Quand l'ordre ne compte pas · Combinatoire · Psychométriques

Un podium et une équipe se comptent différemment, et la différence tient en une phrase : sur un podium, échanger deux personnes change tout ; dans une équipe, cela ne change rien.

C'est le seul endroit du chapitre où l'examen vous fait diviser. Et le geste est toujours le même : comptez d'abord comme si l'ordre comptait, puis divisez par le nombre de façons de ranger ce que vous venez de choisir.

Les paires : diviser par deux

Six joueuses se saluent, chacune serrant la main de chacune.

Chaque joueuse en salue cinq : $6 \times 5 = 30$ . Mais chaque poignée de main est comptée deux fois : une fois du côté d'Anat, une fois du côté de Bar.

\dfrac{6 \times 5}{2} = 15

le nombre de paires que l'on peut former dans un groupe de six

\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6

quatre personnes

\dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10

cinq personnes

\dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15

six personnes

\dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45

dix personnes

Cette forme revient sous une dizaine d'habillages : poignées de main, matchs d'un tournoi où chaque équipe rencontre chaque autre, diagonales d'un polygone, segments entre des points, duos de délégués. Reconnaissez « chacun avec chacun » et la question est finie.

Le cas général : diviser par r factorielle

Choisir $3$ personnes parmi $7$ , sans distinguer les rôles : on compte d'abord comme un podium, $7 \times 6 \times 5 = 210$ .

Chaque trio a été compté autant de fois qu'on peut ranger trois personnes : $3! = 6$ .

\begin{aligned}\dfrac{7 \times 6 \times 5}{3!} &= \dfrac{210}{6} \\ &= 35\end{aligned}

choisir trois personnes parmi sept, sans rôle distinct

Le diviseur est la factorielle du nombre CHOISI, pas du nombre total. On divise par $3!$ parce qu'on a choisi trois personnes — le $7$ n'intervient pas là. C'est la confusion la plus fréquente une fois la règle comprise.

Quatre candidats se présentent, on en retient deux, sans distinguer les postes. Combien de sélections possibles ?

Voir la réponse et le corrigé

$\dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ . Et si les deux postes étaient différents — un au développement, un au contrôle — la réponse serait $4 \times 3 = 12$ , sans division. Un seul mot de l'énoncé fait passer de l'un à l'autre.

Comment savoir si l'ordre compte

Ne cherchez pas le mot « ordre » dans l'énoncé : il n'y est presque jamais. Cherchez si les places ont des noms.

n(n-1)

or et argent, président et trésorier, première et seconde manche — des noms, donc l'ordre compte

\dfrac{n(n-1)}{2}

une équipe, un comité, une paire, un groupe — pas de noms, donc l'ordre ne compte pas

Le test infaillible, quand le doute persiste : échangez deux des éléments choisis et regardez si la situation a changé.

\text{équipe} \to n(n-1)

\text{équipe} \to \dfrac{n(n-1)}{2}

Anat et Bar dans la même équipe : échanger leurs noms ne change rien du tout. Donc on divise.

\text{podium} \to \dfrac{n(n-1)}{2}

\text{podium} \to n(n-1)

Anat en or et Bar en argent, ou l'inverse : deux podiums différents. Donc on ne divise pas.

Répartir en groupes : la division cachée

Forme redoutable, et elle tombe régulièrement : « quatre amies se répartissent en deux paires ». Ici, deux divisions se cumulent — l'ordre à l'intérieur d'une paire ne compte pas, et l'ordre des paires entre elles ne compte pas non plus.

Quatre amies, deux paires

Quatre amies se répartissent en deux paires pour jouer. De combien de façons différentes ?

\text{Anat est quelque part}

Fixez une personne : Anat sera dans l'une des deux paires, peu importe laquelle.

3

Il suffit de choisir sa coéquipière parmi les trois autres — et les deux restantes forment la seconde paire d'office.

Fixer une personne est souvent plus sûr que diviser. La division correcte donnerait $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 3$ , mais il faut penser à diviser deux fois. Fixer Anat supprime le problème : il ne reste qu'un seul choix à faire, et on ne peut plus compter deux fois.

Retenez la question qui trie tout ce cours : est-ce que j'ai compté le même objet plusieurs fois ? Si oui, combien de fois — et c'est par ce nombre-là qu'on divise.

Exercices

Exercice 1

Dix personnes se saluent, chacune serrant la main de chacune des autres, une seule fois. Combien de poignées de main ?

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Réponse : 45

Corrigé :

{10 \times 9 = 90}

Chaque personne en salue neuf autres.

{\frac{90}{2} = 45}

Chaque poignée a été comptée deux fois, une par participant.

$45$ . Répondre $90$ , c'est compter chaque poignée de main deux fois.

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Exercice 2

Une classe de $12$ élèves doit élire un comité de $2$ membres, sans distinguer les rôles. Combien de comités possibles ?

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Réponse : 66

Corrigé :

{\frac{12 \times 11}{2} = 66}

« Comité » sans rôle nommé : l'ordre ne compte pas, donc on divise par deux.

$66$ . Si l'énoncé avait dit « un président et un trésorier », la réponse serait $12 \times 11 = 132$ : le même choix, avec des places qui portent un nom.

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Exercice 3

Dans un tournoi, chacune des $8$ équipes rencontre chacune des autres exactement une fois. Combien de matchs ?

$28$
$56$
$64$
$16$

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Réponse : A $28$

Corrigé :

{\frac{8 \times 7}{2} = 28}

Un match est une paire d'équipes, et Hapoël contre Maccabi est le même match que Maccabi contre Hapoël.

$28$ . $56$ serait la réponse d'un tournoi aller-retour, où chaque paire se rencontre deux fois — l'examen place presque toujours les deux côte à côte.

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Exercice 4

Six personnes doivent former un groupe de trois. Combien de groupes différents ?

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Réponse : 20

Corrigé :

{6 \times 5 \times 4 = 120}

D'abord comme si les trois places avaient des noms.

{\frac{120}{3!} = \frac{120}{6} = 20}

Chaque groupe a été compté $3! = 6$ fois, une par rangement de ses trois membres.

$20$ . Le diviseur est $3!$ parce qu'on choisit trois personnes — le $6$ du stock n'intervient pas dans la division.

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Exercice 5

Six amis se répartissent en trois paires. De combien de façons différentes ?

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Réponse : 15

Corrigé :

{\text{on fixe Yuval} \ \Rightarrow\ 5}

Cinq coéquipiers possibles pour Yuval.

{\text{on fixe le suivant} \ \Rightarrow\ 3}

Parmi les quatre restants, on en fixe un : trois coéquipiers possibles. Les deux derniers forment la dernière paire d'office.

{5 \times 3 = 15}

Et il n'y a rien à diviser : chaque répartition a été construite une seule fois.

$15$ . La méthode « je fixe quelqu'un, je lui donne un partenaire, je recommence » évite toute division — donc tout risque de diviser une fois de trop ou une fois de moins.

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Exercice 6

Une entreprise reçoit $5$ candidats. Elle en embauche un au développement, un au contrôle, et ne retient pas les trois autres. Combien d'affectations différentes ?

$10$
$120$
$60$
$20$

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Réponse : D $20$

Corrigé :

{5 \times 4 = 20}

Les deux postes portent des noms différents : l'ordre compte, il n'y a rien à diviser.

$20$ . $10$ est la réponse à une autre question — « on en retient deux, sans dire pour quel poste ». Un seul mot de l'énoncé sépare les deux, et c'est le mot que l'examen surveille.

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Exercice 7

Choisir $2$ délégués parmi $9$ élèves, sans distinguer de rôle, donne $9 \times 8 = 72$ possibilités.

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Réponse : Faux

Corrigé :

9 \times 8 = 72

Ce produit compte chaque paire deux fois : (Anat, Bar) et (Bar, Anat).

\dfrac{72}{2} = 36

Sans rôle, on divise par deux.

Faux : $36$ paires. $72$ serait la bonne réponse avec deux rôles nommés — délégué et suppléant, par exemple.

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Exercice 8

Sept points sont marqués sur une feuille, trois d'entre eux n'étant jamais alignés. Combien de segments joignent deux de ces points ?

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Réponse : 21

Corrigé :

7 \times 6 = 42

Chaque point se relie aux six autres.

\dfrac{42}{2} = 21

Le segment $AB$ est le segment $BA$ .

$21$ . Un segment est une paire de points : « chacun avec chacun », donc on divise par deux.

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Exercice 9

On choisit $4$ personnes parmi $6$ , sans rôles. Complétez.

Comme si l'ordre comptait : ____. Chaque groupe compté : ____ fois. Groupes : ____.

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Réponse : Comme si l'ordre comptait : 360. Chaque groupe compté : 24 fois. Groupes : 15.

Corrigé :

6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360

Quatre places, comme si elles portaient des noms.

4! = 24

Un groupe de quatre se range de $24$ façons.

\dfrac{360}{24} = 15

$360$ , $24$ et $15$ . Le diviseur est $4!$ : la factorielle du nombre choisi.

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Exercice 10

Dans chaque situation, l'ordre compte-t-il ?

L'ordre compte
L'ordre ne compte pas

Le code d'un coffre
Les matchs d'un tournoi, une rencontre par paire
Les poignées de main d'une fête
Un comité de trois membres
Un podium or, argent, bronze
Un président et un trésorier

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Réponse : Un président et un trésorier — L'ordre compte · Un comité de trois membres — L'ordre ne compte pas · Les poignées de main d'une fête — L'ordre ne compte pas · Un podium or, argent, bronze — L'ordre compte · Les matchs d'un tournoi, une rencontre par paire — L'ordre ne compte pas · Le code d'un coffre — L'ordre compte

Corrigé :

\text{des noms} \Rightarrow n(n-1)\cdots

Président, or, position dans un code : chaque place a son nom.

\text{pas de noms} \Rightarrow \div r!

Un comité, une poignée de main, un match : échanger deux membres ne change rien.

Le test : échangez deux éléments. Si la situation change, l'ordre compte ; sinon, on divise.

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Exercice 11

Combien de diagonales a un hexagone (six sommets) ?

$15$
$12$
$9$
$6$

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Réponse : C $9$

Corrigé :

\dfrac{6 \times 5}{2} = 15

Les segments qui joignent deux sommets.

15 - 6 = 9

Six de ces segments sont des côtés, pas des diagonales.

$9$ . $15$ compte aussi les six côtés. Autre chemin : chaque sommet envoie une diagonale vers $3$ sommets non voisins, $\dfrac{6 \times 3}{2} = 9$ .

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Exercice 12

Une classe de $10$ élèves choisit $3$ représentants, sans rôle distinct. Combien de choix ?

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Réponse : 120

Corrigé :

10 \times 9 \times 8 = 720

D'abord comme si les places avaient des noms.

\begin{aligned}\dfrac{720}{3!} &= \dfrac{720}{6} \\ &= 120\end{aligned}

Chaque trio a été compté six fois.

$120$ . Diviser par $10$ ou par $3$ au lieu de $3! = 6$ est l'erreur classique.

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Les paires : diviser par deux

Le cas général : diviser par r factorielle

Comment savoir si l'ordre compte

Répartir en groupes : la division cachée

Exercices

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