On résout ensemble · Combinatoire · Psychométriques

Cinq questions, une par geste du chapitre : multiplier des étapes, faire descendre les facteurs, diviser par ce qu'on a compté en trop, couper une factorielle, remplir les cases d'un nombre. Chacune est d'abord déroulée avec vous, une étape par clic, puis vous attend en bas de page sous une forme jumelle.

Avant chaque clic, dites ce que vous feriez. C'est l'écart entre votre réflexe et l'étape qui apparaît qui vous apprend quelque chose — pas la lecture.

Regardez la scène, pas seulement la ligne de calcul. Une question de dénombrement se décide avant tout calcul, au moment où l'on voit si une branche se rouvre entière ou si elle a perdu quelque chose en chemin.

1 — La règle du produit : l'arbre se rouvre sous chaque branche

Combien de tenues avec $5$ chemises, $3$ pantalons et $2$ paires de chaussures ?

Votre question jumelle : la première de la liste, en bas de page.

2 — L'ordre compte : les facteurs descendent

Six nageuses en finale. Combien de podiums ?

Votre question jumelle : la deuxième de la liste.

3 — L'ordre ne compte pas : la grille se replie

Cinq joueurs d'un tournoi : chacun rencontre chacun, une seule fois. Combien de matchs ?

Votre question jumelle : la troisième de la liste.

4 — La factorielle : on coupe, on ne calcule pas

Coupez $\dfrac{11!}{8!}$ , puis $\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}$ .

Votre question jumelle : la quatrième de la liste.

5 — Compter des nombres : une case par chiffre

Combien de nombres à trois chiffres commencent par un chiffre pair et se terminent par $5$ ?

Votre question jumelle : la cinquième de la liste.

Si vos cinq jumelles tombent juste, le chapitre est acquis : les cinq séries qui suivent ne font que varier l'habillage de ces cinq gestes.

Exercices

Exercice 1

Une agence propose $6$ hôtels à Eilat et $5$ excursions dans le désert. Un forfait prend un hôtel et une excursion. Combien de forfaits différents ?

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Réponse : 30

Corrigé :

{6 \times 5 = 30}

Pour chacun des six hôtels, les cinq excursions restent disponibles.

$30$ . Deux étapes indépendantes : le choix de l'hôtel ne retire aucune excursion du catalogue.

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Exercice 2

Huit élèves se présentent pour trois rôles distincts dans une pièce de théâtre. Combien de distributions différentes ?

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Réponse : 336

Corrigé :

{8 \times 7 \times 6 = 336}

Trois rôles distincts : l'ordre compte, et chaque rôle attribué retire un élève du stock.

$336$ . Trois rôles, trois facteurs — on s'arrête là, on ne descend pas jusqu'à $1$ .

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Exercice 3

Neuf points sont marqués sur une feuille, trois d'entre eux n'étant jamais alignés. Combien de segments peut-on tracer, chaque segment joignant deux points ?

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Réponse : 36

Corrigé :

{9 \times 8 = 72}

Chaque point se relie aux huit autres.

{\frac{72}{2} = 36}

Le segment AB est le même que le segment BA : chaque segment a été compté deux fois.

$36$ . Un segment est une paire de points — même forme que les poignées de main, sous un habillage géométrique.

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Exercice 4

Pour $n$ entier positif, $\dfrac{(n+3)!}{(n+1)!}$ s'écrit comme un produit de deux facteurs consécutifs. Quel est le plus grand des deux, pour $n = 5$ ?

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Réponse : 8

Corrigé :

{\frac{(n+3)!}{(n+1)!} = (n+3)(n+2)}

Deux crans d'écart, donc deux facteurs.

{n = 5 \ \Rightarrow\ 8 \times 7}

On remplace seulement à la fin.

$8$ . Comptez les crans avant de remplacer : $(n+3)$ et $(n+1)$ sont séparés de deux, donc il reste exactement deux facteurs.

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Exercice 5

Combien de nombres à trois chiffres commencent par un chiffre impair et se terminent par $0$ ?

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Réponse : 50

Corrigé :

{\text{centaines} : 1, 3, 5, 7, 9 \ \Rightarrow\ 5}

Impair, et le zéro y était de toute façon interdit.

{5 \times 10 \times 1 = 50}

Les dizaines sont libres — le zéro y est permis —, et les unités sont imposées.

$50$ . Une case imposée vaut $1$ , pas $0$ : elle ne supprime pas le produit, elle le laisse inchangé.

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Exercice 6

Avec $4$ chemises et $3$ pantalons, on compose $4 + 3 = 7$ tenues différentes.

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Réponse : Faux

Corrigé :

4 \times 3 = 12

Pour chaque chemise, les trois pantalons restent possibles.

Faux : $12$ tenues. $7$ compte les vêtements, pas les tenues.

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Exercice 7

Un jury décerne un 1er, un 2e et un 3e prix parmi $7$ films. Complétez.

____ × ____ × ____ = ____ palmarès

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Réponse : 7 × 6 × 5 = 210 palmarès

Corrigé :

7 \times 6 \times 5 = 210

Trois prix nommés : trois facteurs, qui descendent.

$7$ , $6$ , $5$ et $210$ . Un film primé quitte le stock ; on s'arrête après trois facteurs.

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Exercice 8

Dans un groupe de $8$ amis, chacun envoie une carte de vœux à chacun des autres. Combien de cartes en tout ?

$16$
$56$
$28$
$64$

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Réponse : B $56$

Corrigé :

8 \times 7 = 56

Chaque ami écrit sept cartes.

\text{Anat} \to \text{Bar} \neq \text{Bar} \to \text{Anat}

Deux cartes différentes : l'échange change la situation, on ne divise pas.

$56$ . Le piège est $28$ : une poignée de main se partage, une carte a un expéditeur et un destinataire.

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Exercice 9

Associez chaque quotient à sa valeur.

$\dfrac{7!}{5!}$
$\dfrac{6!}{4!}$
$\dfrac{9!}{8!}$
$\dfrac{8!}{5!}$

$30$
$336$
$42$
$9$

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Réponse : $\dfrac{7!}{5!}$ — $42$ · $\dfrac{6!}{4!}$ — $30$ · $\dfrac{9!}{8!}$ — $9$ · $\dfrac{8!}{5!}$ — $336$

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{7!}{5!} &= 7 \times 6 \\ \quad \dfrac{6!}{4!} &= 6 \times 5\end{aligned}

Deux crans, deux facteurs.

\begin{aligned}\dfrac{9!}{8!} &= 9 \\ \quad \dfrac{8!}{5!} &= 8 \times 7 \times 6\end{aligned}

Un cran, puis trois.

On compte les crans, puis on multiplie seulement les facteurs qui restent.

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Exercice 10

Un nombre à trois chiffres. Chaque contrainte vit dans une seule case : laquelle ?

Centaines
Unités

Le nombre est inférieur à 300
Le nombre est pair
Le nombre est un multiple de 5
Le nombre se termine par 7
Le nombre vaut au moins 500
Le premier chiffre est impair

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Réponse : Le nombre est pair — Unités · Le nombre vaut au moins 500 — Centaines · Le nombre est un multiple de 5 — Unités · Le premier chiffre est impair — Centaines · Le nombre se termine par 7 — Unités · Le nombre est inférieur à 300 — Centaines

Corrigé :

\text{parité, multiple de } 5

Se lisent sur le dernier chiffre : les unités.

\text{taille du nombre}

Se lit sur le premier chiffre : les centaines.

Parité et multiples de $5$ se décident aux unités ; « au moins 500 », « inférieur à 300 » et le chiffre de tête, aux centaines.

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1 — La règle du produit : l'arbre se rouvre sous chaque branche

2 — L'ordre compte : les facteurs descendent

3 — L'ordre ne compte pas : la grille se replie

4 — La factorielle : on coupe, on ne calcule pas

5 — Compter des nombres : une case par chiffre

Exercices

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