Série 3 — au plus, au moins · Devinettes algébriques · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez un chrono : douze minutes pour la série, et répondez aux dix avant d'ouvrir le moindre corrigé. Huit ou plus dans le temps : la série est acquise. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Moins : revenez au cours « Au plus, au moins » avant de continuer.

Trois réflexes. Pour maximiser l'un, donnez d'abord le minimum permis à tous les autres. Pour être sûr, jouez contre vous le pire des cas. Pour deux groupes de $A$ et $B$ personnes parmi $N$ , le chevauchement va de $A + B - N$ (jamais moins que $0$ ) au plus petit des deux groupes. Et relisez chaque « strictement » : il déplace la borne d'une unité.

Après les dix, deux questions de plus, hors chrono et sous une autre forme : une affirmation à juger, une valeur à écrire. Elles ne comptent pas dans vos points sur dix.

Exercices

Exercice 1

Dans un sac opaque, une maîtresse de Holon a $9$ feutres rouges, $6$ verts et $4$ jaunes. Combien de feutres doit-elle tirer, au minimum, pour être sûre d'avoir $3$ feutres de la même couleur ?

$9$
$7$
$10$
$6$

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Réponse : B $7$

Corrigé :

{2 + 2 + 2 = 6}

Le pire cas : elle tire deux feutres de chaque couleur sans jamais en avoir trois pareils.

{6 + 1 = 7}

Le feutre suivant fait forcément un troisième dans une couleur.

La bonne réponse : « $7$ ». « $6$ » est le pire cas lui-même, une étape : avec six feutres, on peut encore n'avoir que des paires ; « $9$ » compte trois feutres par couleur : c'est plus de tirages qu'il n'en faut, sans rien garantir de plus que $7$ ; « $10$ » raisonne sur la couleur la plus nombreuse, $9 + 1$ , comme s'il fallait épuiser les rouges : or trois rouges suffisent aussi.

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Exercice 2

Parmi les $40$ employés d'un hôtel de Tibériade, $26$ parlent anglais et $22$ parlent russe. Au minimum, combien d'employés parlent les deux langues ?

$0$
$8$
$22$
$4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $8$

Corrigé :

{26 + 22 = 48 > 40}

Les deux groupes réunis dépassent le nombre d'employés.

{48 - 40 = 8}

Au moins $8$ employés sont comptés deux fois.

La bonne réponse : « $8$ ». « $22$ » est le maximum, quand tous ceux qui parlent russe parlent aussi anglais ; « $0$ » oublie qu'il n'y a que $40$ employés ; « $4$ » soustrait les deux groupes, $26 - 22$ , un calcul sans rapport avec le chevauchement.

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Exercice 3

Une école de musique de Ra'anana compte $120$ élèves : $70$ apprennent la guitare et $48$ la flûte. Le nombre d'élèves qui apprennent les deux instruments est donc tout au moins ___ et tout au plus ___.

$0$ ; $48$
$2$ ; $48$
$0$ ; $70$
$2$ ; $70$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $0$ ; $48$

Corrigé :

{70 + 48 = 118 \leq 120}

Les deux groupes tiennent côte à côte sans se toucher : le minimum est $0$ .

{\min(70, 48) = 48}

Au maximum, tous les flûtistes jouent aussi de la guitare.

La bonne réponse : « $0$ ; $48$ ». « $2$ ; $48$ » applique $A + B - N$ à l'envers : $120 - 118 = 2$ est le nombre minimal d'élèves qui n'apprennent aucun des deux instruments, pas un chevauchement ; « $0$ ; $70$ » prend le plus grand groupe pour maximum, alors que le chevauchement ne peut pas dépasser les $48$ flûtistes. Les deux moitiés de la réponse doivent être justes.

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Exercice 4

Les $7$ membres d'un club de lecture ont lu $50$ livres cet été, et chacun en a lu au moins $4$ . Au maximum, combien de livres un seul membre a-t-il pu lire ?

$22$
$26$
$46$
$7$

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Réponse : B $26$

Corrigé :

{6 \times 4 = 24}

On réserve le minimum, $4$ livres, à chacun des six autres membres.

{50 - 24 = 26}

Tout le reste va au septième.

La bonne réponse : « $26$ ». « $46$ » ne réserve le minimum qu'à un seul autre membre ; « $22$ » le réserve aussi au lecteur lui-même, soit $50 - 7 \times 4$ ; « $7$ » est à peu près la moyenne, qui ne dit rien d'un maximum.

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Exercice 5

En $6$ jours, un vétérinaire de Rehovot reçoit $41$ rendez-vous. Le dimanche, il en reçoit strictement plus que chacun des $5$ autres jours. Au minimum, combien de rendez-vous reçoit-il le dimanche ?

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Réponse : 8

Corrigé :

{f + 5(f - 1) \geq 41}

Si le dimanche compte $f$ rendez-vous, chaque autre jour en compte au plus $f - 1$ .

{6f \geq 46 \Rightarrow f \geq 7{,}67 \Rightarrow f = 8}

Le plus petit entier qui convient.

{8 + 7 + 7 + 7 + 6 + 6 = 41}

La borne est atteinte.

$8$ . Le piège : $7$ , qui vient de $41 \div 6 \approx 6{,}8$ arrondi vers le haut. Avec $7$ le dimanche, les autres jours n'en ont pas plus de $6$ , soit au plus $7 + 30 = 37$ rendez-vous : c'est le mot « strictement » qui coûte l'unité.

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Exercice 6

Un maraîcher répartit $63$ melons dans $5$ cagettes. Deux cagettes quelconques diffèrent d'au plus $3$ melons. Lequel des nombres suivants ne peut pas être le nombre de melons d'une cagette ?

$14$
$15$
$11$
$10$

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Réponse : D $10$

Corrigé :

{10 + 4 \times 13 = 62 < 63}

Une cagette de $10$ melons oblige les autres à $13$ au plus : le total n'est jamais atteint.

{15 + 4 \times 12 = 63, \quad 11 + 13 + 13 + 13 + 13 = 63}

Les deux extrêmes proposés sont possibles.

La bonne réponse : « $10$ ». « $15$ » et « $11$ » ont l'air extrêmes, et c'est leur piège : les deux se réalisent, avec $15, 12, 12, 12, 12$ et $11, 13, 13, 13, 13$ . « $14$ » est proche de la moyenne, $12{,}6$ , et ne pose aucune difficulté ( $14, 14, 12, 12, 11$ ).

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Exercice 7

Une équipe de $18$ volontaires compte $7$ femmes et $11$ hommes ; $9$ volontaires ont plus de $30$ ans. Que peut-on dire du nombre d'hommes qui ont $30$ ans ou moins ?

Il vaut exactement $2$ .
Il vaut au moins $4$ .
Il vaut exactement $9$ .
Il vaut au moins $2$ .

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Réponse : D Il vaut au moins $2$ .

Corrigé :

{18 - 9 = 9}

$9$ volontaires ont $30$ ans ou moins.

{9 - 7 = 2}

Le pire cas : les $7$ femmes sont toutes parmi eux, et il reste au moins $2$ hommes.

{2 \leq h \leq 9}

Si aucune femme n'a $30$ ans ou moins, les $9$ sont des hommes.

La bonne réponse : « au moins $2$ ». « Exactement $2$ » prend la borne pour une valeur sûre : le nombre peut aller jusqu'à $9$ . « Exactement $9$ » fait l'erreur inverse. « Au moins $4$ » soustrait les $7$ femmes des $11$ hommes, un calcul qui mélange les deux découpages.

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Exercice 8

Une classe de $31$ élèves vote pour la destination de sa sortie : la Galilée ou le Néguev. $4$ élèves ne votent pas, et la Galilée obtient strictement plus de voix que le Néguev. La Galilée a donc obtenu tout au moins ___ voix et tout au plus ___ voix.

$16$ ; $31$
$13$ ; $27$
$14$ ; $31$
$14$ ; $27$

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Réponse : D $14$ ; $27$

Corrigé :

{31 - 4 = 27}

Seules $27$ voix sont exprimées.

{g > 27 - g \Rightarrow g > 13{,}5 \Rightarrow g \geq 14}

Strictement plus que la moitié des voix exprimées.

{g \leq 27}

Au plus, toutes les voix exprimées.

La bonne réponse : « $14$ ; $27$ ». « $13$ ; $27$ » arrondit $13{,}5$ vers le bas et donne une égalité impossible ; « $14$ ; $31$ » a le bon minimum mais oublie les $4$ abstentions dans le maximum ; « $16$ ; $31$ » part des $31$ élèves pour les deux bornes.

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Exercice 9

Au tournoi de basket d'Eilat, $5$ équipes ont marqué $60$ paniers en tout. Chaque équipe en a marqué au moins un, et deux équipes n'en ont jamais marqué le même nombre. Au maximum, combien de paniers l'équipe la plus adroite a-t-elle marqués ?

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Réponse : 50

Corrigé :

{1 + 2 + 3 + 4 = 10}

Le minimum des quatre autres équipes, qui doivent avoir des scores tous différents.

{60 - 10 = 50}

Tout le reste va à la cinquième.

$50$ . Réserver $1$ panier à chacune des quatre autres donnerait $56$ , mais leurs scores seraient égaux : la condition « jamais le même nombre » les oblige à $1, 2, 3, 4$ .

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Exercice 10

Dans le parking d'une entreprise de Petah Tikva, il y a $60$ voitures : $45$ sont blanches, $50$ ont quatre portes et $52$ sont climatisées. Au minimum, combien de voitures sont à la fois blanches, à quatre portes et climatisées ?

$35$
$0$
$45$
$27$

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Réponse : D $27$

Corrigé :

{15 + 10 + 8 = 33}

On compte les défauts : $15$ voitures non blanches, $10$ sans quatre portes, $8$ sans climatisation.

{60 - 33 = 27}

Au pire, ces défauts tombent sur $33$ voitures toutes différentes ; les autres ont les trois qualités.

La bonne réponse : « $27$ ». « $35$ » ne croise que deux groupes, $45 + 50 - 60$ , et oublie la climatisation ; « $45$ » est le maximum, la taille du plus petit groupe ; « $0$ » oublie que les trois groupes sont presque aussi grands que le parking.

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Exercice 11

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ font du théâtre et $16$ font du chant. Au moins $4$ élèves font les deux.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

18 + 16 - 30 = 4

$34$ places pour $30$ élèves : au moins $4$ sont comptés deux fois.

Vrai. Et $4$ est atteint : $14$ font seulement du théâtre, $12$ seulement du chant, $4$ les deux.

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Exercice 12

Un sac contient $7$ jetons rouges, $5$ bleus et $4$ jaunes. Dans le noir, combien de jetons faut-il tirer, au minimum, pour être sûr d'avoir $3$ jetons rouges ?

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Réponse : 12

Corrigé :

5 + 4 + 2 = 11

Le pire cas : tous les bleus, tous les jaunes, et seulement deux rouges.

11 + 1 = 12

Il ne reste que des rouges : le douzième donne le troisième rouge.

12. Le distracteur $3$ espère la chance ; $4$ applique la règle de la paire, qui ne vaut pas pour une couleur imposée.

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Exercices

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