La factorielle

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Voici la partie du chapitre qu'il faut travailler en premier, et ce n'est pas celle qu'on attend : depuis 2018, presque chaque session pose une question de factorielle — bien plus souvent qu'une question de dénombrement.

Et ces questions-là ne demandent rien à compter. Ce sont des manipulations d'écriture : simplifier un quotient, factoriser une somme, reconnaître ce qu'un produit vaut. Le mot « combinatoire » n'y apparaît jamais.

La définition, et ce qu'elle cache

n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋯2⋅1n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1

la définition, imprimée sur la page de formules de l'examen

La propriété qui sert vraiment n'est pas écrite sur cette page, et c'est elle qu'il faut voir : une factorielle contient toutes les plus petites, en bloc.

n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)!

et donc aussi n! = n(n-1)(n-2)! , et ainsi de suite

Ne calculez jamais une factorielle à l'examen. 20!20! compte dix-neuf chiffres ; aucune option de réponse ne l'écrira. Si vous vous surprenez à multiplier, vous avez manqué le geste.

Les seules valeurs à connaître de tête : 2!=22! = 2, 3!=63! = 6, 4!=244! = 24, 5!=1205! = 120.

Geste 1 — le quotient : on coupe

Devant (n+2)!n!\dfrac{(n+2)!}{n!}, déroulez la grande factorielle jusqu'à ce que la petite apparaisse, puis arrêtez-vous net.

(n+k)!n!=(n+k)(n+k−1)⋯(n+1)\dfrac{(n+k)!}{n!} = (n+k)(n+k-1)\cdots(n+1)

exactement k facteurs restent — un par cran

Que vaut 9!7!\dfrac{9!}{7!} ?

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Deux crans, donc deux facteurs : 9×8=729 \times 8 = 72. Et surtout pas 97\dfrac{9}{7} — la barre de fraction ne se simplifie pas comme sur des nombres ordinaires.

L'erreur qui coûte le plus ici ne vient pas du calcul mais de l'habitude.

10!5!=2!\dfrac{10!}{5!} = 2!
10!5!=10⋅9⋅8⋅7⋅6\dfrac{10!}{5!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6

Le point d'exclamation n'est pas un facteur qu'on peut simplifier : c'est une abréviation pour un produit entier.

(2n)!=2⋅n!(2n)! = 2 \cdot n!
(2n)!=2n⋅(2n−1)⋯2⋅1(2n)! = 2n \cdot (2n-1) \cdots 2 \cdot 1

Un coefficient ne sort pas d'une factorielle. 4!=244! = 24, alors que 2⋅2!=42 \cdot 2! = 4.

Geste 2 — la somme : on factorise par la plus petite

Une somme de factorielles ne se calcule pas davantage. On met la plus petite en facteur : toutes les autres la contiennent, donc tout sort d'un coup.

Le 11 du terme le plus petit s'oublie une fois sur deux. 8!+9!8! + 9! vaut 8!(1+9)=10⋅8!8!(1 + 9) = 10 \cdot 8!, jamais 9⋅8!9 \cdot 8!. C'est le distracteur que l'examen place systématiquement.

Geste 3 — reconnaître ce qu'un produit contient

Troisième forme, plus rare mais régulière : on vous donne une expression et on vous demande par quoi elle est divisible, ou ce qu'elle vaut. Le réflexe est de dérouler juste assez pour voir apparaître le facteur cherché.

Pour quel entier M>2M > 2 l'expression M!(M−2)!\dfrac{M!}{(M-2)!} est-elle divisible par 1111 ? Coupez d'abord : M!(M−2)!=M(M−1)\dfrac{M!}{(M-2)!} = M(M-1).

Onze est premier : il divise MM, ou bien M−1M - 1. Donc MM est un multiple de 1111, ou son suivant : 1111, 1212, 2222, 2323…

Dès qu'une question mêle une factorielle et une divisibilité, coupez d'abord, réfléchissez ensuite. Un produit de deux facteurs se discute ; un M!M! brut ne se discute pas.

Les trois gestes, en une ligne

(n+k)!n!\dfrac{(n+k)!}{n!}

un quotient : on coupe, il reste k facteurs

n!(1+…)n!(1 + \ldots)

une somme : on factorise par la plus petite

M!=M(M−1)(M−2)!M! = M(M-1)(M-2)!

une divisibilité : on déroule juste assez

Aucun des trois ne demande de compter quoi que ce soit. C'est pour cela que cette famille se travaille séparément du reste du chapitre — et c'est pour cela qu'elle se rattrape vite.

Exercices

Exercice 1

Que vaut 8!6!\dfrac{8!}{6!} ?

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Réponse : 56

Corrigé :

8!6!=8×7=56{\frac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56}

Deux crans d'écart, donc deux facteurs.

5656. Ne calculez ni 8!8! ni 6!6! : le quotient se coupe avant tout calcul.

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Exercice 2

12!+13!12! + 13! est égal à —

  1. 13⋅12!13 \cdot 12!
  2. 25!25!
  3. 14⋅12!14 \cdot 12!
  4. 12!⋅13!12! \cdot 13!
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Réponse : C 14⋅12!14 \cdot 12!

Corrigé :

13!=13⋅12!{13! = 13 \cdot 12!}

Le plus grand terme contient le plus petit.

12!(1+13)=14⋅12!{12!(1 + 13) = 14 \cdot 12!}

On factorise par 12!, en gardant le 1 du premier terme.

14⋅12!14 \cdot 12!. L'option 13⋅12!13 \cdot 12! est le piège : c'est ce qu'on obtient en oubliant le 11. Et 25!25! n'a aucun sens — les factorielles ne s'additionnent pas par leurs indices.

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Exercice 3

Un entier positif xx vérifie x!(x−2)!=42\dfrac{x!}{(x-2)!} = 42. Que vaut xx ?

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Réponse : 7

Corrigé :

x!(x−2)!=x(x−1)=42{\frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1) = 42}

Deux crans, deux facteurs consécutifs.

7×6=42 ⇒ x=7{7 \times 6 = 42 \ \Rightarrow\ x = 7}

Deux entiers consécutifs dont le produit vaut 42 : on les reconnaît.

77. Inutile de résoudre x2−x−42=0x^2 - x - 42 = 0 : un produit de deux consécutifs se reconnaît plus vite qu'il ne se résout.

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Exercice 4

Laquelle de ces égalités est FAUSSE ?

  1. (n+1)!n!=n+1\dfrac{(n+1)!}{n!} = n+1
  2. n!(n−2)!=n(n−1)\dfrac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)
  3. (2n)!=2⋅n!(2n)! = 2 \cdot n!
  4. n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)!
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Réponse : C (2n)!=2⋅n!(2n)! = 2 \cdot n!

Corrigé :

n=2:(2n)!=4!=24{n = 2 : (2n)! = 4! = 24}

On teste sur une valeur au lieu de raisonner.

2⋅n!=2⋅2!=4≠24{2 \cdot n! = 2 \cdot 2! = 4 \neq 24}

Les deux membres ne coïncident pas.

(2n)!=2⋅n!(2n)! = 2 \cdot n! est fausse. Un coefficient ne sort jamais d'une factorielle. Devant une question « laquelle est fausse », essayez une petite valeur : c'est plus rapide et plus sûr que quatre démonstrations.

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Exercice 5

On écrit 6!+7!=k⋅6!6! + 7! = k \cdot 6!. Que vaut kk ?

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Réponse : 8

Corrigé :

7!=7⋅6!{7! = 7 \cdot 6!}

Le plus grand contient le plus petit.

6!(1+7)=8⋅6! ⇒ k=8{6!(1 + 7) = 8 \cdot 6! \ \Rightarrow\ k = 8}

On factorise, le 1 compris.

88. Répondre 77, c'est oublier le 11 — l'erreur la plus régulière de toute cette famille.

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Exercice 6

MM est un entier supérieur à 22, et M!(M−2)!\dfrac{M!}{(M-2)!} est divisible par 77 sans reste. Lequel de ces nombres peut être MM ?

  1. 1111
  2. 1212
  3. 99
  4. 1515
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Réponse : D 1515

Corrigé :

M!(M−2)!=M(M−1){\frac{M!}{(M-2)!} = M(M-1)}

On coupe d'abord : il reste deux facteurs consécutifs.

15×14=210=7×30{15 \times 14 = 210 = 7 \times 30}

Sept est premier : il doit diviser M ou M − 1. Ici, il divise 14.

1515. 9×89 \times 8, 12×1112 \times 11 et 11×1011 \times 10 ne contiennent aucun multiple de 77. Le geste utile est le premier : couper avant de chercher.

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Exercice 7

10!5!=2!\dfrac{10!}{5!} = 2!

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Réponse : Faux

Corrigé :

10!5!=10×9×8×7×6=30 240\begin{aligned}\dfrac{10!}{5!} &= 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \\ &= 30\,240\end{aligned}

On déroule 10!10! jusqu'à 5!5!, et on coupe.

2!=22! = 2

Rien à voir.

Faux. Le point d'exclamation n'est pas un facteur qu'on simplifie : 10!5!\dfrac{10!}{5!} garde cinq facteurs.

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Exercice 8

Que vaut 12!10!\dfrac{12!}{10!} ?

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Réponse : 132

Corrigé :

12!10!=12×11=132\begin{aligned}\dfrac{12!}{10!} &= 12 \times 11 \\ &= 132\end{aligned}

Deux crans, deux facteurs.

132132. Pas 1210\dfrac{12}{10}, et pas 2!2! : on coupe le bloc 10!10!, il reste 12×1112 \times 11.

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Exercice 9

Mettez 7!7! en facteur. Complétez.

7! + 8! + 9! = 7! × (1 + ____ + ____) = ____ × 7!

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Réponse : 7! + 8! + 9! = 7! × (1 + 8 + 72) = 81 × 7!

Corrigé :

8!=8⋅7!9!=9⋅8⋅7!=72⋅7!\begin{aligned}8! &= 8 \cdot 7! \\ \quad 9! &= 9 \cdot 8 \cdot 7! \\ &= 72 \cdot 7!\end{aligned}

Chaque terme s'écrit en multiple de la plus petite.

1+8+72=811 + 8 + 72 = 81

Seule la parenthèse se calcule.

88, 7272 et 8181. Le 11 du premier terme reste dans la parenthèse.

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Exercice 10

Pour nn entier positif, (n+1)!−n!n!\dfrac{(n+1)! - n!}{n!} est égal à —

  1. n!n!
  2. n+1n+1
  3. 11
  4. nn
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Réponse : D nn

Corrigé :

(n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)! = (n+1) \cdot n!

La grande contient la petite.

n! (n+1−1)n!=n\dfrac{n!\,(n + 1 - 1)}{n!} = n

On met n!n! en facteur en haut, puis on coupe.

nn. Contrôle avec n=3n = 3 : 24−66=3\dfrac{24 - 6}{6} = 3. L'option n+1n + 1 oublie le terme −n!-n!.

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Exercice 11

Associez chaque quotient à sa forme coupée.

  • (n+1)!n!\dfrac{(n+1)!}{n!}
  • (n+2)!n!\dfrac{(n+2)!}{n!}
  • n!(n−1)!\dfrac{n!}{(n-1)!}
  • n!(n−2)!\dfrac{n!}{(n-2)!}
  • (n+2)(n+1)(n+2)(n+1)
  • n(n−1)n(n-1)
  • n+1n+1
  • nn
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Réponse : (n+1)!n!\dfrac{(n+1)!}{n!} — n+1n+1 · (n+2)!n!\dfrac{(n+2)!}{n!} — (n+2)(n+1)(n+2)(n+1) · n!(n−1)!\dfrac{n!}{(n-1)!} — nn · n!(n−2)!\dfrac{n!}{(n-2)!} — n(n−1)n(n-1)

Corrigé :

(n+k)!n!\dfrac{(n+k)!}{n!}

Il reste exactement kk facteurs : un par cran, en partant du haut.

Comptez les crans entre le haut et le bas : un cran, un facteur ; deux crans, deux facteurs.

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Exercice 12

Combien d'entiers MM, de 33 à 2020, rendent M!(M−2)!\dfrac{M!}{(M-2)!} divisible par 77 ?

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Réponse : 4

Corrigé :

M!(M−2)!=M(M−1)\dfrac{M!}{(M-2)!} = M(M-1)

On coupe d'abord.

M=781415\begin{aligned}M &= 7 \\ 8 \\ 14 \\ 15\end{aligned}

Sept est premier : il divise MM ou M−1M - 1. Le couple suivant, 2121 et 2222, dépasse 2020.

44. Un multiple de 77, ou son suivant : 77 et 88, 1414 et 1515. 2121 dépasse 2020.

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