La règle du produit · Combinatoire · Psychométriques

La combinatoire, c'est l'art de compter sans énumérer.

L'examen ne vous demande jamais d'écrire la liste. Il demande combien d'éléments elle contient — avec des nombres qui rendent la liste trop longue pour la minute dont vous disposez.

Bonne nouvelle : sur les vingt-cinq dernières sessions, aucune question de ce chapitre ne dépasse quatre facteurs.

Pas de formule savante à apprendre : un geste, et deux questions à se poser avant de l'appliquer.

Le geste : découper en étapes

Devant n'importe quelle question de dénombrement, commencez par la même phrase : « pour construire un objet, je fais quoi, dans quel ordre ? »

Un trajet : un train, puis un bus. Un code : un chiffre, puis un autre, puis un autre. Un podium : l'or, puis l'argent, puis le bronze.

Une fois les étapes écrites, on compte les choix de chacune, et on multiplie.

n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k

autant de facteurs que d'étapes, un facteur par étape

Le mot qui déclenche la multiplication n'est pas « et ». C'est « pour chaque ». « Trois trains, et pour chacun, quatre bus » : $3 \times 4$ . Si vous ne pouvez pas placer « pour chaque » dans votre phrase, vous n'êtes pas en train de multiplier.

La cafétéria propose $4$ plats chauds, $3$ salades et $2$ desserts. Un repas complet prend un de chaque. Combien de repas différents ?

Si la cafétéria ajoute une quatrième salade, combien de repas au total ?

Voir la réponse et le corrigé

$4 \times 4 \times 2 = 32$ . Un choix de plus à une étape multiplie le total tout entier — c'est pour cela qu'on ne peut pas « ajouter » une possibilité au résultat.

La première question : est-ce que je peux me répéter ?

Tout dépend de ce que l'étape précédente a consommé.

Un code de cadenas peut faire $7\,7\,7$ : le premier $7$ n'a pas retiré le chiffre du stock. Un podium ne peut pas donner l'or et l'argent à la même coureuse : elle quitte le stock dès qu'on la nomme.

n \times n \times n

avec répétition — le stock ne bouge pas

n(n-1)(n-2)

sans répétition — le stock perd un élément par étape

L'énoncé le dit toujours, mais rarement avec le mot « répétition ». Cherchez plutôt : « différents l'un de l'autre », « une seule fois », « chacun reçoit un poste distinct » — ce sont les formules qui interdisent la répétition. Et à l'inverse : « un chiffre peut figurer plus d'une fois », qui l'autorise explicitement.

Un code de $4$ chiffres, tous différents. Combien de facteurs, et lesquels ?

Voir la réponse et le corrigé

Quatre cases, donc quatre facteurs, qui descendent : $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040$ . Un chiffre posé quitte le stock.

Compter des nombres : une case par chiffre

Une famille entière de questions dit « combien de nombres », jamais « combien de façons ». C'est la même règle, déguisée.

Un nombre à trois chiffres, c'est trois cases : centaines, dizaines, unités. Chaque case est une étape.

Combien de nombres à trois chiffres sont pairs ?

Ici, les cases sont indépendantes : l'ordre dans lequel on les remplit ne change rien.

Quand deux cases se gênent, un seul produit ne suffit plus. « Pair, à trois chiffres, tous différents » : les centaines dépendent de ce que les unités ont pris.

1 \times 9 \times 8 = 72

le zéro en unités : neuf centaines possibles, puis huit dizaines

4 \times 8 \times 8 = 256

un autre chiffre pair en unités : huit centaines, puis huit dizaines

On multiplie dans chaque cas, on additionne entre les cas : $72 + 256 = 328$ .

Le piège central : additionner

L'erreur la plus chère du chapitre, et elle vient du langage courant : « trois trains et quatre bus » sonne comme une somme.

3 + 4 = 7

3 \times 4 = 12

La somme compte les véhicules. Le produit compte les trajets — et c'est un trajet que l'on vous demande.

Trois trains mènent à Tel-Aviv, et de là quatre bus mènent à Haïfa. Combien de trajets ?

Il existe pourtant un cas où l'on additionne vraiment : quand les possibilités sont des cas séparés, pas des étapes successives.

« Le code commence par $A$ ou bien par $B$ » : on compte chaque cas à part, puis on ajoute.

\times

des étapes successives : on multiplie

+

des cas qui s'excluent : on additionne

Un mot de passe fait deux caractères : une lettre parmi $26$ puis un chiffre parmi $10$ , ou bien un chiffre puis une lettre. Combien de mots de passe ?

Voir la réponse et le corrigé

$26 \times 10 = 260$ dans un ordre, autant dans l'autre, et les deux cas ne se recouvrent pas : $260 + 260 = 520$ . On a multiplié dans chaque cas, puis additionné entre les cas.

Ce qu'il faut retenir

Trois réflexes, dans cet ordre.

1

quelles sont mes étapes ?

2

une étape enlève-t-elle quelque chose aux suivantes ?

3

je multiplie des étapes, ou j'additionne des cas séparés ?

Si vos trois réponses tiennent en une ligne, la question est finie. Une question de ce chapitre qui vous demande plus de trente secondes de calcul est presque toujours une question que vous avez mal découpée — pas une question difficile.

Exercices

Exercice 1

Une ligne de bus dessert $5$ arrêts en ville et $6$ arrêts en banlieue. Combien de trajets différents peut-on faire d'un arrêt de ville vers un arrêt de banlieue ?

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Réponse : 30

Corrigé :

{5 \times 6 = 30}

Deux étapes : le départ, puis l'arrivée. Pour chaque départ, les six arrivées restent disponibles.

$30$ . Le piège serait $5 + 6 = 11$ , qui compte les arrêts et non les trajets.

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Exercice 2

Un cadenas porte trois molettes, chacune graduée de $0$ à $9$ . Combien de combinaisons différentes ?

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Réponse : 1000

Corrigé :

{10 \times 10 \times 10 = 1000}

Chaque molette a dix positions, et une molette n'enlève rien aux autres.

$1\,000$ . La répétition est permise : $7\,7\,7$ est une combinaison comme une autre. C'est exactement pour cela que le stock reste à dix à chaque étape.

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Exercice 3

Dans une école, chaque classe reçoit un nom formé d'une lettre parmi $\{A, B, C, D\}$ suivie d'un chiffre parmi $\{1, 2, 3\}$ . On ajoute une cinquième lettre au stock. Combien de noms possibles en plus ?

$3$
$5$
$12$
$1$

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Réponse : A $3$

Corrigé :

{4 \times 3 = 12 \quad \text{puis} \quad 5 \times 3 = 15}

On recompte le total dans les deux situations.

{15 - 12 = 3}

L'écart est de trois noms.

$3$ . Une lettre de plus ouvre trois noms, un par chiffre — pas un seul. C'est la trace la plus nette que le total est un produit : ajouter une possibilité à une étape ajoute au total tout ce que les autres étapes offrent.

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Exercice 4

Combien de nombres à trois chiffres n'utilisent aucun zéro ?

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Réponse : 729

Corrigé :

{9 \times 9 \times 9 = 729}

Trois cases, neuf chiffres possibles à chacune — de 1 à 9.

$729$ . Les chiffres peuvent se répéter : rien dans l'énoncé ne l'interdit, et c'est l'omission la plus fréquente.

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Exercice 5

Combien de nombres à deux chiffres se terminent par $0$ ou par $5$ ?

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Réponse : 18

Corrigé :

{\text{dizaines} : 9, \quad \text{unités} : 2}

Le zéro est interdit en tête ; les unités n'ont que deux valeurs autorisées.

{9 \times 2 = 18}

Une case par chiffre, et on multiplie.

$18$ . Ce sont les multiples de $5$ entre $10$ et $99$ — on peut le vérifier autrement : de $10$ à $95$ , il y en a $18$ .

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Exercice 6

Un restaurant propose $3$ entrées et $5$ plats. Un client prend soit une entrée seule, soit un plat seul, soit les deux. Combien de commandes différentes peut-il passer ?

$8$
$15$
$30$
$23$

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Réponse : D $23$

Corrigé :

{3 + 5 = 8}

Les commandes à un seul article : trois entrées seules, cinq plats seuls.

{3 \times 5 = 15}

Les commandes à deux articles : une entrée ET un plat.

{8 + 15 = 23}

Les trois cas s'excluent : on additionne.

$23$ . La question mélange exprès les deux règles : on multiplie à l'intérieur d'un cas, on additionne entre des cas qui s'excluent. Répondre $15$ , c'est oublier les commandes à un seul article.

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Exercice 7

Un code de $3$ lettres, chacune choisie parmi $5$ (une lettre peut revenir), admet $5 + 5 + 5 = 15$ possibilités.

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Réponse : Faux

Corrigé :

5 \times 5 \times 5 = 125 \neq 15

Trois étapes, cinq choix à chacune : pour chaque première lettre, les cinq secondes restent possibles.

Faux. Il y a $125$ codes, et non $15$ . La somme compte les lettres disponibles, pas les codes : des étapes successives se multiplient.

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Exercice 8

Une glace se compose d'un parfum parmi $6$ , d'un cornet parmi $2$ et d'un nappage parmi $3$ . Combien de glaces différentes ?

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Réponse : 36

Corrigé :

6 \times 2 \times 3 = 36

Trois étapes : pour chaque parfum, chaque cornet ; pour chaque couple, chaque nappage.

$36$ . Le piège serait $6 + 2 + 3 = 11$ , qui compte des ingrédients et non des glaces.

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Exercice 9

Un code de $3$ chiffres (de $0$ à $9$ ), tous différents. Complétez.

Première case : ____ choix. Deuxième case : ____ choix. Troisième case : ____ choix. Total : ____ codes.

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Réponse : Première case : 10 choix. Deuxième case : 9 choix. Troisième case : 8 choix. Total : 720 codes.

Corrigé :

10 \times 9 \times 8 = 720

Chaque chiffre posé quitte le stock : le compte descend de un à chaque case.

$10$ , $9$ , $8$ et $720$ . Sans la contrainte « différents », ce serait $10^{3} = 1\,000$ .

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Exercice 10

Dans chaque situation, peut-on reprendre un élément déjà utilisé ?

Répétition permise
Répétition interdite

Le code d'un cadenas à trois molettes
Ranger cinq livres sur une étagère
Un mot de passe de quatre lettres
Un numéro de téléphone
Un podium or, argent, bronze
Un président et un trésorier élus dans une classe

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Réponse : Le code d'un cadenas à trois molettes — Répétition permise · Un podium or, argent, bronze — Répétition interdite · Un mot de passe de quatre lettres — Répétition permise · Un président et un trésorier élus dans une classe — Répétition interdite · Un numéro de téléphone — Répétition permise · Ranger cinq livres sur une étagère — Répétition interdite

Corrigé :

\text{stock fixe} \Rightarrow n \times n \times \cdots

Un chiffre, une lettre se réutilisent : rien ne quitte le stock.

\text{stock qui baisse} \Rightarrow n(n-1)\cdots

Une personne, un livre ne peuvent pas occuper deux places.

La question à se poser : l'élément choisi quitte-t-il le stock ? Une personne ne monte pas deux fois sur le podium ; un chiffre peut revenir dans un code.

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Exercice 11

Combien de nombres à trois chiffres sont divisibles par $5$ ?

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Réponse : 180

Corrigé :

\text{centaines} : 9, \ \text{dizaines} : 10, \ \text{unités} : 2

Le zéro est interdit en tête ; un multiple de $5$ finit par $0$ ou par $5$ .

9 \times 10 \times 2 = 180

Une case par chiffre, et on multiplie.

$180$ . Contrôle : de $100$ à $995$ , les multiples de $5$ sont $\dfrac{995 - 100}{5} + 1 = 180$ .

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Exercice 12

Pour aller de $A$ à $C$ , on passe soit par $B$ ( $3$ routes de $A$ à $B$ , puis $2$ routes de $B$ à $C$ ), soit par l'une des $4$ routes directes. Combien de trajets ?

$24$
$10$
$6$
$9$

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Réponse : B $10$

Corrigé :

3 \times 2 = 6

Par $B$ : deux étapes successives, on multiplie.

6 + 4 = 10

Par $B$ ou en direct : deux cas qui s'excluent, on additionne.

$10$ . $24 = 3 \times 2 \times 4$ multiplie aussi les routes directes, comme si on les empruntait après les autres. $6$ oublie les routes directes. $9 = 3 + 2 + 4$ additionne tout.

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Le geste : découper en étapes

La première question : est-ce que je peux me répéter ?

Compter des nombres : une case par chiffre

Le piège central : additionner

Ce qu'il faut retenir

Exercices

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