Série 5 — format examen · Devinettes algébriques · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, rangées par difficulté croissante, comme dans une section du jour J. Lancez un chrono : douze minutes pour la série, et répondez aux dix avant d'ouvrir le moindre corrigé. Huit ou plus dans le temps : le chapitre est acquis. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Moins : refaites la série de la famille où vous avez perdu le plus de points.

Ici, rien n'annonce la famille. Lisez la dernière phrase en premier : « au plus », « nécessairement », « ne peut pas » ou une phrase à trous disent quel geste choisir avant même l'histoire. Et les dernières questions valent autant que les premières : ne vous y enlisez pas.

Après les dix, deux questions de plus, hors chrono et sous une autre forme : une affirmation à juger, une valeur à écrire. Elles ne comptent pas dans vos points sur dix.

Exercices

Exercice 1

Trois colocataires de Haïfa paient ensemble un loyer de $5\,400$ ₪. Rami paie le double de Sivan, et Yoni paie $600$ ₪ de plus que Sivan. Combien paie Yoni ?

$1\,800$ ₪
$1\,350$ ₪
$1\,200$ ₪
$2\,400$ ₪

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Réponse : A $1\,800$ ₪

Corrigé :

{s + 2s + (s + 600) = 5\,400}

Sivan paie $s$ : les deux autres parts s'écrivent à partir de la sienne.

{4s = 4\,800 \Rightarrow s = 1\,200}

La part de Sivan.

{s + 600 = 1\,800}

La part de Yoni, celle qu'on demande.

La bonne réponse : « $1\,800$ ₪ ». « $1\,200$ ₪ » est la part de Sivan et « $2\,400$ ₪ » celle de Rami : deux autres inconnues ; « $1\,350$ ₪ » divise le loyer par $4$ sans retirer d'abord les $600$ ₪.

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Exercice 2

Un ruban de $2$ m est coupé en morceaux de $25$ cm chacun. Combien de coups de ciseaux faut-il donner ?

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Réponse : 7

Corrigé :

{200 \div 25 = 8}

Le ruban donne $8$ morceaux.

{8 - 1 = 7}

Le dernier coup sépare les deux derniers morceaux : il n'en faut pas un de plus.

$7$ . Les morceaux sont les intervalles, les coups de ciseaux sont les piquets intérieurs : répondre $8$ , c'est confondre les deux.

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Exercice 3

Le premier jour des soldes, un manteau coûte $p$ ₪. Chaque jour suivant, son prix baisse de $d$ ₪. Quel est son prix le $m$ -ième jour des soldes ?

$p - (m - 1)d$
$(p - d)m$
$p - md$
$p - (m + 1)d$

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Réponse : A $p - (m - 1)d$

Corrigé :

{\text{jour } 1 : p, \quad \text{jour } 2 : p - d, \quad \text{jour } 3 : p - 2d}

Le premier jour, aucune baisse n'a encore eu lieu.

{\text{jour } m : p - (m - 1)d}

Le nombre de baisses a toujours un de moins que le numéro du jour.

La bonne réponse : « $p - (m - 1)d$ ». « $p - md$ » compte une baisse dès le premier jour : c'est le piège des piquets et des intervalles ; « $p - (m + 1)d$ » en ajoute une de trop ; « $(p - d)m$ » multiplie le prix par le jour. Testez toujours $m = 1$ : seule la bonne réponse redonne $p$ .

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Exercice 4

Trois cousins sont nés à un an d'intervalle : cette année, leurs âges sont trois nombres entiers consécutifs. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

La somme de leurs âges est divisible par $6$ .
La somme de leurs âges est divisible par $3$ .
La somme de leurs âges est paire.
Le produit de leurs âges est divisible par $4$ .

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Réponse : B La somme de leurs âges est divisible par $3$ .

Corrigé :

{(n - 1) + n + (n + 1) = 3n}

La somme de trois consécutifs est trois fois celui du milieu.

{2 + 3 + 4 = 9, \quad 1 \times 2 \times 3 = 6}

Deux contre-exemples suffisent pour écarter les trois autres.

La bonne réponse : « divisible par $3$ ». Les trois autres sont vraies pour certains cousins, et c'est leur piège : $3 + 4 + 5 = 12$ est paire et divisible par $6$ , et $2 \times 3 \times 4 = 24$ est divisible par $4$ . Mais $2 + 3 + 4 = 9$ n'est ni paire ni divisible par $6$ , et $1 \times 2 \times 3 = 6$ n'est pas divisible par $4$ . « Nécessairement » demande une affirmation qui tienne dans tous les cas.

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Exercice 5

Si l'on partage un sac de dattes entre $4$ enfants, il en reste $3$ ; si on le partage entre $5$ enfants, il n'en reste aucune. Lequel des nombres suivants peut être le nombre de dattes du sac ?

$40$
$23$
$45$
$35$

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Réponse : D $35$

Corrigé :

{35 = 4 \times 8 + 3}

Première condition : il reste $3$ quand on partage entre $4$ .

{35 = 5 \times 7}

Seconde condition : le partage entre $5$ tombe juste.

La bonne réponse : « $35$ ». Chaque distracteur ne vérifie qu'une condition : « $23$ » laisse bien $3$ dattes entre $4$ enfants, mais n'est pas un multiple de $5$ ; « $40$ » et « $45$ » sont des multiples de $5$ , mais laissent $0$ et $1$ datte entre $4$ enfants.

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Exercice 6

Dans un restaurant, $3$ falafels et $2$ shawarmas coûtent $104$ ₪ ; $2$ falafels et $3$ shawarmas coûtent $116$ ₪. De combien de shekels un shawarma est-il plus cher qu'un falafel ?

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Réponse : 12

Corrigé :

{(2f + 3s) - (3f + 2s) = 116 - 104}

On soustrait les deux commandes entières.

{s - f = 12}

La différence demandée tombe directement.

$12$ . Nul besoin des prix eux-mêmes ( $16$ ₪ le falafel, $28$ ₪ le shawarma). Les pièges : $44$ , la somme des deux prix, qu'on obtient en additionnant les commandes ; et $28$ , le prix du shawarma.

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Exercice 7

Efrat arrose ses cactus tous les $6$ jours et ses fougères tous les $4$ jours. Un lundi, elle arrose les deux. Quel jour de la semaine arrosera-t-elle de nouveau les deux ensemble pour la troisième fois après ce lundi ?

Mercredi
Jeudi
Samedi
Mardi

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Réponse : D Mardi

Corrigé :

{\text{PPCM}(6, 4) = 12}

Les arrosages communs reviennent tous les $12$ jours.

{3 \times 12 = 36 = 7 \times 5 + 1}

La troisième fois tombe $36$ jours plus tard : cinq semaines et un jour.

{\text{lundi} + 1 = \text{mardi}}

La bonne réponse : « mardi ». « Samedi » est la première fois ( $12 = 7 + 5$ ) et « jeudi » la deuxième ( $24 = 21 + 3$ ) : deux étapes ; « mercredi » prend le produit $6 \times 4 = 24$ pour période, soit $72$ jours, au lieu du PPCM.

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Exercice 8

Une conférence réunit $36$ participants : $20$ sont médecins et $22$ viennent de Jérusalem. Le nombre de médecins venus de Jérusalem est donc tout au moins ___ et tout au plus ___.

$6$ ; $20$
$6$ ; $22$
$0$ ; $20$
$2$ ; $20$

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Réponse : A $6$ ; $20$

Corrigé :

{20 + 22 - 36 = 6}

Les deux groupes ne tiennent pas côte à côte : au moins $6$ personnes sont dans les deux.

{\min(20, 22) = 20}

Au plus, tous les médecins viennent de Jérusalem.

La bonne réponse : « $6$ ; $20$ ». « $6$ ; $22$ » a le bon minimum mais prend le plus grand groupe pour maximum : on ne peut pas trouver $22$ médecins parmi $20$ ; « $2$ ; $20$ » soustrait les deux groupes au lieu de les confronter au total ; « $0$ ; $20$ » oublie que $20 + 22$ dépasse $36$ .

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Exercice 9

Un nombre à deux chiffres a une somme de chiffres égale à $10$ . Quand on échange ses deux chiffres, on obtient un nombre plus grand de $36$ . Quel est ce nombre ?

$48$
$26$
$37$
$73$

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Réponse : C $37$

Corrigé :

{\text{écart} = 9 \times (\text{différence des chiffres}) = 36}

Échanger les chiffres change le nombre de $9$ fois l'écart entre eux : les chiffres diffèrent de $4$ , les unités étant le plus grand.

{3 + 7 = 10, \quad 73 - 37 = 36}

Deux chiffres de somme $10$ et d'écart $4$ : $3$ et $7$ .

La bonne réponse : « $37$ ». « $73$ » est le nombre obtenu après l'échange ; « $26$ » et « $48$ » ont bien des chiffres qui diffèrent de $4$ , mais leur somme vaut $8$ et $12$ : une seule des deux conditions.

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Exercice 10

Un marchand de tissus a $25$ rouleaux, en $6$ couleurs et en $5$ largeurs différentes ; chaque couleur et chaque largeur se retrouve sur au moins un rouleau. Au plus, combien de rouleaux sont à la fois bleus et de largeur $140$ cm ?

$14$
$16$
$20$
$21$

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Réponse : C $20$

Corrigé :

{6 - 1 = 5 \text{ couleurs}, \quad 5 - 1 = 4 \text{ largeurs}}

Il faut montrer au moins une fois les $5$ autres couleurs et les $4$ autres largeurs.

{\max(5, 4) = 5}

Un même rouleau peut montrer une autre couleur et une autre largeur : $5$ rouleaux suffisent, et il en faut au moins $5$ pour les couleurs.

{25 - 5 = 20}

Tous les autres peuvent être bleus en $140$ cm.

La bonne réponse : « $20$ ». « $16$ » réserve des rouleaux séparés aux couleurs et aux largeurs, $25 - 5 - 4$ , alors qu'un rouleau peut servir aux deux ; « $14$ » réserve aussi la couleur et la largeur visées, $25 - 6 - 5$ ; « $21$ » ne pense qu'aux $4$ autres largeurs et oublie les couleurs.

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Exercice 11

La somme de quatre entiers consécutifs n'est jamais un multiple de $4$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6

On écrit les quatre termes.

4n + 6 = 4\,(n + 1) + 2

Le reste par $4$ vaut toujours $2$ .

Vrai. Exemple : $11 + 12 + 13 + 14 = 50$ , et $50 = 4 \times 12 + 2$ .

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Exercice 12

Je pense à un nombre. Je lui ajoute $9$ , je divise le résultat par $4$ , puis je retranche $5$ . J'obtiens $3$ . À quel nombre ai-je pensé ?

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Réponse : 23

Corrigé :

3 + 5 = 8

La dernière opération se défait la première.

8 \times 4 = 32

Puis « diviser par 4 ».

32 - 9 = 23

Puis « ajouter 9 ».

23. Le distracteur $32$ s'arrête une étape trop tôt.

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Exercices

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