Série 2 — Tracer ce qui manque · Cercle, disque · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Avant de calculer, tracez ce qui manque : les rayons vers les points nommés, le rayon au point de contact d'une tangente, la diagonale d'un carré inscrit. Le triangle rectangle, isocèle ou équilatéral qui apparaît fait presque tout le travail.

Exercices

Exercice 1

Quatre rayons partagent un disque en quatre secteurs. L'un a un angle au centre droit ; les trois autres ont pour angles au centre $x$ , $3x$ et $x + 20^\circ$ . La figure n'est pas à l'échelle. Quelle fraction du disque le secteur d'angle $3x$ occupe-t-il ?

$\frac{5}{12}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{17}{30}$
$\frac{5}{9}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{5}{12}$

Corrigé :

90 + x + 3x + (x + 20) = 360

les angles au centre font un tour

\begin{aligned}5x &= 250 \;\Rightarrow\; x \\ &= 50\end{aligned}

\begin{aligned}\tfrac{3x}{360} &= \tfrac{150}{360} \\ &= \tfrac{5}{12}\end{aligned}

un secteur est la fraction angle/360 du disque

La bonne réponse : « $\frac{5}{12}$ ». « $\frac{17}{30}$ » oublie l'angle droit dans le tour : $5x + 20 = 360$ donne $x = 68$ , puis $\frac{204}{360}$ . « $\frac{5}{9}$ » divise $150^\circ$ par $270^\circ$ , la part du disque hors du secteur droit, au lieu du tour entier. « $\frac{3}{5}$ » compare $3x$ à $x + 3x + x$ seulement, comme si le disque se réduisait aux secteurs d'angle inconnu.

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Exercice 2

Un rectangle de côtés $a$ et $3a$ est inscrit dans un cercle. Quelle est l'aire du disque ?

$10\pi a^2$
$4\pi a^2$
$\frac{5\pi a^2}{2}$
$5\pi a^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{5\pi a^2}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}d^2 &= a^2 + (3a)^2 \\ &= 10a^2\end{aligned}

la diagonale, par Pythagore

\begin{aligned}r^2 &= \tfrac{d^2}{4} \\ &= \tfrac{5a^2}{2}\end{aligned}

chaque angle droit est inscrit dans un demi-cercle : la diagonale est un diamètre

\pi r^2 = \tfrac{5\pi a^2}{2}

La bonne réponse : « $\frac{5\pi a^2}{2}$ ». « $10\pi a^2$ » prend la diagonale du rectangle pour le rayon : elle est le diamètre. « $4\pi a^2$ » élève au carré la somme des côtés, $(a + 3a)^2 = 16a^2$ , au lieu d'additionner leurs carrés. « $5\pi a^2$ » divise le carré du diamètre par $2$ au lieu de $4$ .

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Exercice 3

Un carré de côté $4$ est inscrit dans un cercle. Sur chacun de ses quatre côtés, on construit vers l'extérieur un carré de côté $4$ . La zone grisée est formée des quatre carrés extérieurs, privés des parties du disque qui y pénètrent. Quelle est son aire ?

$80 - 16\pi$
$64 - 8\pi$
$68 - 2\pi$
$80 - 8\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $80 - 8\pi$

Corrigé :

\begin{aligned}R &= \tfrac{4\sqrt{2}}{2} \;\Rightarrow\; R^2 \\ &= 8\end{aligned}

la diagonale du carré inscrit est un diamètre

8\pi - 16

le disque moins le carré central : les quatre parties qui dépassent

4 \times 16 - (8\pi - 16) = 80 - 8\pi

les quatre carrés extérieurs moins ces parties

La bonne réponse : « $80 - 8\pi$ ». « $64 - 8\pi$ » retranche le disque entier, alors que seules ses quatre parties hors du carré central pénètrent dans les carrés extérieurs. « $80 - 16\pi$ » prend le côté du carré pour le rayon : le rayon est la moitié de la diagonale. « $68 - 2\pi$ » ne retranche qu'une seule des quatre parties du disque.

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Exercice 4

$ABCD$ est un carré de côté $6$ . On trace dans le carré deux quarts de cercle de rayon $6$ , l'un de centre $A$ , l'autre de centre $C$ ; tous deux vont de $B$ à $D$ . Quelle est l'aire de la zone grisée, comprise entre les deux arcs ?

$18\pi - 36$
$9\pi - 18$
$36 - 9\pi$
$18\pi - 18$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $18\pi - 36$

Corrigé :

\tfrac{\pi \times 6^2}{4} = 9\pi

un quart de disque

\tfrac{6 \times 6}{2} = 18

le triangle rectangle isocèle ABD, de mêmes rayons

2(9\pi - 18) = 18\pi - 36

chaque moitié de la zone est un segment : quart de disque moins triangle

La bonne réponse : « $18\pi - 36$ ». « $9\pi - 18$ » ne compte qu'une des deux zones : la diagonale $BD$ coupe la zone grisée en deux segments égaux. « $36 - 9\pi$ » calcule le coin hors d'un quart de disque, carré moins quart, et non le segment. « $18\pi - 18$ » ne retranche le triangle qu'une fois, pour deux quarts de disque.

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Exercice 5

Un cercle a pour centre $M(6, 8)$ et passe par l'origine $O$ . Le point $P$ du cercle a la même ordonnée que $M$ et se trouve à droite de $M$ . La figure n'est pas à l'échelle. Quelle est l'abscisse de $P$ ?

$10$
$16$
$12$
$14$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $16$

Corrigé :

\begin{aligned}r &= MO \\ &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

le rayon est la distance du centre à un point du cercle, ici l'origine

\begin{aligned}x_P &= 6 + 10 \\ &= 16\end{aligned}

un point à la même ordonnée que le centre est à un rayon, horizontalement

La bonne réponse : « $16$ ». « $14$ » prend l'ordonnée du centre, $8$ , pour le rayon. « $12$ » prend l'abscisse du centre, $6$ , pour le rayon. « $10$ » donne le rayon, sans l'ajouter à l'abscisse du centre.

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Exercice 6

Les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles, et toutes deux tangentes au cercle de centre $O$ . Une troisième tangente au cercle coupe $d_1$ en $P$ et $d_2$ en $Q$ ; en $P$ , l'angle qu'elle fait avec $d_1$ , du côté du cercle, vaut $70^\circ$ . Que vaut $\widehat{OQP}$ ?

$35^\circ$
$110^\circ$
$70^\circ$
$55^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $55^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{Q} &= 180^\circ - 70^\circ \\ &= 110^\circ\end{aligned}

angles du même côté de la sécante, entre deux parallèles

\begin{aligned}\widehat{OQP} &= \tfrac{110^\circ}{2} \\ &= 55^\circ\end{aligned}

le centre est sur la bissectrice de l'angle de deux tangentes issues d'un même point

La bonne réponse : « $55^\circ$ ». « $110^\circ$ » est l'angle entier en $Q$ : $O$ est sur sa bissectrice, il faut en prendre la moitié. « $35^\circ$ » est l'angle $\widehat{OPQ}$ , la moitié de l'angle en $P$ , et non celui en $Q$ . « $70^\circ$ » transporte l'angle par les parallèles comme des angles alternes ; ici ils sont du même côté de la sécante, donc supplémentaires.

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Exercice 7

$O$ est le centre d'un cercle, et $A$ , $B$ , $C$ sont trois points de ce cercle tels que $OABC$ soit un parallélogramme. Que vaut $\widehat{OAB}$ ?

On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$90^\circ$
$120^\circ$
$60^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $60^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}OA &= OC \\ &= r \;\Rightarrow\; AB \\ &= OC \\ &= r\end{aligned}

deux côtés consécutifs sont des rayons : c'est un losange de côté r

OB = r

B est aussi sur le cercle

\begin{aligned}OA &= AB \\ &= OB\end{aligned}

le triangle OAB est équilatéral

\widehat{OAB} = 60^\circ

La bonne réponse : « $60^\circ$ ». « $120^\circ$ » est l'angle en $O$ du parallélogramme, et non l'angle en $A$ . « $90^\circ$ » prend le losange pour un carré : sa diagonale $OB$ est un rayon, donc aussi longue que ses côtés. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit que les points, placés librement, donnent une infinité d'angles : la seule contrainte $OB = OA = AB$ fixe tout.

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Exercice 8

Un hexagone régulier a des côtés de longueur $a$ . Quelle est l'aire du disque inscrit dans cet hexagone ?

$\frac{3\pi a^2}{4}$
$\frac{\pi a^2}{4}$
$\pi a^2$
$\frac{3\pi a^2}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{3\pi a^2}{4}$

Corrigé :

r = \tfrac{a\sqrt{3}}{2}

l'hexagone se découpe en six triangles équilatéraux de côté a ; le rayon inscrit est leur hauteur

\pi r^2 = \tfrac{3\pi a^2}{4}

La bonne réponse : « $\frac{3\pi a^2}{4}$ ». « $\pi a^2$ » prend le rayon du cercle circonscrit, égal au côté, pour celui du cercle inscrit. « $\frac{\pi a^2}{4}$ » prend la moitié du côté pour le rayon. « $\frac{3\pi a^2}{2}$ » élève mal la hauteur au carré : $\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}$ , et non $\frac{3a^2}{2}$ .

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Exercice 9

Dan et Yael partent ensemble du point $A$ d'un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ . Dan marche le long du cercle ; Yael marche en ligne droite le long du diamètre issu de $A$ . Quand chacun a parcouru une distance égale à $r$ , quelle est la distance entre eux ?

On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$r\sqrt{2}$
$r$
$2r$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $r$

Corrigé :

AO = r

Yael a parcouru la moitié du diamètre : elle est au centre O

OD = r

Dan est sur le cercle, donc à un rayon du centre, où qu'il soit

La bonne réponse : « $r$ ». « $2r$ » place Yael au bout du diamètre ; elle n'en a parcouru que la moitié. « $r\sqrt{2}$ » place Dan au quart du cercle et mesure une corde depuis $A$ , comme si Yael n'avait pas bougé. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » cherche la corde de l'arc parcouru par Dan, qu'on ne sait pas calculer ; on n'en a pas besoin.

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Exercice 10

Deux coureurs partent ensemble du point $A$ d'une piste circulaire de rayon $45$ m et courent en sens opposés, l'un à $3$ m/s, l'autre à $2$ m/s. Quelle distance le plus rapide a-t-il parcourue quand ils se trouvent pour la première fois aux deux extrémités d'un même diamètre ?

$18\pi$ m
$54\pi$ m
$54$ m
$27\pi$ m

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $27\pi$ m

Corrigé :

\tfrac{2\pi \times 45}{2} = 45\pi

ils sont diamétralement opposés quand leurs deux distances font un demi-tour

\tfrac{3}{3 + 2} \times 45\pi = 27\pi

la distance se partage selon le rapport des vitesses

La bonne réponse : « $27\pi$ m ». « $54\pi$ m » attend que la somme des distances fasse un tour complet : c'est le moment où ils se croisent. « $18\pi$ m » donne au plus rapide la part du plus lent, $\frac{2}{5}$ . « $54$ m » partage le diamètre, $90$ m, au lieu du demi-cercle : les coureurs suivent la piste.

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Exercices

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