Série 1 — Les gestes de base · Cercle, disque · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre avant de continuer.

Quelle que soit la donnée — un diamètre, une arête, un périmètre —, ramenez-la d'abord au rayon, et laissez $\pi$ en symbole. Puis relisez la question : le contour d'un secteur compte ses deux rayons, une aire suit le carré du rayon, un angle inscrit vaut la moitié de son arc.

Exercices

Exercice 1

Le cercle de centre $M(-1, 2)$ a pour rayon $2$ . Lequel des points suivants est sur ce cercle ?

$(1, 4)$
$(-1, 0)$
$(0, 1)$
$(3, 2)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(-1, 0)$

Corrigé :

(-1, 0) - (-1, 2) = (0, -2)

un écart vertical de 2, horizontal nul

\sqrt{0^2 + 2^2} = 2

la distance au centre vaut le rayon

La bonne réponse : « $(-1, 0)$ ». Un point est sur le cercle quand sa distance au centre vaut le rayon : on calcule cette distance par Pythagore sur les écarts de coordonnées. « $(1, 4)$ » avance de $2$ dans chaque direction : l'écart en diagonale vaut alors $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ , plus que le rayon. « $(3, 2)$ » s'écarte de $4$ : c'est un diamètre, et non un rayon, qui sépare ce point du centre. « $(0, 1)$ » additionne les deux écarts, $1 + 1 = 2$ ; la distance vaut $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .

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Exercice 2

Trois rayons partagent un disque en trois secteurs. L'angle au centre du premier secteur est droit ; ceux des deux autres valent $x + 30^\circ$ et $2x$ . (La figure n'est pas à l'échelle.) Quel est le rapport entre l'aire du plus grand secteur et celle du plus petit ?

$\frac{22}{9}$
$\frac{16}{11}$
$\frac{16}{9}$
$\frac{9}{16}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{16}{9}$

Corrigé :

90 + (x + 30) + 2x = 360

les angles au centre font un tour complet

\begin{aligned}3x &= 240 \;\Rightarrow\; x \\ &= 80\end{aligned}

\begin{aligned}x + 30 &= 110 \\ \quad 2x &= 160\end{aligned}

les trois angles : 90°, 110° et 160°

\tfrac{160}{90} = \tfrac{16}{9}

les aires des secteurs sont dans le rapport de leurs angles

La bonne réponse : « $\frac{16}{9}$ ». « $\frac{9}{16}$ » est le rapport inverse : celui du plus petit secteur au plus grand. « $\frac{22}{9}$ » oublie l'angle droit dans le tour complet : $3x + 30 = 360$ donne $x = 110$ , et des angles faux de $140^\circ$ et $220^\circ$ . « $\frac{16}{11}$ » compare les deux secteurs d'angle inconnu, $160^\circ$ et $110^\circ$ , en oubliant que le secteur droit est le plus petit.

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Exercice 3

Les six faces d'un cube ont une aire totale de $150$ cm². Un disque a pour rayon l'arête $a$ de ce cube. Quelle est l'aire du disque ?

$5\pi$ cm²
$37{,}5\pi$ cm²
$10\pi$ cm²
$25\pi$ cm²

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $25\pi$ cm²

Corrigé :

\begin{aligned}a^2 &= \tfrac{150}{6} \\ &= 25\end{aligned}

l'aire d'une face

\begin{aligned}\pi r^2 &= \pi a^2 \\ &= 25\pi\end{aligned}

le carré de l'arête est déjà le carré du rayon : inutile de chercher a

La bonne réponse : « $25\pi$ cm² ». « $37{,}5\pi$ cm² » partage l'aire totale entre $4$ faces au lieu de $6$ : $150 \div 4 = 37{,}5$ . « $5\pi$ cm² » extrait la racine, $a = 5$ , puis oublie de la remettre au carré dans $\pi r^2$ . « $10\pi$ cm² » calcule le périmètre du cercle, $2\pi \times 5$ , au lieu de l'aire du disque.

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Exercice 4

Un triangle rectangle, dont les deux côtés de l'angle droit mesurent $a$ et $2a$ , est inscrit dans un cercle. Quelle est l'aire du disque ?

$\frac{9\pi a^2}{4}$
$\frac{5\pi a^2}{2}$
$\frac{5\pi a^2}{4}$
$5\pi a^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{5\pi a^2}{4}$

Corrigé :

\begin{aligned}AB^2 &= a^2 + (2a)^2 \\ &= 5a^2\end{aligned}

Pythagore

\begin{aligned}r^2 &= \left(\tfrac{AB}{2}\right)^2 \\ &= \tfrac{5a^2}{4}\end{aligned}

l'hypoténuse d'un triangle rectangle inscrit est un diamètre

\pi r^2 = \tfrac{5\pi a^2}{4}

La bonne réponse : « $\frac{5\pi a^2}{4}$ ». « $5\pi a^2$ » prend l'hypoténuse pour le rayon : elle est le diamètre. « $\frac{9\pi a^2}{4}$ » élève au carré la somme des côtés, $(a + 2a)^2 = 9a^2$ , au lieu d'additionner leurs carrés. « $\frac{5\pi a^2}{2}$ » divise le carré du diamètre par $2$ : le rayon est la moitié du diamètre, donc son carré en est le quart.

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Exercice 5

Un secteur d'angle au centre $80^\circ$ est découpé dans un disque de rayon $9$ . Quel est le périmètre du secteur ?

$18 + 18\pi$
$9 + 4\pi$
$4\pi$
$18 + 4\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $18 + 4\pi$

Corrigé :

2\pi \times 9 \times \tfrac{80}{360} = 4\pi

l'arc est la fraction 80/360 du cercle

9 + 9 + 4\pi = 18 + 4\pi

on ajoute les deux rayons

La bonne réponse : « $18 + 4\pi$ ». « $4\pi$ » ne compte que l'arc : le contour d'un secteur comprend aussi ses deux rayons. « $9 + 4\pi$ » ne compte qu'un seul des deux rayons. « $18 + 18\pi$ » prend l'aire du secteur, $81\pi \times \frac{80}{360} = 18\pi$ , à la place de la longueur de l'arc.

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Exercice 6

Le périmètre d'un cercle augmente de $50\,\%$ . De quel pourcentage l'aire du disque augmente-t-elle ?

$225\,\%$
$125\,\%$
$100\,\%$
$50\,\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $125\,\%$

Corrigé :

P \times 1{,}5 \;\Rightarrow\; r \times 1{,}5

le périmètre est proportionnel au rayon (+50 %)

A \times 1{,}5^2 = A \times 2{,}25

l'aire est proportionnelle au carré du rayon

2{,}25 - 1 = 1{,}25

soit une augmentation de 125 %

La bonne réponse : « $125\,\%$ ». « $50\,\%$ » croit que l'aire suit le périmètre ; elle suit le carré du rayon. « $100\,\%$ » double l'augmentation au lieu d'élever le facteur au carré. « $225\,\%$ » donne le facteur, $\times 2{,}25$ , au lieu de l'augmentation : l'aire devient $225\,\%$ de l'ancienne, donc elle augmente de $125\,\%$ .

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Exercice 7

$AB$ est un diamètre du cercle de centre $O$ , et $C$ est un point du cercle tel que $\widehat{AOC} = 64^\circ$ . Que vaut $\widehat{CAB}$ ?

$64^\circ$
$58^\circ$
$116^\circ$
$32^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $58^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{CBA} &= \tfrac{64^\circ}{2} \\ &= 32^\circ\end{aligned}

l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc AC

\widehat{ACB} = 90^\circ

un angle inscrit dans un demi-cercle est droit

\begin{aligned}\widehat{CAB} &= 180^\circ - 90^\circ - 32^\circ \\ &= 58^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $58^\circ$ ». Autre chemin : le triangle $AOC$ est isocèle, donc $\widehat{OAC} = \frac{180^\circ - 64^\circ}{2} = 58^\circ$ . « $32^\circ$ » est l'angle inscrit $\widehat{CBA}$ , qui intercepte l'arc $AC$ : la moitié de l'angle au centre, mais en $B$ , pas en $A$ . « $64^\circ$ » recopie l'angle au centre. « $116^\circ$ » est l'angle au centre $\widehat{BOC}$ , le supplément de $64^\circ$ .

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Exercice 8

Une roue de rayon $0{,}25$ m roule sans glisser sur une distance de $100\pi$ m. Combien de tours complets fait-elle ?

$1\,600$
$100$
$200$
$400$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $200$

Corrigé :

2\pi \times 0{,}25 = 0{,}5\pi

un tour fait avancer la roue de son périmètre

\tfrac{100\pi}{0{,}5\pi} = 200

La bonne réponse : « $200$ ». « $400$ » prend $\pi r$ pour la longueur d'un tour, soit un demi-périmètre. « $1\,600$ » divise par l'aire de la roue, $\pi \times 0{,}25^2$ , au lieu de son périmètre. « $100$ » prend $0{,}5$ m, le diamètre, pour le rayon : un tour mesurerait alors $\pi$ m.

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Exercice 9

Le cercle de centre $I$ et de rayon $3$ est inscrit dans le triangle $ABC$ : il touche $AB$ en $D$ , $BC$ en $E$ et $CA$ en $F$ . On donne $AD = 5$ et $CE = 7$ . Quelle est l'aire du triangle $AIC$ ?

On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$36$
$10{,}5$
$18$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $18$

Corrigé :

\begin{aligned}AF &= AD \\ &= 5 \\ \quad CF &= CE \\ &= 7\end{aligned}

deux tangentes issues d'un même point sont égales

\begin{aligned}AC &= 5 + 7 \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}IF \perp AC \\ \; IF &= 3\end{aligned}

le rayon au point de contact est la hauteur du triangle AIC

\tfrac{12 \times 3}{2} = 18

La bonne réponse : « $18$ ». « $36$ » oublie de diviser par $2$ : $12 \times 3$ est l'aire d'un rectangle. « $10{,}5$ » prend le segment $CE = 7$ pour le côté entier $AC$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il manque la longueur $AC$ : les tangentes issues d'un même point sont égales, et elle se reconstitue.

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Exercice 10

Sur un cercle de centre $O$ , l'angle inscrit $\widehat{ACB}$ vaut $40^\circ$ , et l'angle au centre $\widehat{DOE}$ vaut $60^\circ$ . Quel est le rapport entre la longueur de l'arc $AB$ en gras et celle de l'arc $DE$ en gras ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$\frac{4}{3}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{16}{9}$
$\frac{1}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{4}{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}\text{arc } AB &= 2 \times 40^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

un angle inscrit vaut la moitié de son arc

\text{arc } DE = 60^\circ

un angle au centre vaut son arc

\tfrac{80}{60} = \tfrac{4}{3}

sur un même cercle, les longueurs des arcs sont dans le rapport de leurs angles

La bonne réponse : « $\frac{4}{3}$ ». « $\frac{2}{3}$ » compare directement l'angle inscrit à l'angle au centre, $\frac{40}{60}$ , sans le doubler. « $\frac{1}{3}$ » double l'angle au centre au lieu de l'angle inscrit : $\frac{40}{120}$ . « $\frac{16}{9}$ » élève le rapport au carré, comme pour des aires : les longueurs d'arcs d'un même cercle sont proportionnelles à leurs angles au centre.

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Exercices

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