Le réflexe cercle

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Sur les vingt-six sessions dépouillées, une à cinq questions par examen portent sur un cercle.

Presque toutes posent leur donnée sur une figure : un angle marqué, une zone grisée, un arc en gras.

Le formulaire imprime l'aire du disque, le périmètre du cercle et l'aire d'un secteur. Il n'imprime ni la longueur d'un arc, ni les propriétés des angles, ni celles de la tangente : c'est tout cela qu'il faut savoir voir.

Ce cours tient en huit gestes. Le premier fixe le vocabulaire et les formules ; les sept autres sont les sept façons dont l'examen s'en sert.

Geste 1 — Le vocabulaire et les formules

Le cercle est la ligne ; le disque est la surface qu'elle entoure. Un énoncé parle du « périmètre du cercle » et de « l'aire du disque » — parfois « l'aire du cercle », par abus.

Le rayon rr va du centre au cercle. Le diamètre 2r2r traverse le cercle en passant par le centre.

Une corde joint deux points du cercle, sans passer forcément par le centre : le diamètre est la plus longue des cordes.

Un arc est un morceau du cercle ; un secteur, la part de disque entre deux rayons. Une tangente touche le cercle en un seul point.

A=πr2A = \pi r^2

l'aire du disque

P=2πrP = 2\pi r

le périmètre du cercle

Asecteur=πr2⋅x360A_{\text{secteur}} = \pi r^2 \cdot \dfrac{x}{360}

l'aire d'un secteur d'angle au centre x°

Larc=2πr⋅x360L_{\text{arc}} = 2\pi r \cdot \dfrac{x}{360}

la longueur de l'arc — absente du formulaire

Laissez π\pi en symbole. Les réponses de l'examen s'écrivent « 9π−189\pi - 18 », jamais « 10,2710{,}27 ». Remplacer π\pi par 3,143{,}14 ne fait que perdre du temps et rendre les options indiscernables.

Le rayon est la seule mesure qui entre dans les deux formules. Quelle que soit la donnée, passez par lui.

Geste 2 — Tout est une fraction de 360

Un secteur d'angle x∘x^\circ est la fraction x360\frac{x}{360} du disque, et son arc la même fraction du cercle.

Trouvez cette fraction une fois — par l'angle, par l'aire ou par l'arc —, et elle donne les deux autres. L'examen pose la question dans les deux sens.

Deux formules en découlent. L'aire d'un secteur vaut arc×r2\frac{\text{arc} \times r}{2}, comme un triangle de base l'arc et de hauteur le rayon.

Et le périmètre d'un secteur compte ses deux rayons en plus de l'arc.

Un secteur de rayon 44 a une aire de 6π6\pi. Quelle est la longueur de son arc ?

Voir la réponse et le corrigé

3π3\pi. Par la formule arc×r2\frac{\text{arc} \times r}{2} : 6π=arc×426\pi = \frac{\text{arc} \times 4}{2}, donc arc =3π= 3\pi. Ou par la fraction : le disque de rayon 44 a une aire de 16π16\pi, le secteur en est les 616=38\frac{6}{16} = \frac38, et 38×8π=3π\frac38 \times 8\pi = 3\pi.

Geste 3 — Longueur ×k, aire ×k²

Le périmètre est proportionnel au rayon ; l'aire est proportionnelle à son carré.

Rayon multiplié par kk : périmètre multiplié par kk, aire par k2k^2. C'est vrai de toute longueur du cercle (diamètre, arc, corde) et de toute aire (secteur, segment).

Le piège du double.

r×2 ⇒ A×2r \times 2 \ \Rightarrow\ A \times 2
r×2 ⇒ A×4r \times 2 \ \Rightarrow\ A \times 4

l'aire suit le carré du rayon

P+20% ⇒ A+20%P + 20\% \ \Rightarrow\ A + 20\%
P×1,2 ⇒ A×1,44P \times 1{,}2 \ \Rightarrow\ A \times 1{,}44

l'aire augmente de 44 %

À l'envers aussi : une aire multipliée par 99 vient d'un rayon multiplié par 33.

Et un périmètre en cm ne se compare jamais à une aire en cm² sans le rayon : les deux peuvent être dans n'importe quel ordre.

Geste 4 — Tracer les rayons qui manquent

Tous les rayons d'un cercle sont égaux. Deux points du cercle reliés au centre font donc un triangle isocèle, aux deux angles de base égaux.

C'est le geste le plus rentable du chapitre : dans une question d'angles, tracez d'abord les rayons vers tous les points nommés du cercle.

Dans un cercle de centre OO, la corde ABAB est vue du centre sous un angle AOB^=80∘\widehat{AOB} = 80^\circ. Que vaut OAB^\widehat{OAB} ?

Voir la réponse et le corrigé

50∘50^\circ. Le triangle OABOAB est isocèle en OO : ses deux angles de base valent 180∘−80∘2=50∘\frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ.

Geste 5 — Angle inscrit, angle au centre

Un angle inscrit a son sommet sur le cercle ; un angle au centre, au centre.

Quand les deux interceptent le même arc, l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre. Ce théorème n'est pas au formulaire, et il porte presque toutes les questions d'angles.

ACB^=12 AOB^\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}

l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre

AB diameˋtre ⇒ ACB^=90∘AB \text{ diamètre} \ \Rightarrow\ \widehat{ACB} = 90^\circ

un angle inscrit dans un demi-cercle est droit

ACB^=ADB^\widehat{ACB} = \widehat{ADB}

deux angles inscrits qui regardent le même arc sont égaux

A^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ

dans un quadrilatère inscrit, deux angles opposés sont supplémentaires

Le mauvais arc.

C sur le petit arc AB: ACB^=12AOB^C \text{ sur le petit arc } AB : \ \widehat{ACB} = \tfrac12 \widehat{AOB}
ACB^=180∘−12AOB^\widehat{ACB} = 180^\circ - \tfrac12 \widehat{AOB}

un point du petit arc regarde le GRAND arc

La règle se lit donc toujours ainsi : l'angle inscrit intercepte l'arc qui ne contient pas son sommet.

Et sa réciproque sert autant : un triangle rectangle inscrit a son hypoténuse sur un diamètre.

Geste 6 — La tangente : un angle droit, deux longueurs égales

Une tangente est perpendiculaire au rayon mené au point de contact. Dès que ce rayon est tracé, un triangle rectangle apparaît, avec Pythagore.

Et depuis un point extérieur, les deux tangentes au cercle ont la même longueur.

Le cas d'examen : la distance au centre vaut deux fois le rayon. Le triangle rectangle est alors le 30-60-90 du formulaire.

Le rayon et la droite OPOP font 60∘60^\circ ; l'angle au centre entre les deux points de contact vaut 120∘120^\circ, et les deux tangentes forment un angle de 60∘60^\circ.

Geste 7 — Polygones et cercle : chercher le triangle rectangle

Un polygone inscrit a ses sommets sur le cercle ; un polygone circonscrit a ses côtés tangents au cercle.

Dans un polygone régulier, le centre, un sommet et le milieu d'un côté forment un triangle rectangle. Son hypoténuse est le rayon RR du cercle circonscrit ; ses côtés, le rayon rr du cercle inscrit et le demi-côté.

carreˊ de coˆteˊ a: R=a22 r=a2\begin{aligned}\text{carré de côté } a : \ R &= \dfrac{a\sqrt2}{2} \\ \ r &= \dfrac{a}{2}\end{aligned}

la diagonale est un diamètre du cercle circonscrit

hexagone de coˆteˊ a: R=a\text{hexagone de côté } a : \ R = a

six triangles équilatéraux autour du centre

triangle eˊquilateˊral: R=2r\text{triangle équilatéral} : \ R = 2r

les deux centres coïncident, aux deux tiers de la hauteur

triangle rectangle: R=hypoteˊnuse2\text{triangle rectangle} : \ R = \dfrac{\text{hypoténuse}}{2}

l'hypoténuse est un diamètre

Gardez les carrés. Une aire de disque ne veut que r2r^2 : si Pythagore vous donne R2=18R^2 = 18, n'écrivez jamais R=32R = 3\sqrt{2} pour le remettre au carré ensuite.

Un carré est inscrit dans un cercle de rayon 44. Quelle est l'aire du carré ?

Voir la réponse et le corrigé

3232. La diagonale est un diamètre, 88, et l'aire d'un carré vaut la moitié du carré de sa diagonale : 822=32\frac{8^2}{2} = 32.

Geste 8 — L'aire grisée : une somme de pièces connues

Une zone grisée n'a presque jamais de formule. Elle s'écrit comme une somme ou une différence de pièces qui en ont une : disque, secteur, triangle, carré.

Nommez les pièces avant d'écrire un calcul.

segment=secteur−triangle\text{segment} = \text{secteur} - \text{triangle}

la zone entre une corde et son arc, la pièce la plus fréquente

couronne=π(R2−r2)\text{couronne} = \pi(R^2 - r^2)

entre deux cercles de même centre : seule la différence des carrés compte

lentille=segment1+segment2\text{lentille} = \text{segment}_1 + \text{segment}_2

la partie commune de deux disques, coupée par la corde commune : deux segments, égaux quand les rayons le sont

coin=carreˊ−14 disque\text{coin} = \text{carré} - \tfrac14\,\text{disque}

entre un angle droit et un cercle tangent à ses deux côtés

Avant de calculer, regardez si un morceau de la figure se déplace sur un autre : deux demi-disques retirés d'un côté et rendus de l'autre ne changent rien à l'aire. Et une réponse de la forme « π\pi multiplié par un nombre, moins un nombre » signale presque toujours un segment.

Et dans un repère

Le cercle de centre M(a,b)M(a, b) et de rayon rr est l'ensemble des points situés à la distance rr de MM.

Un point est sur le cercle si Pythagore, appliqué aux écarts de coordonnées, donne r2r^2. Aucune équation n'est nécessaire.

Et le geste 5 reste valable : si un cercle passe par l'origine et coupe les deux axes, le segment qui joint ces deux points d'intersection est un diamètre.

Le point (5,1)(5, 1) est-il sur le cercle de centre (2,−3)(2, -3) et de rayon 55 ?

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Oui. Les écarts valent 33 et 44, et 32+42=25=523^2 + 4^2 = 25 = 5^2.

Les exercices ci-dessous vérifient un geste chacun. L'unité suivante déroule cinq questions de l'examen pas à pas, sur une figure animée.

Exercices

Exercice 1

Sur un cercle de rayon 1212, quelle est la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre de 45∘45^\circ ?

  1. 6π6\pi
  2. 3π2\dfrac{3\pi}{2}
  3. 18π18\pi
  4. 3π3\pi
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Réponse : D 3π3\pi

Corrigé :

45360=18\dfrac{45}{360} = \dfrac{1}{8}

la fraction du tour

18×2π⋅12=3π\dfrac{1}{8} \times 2\pi \cdot 12 = 3\pi

la même fraction du périmètre

La bonne réponse : « 3π3\pi ». « 18π18\pi » applique la fraction à l'aire 144π144\pi. « 6π6\pi » prend le diamètre pour rayon, et « 3π2\frac{3\pi}{2} » oublie le 22 de 2πr2\pi r.

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Exercice 2

Le rayon d'un disque est multiplié par 33. Par combien son aire est-elle multipliée ?

  1. 2727
  2. 99
  3. 66
  4. 33
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Réponse : B 99

Corrigé :

π(3r)2=9πr2\pi (3r)^2 = 9\pi r^2

l'aire contient le carré du rayon

La bonne réponse : « 99 ». « 33 » traite l'aire comme une longueur, « 66 » multiplie par 3×23 \times 2, et « 2727 » est le facteur d'un volume.

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Exercice 3

Dans un cercle de centre OO, AOB^=140∘\widehat{AOB} = 140^\circ. Le point CC est sur le grand arc ABAB. Que vaut ACB^\widehat{ACB} ?

  1. 140∘140^\circ
  2. 70∘70^\circ
  3. 20∘20^\circ
  4. 110∘110^\circ
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Réponse : B 70∘70^\circ

Corrigé :

ACB^=140∘2=70∘\begin{aligned}\widehat{ACB} &= \dfrac{140^\circ}{2} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

C, sur le grand arc, regarde le petit arc AB

La bonne réponse : « 70∘70^\circ ». « 110∘110^\circ » serait l'angle vu d'un point du petit arc. « 140∘140^\circ » recopie l'angle au centre, et « 20∘20^\circ » est l'angle de base OAB^\widehat{OAB} du triangle isocèle.

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Exercice 4

Le point PP est à 1010 du centre d'un cercle de rayon 66. Quelle est la longueur d'une tangente menée de PP au cercle ?

  1. 136\sqrt{136}
  2. 44
  3. 88
  4. 1616
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 88

Corrigé :

PT=102−62=8\begin{aligned}PT &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

le rayon OT est perpendiculaire à la tangente PT

La bonne réponse : « 88 ». « 136\sqrt{136} » additionne les carrés comme si OPOP était un côté de l'angle droit — c'est l'hypoténuse. « 44 » soustrait les longueurs sans les mettre au carré, et « 1616 » les additionne.

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Exercice 5

Un disque est inscrit dans un carré de côté 88. Quelle est l'aire de la partie du carré située hors du disque ?

  1. 16−4π16 - 4\pi
  2. 64−64π64 - 64\pi
  3. 64−16π64 - 16\pi
  4. 64−8π64 - 8\pi
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 64−16π64 - 16\pi

Corrigé :

r=82=4\begin{aligned}r &= \dfrac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

le disque touche les côtés en leur milieu

64−π⋅42=64−16π64 - \pi \cdot 4^2 = 64 - 16\pi

le carré privé du disque

La bonne réponse : « 64−16π64 - 16\pi ». « 64−64π64 - 64\pi » prend le côté pour rayon, et « 64−8π64 - 8\pi » retire le périmètre 2πr2\pi r au lieu de l'aire. « 16−4π16 - 4\pi » ne garde qu'un quart de la figure, un seul coin.

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Exercice 6

Lequel de ces points se trouve sur le cercle de centre (1,2)(1, 2) et de rayon 1010 ?

  1. (7,10)(7, 10)
  2. (9,9)(9, 9)
  3. (11,12)(11, 12)
  4. (1,10)(1, 10)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (7,10)(7, 10)

Corrigé :

(7−1)2+(10−2)2=36+64=100=102\begin{aligned}(7 - 1)^2 + (10 - 2)^2 &= 36 + 64 \\ &= 100 \\ &= 10^2\end{aligned}

les écarts 6 et 8 donnent la distance 10

La bonne réponse : « (7,10)(7, 10) ». On calcule les deux écarts de coordonnées, puis Pythagore. « (11,12)(11, 12) » a des écarts de 1010 et 1010 : sa distance au centre est 10210\sqrt{2}. « (9,9)(9, 9) » a des écarts de 88 et 77, soit 64+49=11364 + 49 = 113. « (1,10)(1, 10) » est à la verticale du centre, à la distance 88 seulement.

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Exercice 7

r = ?O

Associez chaque donnée au rayon du cercle.

  • périmètre 14π14\pi
  • aire 36π36\pi
  • diamètre 1010
  • aire 16π16\pi
  • r=4r = 4
  • r=5r = 5
  • r=6r = 6
  • r=7r = 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : périmètre 14π14\pi — r=7r = 7 · aire 36π36\pi — r=6r = 6 · diamètre 1010 — r=5r = 5 · aire 16π16\pi — r=4r = 4

Corrigé :

2πr=14π ⇒ r=7\begin{aligned}2\pi r &= 14\pi \ \Rightarrow\ r \\ &= 7\end{aligned}

un périmètre : on divise par 2π2\pi

πr2=36π ⇒ r=6\begin{aligned}\pi r^2 &= 36\pi \ \Rightarrow\ r \\ &= 6\end{aligned}

une aire : on prend la racine

Le piège : diviser une aire par 22 (36π→1836\pi \to 18) au lieu d'en prendre la racine, ou oublier le 22 du périmètre.

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Exercice 8

?5π10OAB

Sur un cercle de rayon 1010, un arc mesure 5π5\pi. Quel est l'angle au centre qui l'intercepte, en degrés ?

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Réponse : 90

Corrigé :

2π⋅10=20π2\pi \cdot 10 = 20\pi

le périmètre entier

5π20π=14\dfrac{5\pi}{20\pi} = \dfrac14

l'arc est un quart du cercle

360∘4=90∘\dfrac{360^\circ}{4} = 90^\circ

donc un quart de tour

La fraction du cercle est la fraction du tour. Le piège : comparer l'arc à l'aire 100π100\pi, ou au demi-périmètre 10π10\pi (on trouverait 180∘180^\circ).

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Exercice 9

120°6OAB

Un secteur de rayon 66 a un angle au centre de 120∘120^\circ. Complétez.

Le secteur est le tiers du disque : son aire vaut ____ π et son arc mesure ____ π.

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Réponse : Le secteur est le tiers du disque : son aire vaut 12 π et son arc mesure 4 π.

Corrigé :

120360=13\dfrac{120}{360} = \dfrac13

la fraction du tour

13⋅36π=12π\dfrac13 \cdot 36\pi = 12\pi

un tiers de l'aire du disque

13⋅12π=4π\dfrac13 \cdot 12\pi = 4\pi

un tiers du périmètre

Une seule fraction, 13\frac13, sert aux deux. Le piège : appliquer à l'arc la fraction de l'aire du disque, ou l'inverse.

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Exercice 10

r1,1 rO

Si le rayon d'un disque augmente de 10 %10\,\%, son aire augmente de 21 %21\,\%.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

1,12=1,211{,}1^2 = 1{,}21

l'aire suit le carré du facteur

1,21−1=0,211{,}21 - 1 = 0{,}21

soit 21 %21\,\% de plus

Vrai. Le piège : croire que l'aire augmente de 10 %10\,\%, comme le rayon — ou de 20 %20\,\%, en doublant le pourcentage.

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Exercice 11

35°?OAB

Dans un cercle de centre OO, la corde ABAB vérifie OAB^=35∘\widehat{OAB} = 35^\circ. Que vaut AOB^\widehat{AOB}, en degrés ?

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Réponse : 110

Corrigé :

OA=OBOA = OB

deux rayons : le triangle OAB est isocèle

OBA^=OAB^=35∘\begin{aligned}\widehat{OBA} &= \widehat{OAB} \\ &= 35^\circ\end{aligned}

les angles de base

AOB^=180∘−2⋅35∘=110∘\begin{aligned}\widehat{AOB} &= 180^\circ - 2 \cdot 35^\circ \\ &= 110^\circ\end{aligned}

la somme des angles du triangle

Le piège : doubler 35∘35^\circ comme pour un angle inscrit (70∘70^\circ). Ici, 35∘35^\circ est un angle de base d'isocèle, pas un angle inscrit.

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Exercice 12

Ce quadrilatère ABCDABCD (sommets dans cet ordre) peut-il être inscrit dans un cercle ?

  • Inscriptible
  • Pas inscriptible
  • A^=70∘\widehat{A} = 70^\circ, B^=100∘\widehat{B} = 100^\circ, C^=100∘\widehat{C} = 100^\circ, D^=90∘\widehat{D} = 90^\circ
  • A^=80∘\widehat{A} = 80^\circ, B^=95∘\widehat{B} = 95^\circ, C^=100∘\widehat{C} = 100^\circ, D^=85∘\widehat{D} = 85^\circ
  • un losange d'angles 60∘60^\circ et 120∘120^\circ
  • un parallélogramme d'angles 50∘50^\circ et 130∘130^\circ
  • un rectangle
  • un trapèze isocèle d'angles 70∘70^\circ et 110∘110^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A^=80∘\widehat{A} = 80^\circ, B^=95∘\widehat{B} = 95^\circ, C^=100∘\widehat{C} = 100^\circ, D^=85∘\widehat{D} = 85^\circ — Inscriptible · A^=70∘\widehat{A} = 70^\circ, B^=100∘\widehat{B} = 100^\circ, C^=100∘\widehat{C} = 100^\circ, D^=90∘\widehat{D} = 90^\circ — Pas inscriptible · un rectangle — Inscriptible · un losange d'angles 60∘60^\circ et 120∘120^\circ — Pas inscriptible · un trapèze isocèle d'angles 70∘70^\circ et 110∘110^\circ — Inscriptible · un parallélogramme d'angles 50∘50^\circ et 130∘130^\circ — Pas inscriptible

Corrigé :

A^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ

la condition : deux angles opposés supplémentaires

trapeˋze isoceˋle : 70∘+110∘=180∘\text{trapèze isocèle : } 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ

ses angles opposés le sont

Un angle inscrit et son opposé regardent les deux arcs qui font le tour : ils font 180∘180^\circ ensemble. Le piège : le losange et le parallélogramme ont des angles opposés égaux, pas supplémentaires.

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Exercice 13

40°?OABP

D'un point PP, on mène les tangentes PAPA et PBPB au cercle de centre OO, avec APB^=40∘\widehat{APB} = 40^\circ. Que vaut AOB^\widehat{AOB}, en degrés ?

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Réponse : 140

Corrigé :

OAP^=OBP^=90∘\begin{aligned}\widehat{OAP} &= \widehat{OBP} \\ &= 90^\circ\end{aligned}

rayon et tangente sont perpendiculaires

AOB^=360∘−90∘−90∘−40∘=140∘\begin{aligned}\widehat{AOB} &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 40^\circ \\ &= 140^\circ\end{aligned}

la somme des angles du quadrilatère OAPB

Les deux angles droits font de AOB^\widehat{AOB} le supplémentaire de APB^\widehat{APB}. Le piège : 80∘80^\circ, le double de 40∘40^\circ, comme si PP était sur le cercle.

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Exercice 14

6O

Un carré de côté 66. Rangez du plus petit au plus grand.

  • la diagonale
  • le côté
  • le rayon du cercle circonscrit
  • le rayon du cercle inscrit
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Réponse : le rayon du cercle inscrit · le rayon du cercle circonscrit · le côté · la diagonale

Corrigé :

r=62=3\begin{aligned}r &= \dfrac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

le cercle inscrit touche les côtés en leur milieu

R=622=32≈4,24\begin{aligned}R &= \dfrac{6\sqrt2}{2} \\ &= 3\sqrt2 \approx 4{,}24\end{aligned}

la diagonale est un diamètre du cercle circonscrit

6<62≈8,496 < 6\sqrt2 \approx 8{,}49

le côté, puis la diagonale

Le triangle centre-sommet-milieu a pour côtés r=3r = 3, le demi-côté 33, et pour hypoténuse RR. Le piège : confondre RR avec le côté — c'est vrai de l'hexagone, pas du carré.

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Exercice 15

4OAB

OO est le centre d'un cercle de rayon 44, et AOB^=90∘\widehat{AOB} = 90^\circ. On cherche l'aire du segment grisé, entre la corde ABAB et l'arc. Une ligne est fausse : trouvez-la.

secteur AOB=14π⋅42=4π\begin{aligned}\text{secteur } AOB &= \tfrac14 \pi \cdot 4^2 \\ &= 4\pi\end{aligned}
triangle OAB=4⋅4=16\begin{aligned}\text{triangle } OAB &= 4 \cdot 4 \\ &= 16\end{aligned}
segment=secteur−triangle\text{segment} = \text{secteur} - \text{triangle}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : triangle OAB=4⋅4=16\text{triangle } OAB = 4 \cdot 4 = 16 → triangle OAB=4⋅42=8\text{triangle } OAB = \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8

Corrigé :

triangle OAB=4⋅42=8\begin{aligned}\text{triangle } OAB &= \dfrac{4 \cdot 4}{2} \\ &= 8\end{aligned}

un triangle rectangle : la moitié du produit des côtés de l'angle droit

segment=4π−8\text{segment} = 4\pi - 8

La deuxième ligne. Le triangle OABOAB est la moitié du carré construit sur OAOA et OBOB. Le piège : écrire l'aire du carré, 1616.

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Exercice 16

73O

Deux cercles de même centre ont des rayons 77 et 33. L'aire de la couronne grisée vaut kπk\pi. Que vaut kk ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

π⋅72−π⋅32\pi \cdot 7^2 - \pi \cdot 3^2

le grand disque moins le petit

49π−9π=40π49\pi - 9\pi = 40\pi

Le piège : (7−3)2=16(7 - 3)^2 = 16, le carré de la différence au lieu de la différence des carrés.

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Exercice 17

MQ

Un cercle de centre M(1,1)M(1, 1) passe par le point Q(4,5)Q(4, 5). Quel est son rayon ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

4−1=35−1=4\begin{aligned}4 - 1 &= 3 \\ \quad 5 - 1 &= 4\end{aligned}

les écarts de coordonnées

32+42=5\sqrt{3^2 + 4^2} = 5

Pythagore

Le rayon est la distance MQMQ. Le piège : additionner les écarts (3+4=73 + 4 = 7) au lieu de passer par Pythagore.

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