Série 3 — Aires grisées et premières questions dures · Cercle, disque · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Une aire grisée s'écrit en pièces : disque, secteur, triangle, carré. Nommez les pièces avant d'écrire un calcul, et comptez combien de fois chacune entre ou sort. Et un rapport d'aires se ramène à un rapport de rayons par une racine.

Exercices

Exercice 1

Un disque de rayon $r$ est tangent aux deux côtés d'un angle droit. La zone grisée réunit le disque et le coin compris entre le disque et le sommet de l'angle. Quelle est son aire ?

$r^2 + \pi r^2$
$r^2 + \frac{3\pi r^2}{4}$
$2r^2 + \frac{3\pi r^2}{4}$
$r^2 - \frac{\pi r^2}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $r^2 + \frac{3\pi r^2}{4}$

Corrigé :

r^2 - \tfrac{\pi r^2}{4}

le coin : le carré de côté r (sommet, deux points de contact, centre) moins un quart de disque

\pi r^2 + r^2 - \tfrac{\pi r^2}{4} = r^2 + \tfrac{3\pi r^2}{4}

on ajoute le disque entier

La bonne réponse : « $r^2 + \frac{3\pi r^2}{4}$ ». « $r^2 + \pi r^2$ » ajoute le carré du coin sans retrancher le quart de disque qu'il partage avec le disque. « $r^2 - \frac{\pi r^2}{4}$ » ne garde que le coin et oublie le disque. « $2r^2 + \frac{3\pi r^2}{4}$ » compte deux fois le carré de côté $r$ .

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Exercice 2

Dans un carré $ABCD$ de côté $8$ , un cercle de centre $O$ et de rayon $3$ est tangent aux côtés $AB$ et $AD$ . Quelle est la distance $OC$ ?

$5\sqrt{2}$
$8\sqrt{2} - 3$
$5$
$\sqrt{89}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $5\sqrt{2}$

Corrigé :

O = (3, 3)

à un rayon de chacun des deux côtés tangents, A étant l'origine

8 - 3 = 5

les écarts horizontal et vertical jusqu'à C(8, 8)

\begin{aligned}OC &= \sqrt{5^2 + 5^2} \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

Pythagore

La bonne réponse : « $5\sqrt{2}$ ». « $8\sqrt{2} - 3$ » retire le rayon le long de la diagonale : le centre est à $3\sqrt{2}$ de $A$ , pas à $3$ . « $\sqrt{89}$ » place le centre sur le côté $AB$ , comme s'il n'était tangent qu'à $AD$ : écarts de $5$ et $8$ . « $5$ » ne garde que l'écart horizontal entre $O$ et $C$ .

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Exercice 3

D'un disque de rayon $R$ , on découpe un disque de même centre. La couronne qui reste a une aire égale aux $\frac{5}{9}$ de celle du disque de départ. La figure n'est pas à l'échelle. Quel est le rayon du disque découpé ?

$\frac{4R}{9}$
$\frac{\sqrt{5}\,R}{3}$
$\frac{2R}{3}$
$\frac{5R}{9}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{2R}{3}$

Corrigé :

1 - \tfrac{5}{9} = \tfrac{4}{9}

la part retirée

\pi r^2 = \tfrac{4}{9}\pi R^2

\begin{aligned}r &= \sqrt{\tfrac{4}{9}}\,R \\ &= \tfrac{2R}{3}\end{aligned}

le rapport des rayons est la racine du rapport des aires

La bonne réponse : « $\frac{2R}{3}$ ». « $\frac{\sqrt{5}\,R}{3}$ » applique la part restante, $\frac{5}{9}$ , au disque découpé. « $\frac{4R}{9}$ » oublie la racine : le rapport des rayons est la racine du rapport des aires. « $\frac{5R}{9}$ » applique la part restante aux rayons, sans racine.

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Exercice 4

Le quadrilatère $ABCD$ est circonscrit à un cercle de rayon $5$ : ses quatre côtés sont tangents au cercle. On donne $AB = 9$ et $CD = 13$ . Quelle est l'aire du quadrilatère ?

$55$
$110$
$220$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $110$

Corrigé :

\begin{aligned}AB + CD &= 9 + 13 \\ &= 22\end{aligned}

la somme de deux côtés opposés

\begin{aligned}AD + BC &= AB + CD \\ &= 22\end{aligned}

chaque sommet émet deux tangentes égales : les deux sommes de côtés opposés contiennent les mêmes huit segments

\begin{aligned}\text{périmètre} &= 2 \times 22 \\ &= 44\end{aligned}

\tfrac{44 \times 5}{2} = 110

le centre découpe le quadrilatère en quatre triangles de hauteur le rayon

La bonne réponse : « $110$ ». « $55$ » prend $AB + CD = 22$ pour le périmètre entier ; c'est le demi-périmètre. « $220$ » multiplie le périmètre par le rayon sans diviser par $2$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut $AD$ et $BC$ ; les tangentes égales donnent leur somme, et la somme suffit.

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Exercice 5

Dans un cercle de rayon $18$ , l'angle inscrit $\widehat{ACB}$ vaut $25^\circ$ . Quelle est la longueur de l'arc $AB$ qui ne contient pas $C$ ?

$5\pi$
$10\pi$
$\frac{5\pi}{2}$
$45\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $5\pi$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{AOB} &= 2 \times 25^\circ \\ &= 50^\circ\end{aligned}

l'angle au centre est le double de l'angle inscrit

2\pi \times 18 \times \tfrac{50}{360} = 5\pi

La bonne réponse : « $5\pi$ ». « $\frac{5\pi}{2}$ » prend l'angle inscrit pour l'angle au centre, sans le doubler. « $10\pi$ » prend le diamètre, $36$ , pour le rayon. « $45\pi$ » calcule l'aire du secteur, $\pi \times 18^2 \times \frac{50}{360}$ , au lieu de la longueur de l'arc.

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Exercice 6

Un carré est inscrit dans un cercle de rayon $4$ . Parmi les quatre zones comprises entre le cercle et le carré, deux zones opposées sont grisées. Quelle est l'aire grisée totale ?

$4\pi - 8$
$8\pi$
$8\pi - 16$
$16\pi - 32$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $8\pi - 16$

Corrigé :

\tfrac{\pi \times 4^2}{4} = 4\pi

le quart de disque entre deux rayons perpendiculaires

\tfrac{4 \times 4}{2} = 8

le triangle rectangle isocèle formé par ces deux rayons

2(4\pi - 8) = 8\pi - 16

deux segments

La bonne réponse : « $8\pi - 16$ ». « $4\pi - 8$ » ne compte qu'une des deux zones grisées. « $16\pi - 32$ » compte les quatre zones, alors que deux seulement sont grisées. « $8\pi$ » additionne deux quarts de disque sans retrancher les triangles.

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Exercice 7

Un cercle a pour centre $M(-5, 12)$ et passe par l'origine $O$ . Quelle est la plus petite abscisse d'un point de ce cercle ?

$-18$
$-17$
$-13$
$-10$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $-18$

Corrigé :

\begin{aligned}r &= MO \\ &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

le rayon est la distance du centre à l'origine

-5 - 13 = -18

le point le plus à gauche a la même ordonnée que le centre, à un rayon de lui

La bonne réponse : « $-18$ ». « $-17$ » prend l'ordonnée du centre, $12$ , pour le rayon. « $-10$ » prend la valeur absolue de l'abscisse du centre, $5$ , pour le rayon. « $-13$ » donne l'opposé du rayon, sans partir de l'abscisse du centre.

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Exercice 8

Deux droites parallèles sont tangentes à un cercle de centre $O$ . Une troisième tangente au cercle les coupe en $P$ et en $Q$ , et fait en $P$ un angle de $64^\circ$ avec la première, du côté du cercle. Que vaut $\widehat{POQ}$ ?

$64^\circ$
$90^\circ$
$58^\circ$
$116^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $90^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{OPQ} &= \tfrac{64^\circ}{2} \\ &= 32^\circ\end{aligned}

O est sur la bissectrice de l'angle des deux tangentes issues de P

\begin{aligned}\widehat{OQP} &= \tfrac{180^\circ - 64^\circ}{2} \\ &= 58^\circ\end{aligned}

de même en Q, où l'angle vaut 116° (même côté, entre parallèles)

\begin{aligned}\widehat{POQ} &= 180^\circ - 32^\circ - 58^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

le résultat ne dépend pas de l'angle donné

La bonne réponse : « $90^\circ$ ». « $64^\circ$ » recopie l'angle donné. « $116^\circ$ » donne l'angle entier en $Q$ , $180^\circ - 64^\circ$ . « $58^\circ$ » ne garde que la moitié de l'angle en $Q$ , et oublie celle de l'angle en $P$ .

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Exercice 9

$AB$ est un diamètre d'un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ . $C$ est un point du cercle, et son projeté sur $AB$ est le point $H$ du segment $OB$ tel que $OH = \frac{3r}{5}$ . La demi-droite $[OC)$ coupe la tangente au cercle en $B$ au point $E$ . Que vaut $BE$ ?

$\frac{4r}{3}$
$r$
$\frac{4r}{5}$
$\frac{5r}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{4r}{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}CH &= \sqrt{r^2 - \tfrac{9r^2}{25}} \\ &= \tfrac{4r}{5}\end{aligned}

Pythagore dans le triangle OHC

CH \parallel BE

toutes deux perpendiculaires à AB : la tangente est perpendiculaire au rayon OB

\begin{aligned}\tfrac{BE}{CH} &= \tfrac{OB}{OH} \\ &= \tfrac{5}{3}\end{aligned}

les triangles OHC et OBE sont semblables (Thalès)

\begin{aligned}BE &= \tfrac{5}{3} \times \tfrac{4r}{5} \\ &= \tfrac{4r}{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{4r}{3}$ ». « $\frac{4r}{5}$ » est la longueur $CH$ : elle ne donne $BE$ qu'après l'agrandissement de rapport $\frac{OB}{OH}$ . « $r$ » estime $BE$ sur le dessin, égal au rayon. « $\frac{5r}{3}$ » donne $OE$ , l'hypoténuse du grand triangle, au lieu du côté $BE$ .

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Exercice 10

Le segment $AB$ mesure $12$ . D'un même côté de $AB$ , on trace une ligne faite de demi-cercles dont les diamètres, posés bout à bout, recouvrent exactement $AB$ . Le nombre de demi-cercles et leurs tailles ne sont pas connus. Quelle est la longueur de la ligne ?

$6\pi$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$12\pi$
$12$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $6\pi$

Corrigé :

\tfrac{\pi d_1}{2} + \tfrac{\pi d_2}{2} + \dots = \tfrac{\pi}{2}(d_1 + d_2 + \dots)

un demi-cercle de diamètre d mesure πd/2

d_1 + d_2 + \dots = 12

les diamètres recouvrent AB

\tfrac{\pi}{2} \times 12 = 6\pi

la même longueur que le demi-cercle de diamètre AB, quel que soit le découpage

La bonne réponse : « $6\pi$ ». « $12\pi$ » prend $\pi d$ , le périmètre d'un cercle entier, pour chaque demi-cercle. « $12$ » croit que la ligne a la longueur de ce qu'elle recouvre, le segment $AB$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit que la longueur dépend du nombre et de la taille des demi-cercles ; elle n'en dépend pas.

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Exercices

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