On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Cinq questions, une par geste du chapitre : tracer les rayons, lire une fraction de tour, découper une aire grisée, relier un polygone à son cercle, poser l'angle droit d'une tangente. Chacune est d'abord déroulée avec vous, une étape par clic, puis vous attend en bas de page sous une forme jumelle.

Avant chaque clic, dites ce que vous feriez. C'est l'écart entre votre réflexe et l'étape qui apparaît qui vous apprend quelque chose — pas la lecture.

Regardez la figure, pas seulement la ligne de calcul. Dans une question de cercle, le calcul est presque toujours court : ce qui prend du temps, c'est de voir le trait qu'il faut ajouter.

1 — Les rayons fabriquent des isocèles

Votre question jumelle : la première de la liste, en bas de page.

2 — Un secteur est une fraction de tour

Votre question jumelle : la deuxième de la liste.

3 — Une zone grisée se découpe en pièces connues

Votre question jumelle : la troisième de la liste.

4 — Le rayon est une longueur du polygone

Votre question jumelle : la quatrième de la liste, avec un triangle équilatéral.

5 — Une tangente appelle un angle droit

Votre question jumelle : la cinquième de la liste.

Si vos cinq jumelles tombent juste, passez aux séries : elles ne font que varier l'habillage de ces cinq gestes, en les combinant parfois deux par deux.

Exercices

Exercice 1

15°35°?OABC

AA, BB et CC sont sur un cercle de centre OO, et OO est à l'intérieur du triangle ABCABC. On donne OAB^=15∘\widehat{OAB} = 15^\circ et OCB^=35∘\widehat{OCB} = 35^\circ. Que vaut AOC^\widehat{AOC} ?

  1. 80∘80^\circ
  2. 150∘150^\circ
  3. 100∘100^\circ
  4. 50∘50^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 100∘100^\circ

Corrigé :

OA=OB=OC\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC\end{aligned}

on trace le rayon OB qui manque : deux isocèles

ABC^=15∘+35∘=50∘\begin{aligned}\widehat{ABC} &= 15^\circ + 35^\circ \\ &= 50^\circ\end{aligned}

les angles de base se recopient en B

AOC^=2×50∘=100∘\begin{aligned}\widehat{AOC} &= 2 \times 50^\circ \\ &= 100^\circ\end{aligned}

l'angle au centre intercepte le même arc AC

La bonne réponse : « 100∘100^\circ ». Même scène que la première animation, déplacée d'un sommet. « 50∘50^\circ » s'arrête à l'angle inscrit. « 150∘150^\circ » est l'angle AOB^\widehat{AOB} du triangle isocèle OABOAB, et « 80∘80^\circ » ne correspond à aucun angle de la figure.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Un disque de rayon 44 cm et un secteur de rayon 88 cm ont la même aire. Quelle est la longueur de l'arc du secteur, en cm ?

  1. 16π16\pi
  2. 4π4\pi
  3. 8π8\pi
  4. 2π2\pi
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 4π4\pi

Corrigé :

π⋅42=16π\pi \cdot 4^2 = 16\pi

l'aire du disque

16π64π=14\dfrac{16\pi}{64\pi} = \dfrac{1}{4}

le secteur est un quart du disque de rayon 8

14×2π⋅8=4π\dfrac{1}{4} \times 2\pi \cdot 8 = 4\pi

son arc est un quart du cercle de rayon 8

La bonne réponse : « 4π4\pi ». La fraction 14\frac14 se lit sur les aires, et vaut pour l'arc. « 8π8\pi » prend la moitié du cercle, « 16π16\pi » le cercle entier, et « 2π2\pi » applique la fraction au demi-périmètre πr\pi r.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

6ABCD

ABCDABCD est un carré de côté 66. Deux quarts de cercle de rayon 66 sont centrés en AA et en CC. Quelle est l'aire de la zone commune aux deux quarts de disque ?

  1. 18π−1818\pi - 18
  2. 36π−3636\pi - 36
  3. 9π−189\pi - 18
  4. 18π−3618\pi - 36
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 18π−3618\pi - 36

Corrigé :

14π⋅62=9π\dfrac{1}{4}\pi \cdot 6^2 = 9\pi

le quart de disque de centre A

9π−6⋅62=9π−189\pi - \dfrac{6 \cdot 6}{2} = 9\pi - 18

une demi-feuille : le quart moins le triangle ABD

2(9π−18)=18π−362(9\pi - 18) = 18\pi - 36

deux demi-feuilles

La bonne réponse : « 18π−3618\pi - 36 ». « 9π−189\pi - 18 » est une seule demi-feuille. « 18π−1818\pi - 18 » double le quart de disque mais pas le triangle. « 36π−3636\pi - 36 » part du disque entier.

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Exercice 4

Un triangle équilatéral de côté 1010 a un cercle inscrit et un cercle circonscrit. Quelle est l'aire de la couronne comprise entre les deux cercles ?

  1. 100π100\pi
  2. 25π25\pi
  3. 25π3\dfrac{25\pi}{3}
  4. 100π3\dfrac{100\pi}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 25π25\pi

Corrigé :

R2−r2=(102)2=25\begin{aligned}R^2 - r^2 &= \left(\dfrac{10}{2}\right)^2 \\ &= 25\end{aligned}

centre, sommet et milieu d'un côté : un triangle rectangle d'hypoténuse R et de côtés r et 5

π(R2−r2)=25π\pi(R^2 - r^2) = 25\pi

la couronne ne demande que la différence des carrés

La bonne réponse : « 25π25\pi ». Le triangle rectangle du scénario du carré est encore là : le centre, un sommet et le milieu du côté voisin. Son hypoténuse est RR, ses côtés rr et le demi-côté 55. Aucun rayon n'a besoin d'être calculé. « 100π3\frac{100\pi}{3} » est l'aire du grand disque seul, et « 25π3\frac{25\pi}{3} » celle du petit. « 100π100\pi » prend le côté entier au lieu du demi-côté.

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Exercice 5

105OABP

D'un point PP situé à 1010 cm du centre d'un cercle de rayon 55 cm, on mène les deux tangentes PAPA et PBPB. Quelle est l'aire de la zone comprise entre les deux tangentes et le petit arc ABAB ?

  1. 253−25π625\sqrt{3} - \dfrac{25\pi}{6}
  2. 253−25π325\sqrt{3} - \dfrac{25\pi}{3}
  3. 25325\sqrt{3}
  4. 503−25π350\sqrt{3} - \dfrac{25\pi}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 253−25π325\sqrt{3} - \dfrac{25\pi}{3}

Corrigé :

OP=10=2⋅OA ⇒ AOP^=60∘ AOB^=120∘\begin{aligned}OP &= 10 \\ &= 2 \cdot OA \ \Rightarrow\ \widehat{AOP} \\ &= 60^\circ \\ \ \widehat{AOB} &= 120^\circ\end{aligned}

le triangle 30-60-90

PA=53SOAPB=2⋅5⋅532=253\begin{aligned}PA &= 5\sqrt{3} \\ \quad S_{OAPB} &= 2 \cdot \dfrac{5 \cdot 5\sqrt{3}}{2} \\ &= 25\sqrt{3}\end{aligned}

deux triangles rectangles

253−120360⋅25π=253−25π325\sqrt{3} - \dfrac{120}{360} \cdot 25\pi = 25\sqrt{3} - \dfrac{25\pi}{3}

on retire le secteur AOB

La bonne réponse : « 253−25π325\sqrt{3} - \frac{25\pi}{3} ». « 503−25π350\sqrt{3} - \frac{25\pi}{3} » oublie la division par deux dans l'aire des triangles. « 253−25π625\sqrt{3} - \frac{25\pi}{6} » retire un secteur de 60∘60^\circ au lieu de 120∘120^\circ. « 25325\sqrt{3} » oublie de retirer le secteur.

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Exercice 6

20°40°?OABC

AA, BB et CC sont sur un cercle de centre OO, et OO est à l'intérieur du triangle ABCABC. On donne OAB^=20∘\widehat{OAB} = 20^\circ et OCB^=40∘\widehat{OCB} = 40^\circ. Que vaut AOC^\widehat{AOC}, en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 120

Corrigé :

OA=OB=OC\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC\end{aligned}

on trace le rayon OB : deux isocèles

ABC^=20∘+40∘=60∘\begin{aligned}\widehat{ABC} &= 20^\circ + 40^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

les angles de base se recopient en B

AOC^=2×60∘=120∘\begin{aligned}\widehat{AOC} &= 2 \times 60^\circ \\ &= 120^\circ\end{aligned}

l'angle au centre intercepte le même arc AC

Le piège : s'arrêter à l'angle inscrit 60∘60^\circ, ou additionner 20∘+40∘20^\circ + 40^\circ sans voir les isocèles.

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Exercice 7

640°2O

Un secteur de rayon 66 et d'angle au centre 40∘40^\circ a la même aire qu'un disque de rayon 22.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

40360⋅π⋅62=19⋅36π=4π\begin{aligned}\dfrac{40}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 &= \dfrac19 \cdot 36\pi \\ &= 4\pi\end{aligned}

le secteur est un neuvième de son disque

π⋅22=4π\pi \cdot 2^2 = 4\pi

le petit disque

Vrai. Le piège : comparer les rayons (66 contre 22, trois fois plus) sans passer par les aires, où le facteur devient 99.

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Exercice 8

2ABCD

ABCDABCD est un carré de côté 22. Deux quarts de cercle de rayon 22 sont centrés en AA et en CC. L'aire de la zone commune aux deux quarts de disque s'écrit 2π−k2\pi - k. Que vaut kk ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

14π⋅22−2⋅22=π−2\tfrac14 \pi \cdot 2^2 - \dfrac{2 \cdot 2}{2} = \pi - 2

une demi-feuille : le quart de disque moins le triangle

2(π−2)=2π−42(\pi - 2) = 2\pi - 4

deux demi-feuilles

Le piège : retirer le triangle une seule fois (2π−22\pi - 2). Chaque demi-feuille perd son propre triangle.

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Exercice 9

Associez chaque figure au rayon RR de son cercle circonscrit.

  • un carré de côté 22
  • un hexagone régulier de côté 22
  • un triangle équilatéral de côté 66
  • un triangle de côtés 66, 88, 1010
  • R=2R = \sqrt{2}
  • R=23R = 2\sqrt{3}
  • R=2R = 2
  • R=5R = 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : un carré de côté 22 — R=2R = \sqrt{2} · un hexagone régulier de côté 22 — R=2R = 2 · un triangle équilatéral de côté 66 — R=23R = 2\sqrt{3} · un triangle de côtés 66, 88, 1010 — R=5R = 5

Corrigé :

carreˊ : R=222=2\begin{aligned}\text{carré : } R &= \dfrac{2\sqrt2}{2} \\ &= \sqrt2\end{aligned}

la demi-diagonale

eˊquilateˊral : R=633=23\begin{aligned}\text{équilatéral : } R &= \dfrac{6\sqrt3}{3} \\ &= 2\sqrt3\end{aligned}

les deux tiers de la hauteur 333\sqrt3

62+82=102 ⇒ R=5\begin{aligned}6^2 + 8^2 &= 10^2 \ \Rightarrow\ R \\ &= 5\end{aligned}

un triangle rectangle : l'hypoténuse est un diamètre

Un seul réflexe : le triangle centre-sommet-milieu, ou le diamètre d'un triangle rectangle. Le piège : prendre R=2R = 2 pour le carré de côté 22 — l'égalité R=R = côté n'est vraie que pour l'hexagone.

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Exercice 10

106OABP

D'un point PP situé à 1010 du centre d'un cercle de rayon 66, on mène les tangentes PAPA et PBPB. Quelle est l'aire du quadrilatère OAPBOAPB ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

PA=102−62=8\begin{aligned}PA &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

OAP est rectangle en A

2⋅6⋅82=482 \cdot \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 48

deux triangles rectangles égaux

Le piège : 6⋅82=24\dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24, un seul des deux triangles — ou OP⋅r=60OP \cdot r = 60, en prenant OPOP pour un côté de l'angle droit.

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Exercice 11

84OABP

D'un point PP situé à 88 du centre d'un cercle de rayon 44, on mène les tangentes PAPA et PBPB. Une ligne du calcul de APB^\widehat{APB} est fausse : trouvez-la.

OA⊥PAOP=2⋅OA\begin{aligned}OA \perp PA \\ \quad OP &= 2 \cdot OA\end{aligned}
AOP^=30∘\widehat{AOP} = 30^\circ
APB^=2⋅APO^\widehat{APB} = 2 \cdot \widehat{APO}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AOP^=30∘\widehat{AOP} = 30^\circ → AOP^=60∘\widehat{AOP} = 60^\circ

Corrigé :

cos⁡AOP^=OAOP=12 ⇒ AOP^=60∘\begin{aligned}\cos \widehat{AOP} &= \dfrac{OA}{OP} \\ &= \dfrac12 \ \Rightarrow\ \widehat{AOP} \\ &= 60^\circ\end{aligned}

le côté OA est adjacent à l'angle en O

APO^=30∘APB^=60∘\begin{aligned}\widehat{APO} &= 30^\circ \\ \quad \widehat{APB} &= 60^\circ\end{aligned}

La deuxième ligne. Dans le triangle OAPOAP, rectangle en AA, le côté de 44 est adjacent à l'angle en OO : c'est l'angle en PP qui vaut 30∘30^\circ. Le piège : mettre le 30∘30^\circ au centre.

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