Quand l'ordre compte

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La règle du produit suffit à tout compter. Ce chapitre-ci ne fait qu'une chose : elle nomme le cas le plus fréquent, celui où les places sont distinctes et où on ne peut pas se répéter.

Les places distinctes : le podium

Cinq coureuses, trois places sur le podium. Distribuez vous-même les médailles.

5×4×3=605 \times 4 \times 3 = 60

trois facteurs, un par place, qui descendent de un à chaque fois

Le nombre de facteurs, c'est le nombre de PLACES — jamais le nombre de candidats. Trois places, trois facteurs, même s'il y a cent coureuses. C'est l'erreur qui coûte le plus cher ici : on se met à descendre jusqu'à 11 alors que la question ne demandait que trois places.

Ce qui fait « compter l'ordre », c'est que les places ont des noms différents. Or et argent ne sont pas interchangeables.

La question à se poser : *si j'échange deux des éléments choisis, est-ce que j'obtiens autre chose ?* Si oui, l'ordre compte.

Quand toutes les places sont occupées : la factorielle

Cas particulier, le plus courant à l'examen : autant de places que d'éléments. Cinq livres, cinq emplacements sur l'étagère.

5×4×3×2×1=5!=120\begin{aligned}5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 &= 5! \\ &= 120\end{aligned}

ranger n objets sur n places, c'est n factorielle

La page de formules de l'examen imprime cette définition — « n!=n(n−1)(n−2)⋯2⋅1n! = n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 » — et ce depuis 2013. Elle est donc supposée connue, mais aucune formule d'arrangement ni de combinaison n'y figure. Traduction : on attend de vous le geste, pas la formule.

2!=22! = 2

deux objets, deux rangements

3!=63! = 6

trois objets

4!=244! = 24

quatre objets

5!=1205! = 120

cinq objets

Ces quatre valeurs suffisent : sur vingt-cinq sessions, aucune question ne demande plus que 5!5! en valeur numérique. Apprenez-les, vous ne les recalculerez jamais.

Six enfants font la queue. De combien de façons peuvent-ils se ranger ?

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6!=7206! = 720. Six choix pour le premier de la file, cinq pour le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, qui n'a plus le choix — d'où le facteur 11 final, qui ne change rien mais qui ferme le raisonnement.

Le bloc : quand deux éléments doivent rester collés

Forme classique de l'examen : « rangez-les de sorte que AA et BB soient l'un à côté de l'autre ». Le geste est toujours le même, en deux temps.

On aligne 44 ballons — noir, blanc, rouge, vert — de sorte que le noir et le blanc soient côte à côte. Combien d'alignements ?

Coller, ranger, puis rouvrir le bloc. L'oubli du facteur 22 final est le distracteur que l'examen place en option, presque à chaque fois : il propose 66 à côté de 1212.

Avec répétition : le stock ne bouge pas

Si l'énoncé autorise de reprendre un élément déjà utilisé, rien ne descend. Chaque étape garde ses nn possibilités, et le total s'écrit en puissance.

nrn^{r}

r étapes, n choix à chacune, répétition permise

Un alphabet compte 1515 lettres. Combien de mots de deux lettres peut-on écrire, les répétitions étant permises ?

Les quatre options d'une telle question sont presque toujours les quatre écritures voisines. Sachez lesquelles vous cherchez.

2152^{15}
15215^{2}

L'exposant est le nombre d'ÉTAPES ; la base est le nombre de CHOIX. Ici, deux étapes, quinze choix.

15×14=21015 \times 14 = 210
15×15=22515 \times 15 = 225

Ce serait la réponse si les deux lettres devaient être différentes. Relisez : l'énoncé le dit, ou ne le dit pas.

Le tableau des quatre situations

nrn^{r}

l'ordre compte, répétition permise — un code

n(n−1)⋯n(n-1)\cdots

l'ordre compte, sans répétition — un podium

n!n!

l'ordre compte, tout le monde est placé — une file

n(n−1)2\dfrac{n(n-1)}{2}

l'ordre ne compte pas — une paire (cours suivant)

Ne mémorisez pas ce tableau comme quatre formules à reconnaître. Mémorisez les deux questions qui mènent à chaque case : est-ce que je peux me répéter ? est-ce que l'échange de deux éléments change le résultat ? Les formules se redéduisent en dix secondes ; la reconnaissance de motif, elle, se trompe.

Exercices

Exercice 1

Sept athlètes disputent une finale. Combien de podiums différents — or, argent, bronze — peut-on obtenir ?

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Réponse : 210

Corrigé :

7×6×5=210{7 \times 6 \times 5 = 210}

Trois places, donc trois facteurs, et le stock perd un athlète à chaque fois.

210210. Pas 7!=5 0407! = 5\,040 : la question ne demande que trois places, donc on s'arrête après trois facteurs.

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Exercice 2

De combien de façons peut-on ranger 55 livres différents côte à côte sur une étagère ?

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Réponse : 120

Corrigé :

5!=5×4×3×2×1=120{5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120}

Autant de places que de livres : la descente va jusqu'au bout.

120120. C'est la valeur de 5!5! — l'une des quatre à connaître de mémoire.

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Exercice 3

Un code d'accès fait 44 caractères, chacun choisi parmi 66 symboles, un symbole pouvant servir plusieurs fois. Combien de codes possibles ?

  1. 6×5×4×36 \times 5 \times 4 \times 3
  2. 464^{6}
  3. 6!6!
  4. 646^{4}
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Réponse : D 646^{4}

Corrigé :

6×6×6×6=64{6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^{4}}

Quatre étapes, six choix à chacune, et le stock ne bouge pas.

646^{4}. La base est le nombre de choix, l'exposant le nombre de places — 464^6 intervertit les deux. L'option 6×5×4×36 \times 5 \times 4 \times 3 serait la bonne si les symboles devaient être tous différents.

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Exercice 4

Quatre amis s'assoient sur un banc de quatre places. Deux d'entre eux, Dana et Eyal, veulent être côte à côte. Combien de dispositions ?

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Réponse : 12

Corrigé :

3!=6{3! = 6}

On colle Dana et Eyal : trois objets à ranger, dont le bloc.

6×2=12{6 \times 2 = 12}

Puis on rouvre le bloc : Dana-Eyal ou Eyal-Dana.

1212. Répondre 66, c'est oublier de rouvrir le bloc — et c'est très exactement le distracteur que l'examen place à côté de la bonne réponse.

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Exercice 5

Chaque vache d'une étable porte un numéro à 44 chiffres, tous impairs et tous différents. Combien de vaches l'étable peut-elle compter au maximum ?

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Réponse : 120

Corrigé :

impairs:1,3,5,7,9 ⇒ 5 chiffres{\text{impairs} : 1, 3, 5, 7, 9 \ \Rightarrow\ 5 \text{ chiffres}}

Le stock de départ n'est pas dix, mais cinq.

5×4×3×2=120{5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120}

Quatre cases, tous différents : le stock descend.

120120. Le travail réel est de trouver que le stock vaut 55, pas 1010 : une fois cela posé, la question est finie en un produit.

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Exercice 6

Cinq enfants font la queue. Combien de files différentes commencent par Noa ?

  1. 2424
  2. 6060
  3. 120120
  4. 55
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Réponse : A 2424

Corrigé :

place 1 fixeˊe ⇒ 4 enfants aˋ ranger{\text{place 1 fixée} \ \Rightarrow\ 4 \text{ enfants à ranger}}

Noa n'a pas de choix : sa place est imposée.

4!=24{4! = 24}

Les quatre autres se rangent librement derrière elle.

2424. Une contrainte qui fixe une place ne se corrige pas après coup : elle retire simplement une étape du produit. C'est la façon la plus rapide de traiter « sachant que X est premier ».

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Exercice 7

Pour compter les podiums de 33 places parmi 1010 coureurs, on calcule 10!10!.

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Réponse : Faux

Corrigé :

10×9×8=72010 \times 9 \times 8 = 720

Trois places, donc trois facteurs.

10!=3 628 80010! = 3\,628\,800

10!10! rangerait les dix coureurs sur dix places.

Faux. Le nombre de facteurs est le nombre de places, pas de coureurs : 720720 podiums.

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Exercice 8

Un club de 99 membres élit un président, un vice-président et un secrétaire, trois personnes différentes. Combien de bureaux possibles ?

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Réponse : 504

Corrigé :

9×8×7=5049 \times 8 \times 7 = 504

Trois postes nommés : l'ordre compte, et chaque élu quitte le stock.

504504. Pas 5046=84\dfrac{504}{6} = 84 : les postes portent des noms, on ne divise pas.

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Exercice 9

Associez chaque factorielle à sa valeur.

  • 3!3!
  • 4!4!
  • 5!5!
  • 6!6!
  • 120120
  • 2424
  • 66
  • 720720
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Réponse : 3!3! — 66 · 4!4! — 2424 · 5!5! — 120120 · 6!6! — 720720

Corrigé :

3!=64!=4×6=24\begin{aligned}3! &= 6 \\ \quad 4! &= 4 \times 6 \\ &= 24\end{aligned}

Chaque factorielle est la précédente fois un nombre de plus.

5!=5×24=1206!=6×120=720\begin{aligned}5! &= 5 \times 24 \\ &= 120 \\ \quad 6! &= 6 \times 120 \\ &= 720\end{aligned}

On ne recalcule jamais depuis 11 : n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)!. Retenez 3!3!, 4!4! et 5!5! de tête.

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Exercice 10

Cinq amis s'assoient sur un banc de cinq places. Deux d'entre eux veulent être côte à côte. Complétez.

Objets à ranger, bloc compris : ____. Rangements de ces objets : ____. Total, bloc rouvert : ____.

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Réponse : Objets à ranger, bloc compris : 4. Rangements de ces objets : 24. Total, bloc rouvert : 48.

Corrigé :

5−1=45 - 1 = 4

Les deux voisins collés comptent pour un seul objet.

4!=244! = 24

On range les quatre objets.

24×2=4824 \times 2 = 48

Le bloc se rouvre dans deux sens.

44, 2424 et 4848. Oublier le facteur 22 donne 2424 — l'option piège.

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Exercice 11

Rangez ces quatre écritures du plus petit au plus grand nombre.

  • 5×45 \times 4
  • 5!5!
  • 525^{2}
  • 545^{4}
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Réponse : 5×45 \times 4 · 525^{2} · 5!5! · 545^{4}

Corrigé :

5×4=2052=25\begin{aligned}5 \times 4 &= 20 \\ \quad 5^{2} &= 25\end{aligned}

Deux places parmi cinq, sans répétition, puis avec.

5!=12054=625\begin{aligned}5! &= 120 \\ \quad 5^{4} &= 625\end{aligned}

Cinq objets sur cinq places, puis quatre cases à cinq choix.

20<25<120<62520 < 25 < 120 < 625. Ce sont les quatre options voisines que l'examen aime poser côte à côte.

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Exercice 12

Un code fait 33 lettres prises parmi 88, une lettre pouvant revenir. Combien de codes ?

  1. 838^{3}
  2. 8!8!
  3. 8×7×68 \times 7 \times 6
  4. 383^{8}
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Réponse : A 838^{3}

Corrigé :

8×8×8=83=512\begin{aligned}8 \times 8 \times 8 &= 8^{3} \\ &= 512\end{aligned}

Trois étapes, huit choix à chacune : le stock ne bouge pas.

838^{3}. La base est le nombre de choix, l'exposant le nombre de cases : 383^{8} les intervertit. 8×7×68 \times 7 \times 6 interdit la répétition, 8!8! range huit lettres.

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