Série 5 — Le niveau de l'examen · Combinatoire · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre (règle du produit, ordre, choix) avant de continuer.

À ce niveau, chaque question demande de choisir sa méthode avant de compter : le contraire (« au moins une femme »), des cas séparés (« pair » avec un 0 possible), une division (l'ordre ne compte pas), ou un raisonnement qui force (une tournée, un minimum). Écrivez la méthode en un mot avant le premier calcul.

Les routes entre six stations

Les huit routes : A–B, A–C, A–D, B–C, B–E, C–F, D–E et D–F. Le schéma n'est pas à l'échelle. La question marquée « d'après le schéma » s'y réfère.

Exercices

Exercice 1

Sur un quadrillage, on va du point $(0, 0)$ au point $(4, 3)$ par un chemin le plus court ; chaque pas avance d'une unité vers la droite ou vers le haut. Combien de ces chemins passent par le point $(2, 1)$ sans passer par le point $(3, 2)$ ?

$18$
$9$
$12$
$6$

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Réponse : D $6$

Corrigé :

3

de (0, 0) à (2, 1) : 3 chemins

6

de (2, 1) à (4, 3) : 6 chemins

3 \times 6 = 18

par (2, 1)

3 \times 2 \times 2 = 12

par (2, 1) puis par (3, 2)

18 - 12 = 6

La bonne réponse : « $6$ ». « $18$ » oublie d'exclure les chemins qui passent par $(3, 2)$ . « $12$ » compte les chemins qui passent par les deux points, le contraire de ce qu'on retire. « $9$ » additionne les chemins des deux tronçons, 3 et 6, au lieu de les multiplier.

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Exercice 2

Une chaîne de transmission touche 12 filles et 11 garçons, chacun une seule fois ; chaque transmission va d'une fille à un garçon ou d'un garçon à une fille. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

La chaîne commence et finit par une fille
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
La chaîne commence par un garçon
La chaîne commence par une fille et finit par un garçon

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A La chaîne commence et finit par une fille

Corrigé :

12 + 11 = 23

personnes, rangées en alternance

en alternance, le groupe le plus nombreux occupe les rangs impairs 1, 3, …, 23 : le premier et le dernier

La bonne réponse : « La chaîne commence et finit par une fille ». « La chaîne commence par une fille et finit par un garçon » donnerait autant de filles que de garçons. « La chaîne commence par un garçon » donnerait au moins autant de garçons que de filles. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit que l'alternance laisse les extrémités libres : les effectifs les fixent.

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Exercice 3

Un comité de 3 personnes, sans rôle distinct, est choisi parmi 5 femmes et 4 hommes. Il doit compter au moins une femme. Combien de comités sont possibles ?

$140$
$84$
$30$
$80$

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Réponse : D $80$

Corrigé :

\tfrac{9 \times 8 \times 7}{3!} = 84

tous les comités

\tfrac{4 \times 3 \times 2}{3!} = 4

les comités sans aucune femme

84 - 4 = 80

le contraire de « au moins une femme »

La bonne réponse : « $80$ ». « $140$ » choisit d'abord « la » femme, puis deux personnes parmi les 8 autres, $5 \times 28$ : un comité de deux femmes est compté deux fois, un comité de trois femmes trois fois. « $84$ » oublie la condition. « $30$ » compte les comités d'exactement une femme, $5 \times 6$ .

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Exercice 4

On répartit 8 bonbons identiques entre trois enfants, Lia, Omer et Shir, de sorte que chacun en reçoive au moins un. Combien de répartitions sont possibles ?

$6561$
$5$
$45$
$21$

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Réponse : D $21$

Corrigé :

on aligne les 8 bonbons : il y a 7 espaces entre deux bonbons voisins

\tfrac{7 \times 6}{2} = 21

on choisit 2 de ces espaces pour couper : la part de Lia, puis celle d'Omer, puis celle de Shir

La bonne réponse : « $21$ ». « $45$ » permet à un enfant de ne rien recevoir : $\frac{10 \times 9}{2}$ . « $5$ » compte les partages sans dire qui reçoit quoi (6, 1, 1 ; 5, 2, 1 ; …) : ici, Lia qui reçoit 6 et Lia qui reçoit 1 sont deux répartitions. « $6561$ » traite les bonbons comme distincts, chacun choisissant son enfant : $3^8$ , et sans la condition « au moins un ».

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Exercice 5

Combien de nombres de trois chiffres sont pairs et ont leurs trois chiffres différents ?

$450$
$328$
$360$
$256$

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Réponse : B $328$

Corrigé :

9 \times 8 = 72

unités 0 : 9 choix pour les centaines, puis 8 pour les dizaines

4 \times 8 \times 8 = 256

unités 2, 4, 6 ou 8 : les centaines ne peuvent être ni 0 ni le chiffre des unités, puis 8 choix pour les dizaines

72 + 256 = 328

La bonne réponse : « $328$ ». « $360$ » remplit les centaines (9), puis les dizaines (8), puis donne 5 choix pairs aux unités, $9 \times 8 \times 5$ , sans retirer les chiffres pairs déjà pris. « $450$ » oublie la condition « différents » : c'est la moitié des 900 nombres de trois chiffres. « $256$ » oublie le cas où le chiffre des unités est 0.

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Exercice 6

Combien d'entiers de 1 à 100 sont divisibles par 2 ou par 3 ?

$67$
$83$
$50$
$16$

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Réponse : A $67$

Corrigé :

50

de 1 à 100 : les multiples de 2

33

les multiples de 3

16

les multiples de 6, comptés dans les deux groupes

50 + 33 - 16 = 67

La bonne réponse : « $67$ ». « $83$ » oublie de retirer les multiples de 6 : ils sont comptés deux fois. « $50$ » ne compte que les multiples de 2, et oublie les multiples de 3 impairs. « $16$ » compte les nombres divisibles par 2 et par 3.

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Exercice 7

Un code a 4 chiffres, chacun de 0 à 9. Combien de codes contiennent le chiffre 7 exactement deux fois ?

$81$
$972$
$600$
$486$

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Réponse : D $486$

Corrigé :

\tfrac{4 \times 3}{2} = 6

les deux places du 7

9 \times 9 = 81

les deux autres places : tout sauf 7

6 \times 81 = 486

La bonne réponse : « $486$ ». « $972$ » ordonne les deux places du 7, $4 \times 3$ : les deux 7 sont identiques. « $600$ » laisse les deux autres places prendre un 7, $6 \times 100$ : il compte aussi des codes à trois ou quatre 7. « $81$ » oublie de choisir les places des deux 7.

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Exercice 8

Combien de nombres pairs de quatre chiffres ont des chiffres strictement croissants de gauche à droite (comme 1358, qui est impair) ?

$224$
$46$
$63$
$126$

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Réponse : B $46$

Corrigé :

aucun 0 : il serait en tête. Le chiffre des unités est le plus grand, et il est pair : 4, 6 ou 8 (avant 2, il n'y a pas trois chiffres non nuls)

\begin{aligned}1 \\ \ \ \tfrac{5 \times 4 \times 3}{3!} &= 10 \\ \ \ \tfrac{7 \times 6 \times 5}{3!} &= 35\end{aligned}

unités 4, 6 ou 8 : trois chiffres plus petits, sans ordre à choisir

1 + 10 + 35 = 46

1358 est impair : il ne compte pas

La bonne réponse : « $46$ ». « $63$ » prend la moitié des 126 nombres croissants, comme si pair et impair étaient aussi fréquents : le dernier chiffre, le plus grand des quatre, vaut souvent 9. « $126$ » oublie la condition « pair ». « $224$ » choisit le chiffre des unités parmi 2, 4, 6 et 8, puis trois chiffres parmi les 8 autres, $4 \times 56$ : il oublie qu'ils doivent être plus petits.

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Exercice 9

D'après le schéma, un livreur part de la station A et passe exactement une fois par chacune des cinq autres stations, en ne suivant que les routes dessinées. Laquelle des stations suivantes ne peut jamais être la dernière de sa tournée ?

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Réponse : B D

Corrigé :

E n'a que deux routes, vers B et D ; F aussi, vers C et D

si D est la dernière, E et F sont au milieu de la tournée : chacune y utilise ses deux routes, donc D est voisine de E et de F dans la tournée

mais la dernière station ne touche qu'une seule station dans la tournée : contradiction

La bonne réponse : « D ». « B » est la dernière de la tournée A, C, F, D, E, B. « E » est la dernière de la tournée A, B, C, F, D, E. « F » est la dernière de la tournée A, C, B, E, D, F.

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Exercice 10

Une promotion compte 200 élèves, dont 45 % de garçons. 60 % des élèves de la promotion ont le permis de conduire, et exactement la moitié des garçons l'ont. 70 % des filles ont un vélo. Quel est le nombre maximal de filles qui n'ont ni permis ni vélo ?

$33$
$42$
$35$
$0$

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Réponse : A $33$

Corrigé :

\begin{aligned}200 \times 0{,}45 &= 90 \\ \ \ 200 - 90 &= 110\end{aligned}

garçons et filles

120 - 45 = 75

filles qui ont le permis : 120 permis, dont 45 chez les garçons

110 \times 0{,}7 = 77

filles qui ont un vélo

le moins de filles occupées, quand les 75 titulaires du permis ont toutes un vélo : 77 filles en tout

110 - 77 = 33

La bonne réponse : « $33$ ». « $35$ » calcule $110 - 75$ : il loge les vélos parmi les titulaires du permis, mais les 77 vélos ne tiennent pas dans 75 filles. « $42$ » calcule $75 + 77 - 110$ : c'est le minimum des filles qui ont les deux, une autre question. « $0$ » croit que, $75 + 77$ dépassant 110, chaque fille a forcément le permis ou un vélo : les deux groupes peuvent se recouvrir.

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Exercices

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