la corde $AB = r\sqrt{2}$ , et non au chemin. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit que la longueur du chemin dépend de ses marches ; les segments horizontaux font toujours $r$ au total, les verticaux aussi.

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Exercice 9

$A$ et $B$ sont deux sommets voisins d'un polygone régulier à $10$ côtés, et $P$ est un autre sommet de ce polygone. Que vaut $\widehat{APB}$ ?

$36^\circ$
$72^\circ$
$144^\circ$
$18^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $18^\circ$

Corrigé :

\tfrac{360^\circ}{10} = 36^\circ

le polygone est inscrit dans un cercle ; chaque côté est vu du centre sous 36°

\begin{aligned}\widehat{APB} &= \tfrac{36^\circ}{2} \\ &= 18^\circ\end{aligned}

un angle inscrit qui intercepte le petit arc AB, quel que soit le sommet P

La bonne réponse : « $18^\circ$ ». « $36^\circ$ » donne l'angle au centre qui intercepte le côté $AB$ , sans le diviser par $2$ . « $144^\circ$ » calcule l'angle intérieur du polygone. « $72^\circ$ » donne un angle de base du triangle isocèle formé par le centre et le côté $AB$ .

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Exercice 10

Le trapèze $ABCD$ , de bases $AB$ et $CD$ , est inscrit dans un cercle. Sa diagonale $AC$ fait les angles $\widehat{ACD} = 35^\circ$ et $\widehat{DAC} = 40^\circ$ . Que vaut $\widehat{ABC}$ ?

$35^\circ$
$105^\circ$
$80^\circ$
$75^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $75^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{CAB} &= \widehat{ACD} \\ &= 35^\circ\end{aligned}

angles alternes : AB est parallèle à CD

\begin{aligned}\widehat{DAB} &= 40^\circ + 35^\circ \\ &= 75^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \widehat{DAB} \\ &= 75^\circ\end{aligned}

un trapèze inscrit est isocèle : ses angles à la même base sont égaux

La bonne réponse : « $75^\circ$ ». « $105^\circ$ » est l'angle $\widehat{ADC}$ : dans le trapèze, il est le supplément de $\widehat{ABC}$ , et non son égal. « $35^\circ$ » attribue à l'angle cherché la valeur de l'angle donné. « $80^\circ$ » croit que la diagonale $AC$ partage l'angle $A$ en deux angles égaux.

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Exercices

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