Série 4 — suites, cycles, rangs et chiffres · Devinettes algébriques · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : douze minutes pour la série, et répondez aux dix avant d'ouvrir le moindre corrigé. Huit ou plus dans le temps : la série est acquise. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Moins : revenez au cours « Suites, cycles et rangs » avant de continuer.

Comptez les intervalles, pas les piquets : entre le premier jour et le soixantième, il y a $59$ jours. Un jour de la semaine est un reste de division par $7$ , et deux rythmes se retrouvent au PPCM, pas au produit. Pour une suite qui revient sur elle-même, trouvez la période avant de viser le rang lointain.

Après les dix, deux questions de plus, hors chrono et sous une autre forme : une affirmation à juger, une valeur à écrire. Elles ne comptent pas dans vos points sur dix.

Exercices

Exercice 1

Une plante d'intérieur mesure $5$ cm. Chaque semaine, sa hauteur double, puis on la taille de $3$ cm. Quelle est sa hauteur au bout de $3$ semaines ?

$31$ cm
$40$ cm
$11$ cm
$19$ cm

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Réponse : D $19$ cm

Corrigé :

{5 \to 2 \times 5 - 3 = 7}

Première semaine : doubler, puis tailler.

{7 \to 11 \to 19}

Deuxième et troisième semaines, dans le même ordre.

La bonne réponse : « $19$ cm ». « $11$ cm » est la hauteur après deux semaines, un cran trop tôt ; « $40$ cm » oublie les tailles, $5 \times 8$ ; « $31$ cm » double trois fois puis retire les trois tailles d'un coup, $40 - 9$ — or une taille faite tôt est doublée ensuite.

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Exercice 2

Le long d'une promenade droite de $96$ m à Ashdod, on installe un lampadaire tous les $8$ m, y compris aux deux extrémités. Combien de lampadaires installe-t-on ?

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Réponse : 13

Corrigé :

{96 \div 8 = 12}

Le nombre d'intervalles.

{12 + 1 = 13}

Sur une ligne ouverte, un lampadaire de plus que d'intervalles.

$13$ . Le piège : $12$ , le nombre d'intervalles pris pour le nombre de lampadaires. Sur une promenade qui ferait le tour d'un lac, en revanche, il y aurait autant de lampadaires que d'intervalles.

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Exercice 3

Dans une rangée de sièges d'un cinéma, le siège de Maor est le $14^{e}$ en partant de la gauche et le $23^{e}$ en partant de la droite. Combien de sièges compte la rangée ?

$35$
$37$
$9$
$36$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $36$

Corrigé :

{14 + 23 = 37}

Les deux comptages incluent chacun le siège de Maor.

{37 - 1 = 36}

On retire ce siège, compté deux fois.

La bonne réponse : « $36$ ». « $37$ » compte le siège de Maor deux fois ; « $35$ » le retire des deux côtés ; « $9$ » soustrait les deux rangs, un calcul qui ne mesure rien.

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Exercice 4

Chaque jour, on consomme la moitié de l'eau d'une citerne, puis on y rajoute $10$ litres. Le soir du troisième jour, il reste $40$ litres. Combien de litres la citerne contenait-elle au départ ?

$180$
$250$
$100$
$60$

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Réponse : A $180$

Corrigé :

{(40 - 10) \times 2 = 60}

On remonte un jour : d'abord retirer les $10$ litres ajoutés en dernier, puis doubler.

{(60 - 10) \times 2 = 100}

Le soir du premier jour.

{(100 - 10) \times 2 = 180}

Le matin du premier jour.

La bonne réponse : « $180$ ». « $100$ » s'arrête un cran trop tôt, et « $60$ » deux crans ; « $250$ » défait les opérations dans le mauvais ordre, en doublant avant de retirer les $10$ litres : $40 \to 70 \to 130 \to 250$ .

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Exercice 5

Un stage d'été commence un dimanche et dure $60$ jours, premier jour compris. Quel jour de la semaine est le dernier jour du stage ?

Jeudi
Lundi
Samedi
Mercredi

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Réponse : D Mercredi

Corrigé :

{60 - 1 = 59}

Le dernier jour tombe $59$ jours après le premier.

{59 = 7 \times 8 + 3}

Huit semaines complètes ramènent au dimanche, puis trois jours de plus.

{\text{dimanche} + 3 = \text{mercredi}}

Lundi, mardi, mercredi.

La bonne réponse : « mercredi ». « Jeudi » vient de $60 = 7 \times 8 + 4$ : il compte le premier jour deux fois, une fois comme départ et une fois comme écart. « Lundi » et « samedi » viennent d'un reste mal lu.

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Exercice 6

À la gare de Lod, un train pour Jérusalem part toutes les $18$ minutes et un train pour Beer-Sheva toutes les $24$ minutes. Deux trains viennent de partir ensemble à $7$ h. Combien de fois deux trains partiront-ils ensemble entre $7$ h (non compris) et $13$ h (compris) ?

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Réponse : 5

Corrigé :

{\text{PPCM}(18, 24) = 72}

Les départs communs ont lieu toutes les $72$ minutes.

{6 \text{ h} = 360 \text{ min}, \quad 360 \div 72 = 5}

À $8$ h $12$ , $9$ h $24$ , $10$ h $36$ , $11$ h $48$ et $13$ h.

$5$ . Les pièges : $6$ , qui compte aussi le départ de $7$ h, exclu par l'énoncé ; et le produit $18 \times 24 = 432$ minutes, qui dépasse les six heures et ferait croire à zéro rencontre.

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Exercice 7

Le code d'un cadenas de casier est un nombre à trois chiffres dont le premier chiffre n'est pas $0$ , et la somme de ses chiffres vaut $3$ . Combien de codes sont possibles ?

$5$
$3$
$10$
$6$

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Réponse : D $6$

Corrigé :

{300, \; 210, \; 201}

Premier chiffre $3$ ou $2$ .

{120, \; 102, \; 111}

Premier chiffre $1$ : il reste $2$ à répartir sur deux chiffres.

La bonne réponse : « $6$ ». « $10$ » accepte un $0$ en tête, comme $012$ ou $030$ ; « $5$ » oublie le code $111$ , le seul sans zéro ; « $3$ » s'arrête aux codes qui commencent par $3$ ou par $2$ .

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Exercice 8

Un plateau de jeu circulaire a $10$ cases numérotées de $0$ à $9$ . Un pion part de la case $0$ et avance à chaque tour de $4$ cases. La case de départ compte comme atteinte. Combien de cases le pion n'atteindra-t-il jamais, même en jouant sans fin ?

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Réponse : A $5$

Corrigé :

{0 \to 4 \to 8 \to 2 \to 6 \to 0}

Après $5$ tours, le pion revient à la case de départ.

{\text{PGCD}(10, 4) = 2, \quad 10 \div 2 = 5}

Il ne visite que les cases paires : $5$ cases.

{10 - 5 = 5}

Les cinq cases impaires restent vides.

La bonne réponse : « $5$ ». « $0$ » croit que le pion finit par tout visiter, ce qui n'arrive que si le pas et le nombre de cases n'ont aucun diviseur commun ; « $6$ » oublie que la case $0$ compte comme atteinte ; « $2$ » est le PGCD, une étape.

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Exercice 9

Pour numéroter les pages d'une brochure à partir de $1$ , un imprimeur utilise $171$ chiffres en tout. Combien de pages a la brochure ?

$57$
$85$
$90$
$81$

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Réponse : C $90$

Corrigé :

{1 \text{ à } 9 : 9 \text{ chiffres}}

Les neuf premières pages ont un chiffre chacune.

{171 - 9 = 162, \quad 162 \div 2 = 81}

Il reste $81$ pages à deux chiffres.

{9 + 81 = 90}

La dernière page est la $90$ : on reste bien sous $100$ .

La bonne réponse : « $90$ ». « $81$ » est le nombre de pages à deux chiffres, une étape ; « $85$ » divise les $171$ chiffres par $2$ comme si toutes les pages en avaient deux ; « $57$ » les divise par $3$ .

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Exercice 10

Ofir écrit $2$ puis $5$ au tableau. Ensuite, chaque nombre qu'il écrit est égal au précédent moins celui d'avant. Quel est le $100^{e}$ nombre écrit ?

$-2$
$-5$
$5$
$3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $-2$

Corrigé :

{2, \; 5, \; 3, \; -2, \; -5, \; -3, \; 2, \; 5, \; \ldots}

La suite revient à $2, 5$ au septième terme : sa période est $6$ .

{100 = 6 \times 16 + 4}

Le $100^{e}$ terme a le rang $4$ dans la période.

{a_{100} = a_{4} = -2}

La bonne réponse : « $-2$ ». « $3$ » est le $99^{e}$ terme, un cran trop tôt, et « $-5$ » le $101^{e}$ ; « $5$ » prend une période de $7$ , comme pour les jours de la semaine : $100 = 7 \times 14 + 2$ .

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Exercice 11

Autour d'une piste circulaire de $400$ m, on plante un fanion tous les $25$ m. Il faut $16$ fanions.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

400 : 25 = 16

Les écarts.

16 \text{ écarts} = 16 \text{ fanions}

Sur un cercle, le tour se referme sur le premier fanion.

Vrai. Sur une ligne droite de $400$ m, avec un fanion à chaque bout, il en faudrait $17$ .

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Exercice 12

Un élève lit un livre de la page $23$ à la page $61$ , les deux incluses. Combien de pages a-t-il lues ?

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Réponse : 39

Corrigé :

61 - 23 = 38

Les passages d’une page à la suivante — les intervalles.

38 + 1 = 39

« Inclus » garde les deux bornes.

39 pages. La soustraction seule, $38$ , compte les intervalles.

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Exercices

La suite se pratique sur elev